選擇性必修第一冊第三章 3.3.1 拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

1、1 / 11 3.3 拋物線拋物線 33.1 拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.掌握拋物線的定義及其焦點(diǎn)、準(zhǔn)線的概念.2.會(huì)求簡單的拋物線方程 知識(shí)點(diǎn)一 拋物線的定義 1定義：平面內(nèi)與一定點(diǎn) f 和一條定直線 l(不經(jīng)過點(diǎn) f)距離相等的點(diǎn)的軌跡 2焦點(diǎn)：定點(diǎn) f. 3準(zhǔn)線：定直線 l. 思考 拋物線的定義中，為什么要加條件 l不經(jīng)過點(diǎn) f? 答案 若點(diǎn) f 在直線 l上，點(diǎn)的軌跡是過點(diǎn) f且垂直于直線 l的直線 知識(shí)點(diǎn)二 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 圖形 標(biāo)準(zhǔn)方程 焦點(diǎn)坐標(biāo) 準(zhǔn)線方程 y22px(p0) p2，0 xp2 y22px(p0) p2，0 xp2 x22py(p0) 0，

2、p2 yp2 x22py(p0) 0，p2 yp2 思考 拋物線方程中 p(p0)的幾何意義是什么？ 答案 p的幾何意義是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離 1到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線( ) 2 / 11 2拋物線的方程都是二次函數(shù)( ) 3拋物線 y22px(p0)中 p是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離( ) 4方程 x22ay(a0)表示開口向上的拋物線( ) 一、求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 例 1 分別求符合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 (1)經(jīng)過點(diǎn)(3，1)； (2)焦點(diǎn)為直線 3x4y120與坐標(biāo)軸的交點(diǎn) 解 (1)因?yàn)辄c(diǎn)(3，1)在第三象限， 所以設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 y22px(p0)或 x

3、22py(p0) 若拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 y22px(p0)， 則由(1)22p(3)，解得 p16； 若拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x22py(p0)， 則由(3)22p(1)，解得 p92. 故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 y213x 或 x29y. (2)對于直線方程 3x4y120， 令 x0，得 y3；令 y0，得 x4， 所以拋物線的焦點(diǎn)為(0，3)或(4,0) 當(dāng)焦點(diǎn)為(0，3)時(shí)，p23，所以 p6， 此時(shí)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x212y； 當(dāng)焦點(diǎn)為(4,0)時(shí)，p24，所以 p8， 此時(shí)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 y216x. 故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x212y 或 y216x. 反思感悟 用待定系

4、數(shù)法求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟 3 / 11 注意：當(dāng)拋物線的類型沒有確定時(shí)，可設(shè)方程為 y2mx(m0)或 x2ny(n0)，這樣可以減少討論情況的個(gè)數(shù) 跟蹤訓(xùn)練 1 (1)若拋物線 y22px(p0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，則 p_，準(zhǔn)線方程為_ 答案 2 x1 解析 因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，所以p21，p2，準(zhǔn)線方程為 xp21. (2)求焦點(diǎn)在 y 軸上，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為 5的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_ 答案 x210y和 x210y 解析 設(shè)方程為 x22my(m0)，由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為 5，知|m|5，m 5，所以滿足條件的拋物線有兩條，它們的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為 x210y和 x2

5、10y. 二、拋物線定義的應(yīng)用 例 2 (1)已知拋物線 c：y2x 的焦點(diǎn)為 f，a(x0，y0)是 c 上一點(diǎn)，|af|54x0，則 x0等于( ) a1 b2 c4 d8 答案 a 解析 14x054x0，x01. (2)已知點(diǎn) p 是拋物線 y22x 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn) p 到點(diǎn)(0,2)的距離與 p 到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值 解 由拋物線的定義可知，拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于它到焦點(diǎn)的距離由圖可知， 點(diǎn) p，點(diǎn)(0,2)和拋物線的焦點(diǎn) f12，0 三點(diǎn)共線時(shí)距離之和最小， 所以最小距離 d 0122(20)2172. 延伸探究 1若將本例(2)中的點(diǎn)(0,2)改為點(diǎn) a(3

