高等數(shù)學(xué)課件：9.3 可降階的高階方程(1-20)

1、9.3 可降階的高階方程可降階的高階方程1 形如形如 y(n) = f (x) 的方程的方程例例求方程求方程 的通解的通解 xxy sin)(4解解對(duì)方程兩邊積分有對(duì)方程兩邊積分有1221cxxy cos 再積分得再積分得21361cxcxxy sin 322142241cxcxcxxy cos再積分得再積分得再積分得方程的通解再積分得方程的通解4322315261201cxcxcxcxxy sin2 二階可降階二階可降階方程方程二階方程的一般形式二階方程的一般形式:) ,( yyxfy (1) 不顯含因變量的二階方程不顯含因變量的二階方程) ,( yxfy (1)令令 , 則則 , yp p

2、y 代入方程代入方程 (1) 有有 ),(pxfdxdp ( 一階方程一階方程 )例例求方程求方程 的通解的通解 ) ( xyyyx222 解解這是一不顯含因變量這是一不顯含因變量 y 的二階方程的二階方程令令 , 則則 , yp py 代入方程有代入方程有 222x ppxp ( 伯努里方程伯努里方程 )兩邊同乘兩邊同乘 p 2 得得12122 xpdxdppx12112 xpdxdpx 21112xpxdxdp 令令 得得1 pu212xuxdxdu 通解通解22121dxdxxxuecedxx() )(lnlndxexcexx 22121)(lnlndxexcexx 22121)(xcx

3、 121)( xcxp 1211xcxdxdy 12 212cdxxcxy 21211221cxccxcx ln21211cdxxcccx )(例例有一質(zhì)量均勻分布的不可伸縮的柔軟繩索有一質(zhì)量均勻分布的不可伸縮的柔軟繩索 , 兩兩端固定端固定 , 繩索在重力的作用下自然下垂繩索在重力的作用下自然下垂 , 求該繩索求該繩索在平衡狀態(tài)下的曲線方程在平衡狀態(tài)下的曲線方程 0 xyMTmgH解解如圖建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系 在曲線上取一點(diǎn)在曲線上取一點(diǎn) M(x, y) ( O)分析分析 OM 段上的受力情況段上的受力情況自身重力自身重力: mg = sg (是線密度是線密度 , s為為 的弧長(zhǎng)的弧長(zhǎng))

4、 OM O點(diǎn)處的張力點(diǎn)處的張力: H ,M點(diǎn)處的張力點(diǎn)處的張力: T 由于繩索平衡由于繩索平衡 在各方向上的合力為零在各方向上的合力為零 在水平方向上在水平方向上: cosTH 在垂直方向上在垂直方向上: sin Tsg 兩式相除得兩式相除得assHg tan( 其中其中 )gHa 又又, tandxdy ) (dxysx 021 ) ( dxyadxdyx 0211兩邊對(duì)兩邊對(duì) x 求導(dǎo)得求導(dǎo)得 ) ( 211yay ( 不顯含因變量不顯含因變量 y 的方程的方程 )初始條件初始條件:0000 )( , )(yy令令 , 則則 , yp py ( 可分離變量方程可分離變量方程 )dx apd

5、p112 211padxdp 代入方程有代入方程有 積分得積分得1211cxapp )ln(令令 x = 0 , p = 0 c1 = 0 , 所以有所以有axpshpp 121)ln(2caxachy 再令再令 x = 0 , y = 0 c2 = a 所以有所以有)(1 axchayaxshp axshdxdy 例例設(shè)兔子從點(diǎn)設(shè)兔子從點(diǎn) (1 , 0) 出發(fā)出發(fā) , 其運(yùn)動(dòng)速度大小為常其運(yùn)動(dòng)速度大小為常數(shù)數(shù) v , 方向與方向與 y 軸的正向相同軸的正向相同 , 獵狗從原點(diǎn)獵狗從原點(diǎn) (0 , 0)與兔子同時(shí)出發(fā)與兔子同時(shí)出發(fā) , 以速度大小為以速度大小為 2v 追逐兔子追逐兔子 , 求求

6、獵狗的運(yùn)動(dòng)軌跡獵狗的運(yùn)動(dòng)軌跡 解解y0 x1B設(shè)獵狗的運(yùn)動(dòng)軌跡曲線為設(shè)獵狗的運(yùn)動(dòng)軌跡曲線為 y=y(x)在時(shí)刻在時(shí)刻 t , 兔子位于兔子位于 A( 1, vt ) ,獵狗位于獵狗位于 B( x , y ) ,則據(jù)題意有則據(jù)題意有xyvtdxdy 1) )( yxyvt 11又又dxyvtx 0212) (dxyvtx 02121) (A)(yxy 1dxyx 02121) (兩邊對(duì)兩邊對(duì) x 求導(dǎo)有求導(dǎo)有21211) ( )(yyxyy 21211) ( )(yyx ( 不顯含因變量的方程不顯含因變量的方程 )從題意知初始條件從題意知初始條件:0000 )( , )(yy令令 , 則則 ,

