根據(jù)影子判斷地理位置

1、太陽影子定位模型建立摘要 本文討論求解了在直桿影子隨時(shí)間變化過程中，在知道日期、桿位置、影子坐標(biāo)、時(shí)間等參數(shù)條件中的某幾個(gè)前提下，設(shè)計(jì)了確定型模型進(jìn)行求解。 分析太陽方位與直桿影子關(guān)系，首先，將地球自轉(zhuǎn)公轉(zhuǎn)視為地球不動太陽動，利用立體幾何知識得出太陽高度角與影子長度關(guān)系。問題一的關(guān)鍵在于太陽高度角與日期、竿位置、時(shí)間參數(shù)的關(guān)系。問題二中我們將立體平面化，把太陽與地球的運(yùn)動關(guān)系轉(zhuǎn)化為平面上的角度關(guān)系，使模型簡明直接。在模型求解時(shí)，我們把各解看為離散型隨機(jī)變量，對解進(jìn)行權(quán)重處理，最后求得較精準(zhǔn)的解。問題三，先結(jié)合前兩題的模型預(yù)處理，再利用matlab據(jù)最小二乘法原理，來對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行曲線擬合求解。

2、對問題四中視頻進(jìn)行分段截取照片處理，用photoshop軟件測量影子長度與時(shí)間關(guān)系，再結(jié)合前幾題模型與求解方法，可求得結(jié)果。問題被函數(shù)化，模型簡明直接，提高了確定性。 關(guān)鍵詞：太陽高度角，立體平面化，權(quán)重處理，matlab曲線擬合 問題重述 確定視頻的拍攝地點(diǎn)和拍攝日期是視頻數(shù)據(jù)分析的重要方面，太陽影子定位技術(shù)就是通過分析視頻中物體的太陽影子變化，確定視頻拍攝的地點(diǎn)和日期的一種方法。 通過影子長度變化建立數(shù)學(xué)模型，分析影子長度關(guān)于各個(gè)參數(shù)的變化規(guī)律，并應(yīng)用建立的模型畫出某時(shí)間段某地某固定直桿的太陽影子長度的變化曲線。 根據(jù)某固定直桿在水平地面上的太陽影子頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型確定直桿所處的

3、地點(diǎn)。并利用模型對附件1的影子頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)進(jìn)行求解，求出若干個(gè)可能的地點(diǎn)。根據(jù)某固定直桿在水平地面上的太陽影子頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型確定直桿所處的地點(diǎn)和日期。將模型分別應(yīng)用于附件的影子頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)，求出若干個(gè)可能的地點(diǎn)與日期。根據(jù)一根直桿在太陽下的影子變化的視頻，直桿的高度為2米。建立確定視頻拍攝地點(diǎn)的數(shù)學(xué)模型，并應(yīng)用你們的模型給出若干個(gè)可能的拍攝地點(diǎn)。日期未知下再嘗試求解。問題分析 根據(jù)影子變化來確定時(shí)間地點(diǎn)和時(shí)間，我們把地球自轉(zhuǎn)看成太陽繞地球轉(zhuǎn)，可以轉(zhuǎn)化為太陽方位與地球各地點(diǎn)和時(shí)間的關(guān)系問題。 對于問題一：可以把影子長度變化規(guī)律轉(zhuǎn)化為光線與水平面夾角的變化規(guī)律。我們根據(jù)地球自轉(zhuǎn)公轉(zhuǎn)規(guī)律

4、和立體幾何知識建立模型，且該模型得能體現(xiàn)光線和地面的夾角與日期時(shí)間、地理位置的關(guān)系，最后通過matlab畫出影子長度隨時(shí)間的變化曲線。對于問題二：問題二相比問題一缺少一個(gè)已知量，無法通過問題一中的模型來求解，我們把太陽與直桿影子的關(guān)系轉(zhuǎn)化為了平面角度關(guān)系，進(jìn)而簡便有效地求出桿的位置。對于問題三：已知量較前一問更少，故我們先結(jié)合問題一和二建立的模型，再應(yīng)用matlab進(jìn)行曲線擬合求得參數(shù)解。 對于問題四：通過提取視頻特定幀，測量出桿的影子隨時(shí)間變化的實(shí)際長度數(shù)據(jù)，與問題三類似，結(jié)合模型用matlab曲線擬合求解即可，或者取多組數(shù)據(jù)用lingo軟件求解方程組。模型假設(shè)1. 假設(shè)地球公轉(zhuǎn)軌跡近似為圓