6、,2)，求|pa|pf|的最小值 解 將 x3 代入 y22x， 得 y 6. 4 / 11 所以點(diǎn) a 在拋物線內(nèi)部 設(shè)點(diǎn) p為其上一點(diǎn)，點(diǎn) p到準(zhǔn)線(設(shè)為 l)x12的距離為 d， 則|pa|pf|pa|d. 由圖可知，當(dāng) pal時(shí)，|pa|d最小，最小值是72. 即|pa|pf|的最小值是72. 2.若將本例(2)中的點(diǎn)(0,2)換為直線 l1：3x4y720，求點(diǎn) p 到直線 3x4y720的距離與p 到該拋物線的準(zhǔn)線的距離之和的最小值 解 如圖，作 pq 垂直于準(zhǔn)線 l于點(diǎn) q， |pa1|pq|pa1|pf|a1f|min. |a1f|的最小值為點(diǎn) f 到直線 3x4y720 的距

7、離 d3127232(4)21.即所求最小值為 1. 反思感悟 拋物線定義的應(yīng)用 實(shí)現(xiàn)距離轉(zhuǎn)化根據(jù)拋物線的定義，拋物線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，因此，由拋物線定義可以實(shí)現(xiàn)點(diǎn)點(diǎn)距與點(diǎn)線距的相互轉(zhuǎn)化，從而簡化某些問題 跟蹤訓(xùn)練 2 (1)已知拋物線 y22px(p0)的焦點(diǎn) f1，若點(diǎn) a(2，4)在拋物線上，則點(diǎn) a到焦點(diǎn)的距離為_ 答案 4 解析 把點(diǎn)(2，4)代入拋物線 y22px，得 164p，即 p4，從而拋物線的焦點(diǎn)為(2,0)故點(diǎn) a 到焦點(diǎn)的距離為 4. (2)設(shè)點(diǎn) a 的坐標(biāo)為(1， 15)，點(diǎn) p 在拋物線 y28x 上移動(dòng)，p 到直線 x1 的距離為 d，則

8、d|pa|的最小值為( ) a1 b2 c3 d4 答案 c 解析 由題意知拋物線 y28x的焦點(diǎn)為 f(2,0)，點(diǎn) p 到準(zhǔn)線 x2的距離為 d1， 于是|pf|d1， 所以 d|pa|pf|1|pa|的最小值為|af|1413. 5 / 11 拋物線的實(shí)際應(yīng)用問題 典例 河上有一拋物線形拱橋，當(dāng)水面距拱橋頂 5 m 時(shí)，水面寬為 8 m，一小船寬 4 m，高2 m，載貨后船露出水面上的部分高 0.75 m，問：水面上漲到與拋物線形拱橋拱頂相距多少m時(shí)，小船開始不能通航？ 解 如圖，以拱橋的拱頂為原點(diǎn)，以過拱頂且平行于水面的直線為 x 軸，建立平面直角坐標(biāo)系 設(shè)拋物線方程為 x22py(p

9、0)， 由題意可知，點(diǎn) b(4，5)在拋物線上， 故 p85，得 x2165y. 當(dāng)船面兩側(cè)和拋物線接觸時(shí)，船開始不能通航， 設(shè)此時(shí)船面寬為 aa，則 a(2，ya)， 由 22165ya，得 ya54. 又知船面露出水面上的部分高為 0.75 m， 所以 h|ya|0.752(m) 所以水面上漲到與拋物線形拱橋拱頂相距 2 m時(shí)，小船開始不能通航 素養(yǎng)提升 首先確定與實(shí)際問題相匹配的數(shù)學(xué)模型此問題中拱橋是拋物線型，故利用拋物線的有關(guān)知識(shí)解決此問題，操作步驟為 (1)建系：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系 (2)假設(shè)：設(shè)出合適的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程 (3)計(jì)算：通過計(jì)算求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 (4)求解：求出需要求出

10、的量 (5)還原：還原到實(shí)際問題中，從而解決實(shí)際問題 1設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為 x2，則拋物線的方程是( ) ay28x by28x 6 / 11 cy24x dy24x 答案 b 2已知拋物線 y2px2過點(diǎn)(1,4)，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為( ) a(1,0) b.116，0 c.0，116 d(0,1) 答案 c 解析 由拋物線 y2px2過點(diǎn)(1,4)，可得 p2， 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x214y， 則焦點(diǎn)坐標(biāo)為0，116，故選 c. 3準(zhǔn)線為 y34的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是( ) ax23y by32x2 cx3y2 dx32y2 答案 a 解析 準(zhǔn)線為 y34的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