7、yp py 代入方程有代入方程有 21211ppx )(分離變量得分離變量得)(xdxpdp 1212積分得積分得121211cxpplnln)ln( )( 101112 xxcpp令令 x = 0 , p = 0 c1 = 1 , ) ( xyy 1112 ) ( xyy 11112xyy 112) ( 兩式相減得兩式相減得 xxy 1112 ) (xxy 11121積分得積分得2231311cxxy )(令令 x = 0 , y = 0 得得322 c所以獵狗的運(yùn)動(dòng)軌跡為所以獵狗的運(yùn)動(dòng)軌跡為32113123 xxy)() (10 x例例一顆子彈以速度一顆子彈以速度 v0 =200 m/s

8、打進(jìn)一塊厚度打進(jìn)一塊厚度為為 0.1 m 的板的板 , 然后穿過板然后穿過板 , 以速度以速度 v1= 80 m/s離開板離開板 , 該板對(duì)子彈運(yùn)動(dòng)的阻力與運(yùn)動(dòng)速度平該板對(duì)子彈運(yùn)動(dòng)的阻力與運(yùn)動(dòng)速度平方成正比方成正比 , 問子彈穿過板用了多少時(shí)間問子彈穿過板用了多少時(shí)間 ?解解0 x0.1設(shè)時(shí)刻設(shè)時(shí)刻 t , 子彈在木板中移動(dòng)子彈在木板中移動(dòng)到到 x = x(t) ,子彈的質(zhì)量為子彈的質(zhì)量為 m 根據(jù)牛頓第二定律有根據(jù)牛頓第二定律有222 dtdxkdtxdm若記若記 及注意到及注意到 v(0) = 200mka , vdtdx 則速度則速度 v = v(t) 滿足下初值問題滿足下初值問題:2a

9、vdtdv 200 v( 可分離變量方程可分離變量方程 )adtvdv 2catv 1由由 v(0) = 2002001 c 1200200 attv )(設(shè)子彈穿透板的所用時(shí)間為設(shè)子彈穿透板的所用時(shí)間為 T , 則據(jù)題意則據(jù)題意)ln()ln(12001120010 aTaataT TTdtatdttv00120020010)(.又又 v (T) = 80 801200200 aT 4003 aT 于是有于是有)ln()ln(.1233400120010 TaTaTT)(.ln.s T 410285240030 例例已知二階微分方程已知二階微分方程0 yxQyxPy)()( ( 二階線性方程

10、二階線性方程 )的一個(gè)非零特解的一個(gè)非零特解 (x) , 試?yán)米儞Q試?yán)米儞Q y = (x)z , 求求該方程的通解該方程的通解 ( P(x) , Q(x) 連續(xù)連續(xù) )解解 由由 y = (x)z , 知知)()( zxzxy )()( )( zxzxzxy 2代入方程有代入方程有 )()()( )(zxxPxzx 20 zxxQxxPx)()()( )()( 即即02 )()()( zxPxxz 令令 , 則則 , zp dxdpz 方程轉(zhuǎn)化為方程轉(zhuǎn)化為02 pxPxxdxdp)()()( 通解通解 dxxPxxecp)()()( ( 21 dxxPxec)()(ln 21 dxxPex

11、c)()(21 由由,)()( dxxPexcz21 得得221cdxexczdxxP )()( 所以原方程的通解所以原方程的通解)()()()(xcdxexxcydxxP 2211 (2) 不顯含自變量的二階方程不顯含自變量的二階方程) ,( yyfy (2)令令 , 則則py dydppdxdydydpdxdpy 代入方程有代入方程有),(pyfdydpy ( 關(guān)于關(guān)于 p , y 的一階方程的一階方程 ) 例例求解初值問題求解初值問題222yyyy ) ( 1010 )( , )(yy解解方程是不顯含自變量方程是不顯含自變量 x 的二階方程的二階方程令令 , 則則py , dydppy 代入方程有代入方程有222ypdydpyp ( 伯努里方程伯努里方程 )222ypdypdy )(ypydypd 221)(令令 , 得得2pu yyudydu 通解通解)(dyyeceuydyydy 1)(ycy 1由由 x = 0 , y = 1 , p