5、。2. 忽略太陽光線進(jìn)入大氣層時(shí)的折射誤差。3. 假設(shè)地面是水平的且直桿垂直地面。4. 忽略太陽直射點(diǎn)緯度一天內(nèi)的變化。5. 假設(shè)所給數(shù)據(jù)準(zhǔn)確可靠。 定義和符號說明H：桿長 L：桿的影長n：為從1月1號開始的天數(shù)N：為當(dāng)?shù)亟?jīng)度：為當(dāng)?shù)鼐暥萾：時(shí)間（小時(shí)）：時(shí)角：區(qū)間均值：解出現(xiàn)在某區(qū)間的頻率模型建立與求解 問題一：在水平地面上，垂直豎桿與在地面上的影長是一個(gè)直角三角形的兩條直角邊，而太陽高度角是桿長H的對角，運(yùn)用正切公式可得： 這樣就把影長問題轉(zhuǎn)化成了高度角問題。 一、構(gòu)造高度角與各參數(shù)的關(guān)系圖: 二、高度角與各參數(shù)關(guān)系模型構(gòu)建 影響高度角的參數(shù)有太陽時(shí)角、赤緯角、桿的位置（經(jīng)度、緯度）、時(shí)間

6、。 時(shí)角 ，地球自轉(zhuǎn)每小時(shí)15度，北京時(shí)間是以東經(jīng)120度的為準(zhǔn)的，故考慮時(shí)差問題，可得:，赤緯角是地球赤道平面與太陽和地球中心的連線之間的夾角，也就是太陽直射點(diǎn)的緯度。是因?yàn)榈厍蚬D(zhuǎn)形成的，因?yàn)榈剌S方向不變，所以赤緯角隨地球在運(yùn)行軌道上的不同點(diǎn)具有不同的數(shù)值。赤緯角以年為周期，在南北緯23.45度范圍內(nèi)移動，考慮其一年內(nèi)運(yùn)動規(guī)律，得赤緯角：， 結(jié)合當(dāng)?shù)鼐暥?，得太陽高度角與各參數(shù)間的關(guān)系模型（推算過程請見附件）：，影子長度與各參數(shù)關(guān)系模型： 聯(lián)合公式可得：3、 根據(jù)模型求解： 將問題一中的地點(diǎn)位置，日期，桿長代入式中，用matlab軟件畫出了直桿影子從9：00到15：00的長度變化曲線。（代碼

7、請見附件）。 影長曲線與時(shí)間的關(guān)系圖如下圖所示： 問題二：根據(jù)影子頂點(diǎn)數(shù)據(jù)來求地點(diǎn)，由于直桿高度無法確定，所以很難根據(jù)影子長度來求太陽高度角問題，于是我們利用頂點(diǎn)坐標(biāo)的軌跡來解決。利用matlab將題中給出桿的影子頂點(diǎn)運(yùn)動軌跡擬合了出來，如圖所示，其中坐標(biāo)原點(diǎn)為桿的位置。可知影子發(fā)生了角度變化，以此來確定影子頂點(diǎn)與太陽的運(yùn)動關(guān)系。1、 立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題 我們通過將太陽與地面直桿的立體方位關(guān)系轉(zhuǎn)化為平面關(guān)系來建立模型，把地球的自轉(zhuǎn)看成太陽在直射點(diǎn)軌跡上方繞地球轉(zhuǎn)，并且短時(shí)間內(nèi)可近似看作太陽是作由東向西的直線運(yùn)動。并且存在兩個(gè)關(guān)于直射點(diǎn)線（圖中太陽運(yùn)動軌跡）對稱的位置，它們的影子變化規(guī)律也是

