運用截長補短法證A=BC型

1、運用截長補短法證“a二b+c"型重慶市合川區(qū)合陽中學：李明在四邊形證明屮，我們經(jīng)常遇到證” a二b+c型的題，證明這類題，我們常 采用截長補短法。截長補短法實際上是兩種方法：截長法、補短法。何為截長法, 就是在a線段上截取一段等于b線段或c線段，然后通過證三角形全等的方法 證明a線段中余下的線段等于c線段或b線段。補短法：就是延長b線段或c 線段，在延長線上取一段等于c線段或b線段，然后通過證全等的方法證到 “a=b+c”型。雖然，我們很多同學知道這類題的方法，但在實際操作屮仍然不 能正確地證明它，主要原因是很多同學沒有搞清這類題的證明途徑有幾種，實際 上它有六種途徑：1、在a線段上

2、截取一段等于b線段，再證余下的等于c線段。 2、在a線段上截取一段等于c線段，再證余下的等于b線段。3、將b線段向 某方向延長，在延長線上取一段等于c線段，證整條線段等于a線段。4、將b 線段向上一種的相反方向延長，在延長線上取一段等于c線段，證整條線段等于 a線段。5、將c線段向某方向延長，在延長線上取一段等于b線段，證整條線 段等于a線段。6、將c線段向上一種的相反方向延長，在延長線上取一段等于 b線段，證整條線段等于a線段。這六種途徑中總有一種能證明“a二b+c型。但 是，同學們在實際證明中只考慮到其中一種或二種，就再也沒有考慮其他幾種， 所以導致每次做這種題受阻。兒何證明題沒有固定的方

3、法，只有將這六種途徑進 行逐一驗證，多加練習，白然就能體會到其小的精神。下面，我舉一些例子供大 家參考。一、利用“截長補短法”進行證明例如圖，在菱形abcd中，點e、f分別是線段ab、bc的中點，連結(jié) ce、afo 點 g 為 ad±一點。連結(jié) cg,使得zdgc = 2zfab,求證：cg二ab+ag. 證法一：如圖1,在cg上截取cm=bc,連結(jié)am。在菱形abci）中，e、f分別是線段ab、bc的中點， aabceabaf, a zbce=zbaf;又 vzdgc=2zfab, zdgc二zgcb,二 zgce二zbce, aabceamce, azb=zcme, me二ae.

4、vzb+zbag=180° , zcme+zemg二 180° , a zemg=zeag.tae二me（已證），aag=mg, acg+bc+ag. cg 二 ab+ag.證法二：延長ce、da,相交于點m。. zdgc=2zfab=2zbce（同上），z. zgcm=zmcb.xv ad ii bc,zbcm二zm,azgcm=zm, cg二gm,又te 是 ab 的中點，aabceaame, abc=am.cg二ab+ag.圖2點評：此題采用截長法或補短法都可以，但是，如果在cg±截取一段等于 ag,這種方法證明就很困難，因為它不能利用已知條件。延長ba或a

5、b也不 行。所以，運用截長法時，必須考慮在a線段上截取哪一條線段才行；如果運 用補短法，應考慮在哪條線段上向哪一方向延長。無論采用何種方法，必須是能 運用已知條件才行。二、利用“補短法”進行證明例2：如圖，e為正方形abcd的cd邊上一點，連接be,過點a作af ii be,交cd的延長線于點f, zabe的平分線分別交af、ad于點g、h求證:be二ah+df.m 證明：延長ha,在ha的延長線上取一段am二df.四邊形abcd是正方形，aaadfabam, zmba=zfad, af=bm.xv be ii af, bg 平分 zabe, a z1=z2.乂 j zahb=z2+zhag,

6、 zhbm= z1 + zmba, zmhb=zmbh,a hm=bm, be二ah+df.點評：因為df=ce,此題延氏ec也可以，如果此題米用“截長法”，證明就 非常困難；采用“補短法”，如果延長df或fd或ah,都不能證明，所以采用“補 短法”時，一定要注意“補”的方向。三、利用“截長法”進行證明例3：在平行四邊形abcd中，對角線bd丄bc, g為bd延長線上一點且abg 為等邊三角形，zbad. zcbd的平分線相交于點e, aeg交bd于f,連接ge。求證：ae二be+ge證明：在ae上截取em=be；因為zbad、zcbd的平分線相交于點e,所以zbae=15° , z

7、abe=105° ,所以zaeb=60° .l 因為 em二be,所以abem為等邊三角形。又因為 ab=bc, zabm=zgbe,所以 abmagbe,所以 am二ge于是 ae二be+ge點評：此題采用“補”的方法就很怵i難，采用“截長法”，抓住60。構(gòu)造等 邊三角形，再證三角形全等即可。四、利用“截”或“補”的思想構(gòu)造全等三角形例4：如圖，點p為正方形abcd的邊bc上一點，bg丄ap于點g,在ap的 延長線上取點e,使ge=ag,連結(jié)be、ce.若bn平分zcbe交ae于點n,連結(jié)dn。求zgbn的度數(shù)；求證：bn+dn二血an解：因為 zeab二zbea二 zpbg,zbng=zben+znbe,所以zbng二zgbn二45° 過a作am丄ae,交nb延長線于m.因為zanm=45。，所以，aamn是等腰直角三角形, 所以mn= v2an.再證明 abmaadn即可。