11、是 x23y，故選 a. 4一動(dòng)圓過點(diǎn)(0,1)且與定直線 l相切，圓心在拋物線 x24y 上，則 l的方程為( ) ax1 bx116 cy1 dy116 答案 c 解析 因?yàn)閯?dòng)圓過點(diǎn)(0,1)且與定直線 l 相切，所以動(dòng)圓圓心到點(diǎn)(0,1)的距離與它到定直線 l的距離相等，又因?yàn)閯?dòng)圓圓心在拋物線 x24y 上，且(0,1)為拋物線的焦點(diǎn)，所以 l 為拋物線的準(zhǔn)線，所以 l：y1. 5若拋物線 y22px(p0)上有一點(diǎn) m，其橫坐標(biāo)為9，它到焦點(diǎn)的距離為 10，則點(diǎn) m的坐標(biāo)為_ 答案 (9,6)或(9，6) 解析 由拋物線方程 y22px(p0)，得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為 fp2，0 ，準(zhǔn)線方程為

12、 xp2.設(shè)點(diǎn)m 到準(zhǔn)線的距離為 d，則 d|mf|10，即p2(9)10，得 p2，故拋物線方程為 y24x. 由點(diǎn) m(9，y)在拋物線上，得 y 6，故點(diǎn) m的坐標(biāo)為(9,6)或(9，6) 7 / 11 1知識(shí)清單： (1)拋物線的定義 (2)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式 (3)拋物線定義的應(yīng)用 2方法歸納：待定系數(shù)法、定義法、轉(zhuǎn)化化歸 3常見誤區(qū)：混淆拋物線的焦點(diǎn)位置和方程形式 1拋物線 y14x2的準(zhǔn)線方程為( ) ax116 bx1 cy1 dy2 答案 c 解析 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x24y，則準(zhǔn)線方程為 y1. 2已知拋物線 y22px(p0)的準(zhǔn)線經(jīng)過點(diǎn)(1,1)，則該拋物線焦

13、點(diǎn)坐標(biāo)為( ) a(1,0) b(1,0) c(0，1) d(0,1) 答案 b 解析 拋物線 y22px(p0)的準(zhǔn)線方程為 xp2， 由題設(shè)知p21，即 p2， 故焦點(diǎn)坐標(biāo)為()1，0 .故選 b. 3(多選)經(jīng)過點(diǎn) p(4，2)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為( ) ay2x b. y28x cy28x dx28y 答案 ad 解析 當(dāng)開口向右時(shí)，設(shè)拋物線方程為 y22p1x(p10)，則(2)28p1，所以 p112，所以拋物線方程為 y2x.當(dāng)開口向下時(shí)，設(shè)拋物線方程為 x22p2y(p20)，則 424p2，p24，所以拋物線方程為 x28y. 4若拋物線 yax2()a0 的焦點(diǎn)與橢圓x22

14、y21的上頂點(diǎn)重合，則 a等于( ) 8 / 11 a.12 b.14 c2 d4 答案 b 解析 橢圓x22y21的上頂點(diǎn)是()0，1 拋物線 yax2()a0 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為0，14a， 因?yàn)閮牲c(diǎn)重合，所以14a1， 所以 a14. 5若拋物線 y22px(p0)的焦點(diǎn)是橢圓x23py2p1 的一個(gè)焦點(diǎn)，則 p等于( ) a2 b3 c4 d8 答案 d 解析 因?yàn)閽佄锞€ y22px(p0)的焦點(diǎn)p2，0 是橢圓x23py2p1的一個(gè)焦點(diǎn)， 所以 3ppp22，解得 p8. 6已知雙曲線x2my21 的右焦點(diǎn)恰好是拋物線 y28x 的焦點(diǎn)，則 m_. 答案 3 解析 由題意得 m122，解得

