人教B版：121平面的基本性質(zhì)及推論教材

1、1.理解平面的概念，掌握平面的性質(zhì)并會確定平理解平面的概念，掌握平面的性質(zhì)并會確定平面面2理解直線與直線、直線與平面、平面與平面理解直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，會利用定理判定它們之間的關(guān)系的位置關(guān)系，會利用定理判定它們之間的關(guān)系3會進行文字語言、圖形語言、符號語言之間會進行文字語言、圖形語言、符號語言之間的轉(zhuǎn)化并能進行一些簡單問題的證明的轉(zhuǎn)化并能進行一些簡單問題的證明 象這些象這些桌面、桌面、平靜的湖面、鏡面、黑板面等都給我們以平靜的湖面、鏡面、黑板面等都給我們以_的的印象印象一一. .平面的概念：平面的概念：（1 1）平面的直觀認識）平面的直觀認識光滑的桌面、平靜的湖面等都

2、是我們很熟悉光滑的桌面、平靜的湖面等都是我們很熟悉. .（2 2）平面的特征：）平面的特征：平面沒有大小、厚薄和寬窄，平面在空間是平面沒有大小、厚薄和寬窄，平面在空間是無限延伸的。無限延伸的。數(shù)學中的平面概念是現(xiàn)實平面加以抽象的結(jié)果。數(shù)學中的平面概念是現(xiàn)實平面加以抽象的結(jié)果。平面平面ADCB 平面平面、平面、平面ABCD（3 3）. .平面的表示方法平面的表示方法幾何畫法幾何畫法：通常用平行四邊形來表示平面通常用平行四邊形來表示平面 符號表示：符號表示：通常用希臘字母通常用希臘字母 等來表等來表示，如：平面示，如：平面 也可用表示平行四邊形的兩個也可用表示平行四邊形的兩個相對頂點的字母來表示，

3、如：平面相對頂點的字母來表示，如：平面AC,、平面、平面AC（1）水平放置的平面：）水平放置的平面：（2）垂直放置的平面：）垂直放置的平面：a一般用水平放置的正方形的直觀圖作為水平放一般用水平放置的正方形的直觀圖作為水平放置的平面的直觀圖置的平面的直觀圖（3）在畫圖時，如果圖形的一部分被另一部分遮住，）在畫圖時，如果圖形的一部分被另一部分遮住，可以把遮住部分畫成虛線，也可以不畫?？梢园颜谧〔糠之嫵商摼€，也可以不畫。二二. .用數(shù)學符號來表示點、線、面之間的位置關(guān)系：用數(shù)學符號來表示點、線、面之間的位置關(guān)系：A AB Ba a 點點A A在直線在直線a a上：上：記為：記為：AaAa點點B B不

4、在直線不在直線a a上：上：記為：記為：BaBa點點A A在平面在平面內(nèi)：內(nèi)：記為：記為：AA點點B B不在平面不在平面上：上：記為：記為：B B A AB B(1)(1)點與直線的位置關(guān)系：點與直線的位置關(guān)系：(2)(2)點與平面的位置關(guān)系：點與平面的位置關(guān)系：(3)(3)直線與平面的位置關(guān)系：直線與平面的位置關(guān)系： 直線直線a a上的所有點都在平面上的所有點都在平面上，稱直線上，稱直線a a在平面在平面內(nèi)，或稱平面內(nèi)，或稱平面通過直線通過直線a.a.記為：記為：a a 直線直線a a與平面與平面只有一個公共點只有一個公共點A A時，稱直時，稱直線線a a與平面與平面相交。記為：相交。記為：

5、aaA Aa aA Aa aa a 直線直線a a與平面與平面沒有公共點時，稱直線沒有公共點時，稱直線a a與與平面平面平行。記為：平行。記為：a/a/如果把桌面看作一個平面，把筆看作是如果把桌面看作一個平面，把筆看作是一條直線的話，你覺得在什么情況下，一條直線的話，你覺得在什么情況下，才能使筆所代表的直線上所有的點都能才能使筆所代表的直線上所有的點都能在桌面上？在桌面上？公理公理1.1.如果一條直線上兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直如果一條直線上兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上的所有的點都在這個平面內(nèi)（即直線在平面內(nèi)）。線上的所有的點都在這個平面內(nèi)（即直線在平面內(nèi)）。lAB桌面桌面AB觀察下列圖

