高等數(shù)學(xué)課件：12.2 二重積分的計(jì)算

1、12.2 二重積分的計(jì)算二重積分的計(jì)算1 二重積分在直角坐標(biāo)系下的計(jì)算方法二重積分在直角坐標(biāo)系下的計(jì)算方法設(shè)設(shè) z = f (x , y) 在在 D 上連續(xù)上連續(xù) , 0yxD)(xy1 )(xy2 ba為為 X- 型區(qū)域型區(qū)域我們稱區(qū)域我們稱區(qū)域)()(,),( x yx bxayx D21 問題問題: 考慮當(dāng)考慮當(dāng) D 為為 X- 型區(qū)域時(shí)型區(qū)域時(shí) , 二重積分二重積分 Ddyxf ),(的計(jì)算的計(jì)算(1) 先考慮在先考慮在 D 上上 f (x , y) 0 的情形的情形 Ddyxf ),(的值為體積的值為體積 V 0yxzba)(xy1 )(xy2 ),(yxfz x用平行于用平行于 y

2、z 的平面的平面)(bxa xx 截立體截立體 V , 得截痕得截痕)()(bxa xS )(xS其面積其面積: )()(),()(xx dyyxf xS21 dxdyyxf dx xS V xxbaba ),()()()( 21 即即 )()(),(),(xxbaD dyyxf dxdyxf21 將二重積分問題化為二次積分問題將二重積分問題化為二次積分問題稱為先稱為先 y 后后 x 的二次積分的二次積分(2) 對于一般的函數(shù)對于一般的函數(shù) f (x , y) 的情形的情形由由 f (x , y) 在在 D 上可積上可積 f (x , y) 在在 D 上有界上有界 存在存在 M 0 使使Dyx

3、 Myxf ),(,),(令令 g(x , y) = f (x , y) + M , 則則 g(x , y) 0 , (x , y) D從而有從而有 )()(),(),(xxbaD dyyxg dxdyxg21 于是得于是得 DDdMyxgdyxf ),(),( DDMddyxg ),( )()()()(),(xxbaxxba Mdy dxdyyxg dx2121 ),()()()()( xxxxba Mdy dyyxg dx2121 )()(),(xxba dyMyxg dx21 )()(),(xxba dyyxf dx21 所以有以下所以有以下 X- 型區(qū)域型區(qū)域 化二重積分為二次積分化二

4、重積分為二次積分的計(jì)算公式的計(jì)算公式 )()(),(),(xxbaD dyyxf dxdyxf21 0yxbax)(xy 2 )(xy 1 0yxy)(yx 2 )(yx 1 我們稱區(qū)域我們稱區(qū)域 :)()(,),( y xy dycyx D21 為為 Y- 型區(qū)域型區(qū)域 同樣可得同樣可得 , Y- 型區(qū)域型區(qū)域 化二重積分為二次積分的計(jì)算公式化二重積分為二次積分的計(jì)算公式 )()(),(),(xxdcD dxyxf dydyxf21 稱為先稱為先 x 后后 y 的二次積分的二次積分cd說明說明: (1) 對于更一般的區(qū)域?qū)τ诟话愕膮^(qū)域 D , 我們總可將它們我們總可將它們劃分為若干個(gè)以上類

5、型的區(qū)域處理劃分為若干個(gè)以上類型的區(qū)域處理0yx3D2D1D(2) 若若 D 既是既是 X- 型區(qū)域型區(qū)域 又是又是 Y- 型區(qū)域型區(qū)域 , 即即 D 可以表示為可以表示為)()(,),( x yx bxayx D21 )()(,),( y xy dycyx 21 0yx)(xy 1 )(xy 2 Dbadc)(yx 2 )(yx 1 此時(shí)有此時(shí)有 )()(),(),(xxbaD dyyxf dxdyxf21 )()(),(xxdc dxyxf dy21 即二次積分可以交換積分的次序即二次積分可以交換積分的次序解解畫出積分區(qū)域的草圖畫出積分區(qū)域的草圖0yx22xxy xy 選取先選取先 y 后

