配餐作業(yè)58拋物線

1、高考復(fù)習(xí)頂層設(shè)計數(shù)學(xué)理配餐作業(yè)(五十八)拋物線A級基礎(chǔ)達標一、選擇題1. 關(guān)于拋物線x2 = 12y,下列說法正確的是()A .焦點坐標是(3,0)B .焦點坐標是(0, 3)C.準線方程是y= 3D.準線方程是x= 3解析 拋物線x2= 12y的焦點坐標是(0,3)，準線方程是y= 3故選Co答案 Cy= mx2的準線的距2. (2018黃岡中學(xué)檢測)若坐標原點到拋物線 離為2,則實數(shù)m=()1 1解析故由題意可得石1打=2,所以m=-8°故選D o3答案 DA, B兩點,3. 過拋物線y2 = 4x的焦點F的直線I與拋物線交于10若A, B兩點的橫坐標之和為1，則|AB|=()1

2、3A . ?16D. 3解析 由題易知，拋物線的準線方程為x= 1o設(shè)A, B的橫坐一 10 10 16標分別為 XA,冷，則 Xa + Xb= y，所以 |AB| = Xa+Xb+ 2=三。故選D答案 D4. (2018師大附中月考)過拋物線y2 = 2px(P>0)的焦點的直線交 拋物線于A, B兩點，且|AB|= 4,這樣的直線可以作2條，則p的取 值范圍是()A . (0,4)B . (0,4C. (0,2D . (0,2)解析過拋物線y2 = 2px(p>0)焦點的弦中最短的為通徑，且通徑長為2p,由已知得2p<4,所以p<2。又p>0，所以0<p

3、<2。故選D。答案 D5. (2018云南省統(tǒng)一檢測)拋物線M的頂點是坐標原點O,焦點 F在x軸的正半軸上，準線與曲線 E: x2+ y2 6x+ 4y- 3= 0只有一 個公共點，設(shè)A是拋物線M上一點，若OAAF = 4,則點A的坐標 是()A . ( 1,2)或( 1, 2)B . (1,2)或(1, 2)C. (1,2)D . (1, 2)解析 設(shè)拋物線M的方程為y2 = 2px(p>0),貝S其準線方程為x = 2。曲線E的方程可化為(x 3)2 + (y + 2)2= 16,則有3+p= 4, 解 得p= 2,所以拋物線M的方程為=4x, F(1,0)。設(shè)A號，yo ,則

4、OA =% y。, AF= J 曽，y° J,所以O(shè)AaF=號;1曽y2= 4,解 得y°=i2，所以x°= 1,所以點A的坐標為(1,2)或(1 , 2)。故選B答案 B高考復(fù)習(xí)頂層設(shè)計數(shù)學(xué)理6.已知拋物線C: y的定義可得|QF| =曽+ 2 = 4+ 2 = 6。答案 68. 如圖是拋物線形拱橋，當水面在面寬4米。水位下降1米后，水面寬為 = 16x，斜率為k的直線I與C父于A, B兩點，且OA丄OB,O為坐標原點，則直線I恒過定點()A . (8,0)B. (4,0)C. (16,0)答案 CD. (6,0)解析 設(shè)直線I: x= my+ b(bz0),將

5、其代入拋物線方程y2= 16x,可得 y2 16my 16b = 0。設(shè) A(xi, yi), B(x2, y2)，貝S yi + 目2= 16m,yiy2 = 16b,所以 xiX2= (myi + b)(my2 + b)= b2。因為 OAJOB，所以X1X2 + yiy2 = 0,可得b2 16b = 0。因為bz0,所以b= 16,所以直線I的方程為x= my+16,所以直線I過定點(16,0)。故選C二、填空題7. 已知拋物線C: x2= 8y的焦點為F，準線為I, P是I上一點,Q是直線PF與C的一個交點，若PF= 2FQ，則|QF| =解析 易知拋物線C: x2 = 8y的焦點為

6、F(0,2),準線方程為I: y52。設(shè) P(a, 2), Q m,則PF = ( a,4), FQ =m, m8 2。因為pF = 2FQ，所以2m= a且4 =冒4,所以 m2= 32由拋物線I時，拱頂離水面_米。2米，水高考復(fù)習(xí)頂層設(shè)計數(shù)學(xué)理154 in解析 由題意，以拋物線的頂點為原點，建立平面直角坐標系, 可設(shè)拋物線方程為x2 =-2py(p>0)。因為點(2, - 2)在拋物線上，所 以p= 1，即拋物線方程為x2 = 2y。當y= 3時，x= 士 6。所以水 位下降1米后，水面寬為2 .6米。答案2 6一x2 y29. (2017 山東咼考)在平面直角坐標系xOy中，雙曲線

7、g古=1(a>0,b>0)的右支與焦點為F的拋物線x2 = 2py(p>0)交于A, B兩點。若|AF |+ |BF| = 4|0F|，則該雙曲線的漸近線方程為 。教師獨具【命題立意】本題考查拋物線的定義，雙曲線的性質(zhì)等，對運算能力要求較高。聯(lián)立拋物線方程與雙曲線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得出a= 2b,從而求出雙曲線的漸近線方程。解析 由題意知F 0, p。設(shè)點A, B的坐標分別為(xa, yA), (xb,yB),如圖，則 |AF| = yA + 2, |BF| = yB + p,所以|AF + |BF| = yA + yB + p2 2又|AF|+ |BF| = 4|OF