6、形，你能得到什么結(jié)論？觀察下列圖形，你能得到什么結(jié)論？五五.平面的基本性質(zhì)平面的基本性質(zhì)公理公理1.1.如果一條直線上兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直如果一條直線上兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上的所有的點都在這個平面內(nèi)（即直線在平面內(nèi)）。線上的所有的點都在這個平面內(nèi)（即直線在平面內(nèi)）。lAB,Al BlABl 符號表示：且文字語言：文字語言：圖形語言：圖形語言：符號語言：符號語言：,ABAB若直 線練習：練習：（1）AB 。AB（2）,lAl 。A3.3.思考：公理思考：公理1 1可以用來可以用來檢驗某一個面是否為平面檢驗某一個面是否為平面，如何檢驗？如何檢驗？ 把一條直線在面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，固定兩個點

7、在面內(nèi)后，把一條直線在面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，固定兩個點在面內(nèi)后，如果其他點也在面內(nèi)，則該面為平面。如果其他點也在面內(nèi)，則該面為平面。一一 是是可以用來判定一條直線是否在平面內(nèi)可以用來判定一條直線是否在平面內(nèi)，即，即 要判定直線在平面內(nèi)，只需確定直線上兩個要判定直線在平面內(nèi)，只需確定直線上兩個 點在平面內(nèi)即可；點在平面內(nèi)即可； 二二 是是可以用來判定點在平面內(nèi)可以用來判定點在平面內(nèi)，即如果直線在，即如果直線在 平面內(nèi)、點在直線上，則點在平面內(nèi)平面內(nèi)、點在直線上，則點在平面內(nèi). . 三三 是表明平面是是表明平面是“平的平的” 用手指頭將一本書平衡地擺方在空用手指頭將一本書平衡地擺方在空間某一位置，至少需要幾個

8、手指頭？間某一位置，至少需要幾個手指頭？手指的位置需要滿足什么條件？手指的位置需要滿足什么條件？公理公理2.2.過不在同一直線上的三點，有且只有一個平面過不在同一直線上的三點，有且只有一個平面. .ACBCBACBA,使有且只有一個平面三點不共線公理公理2.2.過不在同一直線上的三點，有且只有一個平面過不在同一直線上的三點，有且只有一個平面. .ACB或記為平面或記為平面ABCABC公理2的作用確定平面的依據(jù); 判定點或線的共面如何如何理解理解公理公理2？(1)公理公理2是是確定平面確定平面的條件的條件. (2)深刻理解深刻理解“有且只有有且只有”的含義，這里的的含義，這里的“有有”是說平面存

9、在，是說平面存在，“只有只有”是說平面是說平面惟一，惟一，“有且只有有且只有”強調(diào)平面強調(diào)平面存在并且惟存在并且惟一一這兩方面這兩方面.公理公理3.3.如果不重合的兩個平面有一個公共點，那么如果不重合的兩個平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過這個點的公共直線它們有且只有一條過這個點的公共直線Pa觀察下列圖形，你能得到什么結(jié)論？觀察下列圖形，你能得到什么結(jié)論？P天花板天花板墻面墻面墻面墻面公理公理3.如果不重合的兩個平面有一個公共點，那么它們有且如果不重合的兩個平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過這個點的公共直線只有一條過這個點的公共直線PaPlPlP且如果兩個平面有一條公共直線，則稱這

10、兩個平面如果兩個平面有一條公共直線，則稱這兩個平面相交，這條公共直線叫做這兩個平面的相交，這條公共直線叫做這兩個平面的交線交線。如何理解公理如何理解公理3？(1) 公理公理3反映了反映了平面與平面的位置關(guān)系平面與平面的位置關(guān)系，只要只要“兩面共一點兩面共一點”，就有，就有“兩面共一線兩面共一線，且過這一點，線惟一且過這一點，線惟一”.(2) 從集合的角度看，對于不重合的兩個平從集合的角度看，對于不重合的兩個平面，只要他們有公共點，它們就是相交的面，只要他們有公共點，它們就是相交的位置關(guān)系，位置關(guān)系，交集是一條直線交集是一條直線.一一 是是判定兩個平面相交判定兩個平面相交，即如果兩個平面有一個，

11、即如果兩個平面有一個 公共點，那么這兩個平面相交；公共點，那么這兩個平面相交；二二 是是判定點在直線上判定點在直線上，即點若是某兩個平面的公，即點若是某兩個平面的公 共點，那么這點就在這兩個平面的交線上共點，那么這點就在這兩個平面的交線上. .公理3的作用有三：三三. .兩平面兩個兩平面兩個公共點的連線就是它們的交線公共點的連線就是它們的交線二二. 平面基本性質(zhì)的推論平面基本性質(zhì)的推論 文字語言文字語言 ：經(jīng)過一條直線和直線外的一：經(jīng)過一條直線和直線外的一點，有且只有一個平面點，有且只有一個平面. 圖形語言：圖形語言： 符號語言：符號語言： a與與A共屬于平面共屬于平面且平面且平面惟一惟一 .