15、 m3. 7在拋物線 y212x 上，與焦點(diǎn)的距離等于 9的點(diǎn)的坐標(biāo)是_ 答案 (6,6 2)或(6，6 2) 解析 由方程 y212x，知焦點(diǎn) f(3,0)，準(zhǔn)線 l：x3.設(shè)所求點(diǎn)為 p(x，y)， 則由定義知|pf|3x. 又|pf|9，所以 3x9，x6，代入 y212x，得 y 6 2. 所以所求點(diǎn)的坐標(biāo)為(6,6 2)或(6，6 2) 8已知拋物線 c：4xay20 恰好經(jīng)過圓 m：(x1)2(y2)21 的圓心，則拋物線 c 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_，準(zhǔn)線方程為_ 答案 (1,0) x1 解析 圓 m 的圓心為(1,2)，代入 4xay20得 a1， 將拋物線 c的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得 y2

16、4x，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，準(zhǔn)線方程為 x1. 9已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 y 軸上，拋物線上一點(diǎn) m(m，3)到焦點(diǎn)的距離為5，求 m的值、拋物線方程和準(zhǔn)線方程 解 方法一 如圖所示， 9 / 11 設(shè)拋物線的方程為 x22py(p0)，則焦點(diǎn) f0，p2，準(zhǔn)線 l：yp2，作 mnl，垂足為n， 則|mn|mf|5，而|mn|3p25， 即 p4.所以拋物線方程為 x28y，準(zhǔn)線方程為 y2. 由 m28(3)24，得 m 2 6. 方法二 設(shè)所求拋物線方程為 x22py(p0)，則焦點(diǎn)為 f0，p2. m(m，3)在拋物線上，且|mf|5， 故 m26p， m23p225，解得

17、p4，m 2 6. 拋物線方程為 x28y，m 2 6，準(zhǔn)線方程為 y2. 10花壇水池中央有一噴泉，水管 op1 m，水從噴頭 p 噴出后呈拋物線狀，先向上至最高點(diǎn)后落下，若最高點(diǎn)距水面 2 m，點(diǎn) p距拋物線的對稱軸 1 m，則水池的直徑至少應(yīng)設(shè)計(jì)多少米？(精確到 1 m) 解 如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系 設(shè)拋物線方程為 x22py(p0) 依題意有 p(1，1)在拋物線上，代入得 p12.故得拋物線方程為 x2y. 又點(diǎn) b在拋物線上，將 b(x，2)代入拋物線方程得 x 2，即|ab| 2 m， 則|ob|oa|ab|( 21) m，因此所求水池的直徑為 2(1 2) m，約為 5

18、m， 即水池的直徑至少應(yīng)設(shè)計(jì)為 5 m. 11已知拋物線 y24x上一點(diǎn) p到焦點(diǎn) f 的距離為 5，則pfo的面積為( ) a1 b2 c3 d4 答案 b 10 / 11 解析 由題意，知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 f(1,0)，準(zhǔn)線方程為 x1.因?yàn)閽佄锞€ y24x 上的一點(diǎn) p 到焦點(diǎn)的距離為 5，由拋物線的定義可知，點(diǎn) p 到準(zhǔn)線 x1 的距離是 5，則點(diǎn) p到 y軸的距離是 4，所以 p(4， 4)，所以pfo 的面積為12142. 12設(shè) f為拋物線 y24x的焦點(diǎn)，a，b，c為該拋物線上三點(diǎn)，若fafbfc0，則|fa|fb|fc|_. 答案 6 解析 設(shè) a(x1，y1)，b(x2，

19、y2)，c(x3，y3)，又 f(1,0) 由fafbfc0 知(x11)(x21)(x31)0， 即 x1x2x33， |fa|fb|fc|x1x2x332p6. 13已知拋物線 y22px(p0)上一點(diǎn) m(1，m)到其焦點(diǎn)的距離為 5，雙曲線 x2y2a1 的左頂點(diǎn)為 a，若雙曲線的一條漸近線與直線 am垂直，則實(shí)數(shù) a_. 答案 14 解析 根據(jù)拋物線的定義得 1p25，p8，則 m 4， 不妨取 m(1,4)，又 a(1,0)，則直線 am的斜率為 2， 由已知得 a21，故 a14. 14已知直線 l1：4x3y60 和直線 l2：x1，拋物線 y24x 上一動(dòng)點(diǎn) p到直線 l1和直線 l2的距離之和的最小值是_ 答案 2 解析 如圖所示， 動(dòng)點(diǎn) p到 l2：x1 的距離可轉(zhuǎn)化為到點(diǎn) f 的距離，由圖可知，距離和的最小值，即 f(1,0)到直線 l1