6、后 x 的積分次序的積分次序 Dxxxydy dxyd1022 x 1022221dxyxxx)( 10222221dxxxx)( 104324321dxxxx)(101 (1) , 其中其中 D 由由 所界所界 Dyd 22xxy , xy 例例計(jì)算下列二重積分計(jì)算下列二重積分(2) , 其中其中 D 由由 Ddyx )(22axy , xy )(03 a ay , ay所界所界解解 畫出積分區(qū)域的草圖畫出積分區(qū)域的草圖0yxaa3yx ayx xy axy 選取先選取先 x 后后 y 的積分次序的積分次序 Ddyx )(22 yayaadxyxdy)(223 aayaydyxyx32331

7、)( aadyayyayyy323333131)()(414a y(3) , 其中其中 D 由曲線由曲線 Ddyy sin y , y0 xy , xy 所界所界解解 畫出積分區(qū)域的草圖畫出積分區(qū)域的草圖采用先采用先 y 后后 x 的積分次序的積分次序 , 則則0yx y21yx yx xy Ddyy sin 0 xxdyyydxsin不能計(jì)算不能計(jì)算若采用先若采用先 x 后后 y 的積分次序的積分次序 , 則有則有 Ddyy sin 012yydxyydysin 021dyyyyy)(sin 001ydyyydysinsin1 有關(guān)二重積分的對稱性的應(yīng)用有關(guān)二重積分的對稱性的應(yīng)用 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)

8、時(shí)當(dāng)當(dāng)),(),( ,),(2),(),( , 0),(1yxfyxfdyxfyxfyxfdyxfDD (1). 若若D關(guān)于關(guān)于y軸對稱，即當(dāng)軸對稱，即當(dāng)(x，y)D時(shí)，時(shí)， 必有必有(x，y) D，則，則其中其中D1是是D的右半?yún)^(qū)域的右半?yún)^(qū)域 (2)若若D關(guān)于關(guān)于x軸對稱，則軸對稱，則 ),(),( ,),(2),(),( , 0),(1yxfyxfdyxfyxfyxfdyxfDD若若若若 D1是是D的上半部分區(qū)域的上半部分區(qū)域 Ddyxf ),(3、若、若D關(guān)于直線關(guān)于直線 y =x對稱，對稱，即當(dāng)即當(dāng)(x,y)D時(shí)，必有時(shí)，必有(y,x)D，則，則 Ddxyf ),( Ddxyfyxf

9、),(),(214、若、若D關(guān)于原點(diǎn)對稱，關(guān)于原點(diǎn)對稱， 即當(dāng)即當(dāng)(x,y)D時(shí)，必有時(shí)，必有(-x,-y)D，則，則( , )0,(,)( , ).Df x y dfxyf x y 若例例 , 其中其中 D : Ddyx )( y x122 0yx y x122 解解畫出積分區(qū)域的草圖畫出積分區(qū)域的草圖交換交換 x , y , 利用積分值與積分變量利用積分值與積分變量的名稱無關(guān)的名稱無關(guān) , 有有 Ddyx )( DDydxd 12yx2xd 122xyyd 12yx2yd 122yxxd 12yx2yd 又又 中的被積函數(shù)是中的被積函數(shù)是 x 的奇函數(shù)的奇函數(shù) , 且且 12yx2xd 積

10、分區(qū)域積分區(qū)域 D 關(guān)于關(guān)于 y 軸對稱軸對稱 , 故有故有012 yx2xd 0 Ddyx )(例例 Ddyx )sin(計(jì)算計(jì)算 y xD00,:其中其中解解0yx 2D1D yx先去絕對值先去絕對值在在 D1 上上 : yx0在在 D2 上上 : 2 yx Ddyx )sin( 21DDdyxdyx )sin()sin( 000 xxdyyxdxdyyxdx)sin()sin( 0011dxxdxx)cos()cos( 2 解解化下列二重積分為兩種不同次序的二次積分化下列二重積分為兩種不同次序的二次積分,),( dyxfD )(0222 a ax , axy所界所界例例(1) 32xy

11、, xy D 由由 所界所界,),( dyxfD (2) D 由由 ,ax yx222 0yx112xy 3xy (1) dyxfD ),(x 2310 xxdyyxfdx),(y 310yydxyxfdy),(0yx(2) dyxfD ),( axxaxadyyxfdx22202),(a2aa2yyx ),(),(ayaayaaayadxyxfdxyxfdy22022222 aayaadxyxfdy2222),(改變下列積分的積分次序改變下列積分的積分次序例例 262142xxdyyxf dx),(1) 202xxdyyxfdx),(2) 0yx24xy2 xy 2yy解解(1) Dxxdy