8、對稱的。以下模型建立是視y軸指向北，x軸指向東（若y軸以南為正方向，x軸以東為正方向，模型建立同理）。 如上圖所示，此圖可看作從太陽方向往地平面方向看去的俯視圖，當(dāng)太陽從A點(diǎn)運(yùn)動到B點(diǎn)時(shí)，桿影頂點(diǎn)從a移動到b，O點(diǎn)為桿的位置。由于太陽、桿頂、影子頂點(diǎn)永遠(yuǎn)在一條直線上，據(jù)對頂角相等原理，可知太陽在時(shí)間段內(nèi)移動過的經(jīng)度差等于影子前后轉(zhuǎn)動的角度差。從而可以根據(jù)角度關(guān)系來確定桿位置。2、 模型建立 設(shè)北京時(shí)間t1t2時(shí)刻太陽從A到B，可知太陽轉(zhuǎn)過的經(jīng)度為15（t2-t1）， 由于北京時(shí)間12點(diǎn)時(shí)太陽所在的經(jīng)度為東經(jīng)120度，所以t1時(shí)刻太陽所在A點(diǎn)經(jīng)度為120-15（t1-12）。 太陽運(yùn)動軌跡為直射

9、點(diǎn)軌跡，根據(jù)問題一中的公式:可知太陽運(yùn)動路線的緯度。 影子從a點(diǎn)(x1,y1)到b點(diǎn)(x2,y2) ，可知，。 假設(shè)經(jīng)度差為N，緯度差為， 由三角關(guān)系解方程組： ， 又因桿位置緯度+, 經(jīng)度N=15（t2-t1）+, 解得桿位置與參數(shù)間的關(guān)系模型： 故若一直影子頂點(diǎn)坐標(biāo)隨時(shí)間變化的數(shù)據(jù)和日期，則可通過模型求出桿的位置。3、 模型求解 我們把題中給出的影子頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)和日期代入模型進(jìn)行求解，每相鄰兩組坐標(biāo)數(shù)據(jù)求一次解，利用matlab軟件求得各組解的坐標(biāo)分布圖，如圖所示： 由于各解的分布為離散型，所以我們對解進(jìn)行權(quán)重處理。我們把各解的坐標(biāo)看為離散型隨機(jī)變量，利用刻畫離散型隨機(jī)變量概率分布的方法來

10、處理結(jié)果。把解出現(xiàn)在劃分的區(qū)間的個(gè)數(shù)作為該區(qū)間的頻數(shù)，頻率作為所占的權(quán)重（在某區(qū)間出現(xiàn)的頻率越大，則區(qū)間所占的權(quán)重越大），為該區(qū)間的均值，最后結(jié)果為 對經(jīng)度處理： 區(qū)間 頻數(shù) 頻率 (110,111 1 0.05 (111,112 1 0.05 (112,113 3 0.15 (113,114 3 0.15 (114,115 3 0.15 (115,116 9 0.45最后計(jì)算得經(jīng)度=114.15同理可求得緯度=27.27，此處不贅述。經(jīng)查詢，經(jīng)緯度為114.15和27.27的地點(diǎn)位于江西吉安市安?？h。 若影子頂點(diǎn)坐標(biāo)y軸是以南為正方向，x軸以東為正方向。則該桿位置與上述求得的位置關(guān)于直射點(diǎn)軌

