方差計算方法PPT課件

1、 1、檢驗過程煩瑣 例如，一試驗包含5個處理，采用t檢驗法要進行 =10次兩兩平均數(shù)的差異顯著性檢驗；若有k個處理，則要作 k(k-1)/2次類似的檢驗。 25C下一張 主 頁 退 出 上一張 第1頁/共145頁 2、無統(tǒng)一的試驗誤差，誤差估計的精確性和檢驗的靈敏性低 對同一試驗的多個處理進行比較時，應該有一個統(tǒng)一的試驗誤差的估計值。若用 t 檢驗法作兩兩比較，由于每次比較需計算一個 ，故使得各次比較誤差的估計不統(tǒng)一，同時沒有充分利用資料所提供的信息而使誤差估計的精確性降低，從而降低檢驗的靈敏性。 21xxS下一張 主 頁 退 出 上一張 第2頁/共145頁 例如，試驗有5個處理 ，每個處理

2、重復 6次，共有30個觀測值。進行t檢驗時，每次只能利用兩個處理共12個觀測值估計試驗誤差 ，誤差自由度為 2(6-1)=10 ；若利用整個試驗的30個觀測值估計試驗誤差 ，顯然估計的精確性高，且誤差自由度為5(6-1)=25。可見，在用t檢法進行檢驗時 ，由 于估計誤差的精確性低，誤差自由度小，使檢驗的靈敏性降低，容易掩蓋差異的顯著性。 下一張 主 頁 退 出 上一張 第3頁/共145頁 3、推斷的可靠性低，檢驗的 I 型錯誤率大 即使利用資料所提供的全部信息估計了試驗誤差，若用t 檢驗法進行多個處理平均數(shù)間的差異顯著性檢驗，由于沒有考慮相互比較的兩個平均數(shù)的秩次問題 ，因 而 會增大犯 I

3、型錯誤的概率，降低推斷的可靠性。 由于上述原因，多個平均數(shù)的差異顯著性檢驗不宜用 t 檢驗，須采用方差分析法。 方差分析 (analysis of variance) 是由英國統(tǒng)計學家于1923年提出的。第4頁/共145頁 這種方法是將k個處理的觀測值作為一個整體看待，把觀測值總變異的平方和及自由度分解為相應于不同變異來源的平方和及自由度，進而獲得不同變異來源總體方差估計值；通過計算這些總體方差的估計值的適當比值，就能檢驗各樣本所屬總體平均數(shù)是否相等。 “ 方差分析法是一種在若干能相互比較的資料組中，把產(chǎn)生變異的原因加以區(qū)分開來的方法與技術” ，方差分析實質上是關于觀測值變異原因的數(shù)量分析。下

4、一張 主 頁 退 出 上一張 第5頁/共145頁 幾個常用術語: 1、試驗指標(experimental index) 為 衡 量 試 驗結果的好壞或處理效應的高低 ，在試驗中具體測定的性狀或觀測的項目稱為試驗指標。由于試驗目的不同 ，選擇的試驗指標也不相同。在畜禽 、水產(chǎn)試驗中常用的試驗指標有 ：日增重 、產(chǎn)仔數(shù) 、產(chǎn)奶量 、產(chǎn)蛋率、瘦肉率、某些生理生化和體型指標(如血糖含量、體高、體重)等。 下一張 主 頁 退 出 上一張 第6頁/共145頁 2、試驗因素(experimental factor) 試驗中所研究的影響試驗指標的因素叫試驗因素。如研究如何提高豬的日增重時，飼料的配方、豬的品種

5、、飼養(yǎng)方式、環(huán)境溫濕度等都對日增重有影響，均可作為試驗因素來考慮。 當試驗中考察的因素只有一個時，稱為單因素試驗； 若同時研究兩個或兩個以上的因素對試驗指標的影響時，則稱為兩因素或多因素試驗。試驗因素常用大寫字母A、B、C、等表示。 下一張 主 頁 退 出 上一張 第7頁/共145頁 3、因素水平(level of factor) 試驗因素所處的某種特定狀態(tài)或數(shù)量等級稱為因素水平，簡稱水平。 如比較3個品種奶牛產(chǎn)奶量的高低，這3個品種就是奶牛品種這個試驗因素的3個水平； 研究某種飼料中4種不同能量水平對肥育豬瘦肉率的影響，這4種特定的能量水平就是飼料能量這一試驗因素的4個水平。 下一張 主 頁