12、xfdyyxfdx ),(),(202 4222202yyydxyxfdydxyxfdy),(),( 262142xxdyyxf dx),(2) 解解0yxxy 281 142 xy Dxxdyxfdyyxf dx ),(),(262142 80212011212yyyydxyxfdydxyxfdy),(),(6 2計(jì)算二次積分計(jì)算二次積分例例 3403232xxyydye dx0yx34解解3xy 2xy 32y 3403232xxyydye dx Dyyde 3232340 xyx , xD :交換積分次序交換積分次序 , 得得原積分原積分 Dyyde 32 32023232yyyydxe

13、 dy原積分原積分 Dyyde 32 32023232yyyydxe dy 32023232dyeyyyy)(32032yye 1274 e例例. 交換下列積分順序22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解解: 積分域由兩部分組成:,200:2211xxyD822 yx2D22yxo21D221xy 222280:22xxyD21DDD將:D視為Y型區(qū)域 , 則282yxy20 yDyxyxfIdd),(282d),(yyxyxf20dy例例. 計(jì)算,dd)1ln(2yxyyxID其中D 由,42xy1,3xxy所圍成.oyx124xyxy32D1D1x解解: 令)

14、1ln(),(2yyxyxf21DDD(如圖所示)顯然,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(yxfyxfyxyyxIDdd)1ln(120yxyyxDdd)1ln(224例. 設(shè), 1 ,0)(Cxf且,d)(10Axxf求.d)()(d110yyfxfxIx提示提示: 交換積分順序后, x , y互換oyx1xy 1yxIxyfxfyd)()(010d yyyfxfxd)()(010d xI2yyfxfxxd)()(d110yyfxfxd)()(010d x10d xyyfxfd)()(101010d)(d)(yyfxxf2A例例.計(jì)算積分Ddyx,)(其中D 由,22xy

15、 12,4yxyx所圍成 .提示提示: :如圖所示xy224246oyx,12DDD 內(nèi)有定義且在2),(DyxyxfDyxd)(2d)(Dyx1d)(Dyx連續(xù),所以yyxyx1222d)(46dyyyxyx422d)(24dy15115431D2DD2 二重積分在極坐標(biāo)系下的計(jì)算方法二重積分在極坐標(biāo)系下的計(jì)算方法設(shè)設(shè) f (x , y) 在在 D 上連續(xù)上連續(xù) , 則二重積分則二重積分 Ddyxf ),(存在存在 , 下面考慮利用極坐標(biāo)計(jì)算下面考慮利用極坐標(biāo)計(jì)算 Ddyxf ),(0yx用極坐標(biāo)系的坐標(biāo)線用極坐標(biāo)系的坐標(biāo)線 = c , = c分割分割 D )( 2 )( 1 i ii ii

16、 i 取取iii cos iii sin iii ),(iiii iiniiDfdyxf ),(lim),(10iiiiiniiif )sin,cos(lim10 Dddf )sin,cos(即即 DDddfdyxf )sin,cos(),(其中其中 D* 為為 D 的極坐標(biāo)表示的極坐標(biāo)表示 )()(),( 21 , DD0yx )( 2 )( 1 則有則有 DDddfdyxf )sin,cos(),( )()()sin,cos(21df d2、如何化為兩次單積分、如何化為兩次單積分(1)D極極點(diǎn)點(diǎn)在在 外外積分順序：一般是先積積分順序：一般是先積r后積后積 。定限的方法：依定限的方法：依D的

17、特點(diǎn)。的特點(diǎn)。 D設(shè)設(shè)積積分分區(qū)區(qū)域域 可可用用不不等等式式 ),()(21r()來來表表示示 如如圖圖12( ),( ) , 其其中中函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間上上連連續(xù)續(xù)。1( )r 2( )r OxD 1( )r 2( )r OxD 1( )r 2( )r OxD DDrdrdrrfdyxf.)sin,cos(),( drdrrrf)sin,cos()()(21 )()(21)sin,cos(rdrrrfd1( )r 2( )r OxD (2)D極極點(diǎn)點(diǎn)在在 的的邊邊界界上上時(shí)時(shí) 。)(0)sin,cos(rdrrrfd)( rOxD Ddyxf ),( )0( cos , sin )f rr