11、跡對稱，計(jì)算得桿位置為 經(jīng)度N=114.15 緯度=6.25。位于印度尼西亞。 四、模型檢驗(yàn) 將問題中的問題三：問題三中已知的參數(shù)只有影子定點(diǎn)坐標(biāo)和時(shí)間，所以無法利用問題二中的模型來求桿的具體位置。我們聯(lián)合問題一和問題二建立的模型（以下分別稱為模型一、模型二），然后用matlab對坐標(biāo)數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線擬合，得出影長與時(shí)間的關(guān)系式，從而確定各參數(shù)值。1、 模型結(jié)合 模型一： 模型二：因?yàn)橐呀?jīng)知道影子頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)，故利用模型二先進(jìn)行預(yù)處理，可以得到桿位置經(jīng)度N，由于日期未知，故模型二無法確定緯度。把求得的經(jīng)度代入模型一，可整理成函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合以下公式 輸入影長與時(shí)間關(guān)系的數(shù)據(jù)利用matlab，據(jù)最小

12、二乘法原理來進(jìn)行曲線擬合，并且關(guān)系式為給定的模型一，根據(jù)擬合結(jié)果確定參數(shù)、。 則桿子位置的經(jīng)緯度和日期就可以求得。 2、 模型求解 (一)附件二求解（1)、利用模型二求經(jīng)度 求題方法于問題二中已說明，此處不詳解。將題給的附件二中坐標(biāo)數(shù)據(jù)代入模型二求解，整理得經(jīng)度概率分布表：區(qū)間頻數(shù) 頻率(80,853 0.15(85,906 0.3(90,954 0.2(95,1005 0.25(100,1052 0.1計(jì)算得經(jīng)度N=91.75度。（2）利用模型一擬合曲線 首先，把坐標(biāo)數(shù)據(jù)處理成影長隨時(shí)間的關(guān)系，如下所示，為題中給出的附件2影長與時(shí)間關(guān)系數(shù)據(jù)表格： 時(shí)間/h12.6813.6814.6815.

13、6816.6817.6818.6819.6820.6821.6822.68影長/m13.6814.6815.6816.6817.6818.6819.6820.6821.6822.6823.68時(shí)間/h14.6815.6816.6817.6818.6819.6820.6821.6822.6823.68影長/m15.6816.6817.6818.6819.6820.6821.6822.6823.6824.68 把求得的經(jīng)度N=91.75影長與時(shí)間的關(guān)系式L=，用matlab軟件擬合曲線，進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，擬合結(jié)果如下圖， 擬合結(jié)果得出了參數(shù)緯度=5.326度、天數(shù)n=357，從而就確定了桿位置為經(jīng)度N

14、=91.75,緯度=5.326。日期為12月22日。 與問題二同理，赤緯角=21.8，存在關(guān)于太陽直射點(diǎn)軌跡的對稱點(diǎn) =38.3，N=91.75。（二）附件三求解 附件三數(shù)據(jù)求解過程與附件二同理，此處不贅述。（詳情見附錄）求解結(jié)果為 桿位置經(jīng)度N=115.8，緯度=5.6 日期為12月20日。問題四 首先，根據(jù)視頻中可得在40分鐘里直桿在太陽下影長變化規(guī)律。每隔兩分鐘截一張圖可得20張圖片。利用photoshop軟件中的度量工具可得圖片中直桿的高度與影子的長度可得一組數(shù)據(jù)。由于直桿的高度為2米，可得實(shí)際影長的長度數(shù)據(jù)如下： 時(shí)間/h8:558:578:599:019:039:059:079:0

15、99:119:13影長/m2.402.382.352.322.292.272.242.202.182.15時(shí)間/h9:159:179:199:219:239:259:279:299:319:33影長/m2.122.102.072.052.011.991.971.941.911.89 （1） 日期已知，為7月13日，將天數(shù)n代入，用matlab軟件對影長與時(shí)間的關(guān)系式進(jìn)行曲線擬合，確定關(guān)系式 得曲線圖： 得參數(shù)經(jīng)度N=-18.23度 緯度=21.86度 （2） 日期不確定，則有三個(gè)不確定的參數(shù)，三個(gè)未知量可用三個(gè)方程組求得解。用lingo軟件輸入三組數(shù)據(jù)，即可確定三個(gè)參數(shù)。 誤差分析：1、不同時(shí)