12、（1）推論推論1： a是任意一條直線是任意一條直線 點點A a （2）推論）推論2： 文字語言文字語言 :經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面?zhèn)€平面. 圖形語言：圖形語言： 符號語言：符號語言： a，b共面于平面共面于平面，且，且是惟一的是惟一的 .b是任意一條直線是任意一條直線 a是任意一條直線是任意一條直線 ab=A（2）推論）推論3： 文字語言文字語言 :經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面?zhèn)€平面. 圖形語言：圖形語言： 符號語言：符號語言： a，b共面于平面共面于平面，且，且是惟一的是惟一的 .a，b是兩條直線是兩條直線 a/bm圖圖

13、2l三、空間中兩直線的位置關(guān)系三、空間中兩直線的位置關(guān)系lmP圖圖1從圖中從圖中可見，直線可見，直線 l 與與 m 既不既不相交，相交，也不平行?？臻g中直線之間的這種關(guān)也不平行?？臻g中直線之間的這種關(guān)系稱為系稱為異面直線異面直線。不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異異面直線面直線。（既不相交也不平行的兩條直線。（既不相交也不平行的兩條直線）1、異、異面面直線直線判斷：判斷：(1)圖中直線圖中直線m和和l是異面直線嗎是異面直線嗎?lmml(2) ,則則a與與b是異面直線嗎？是異面直線嗎？,ab(3) a,b不同在平面不同在平面內(nèi)內(nèi),則則a與與b是異面嗎？是異面嗎

14、？異面直線的畫法異面直線的畫法: 通常用一個或兩個平面來襯托通常用一個或兩個平面來襯托, 異面直異面直線線不同在任何一個平面不同在任何一個平面的特點的特點.ababab(1)相交相交(2)平行平行只有一個公共點只有一個公共點 沒有公共點沒有公共點在同一平面在同一平面ml2、空間中兩直線的三種位置關(guān)系、空間中兩直線的三種位置關(guān)系(3)異面直線異面直線mPl沒有公共點沒有公共點不同在任一平面不同在任一平面mlPlAlA點點A在直線在直線l上上點點A在直線在直線l外外AA AA 點點A在平面在平面 內(nèi)內(nèi)點點A在平面在平面 外外AlAlll直線直線l在平面在平面 外外直線直線l在平面在平面 內(nèi)內(nèi)lll

15、1 1填空填空圖形語言圖形語言符號語言符號語言個個公公共共點點。（4 4）平平面面與與平平面面. .平平面面，則則a a直直線線a a，點點A A（3 3）若若點點A A條條直直線線確確定定一一個個平平面面。（2 2）經(jīng)經(jīng)過過同同一一點點的的三三三三點點確確定定一一個個平平面面。（1 1）正正確確：2 2. .判判斷斷下下列列命命題題是是否否相交，它們只有有限經(jīng)過（）（）（）（）（）（）（）（）3如圖，平面如圖，平面ABEF記作記作，平面，平面ABCD記作記作，根據(jù)圖形填寫：，根據(jù)圖形填寫：（1）A，B ，E ， C ，D ；（2）A，B ，C ， D ，E ，F(xiàn) ；（3）= ；AB課堂互動講

16、練課堂互動講練點、線、面的關(guān)系、畫法及表示點、線、面的關(guān)系、畫法及表示注意熟練作出立體圖形注意熟練作出立體圖形 按照說明將圖的虛線改為合適的線，使按照說明將圖的虛線改為合適的線，使圖形具有立體感圖形具有立體感(1)AB被平面被平面遮擋；遮擋；(2)AB不被平面不被平面遮擋；遮擋；(3)正方體正方體AC，CD被平面被平面AABB遮擋；遮擋；(4)正方體正方體AC，CD不被平面不被平面AABB遮擋遮擋【分析分析】理解清楚題意，再根據(jù)要求作圖理解清楚題意，再根據(jù)要求作圖【解解】立體圖形的畫法：被遮擋的部分畫為立體圖形的畫法：被遮擋的部分畫為虛線，沒被遮擋的部分畫成實線虛線，沒被遮擋的部分畫成實線并且