18、rdr d ),(0rD閉閉區(qū)區(qū)域域 用用不不等等式式表表示示 Drdrdrrf.)sin,cos( )( roxD(3)D極極點(diǎn)點(diǎn)在在 的的內(nèi)內(nèi)部部時(shí)時(shí) 20),(0: rDD閉閉區(qū)區(qū)域域 用用不不等等式式表表示示 20)(0)sin,cos(。rdrrrfd Drdrdrrf )sin,cos( Ddyxf ),( 由二重積分的性質(zhì)，閉區(qū)域由二重積分的性質(zhì)，閉區(qū)域D的面積的面積 可以可以表示為表示為 Dd Drdrd 1 yx122 yx解解在極坐標(biāo)系下在極坐標(biāo)系下 sincosryrx所所以以圓圓方方程程為為 1 r,直直線線方方程程為為 cossin1 r, Ddxdyyxf),(.)

19、sin,cos(201cossin1 rdrrrfd解解32 61 sin4 r sin2 rdxdyyxD)(22 36sin4sin22rdrrd).32(15 yyx422 yyx222 03 yx03 xy解解由對稱性，可只考慮第一象限部分由對稱性，可只考慮第一象限部分， 注意：注意：被積函數(shù)也要有對稱性被積函數(shù)也要有對稱性. Ddxdyyxyx2222)sin(4 12222)sin(Ddxdyyxyx 210sin42rdrrrd. 4 14DD 1D例例求曲面求曲面 222213yxz yxz ,所圍立體的體積所圍立體的體積解解0yxz223yxz 221yxz 122 yx x

20、yD先求立體在先求立體在 xoy 平面平面的投影區(qū)域的投影區(qū)域221yxz yxz223 從從 中消中消去去 z 得投影區(qū)域的邊界線方程得投影區(qū)域的邊界線方程122 yx0 z 投影區(qū)域投影區(qū)域122 yx Dxy:0yxz223yxz 221yxz 122 yx xyD DdyxyxV )()(222213 Ddyx )(2212 1020212 dd )( 2010212dd)( 2010212dd)( 10214 d)( 求立體求立體 例例,),(axyx azyx zyx24222222 的體積的體積 ( Viviani立體立體 )解解yxz所求立體關(guān)于所求立體關(guān)于 xoy 平面平面

21、, xoz 平面對稱平面對稱 若設(shè)第一象限部分的立體體積若設(shè)第一象限部分的立體體積為為 V1 , 則則14VV dxdyyxa y axyx 022222244 dda a cos20202244 cosadad20222044 20202322434 daacos)( 203338834 daa)sin(943163)( a解解例例化下列二重積分為極坐標(biāo)系下的二次積分化下列二重積分為極坐標(biāo)系下的二次積分(1) aayyadxyxf dy022),(2) 101110112xxdyyxf dxdyyxf dx),(),(1) 積分區(qū)域如圖所示積分區(qū)域如圖所示0yx222ayx ayx aa2a

22、),(aa2 sincos a ayx sina ay a ayx 222D0yx2D1Daa2a222ayx ayx 21arctan aayyadxyxf dy022),( Ddxdyyxf),( 210arctansincos)sin,cos( aadf d 221 arctansin)sin,cos(aadf d(2) 101110112xxdyyxf dxdyyxf dx),(),(0yx1122 )(yxxy ),( 1111 4 xy sin11 y sin)(21122 yx原積分原積分 4020 sin)sin,cos(df d 43410 sin)sin,cos(df d解

23、解例例計(jì)算計(jì)算dxdybyax Ryx 2222222)(dxdyx Ryx 2222交換交換 x , ydxdyy Rxy 2222積分區(qū)域不變積分區(qū)域不變dxdyy Ryx 2222原式原式 dxdyy bdxdyx aRyxRyx 222222222211dxdyx baRyx 22222211)(dxdyyx baRyx 22222221121)()(dxdyx baRyx 22222211)( 2003221121Rddba)()(224114baR 例例6. 計(jì)算,dd22Dyxyxe其中.:222ayxD解解: 在極坐標(biāo)系下,200:arD原式Drerard02are02212)1(2ae2xe的原函數(shù)不是初等函數(shù) , 故本題無法用直角2reddrr20d由于故坐標(biāo)計(jì)算.注注:利用例6可得到一個(gè)在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及工程上非常有用的反常積分公式2d02xex事實(shí)上, 當(dāng)D 為 R2 時(shí),