2018年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(全國卷2)

1、1 / 13 絕密 啟用前 試卷類型:a 2018 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試 數(shù)學(全國卷 2,文) 本試題共 23題,共 150分,共 4頁.考試結束后,將本試卷和答題卡一并交回. 注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚,將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi). 2.選擇題必須使用 2b鉛筆填涂;非選擇題必須使用 0.5 毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚. 3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效. 4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑. 5.保持

2、卡面清潔,不要折疊、不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀. 一、選擇題:本題共 12 小題,每小題 5 分,共 60 分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的. 1.i(2+3i)= a.3-2i b.3+2i c.-3-2i d.-3+2i 2.已知集合 a=1,3,5,7,b=2,3,4,5,則 ab= a.3 b.5 c.3,5 d.1,2,3,4,5,7 3.函數(shù) f(x)=e-e-2的圖像大致為 2 / 13 4.已知向量 a,b 滿足|a|=1,a b=-1,則 a (2a-b)= a.4 b.3 c.2 d.0 5.從 2 名男同學和 3 名女同學中任選

3、2 人參加社區(qū)服務,則選中的 2人都是女同學的概率為 a.0.6 b.0.5 c.0.4 d.0.3 6.雙曲線2222=1(a0,b0)的離心率為3,則其漸近線方程為 a.y= 2x b.y= 3x c.y=22x d.y=32x 7.在abc 中,cos 2=55,bc=1,ac=5,則 ab= a.42 b.30 c.29 d.25 8. 3 / 13 為計算 s=1-12+1314+1991100,設計了右側的程序框圖,則在空白框中應填入 a.i=i+1 b.i=i+2 c.i=i+3 d.i=i+4 9.在正方體 abcd-a1b1c1d1中,e 為棱 cc1的中點,則異面直線 ae

4、 與 cd所成角的正切值為 a.22 b.32 c.52 d.72 10.若 f(x)=cos x-sin x 在0,a是減函數(shù),則 a的最大值是 a.4 b.2 c.34 d. 11.已知 f1,f2是橢圓 c 的兩個焦點,p是 c 上的一點,若 pf1pf2,且pf2f1=60 ,則 c的離心率為 a.1-32 b.2-3 c.3-12 d.3-1 12.已知 f(x)是定義域為(-,+)的奇函數(shù),滿足 f(1-x)=f(1+x),若 f(1)=2,則 f(1)+f(2)+f(3)+f(50)= a.-50 b.0 c.2 d.50 二、填空題:本題共 4 小題,每小題 5 分,共 20

5、分. 13.曲線 y=2ln x 在點(1,0)處的切線方程為 . 14.若 x,y滿足約束條件 + 2-5 0,-2 + 3 0,-5 0.則 z=x+y 的最大值為 . 15.已知 tan(-54) =15,則 tan = . 16.已知圓錐的頂點為 s,母線 sa,sb 互相垂直,sa與圓錐底面所成角為 30 .若sab 的面積為 8.則該圓錐的體積為 . 4 / 13 三、解答題:共 70 分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第 1721 題為必考題,每個試題考生都必須作答,第 22、23 題為選考題,考生根據(jù)要求作答. (一)必考題:共 60 分. 17.(12分) 記 sn

6、為等差數(shù)列an的前 n 項和,已知 a1=-7,s3=-15. (1)求an的通項公式; (2)求 sn,并求 sn的最小值. 18.(12分) 下圖是某地區(qū) 2000 年至 2016年環(huán)境基礎設施投資額 y(單位:億元)的折線圖. 為了預測該地區(qū) 2018年的環(huán)境基礎設施投資額,建立了 y與時間變量 t的兩個線性回歸模型.根據(jù)2000年至 2016 年的數(shù)據(jù)(時間變量 t的值依次為 1,2,17)建立模型;=-30.4+13.5t;根據(jù) 2010 年至 2016年的數(shù)據(jù)(時間變量 t的值依次為 1,2,7)建立模型:y=99+17.5t. (1)分別利用這兩個模型,求該地區(qū) 2018年的環(huán)境