17、在立體并且在立體幾何中作輔助線的時候也不要全部都用虛線，幾何中作輔助線的時候也不要全部都用虛線，而要根據(jù)圖形的特點該畫什么線就畫什么線，而要根據(jù)圖形的特點該畫什么線就畫什么線，如圖所示如圖所示【點評點評】立體幾何中比較重要的一點是熟練的作立體幾何中比較重要的一點是熟練的作立體圖形，因為以后我們解題就是建立在立體圖形立體圖形，因為以后我們解題就是建立在立體圖形的直觀圖的基礎(chǔ)上的的直觀圖的基礎(chǔ)上的能不能從畫在平面上的立體能不能從畫在平面上的立體圖形的直觀圖在腦海中得到立體圖形是非常關(guān)鍵的，圖形的直觀圖在腦海中得到立體圖形是非常關(guān)鍵的，也是我們最應該訓練的也是我們最應該訓練的注意三個基本性質(zhì)、三個推

18、論的條件及應注意三個基本性質(zhì)、三個推論的條件及應用用共面、共線問題共面、共線問題 如圖，已知如圖，已知ABC三邊所在的直線三邊所在的直線分別交平面分別交平面 于點于點P、Q、R，求證：，求證：P、Q、R三點在同一直線上。三點在同一直線上。BCQPR證明：ABPPABP，平面PABC點 在平面與平面 的交線上（公理2）同理可證：QRABC， 也在平面與平面 的交線上.PQR ， ， 三點共線要證明空間諸點共線，通常證明這些點同時落在兩個相要證明空間諸點共線，通常證明這些點同時落在兩個相交平面內(nèi)，則落在它們的交線上交平面內(nèi)，則落在它們的交線上. .ABCQPR 如圖，直線如圖，直線AB、BC、CA

19、兩兩相交，交點兩兩相交，交點分別為分別為A、B、C，判斷這三條直線是否共面，判斷這三條直線是否共面，并說明理由并說明理由. ABC共面共面 A、B、C三點不在一條直線上三點不在一條直線上證明：證明：過過A、B、C三點可以確定平面三點可以確定平面 (性質(zhì)性質(zhì)3) A , B AB (性質(zhì)性質(zhì)1)同理同理BC , AC AB、AC、BC共面共面 ABC跟蹤訓練跟蹤訓練已知已知E、F、G、H分別是空間四邊形分別是空間四邊形ABCD(四條線段首尾相接，且連接點不在同一平四條線段首尾相接，且連接點不在同一平面內(nèi)，所組成的空間圖形叫空間四邊形面內(nèi)，所組成的空間圖形叫空間四邊形)各邊各邊AB、AD、CB、C

20、D上的點，且直線上的點，且直線EF和和GH交于點交于點P，如圖，求證：點如圖，求證：點B、D、P在同一條直線上在同一條直線上證明：證明：直線直線EF直線直線GHP，P 直線直線EF，而而EF平面平面ABD，P平面平面ABD.同理，同理，P平面平面CBD，即點即點P是平面是平面ABD和平面和平面CBD的公共點的公共點顯然，點顯然，點B、D也是平面也是平面ABD和平面和平面CBD的公共的公共點，點，由基本性質(zhì)由基本性質(zhì)3知，點知，點B、D、P都在平面都在平面ABD和平和平面面CBD的交線上，的交線上，即點即點B、D、P在同一條直線上在同一條直線上1如果一條直線上有兩點在一平面內(nèi)，那么這條如果一條直線上有兩點在一平面內(nèi)，那么這條直線就在這個平面內(nèi)，解答時抓住直線上的兩個點直線就在這個平面內(nèi)，解答時抓住直線上的兩個點與平面的關(guān)系，如有必要，可使用反證法說明問與平面的關(guān)系，如有必要，可使用反證法說明問題題2不共線的三點能確定一個平面，解答時首先分不共線的三點能確定一個平面，解答時首先分析所給的元素是否具有確定唯一平面的條件，再進析所給的元素是否具有確定唯一平面的條件，再進行計算或推理行