16、刻大氣對光線的折射率不同；2、地球表面不是完全水平面；3、量取視頻中影子長度時(shí)由于影子是斜的和視角問題，所量值非其實(shí)際值；4、數(shù)據(jù)計(jì)算取小數(shù)保留；5、曲線擬合存在誤差；模型評價(jià) 模型優(yōu)點(diǎn)：1、 簡潔性：模型原理簡易，不需要太復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識，易為大眾所了解掌握。2、 確定性：模型基本都是由公式組成，有較強(qiáng)的嚴(yán)謹(jǐn)性，計(jì)算出的都是確定的解。3、 可靠性，模型建立在堅(jiān)實(shí)可靠的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上。 模型局限性： 1. 計(jì)算公式過于繁瑣，必要時(shí)得依賴計(jì)算機(jī)求解。2. 模型只是建立的假設(shè)條件只在短時(shí)間內(nèi)成立。3. 應(yīng)用曲線擬合只是大體上估計(jì)，存在較大偏差，只能擬合出大概解。 模型改進(jìn)與推廣： 模型建立條件是沒有考慮

17、大氣層的折射問題，這可能在一定程度上影響模型準(zhǔn)確度。所以應(yīng)該在這方面改進(jìn)，使其更接近于現(xiàn)實(shí)。參考文獻(xiàn)：【1】方榮生，太陽能應(yīng)用技術(shù)，北京：中國農(nóng)業(yè)機(jī)械出版社，1985?！?】王松桂，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，北京：科學(xué)出版社，2011。【3】楊長青. 正午太陽高度角模型”的設(shè)計(jì)、制作與運(yùn)用. 內(nèi)蒙古師范大學(xué)地理科學(xué)學(xué)院 2011-08-01 ?！?】 王國安. 太陽高度角和日出日落時(shí)刻太陽方位角一年變化范圍的計(jì)算. 河南省氣候中心 2007-09-15?！?】劉衛(wèi)國，MATLAB程序設(shè)計(jì)教程，北京：中國水利水電出版社，2005。附錄 問題一相關(guān)代碼：b=9:0.05:15;c=15*(b-12)-(1

18、20-116.39139);a=23.45*sin(2*3.1415926*(284+295)/365);i=39.907222;t=sind(i)*sind(a)+cosd(i)*cosd(a)*cosd(c);x=asind(t);d=3./tand(x);plot(b,d)問題二相關(guān)代碼： x=1.0365 1.0699 1.1038 1.1383 1.1732 1.2087 1.2448 1.2815 1.3189 1.3568 1.3955 1.4349 1.4751 1.516 1.5577 1.6003 1.6438 1.6882 1.7337 1.7801 1.8277;y=0

19、.4973 0.5029 0.5085 0.5142 0.5198 0.5255 0.5311 0.5368 0.5426 0.5483 0.5541 0.5598 0.5657 0.5715 0.5774 0.5833 0.5892 0.5952 0.6013 0.6074 0.6135;t=14.7 14.75 14.8 14.85 14.9 14.95 15 15.05 15.1 15.15 15.2 15.25 15.3 15.35 15.4 15.45 15.5 15.55 15.6 15.65 15.7;for i=1:20e(i)=120-(t(i)-12)*15+15*(t(2

20、)-t(1)*x(i)*y(i+1)/(y(i)*x(i+1)-x(i)*y(i+1);n(i)=10.5109+15*(t(2)-t(1)*y(i)*y(i+1)/(y(i)*x(i+1)-x(i)*y(i+1);endscatter(e,n,'r*')figurescatter(n,e,'b*')桿位置離散圖： 區(qū)間 頻數(shù)頻率 (110,11110.05 (111,11210.05 (112,11330.15 (113,11430.15 (114,11530.15 (115,11690.45問題三中附件二桿位置離散圖：區(qū)間頻數(shù) 頻率(80,853 0.15(

21、85,906 0.3(90,954 0.2(95,1005 0.25(100,1052 0.1相關(guān)代碼：x=1.2352 1.2081 1.18131.15461.12811.10181.07561.04961.02370.9980.97240.9470.92170.89650.87140.84640.82150.79670.77190.74730.7227;y=0.173 0.1890.20480.22030.23560.25050.26530.27980.2940.3080.32180.33540.34880.36190.37480.38760.40010.41240.42460.4366