7、基礎設施投資額的預測值; (2)你認為用哪個模型得到的預測值更可靠?并說明理由. 5 / 13 19.(12分) 如圖,在三棱錐 p-abc 中,ab=bc=22,pa=pb=pc=ac=4,o 為 ac 的中點. (1)證明:po平面 abc; (2)若點 m 在棱 bc上,且 mc=2mb,求點 c 到平面 pom 的距離. 20.(12分) 設拋物線 c:y2=4x的焦點為 f,過 f 且斜率為 k(k0)的直線 l與 c交于 a,b兩點,|ab|=8. (1)求 l的方程. (2)求過點 a,b且與 c的準線相切的圓的方程. 6 / 13 21.(12分) 已知函數(shù) f(x)=13x3

8、-a(x2+x+1). (1)若 a=3,求 f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)證明:f(x)只有一個零點. (二)選考題:共 10 分.請考生在第 22、23 題中任選一題作答.如果多做,則按所做的第一題計分. 22.選修 4-4:坐標系與參數(shù)方程(10 分) 在直角坐標系 xoy 中,曲線 c的參數(shù)方程為 = 2cos, = 4sin( 為參數(shù)),直線 l的參數(shù)方程為 = 1 + cos, = 2 + sin(t為參數(shù)). (1)求 c 和 l的直角坐標方程; (2)若曲線 c 截直線 l所得線段的中點坐標為(0,2),求 l 的斜率. 7 / 13 23.選修 4-5:不等式選講(10 分)

9、設函數(shù) f(x)=5-|x+a|-|x-2|. (1)當 a=1時,求不等式 f(x)0的解集; (2)若 f(x)1,求 a的取值范圍. 數(shù)學(全國卷 2,文) 1.d i(2+3i)=2i+3i2=-3+2i. 2.c 集合 a、b 的公共元素為 3,5,故 ab=3,5. 3.b f(-x)=e-e2=-f(x),f(x)為奇函數(shù),排除 a,令 x=10,則 f(10)=e10-1e101001,排除 c、d,故選 b. 4.b a (2a-b)=2a2-a b=2-(-1)=3. 5.d 設 2 名男同學為男1,男2,3名女同學為女1,女2,女3,則任選兩人共有(男1,女1),(男1,

10、女2),(男1,女3),(男1,男2),(男2,女1),(男2,女2)(男2,女3)(女1,女2),(女1,女3),(女2,女3)共 10 種,其中選中兩人都為女同學共(女1,女2),(女1,女3)、(女2,女3)3種,故 p=310=0.3. 8 / 13 6.a e= 3,22=2+22= ()2+1=3.= 2. 雙曲線交點在 x軸上,漸近線方程為 y=x,漸近線方程為 y=2x. 7.a cos c=2cos22-1=-35,ab2=bc2+ac2-2bc accos c=1+25+21535=32. ab=42. 8.b 由于 n=0,t=0,i=1,n=0+11=1,t=0+11+

11、1=12,i=3,n=1+13,t=12+14,i=5最后輸出 s=n-t=1-12+1314+1991100,一次處理1與1+1兩項,故 i=i+2. 9.c 取 dd1的中點 f,連接 ac,ef,af,則 efcd,故aef為異面直線 ae與 cd所成的角.設正方體邊長為 2a,則易知 ae=2+ 2=3a,af=2+ 2= 5a,ef=2a. cosaef=(3)2+(2)2-(5)2232=23. sinaef=53. tanaef=52. 10.c f(x)=cos x-sin x =2(22cos-22sin) = 2cos( +4), 9 / 13 (方法 1)作圖如圖所示.

12、易知 amax=34. (方法 2)f(x)在 2kx+42k+,kz 上為減函數(shù), 2k-4x2k+34,kz,令 k=0可知 x-4,34,amax=34. 11.d 不妨設橢圓方程為22+22=1(ab0),f1,f2分別為橢圓的左、右焦點,則|pf1|+|pf2|=2a. f2pf1=90 ,pf2f1=60 , 3c+c=2a,即(3+1)c=2a. e=23+1=2(3-1)(3-1)(3+1)= 3-1. 12.c f(-x)=f(2+x)=-f(x),f(x+4)=f(x+2)+2=-f(x+2)=f(x). f(x)的周期為 4.f(x)為奇函數(shù),f(0)=0.f(2)=f(