8、| = 4X孑=2p,所以 yA+ yB= p。聯(lián)立孑一古=1 與x2= 2py,消去 x,得 a2y2 2b2py+ a2b2= 0, 則 yA+ yB =2b2 pa2 P。x2 y因為a>0, b>0,所以a= 2b,所以雙曲線孑一古=1的漸近線方程為 y= ±bx= ±22xo答案 y= ±x三、解答題10. (2018天津耀華中學(xué)模擬)已知過拋物線y2= 2px(p>0)的焦點， 斜率為2 .2的直線交拋物線于A(xi, yi), B(X2, y2)(Xi<X2)兩點，且|AB| =9。(1) 求該拋物線的方程。(2) o為坐標原

9、點，c為拋物線上一點，若OC=OA+ OB,求入的值解(1)因為拋物線y2= 2px的焦點為p, 0 ,y = 2px,所以直線AB的方程為y= 2迥p j,消去 y 得 4x2 5px + p2 = 0,所以 X1 + x2 = 4 ,由拋物線疋乂得|AB| = X1 + x2 + p= 9,即乎+ p= 9,所以p=4。所以拋物線的方程為y=8x。(2)由 p = 4 知，方程 4x2 5px + p2= 0, 可化為 x2 5x+ 4= 0,解得 Xi = 1, X2= 4,故 yi = 2 2, y2= 4,2。所以 A(1, 2 2), B(4,4 2)。則OC= OA+ X5B=

10、(1 , 2迄)+ ?(4,W2)= (1 + 4 入2羽 + 4/2因為C為拋物線上一點，所以(2 2+ 4 2 滬=8(1 + 4,整理得2 = 0,所以 =0或 =2。11. (2017北京高考)已知拋物線 C: y2= 2px過點P(1,1)。過點(n0, 2作直線I與拋物線C交于不同的兩點M, N，過點M作x軸的 垂線分別與直線OP, ON交于點A, B,其中O為原點。(1) 求拋物線C的方程，并求其焦點坐標和準線方程。(2) 求證：A為線段BM的中點。1 解(1)由拋物線C: y2=2px過點P(1,1),得p= 2°所以拋物線C的方程為y2= x。一i'11拋物

11、線c的焦點坐標為4, 0 ,準線方程為x= 4。1證明：由題意，設(shè)直線I的方程為y= kx+2（心0）, I與拋物線C 的交點為 M(xi, yi), N(x2, y2)y= kx+ 舟，由得 4k2x2 + (4 k 4)x + 1 = 0y2=x,1 k1則 禺 + X2 = k盯,X1X2 = 42。因為點P的坐標為（1,1）,所以直線OP的方程為y = x,點A的坐標為（X1, X1）。直線ON的方程為y= y2x,x2點B的坐標為X1,泌iX2 。kx1 + 如2+kX2 + 如1-2X1X2X2=y?X1y1X2+y2X1 2x1X2X2因為 w + %-2X1 =2k 2 X1X

12、2 + 2X2 + X1X2X2 0,所以y1 +竽=2X1,故A為線段BM的中點。X2B級能力提升 （2018 山西五校3月聯(lián)考）已知拋物線C: y2= 2px（p>0）上一點(5, m)到焦點的距離為6, P, Q分別為拋物線C與圓M: (x 6)2 + y2= 1上的動點，當|PQ|取得最小值時，向量PQ在x軸正方向上的投 影為()A . 2 fB . 2 5 1C. 1 專D.21 1解析 因為6= P + 5,所以p= 2,所以拋物線C的方程為y2 =4x。設(shè) P(x , y),貝S |PM| = ： x 6 2+ y2 = ,； x 62 + 4x =.x 4 2+ 20,可

13、知當x=4時，|PQ|取得最小值，最小值為，20 1=2 5 1，此時不妨取P點的坐標為(4, 4)，則直線PM的斜率為2, 即卩 tan/PMO = 2,所以cosZPMO =15,故當|PQ|取得最小值時,向量PQ在x軸正方向上的投影為(2 ,5 1)cosZPMO= 25。故選A。答案 A2. (2017成都第二次診斷)如圖，拋物線y2 = 4x的一條弦AB經(jīng) 過焦點F，取線段0B的中點D，延長0A至點C,使|OA|=|AC|,過 點C, D作y軸的垂線，垂足分別為點 E, G,則|EG|的最小值為解析 設(shè) A(xi, yi), Bg y2), C(x,尬,Dg yj,則 |EG|=1y

14、4-y3=甘2yi。因為AB為拋物線y2=4x的焦點弦，所以yiy?=-if 4、 i 8 a 8i4,所以|EG|=尹2X -=尹+2 22乂 y2= 4,當且僅當刃28=y，即y2 = 4時取等號，所以|EG|的最小值為4。y2答案 43. (2017大理二模)已知拋物線C的頂點在坐標原點，焦點F在 x軸的正半軸上，過點F的直線I與拋物線C相交于A, B兩點，且3滿足oA OB= 4。(1) 求拋物線C的方程。(2) 若點M在拋物線C的準線上移動，其縱坐標的取值范圍是-1,1,且MA MB= 9,點N是以線段AB為直徑的圓與拋物線 C的準 線的一個交點，求點N的縱坐標的取值范圍。解(1)由題意，設(shè)拋物線 C的方程為y2=2px(p>0)，其焦點F的坐標為azP2p設(shè)直線 l 的方程為 x= ty + 2，A(xi, yi), B(x, y2),y2=2px,聯(lián)立方程，得p 消去x得lx= ty+ 2，y2 - 2pty- p2= 0,2 所以 yi + y2 = 2pt, yiy2=- p2,所以 XiX?=,因為 OA OB = x1x2 + y2 =3p2 = 34 = 4,所以p= 1,所以拋物線C的方程為y2 = 2x。(1 、設(shè)點 M , m J, 1 < m< 1。1由(1)知，X1X2=4, y“2= 1,