22、0.4484;t=12.6833333312.7333333312.7833333312.8333333312.8833333312.9333333312.9833333313.0333333313.0833333313.1333333313.1833333313.2333333313.2833333313.3333333313.3833333313.4333333313.4833333313.5333333313.5833333313.6333333313.68333333;for i=1:20e(i)=120-(t(i)-12)*15-15*(t(2)-t(1)-15*(t(2)-t(1)

23、*x(i+1)*y(i)/(y(i+1)*x(i)-x(i+1)*y(i);n(i)=15*(t(2)-t(1)*y(i)*y(i+1)/(y(i+1)*x(i)-x(i+1)*y(i);endstem(e,n,'r*')figurestem(n,e,'b*')y=1.2472562051.222794591.1989214861.1754289641.1524395731.129917471.107835481.0862542061.0650810721.0444462651.0242641261.0046403140.9854909080.966790494

24、0.9485847350.9309278810.913751750.8971090510.8809737620.8654922590.850504468;x=12.6833333312.7333333312.7833333312.8333333312.8833333312.9333333312.9833333313.0333333313.0833333313.1333333313.1833333313.2333333313.2833333313.3333333313.3833333313.4333333313.4833333313.5333333313.5833333313.633333331

25、3.68333333;y=h*(1-(sind(a)*sind(23.45*sin(2*3.1415926*(284+n)/365)+cosd(a)*cosd(23.45*sin(2*3.1415926*(284+n)/365)*cosd(15*(x-12)-120+91.75)2)(1/2)/(sind(a)*sind(23.45*sin(2*3.1415926*(284+n)/365)+cosd(a)*cosd(23.45*sin(2*3.1415926*(284+n)/365)*cosd(15*(x-12)-120+91.75)附件三中位置離散圖：附件三相關(guān)代碼：x=1.1637 1.2

26、2121.27911.33731.3961.45521.51481.5751.63571.6971.75891.82151.88481.94882.01362.07922.14572.21312.28152.35082.4213;y=3.3363.32993.32423.31883.31373.30913.30483.30073.29713.29373.29073.28813.28593.2843.28243.28133.28053.28013.28013.28043.2812;t=13.1513.213.2513.313.3513.413.4513.513.5513.613.6513.713

27、.7513.813.8513.913.951414.0514.114.15;for i=1:20e(i)=120-(t(i)-12)*15+15*(t(2)-t(1)*x(i)*y(i+1)/(y(i)*x(i+1)-x(i)*y(i+1);n(i)=15*(t(2)-t(1)*y(i)*y(i+1)/(y(i)*x(i+1)-x(i)*y(i+1);endstem(e,n,'k*')figurestem(n,e,'k*')y=3.5331421843.5467680293.5617976433.5781007153.5957507833.614934283.6

28、354259833.6572182723.6805411153.7051678363.7312780253.7589179113.7880878883.8187010153.8508096193.884585223.9199118283.9568759923.995534794.0357508354.077863059;x=13.1513.213.2513.313.3513.413.4513.513.5513.613.6513.713.7513.813.8513.913.951414.0514.114.15;y=h*(1-(sind(a)*sind(23.45*sin(2*3.1415926*

29、(284+n)/365)+cosd(a)*cosd(23.45*sin(2*3.1415926*(284+n)/365)*cosd(15*(x-12)-120+115.8)2)(1/2)/(sind(a)*sind(23.45*sin(2*3.1415926*(284+n)/365)+cosd(a)*cosd(23.45*sin(2*3.1415926*(284+n)/365)*cosd(15*(x-12)-120+115.8)問題四相關(guān)代碼：x=8.9166666678.958.9833333339.0166666679.059.0833333339.1166666679.159.1833333339.2166666679.259.2833333339.3166666679.359.3833333339.41