13、1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0).f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0. f(1)+f(2)+f(50)=f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2. 13.y=2x-2 y=(2ln x)=2,當 x=1 時,y=2.切線方程為 y=2(x-1),即 y=2x-2. 14.9 由題意,作出可行域如圖.要使 z=x+y 取得最大值,當且僅當過點(5,4)時,zmax=9. 10 / 13 15.32 tan(-54) =tan-tan541+tantan54=tan-11+tan=15, 5tan -5=1+tan .t

14、an =32. 16.8 sasb, ssab=12 sa sb=8. sa=4.過點 s連接底面圓心 o,則sao=30 . so=2,oa=23. v=13r2h=13(23)22=8. 17.解 (1)設an的公差為 d,由題意得 3a1+3d=-15. 由 a1=-7得 d=2. 所以an的通項公式為 an=2n-9. (2)由(1)得 sn=n2-8n=(n-4)2-16. 所以當 n=4 時,sn取得最小值,最小值為-16. 18.解 (1)利用模型,該地區(qū) 2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值為 =-30.4+13.519=226.1(億元). 利用模型,該地區(qū) 2018年的環(huán)

15、境基礎設施投資額的預測值為 =99+17.59=256.5(億元). (2)利用模型得到的預測值更可靠. 11 / 13 理由如下: (i)從折線圖可以看出,2000年至 2016 年的數(shù)據(jù)對應的點沒有隨機散布在直線 y=-30.4+13.5t上下,這說明利用 2000 年至 2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型不能很好地描述環(huán)境基礎設施投資額的變化趨勢.2010 年相對 2009 年的環(huán)境基礎設施投資額有明顯增加,2010 年至 2016年的數(shù)據(jù)對應的點位于一條直線的附近,這說明從 2010 年開始環(huán)境基礎設施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢,利用2010年至 2016 年的數(shù)據(jù)建立的線性模型=99

16、+17.5t可以較好地描述 2010 年以后的環(huán)境基礎設施投資額的變化趨勢,因此利用模型得到的預測值更可靠. (ii)從計算結果看,相對于 2016年的環(huán)境基礎設施投資額 220億元,由模型得到的預測值 226.1億元的增幅明顯偏低,而利用模型得到的預測值的增幅比較合理,說明利用模型得到的預測值更可靠. (以上給出了 2種理由,答出其中任意一種或其他合理理由均可得分) 19.解 (1)因為 ap=cp=ac=4,o為 ac的中點,所以 opac,且 op=23. 連接 ob,因為 ab=bc=22ac,所以abc為等腰直角三角形,且 obac,ob=12ac=2. 由 op2+ob2=pb2知

17、,opob. 由 opob,opac知 po平面 abc. (2)作 chom,垂足為 h.又由(1)可得 opch,所以 ch平面 pom.故 ch的長為點 c 到平面pom 的距離. 由題設可知 oc=12ac=2,cm=23bc=423,acb=45 . 所以 om=253,ch=sin=455. 12 / 13 所以點 c 到平面 pom的距離為455. 20.解 (1)由題意得 f(1,0),l的方程為 y=k(x-1)(k0). 設 a(x1,y1),b(x2,y2). 由 = (-1),2= 4得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0. =16k2+160,故 x1+x2=22+

18、42. 所以|ab|=|af|+|bf|=(x1+1)+(x2+1)=42+42; 由題設知42+42=8,解得 k=-1(舍去),k=1. 因此 l的方程為 y=x-1. (2)由(1)得 ab 的中點坐標為(3,2),所以 ab 的垂直平分線方程為 y-2=-(x-3),即 y=-x+5. 設所求圓的圓心坐標為(x0,y0),則 0= -0+ 5,(0+ 1)2=(0-0+1)22+ 16.解得0= 3,0= 2或0= 11,0= -6. 因此所求圓的方程為 (x-3)2+(y-2)2=16 或(x-11)2+(y+6)2=144. 21.解 (1)當 a=3時,f(x)=13x3-3x2-3x-3,f(x)=x2-6x-3. 令 f(x)=0,解得 x=3-23或 x=3+23. 當 x(-,3-23)(3+23,+)時,f(x)0; 當 x(3-23,3+23)時,f(x)0,所以 f(x)=0 等價于32+1-3a=0. 13 / 13 設