6、 退 出 上一張 第8頁/共145頁 因素水平用代表該因素的字母加添足標1，2， ， 來表示。如 A1 、 A2 、 ， B1 、B2、，等。 4、試驗處理(treatment) 事先設計好的實施在試驗單位上的具體項目叫試驗處理，簡稱處理。 在單因素試驗中，實施在試驗單位上的具體項目就是試驗因素的某一水平。例如進行飼料的比較試驗時，實施在試驗單位(某種畜禽)上的具體項目就是喂飼某一種飼料。所以進行單因素試驗時，試驗因素的一個水平就是一個處理。下一張 主 頁 退 出 上一張 第9頁/共145頁 在多因素試驗中，實施在試驗單位上的具體項目是各因素的某一水平組合。例如進行3種飼料和3個品種對豬日增重

7、影響的兩因素試驗，整個試驗共有33=9個水平組合，實施在試驗單位(試驗豬)上的具體項目就是某品種與某種飼料的結合。所以，在多因素試驗時，試驗因素的一個水平組合就是一個處理。下一張 主 頁 退 出 上一張 第10頁/共145頁 5、試驗單位(experimental unit) 在試驗中能接受不同試驗處理的獨立的試驗載體叫試驗單位。 在畜禽、水產(chǎn)試驗中， 一只家禽、 一頭家畜、一只小白鼠、一尾魚，即一個動物；或幾只家禽、幾頭家畜、幾只小白鼠、幾尾魚，即一組動物都可作為試驗單位。 試驗單位往往也是觀測數(shù)據(jù)的單位。 下一張 主 頁 退 出 上一張 第11頁/共145頁 6、重復(repetition

8、) 在試驗中，將一個處理實施在兩個或兩個以上的試驗單位上，稱為處理有重復；一處理實施的試驗單位數(shù)稱為處理的重復數(shù)。 例如，用某種飼料喂4頭豬，就說這個處理(飼料)有4次重復。下一張 主 頁 退 出 上一張 第12頁/共145頁第一節(jié) 方差分析的基本原理與步驟 本節(jié)結合單因素試驗結果的方差分析介紹其原理與步驟。 一、線性模型與基本假定 假設某單因素試驗有k個處理，每個處理有n次重復，共有nk個觀測值。這類試驗資料的數(shù)據(jù)模式如表6-1所示。下一張 主 頁 退 出 上一張 第13頁/共145頁 表6-1 k個處理每個處理有n個觀測值的 數(shù)據(jù)模式下一張 主 頁 退 出 上一張 第14頁/共145頁 表

9、中 表示第i個處理的第j個觀測值 （i=1,2,k；j=1,2,n）； 表示第i個處理n個觀測值的和； 表示全部觀測值的總和； 表示第i個處理的平均數(shù)； 表示全部觀測值的總平均數(shù)； 可以分解為ijxnjijixx1.kiikinjijxxx111.nxnxxinjiji/ ./.1knxknxxkinjij/./.11ijx下一張 主 頁 退 出 上一張 第15頁/共145頁 (6-1) 表示第i個處理觀測值總體的平均數(shù)。 為了看出各處理的影響大小，將 再進行分解，令 (6-2) (6-3)則 (6-4) 其中 表示全試驗觀測值總體的平均數(shù)；ijiijxkiik11iiijiijx下一張 主

10、頁 退 出 上一張 ii第16頁/共145頁 ai 是 第 i 個 處理的效應 （treatment effects）表示處理i對試驗結果產(chǎn)生的影響。顯然有 (6-5) ij是試驗誤差，相互獨立，且服從 正態(tài)分布N（0，2）。 （6-4）式叫做 單因素試驗 的 線 性 模 型（linear model）亦稱數(shù)學模型。 在這個模型中Xii表示為總平均數(shù)、處理效應i、試驗誤差ij之和。01kii下一張 主 頁 退 出 上一張 第17頁/共145頁 由ij 相 互獨立且服從正態(tài)分布 N（0，2），可知各處理Ai(i=1，2，k)所屬總體亦應具正態(tài)性，即服從正態(tài)分布N(i,2)。盡管各總體的均數(shù) 可以

11、不等或相等，2則必須是相等的。所以，單因素試驗的數(shù)學模型可歸納為： 效 應 的 可 加 性 （additivity）、分布的正態(tài)性（normality）、方差的同質性（homogeneity）。這也是進行其它類型方差分析的前提或基本假定。下一張 主 頁 退 出 上一張 i第18頁/共145頁 若 將 表 （6-1） 中 的 觀 測 值 xij（i=1,2,k;j=1,2,n）的數(shù)據(jù)結構（模型）用樣本符號來表示，則 (6-6) 與（6-4）式比較可知， 分 別是、（i-）= 、 （xij- ） = 的估計值。 ijiiijiijetxxxxxxx.)()(、iitxxx)(.ijiijexx)(

12、.iij下一張 主 頁 退 出 上一張 i第19頁/共145頁.xxiiijx. iijxx 第20頁/共145頁二、平方和與自由度的剖分 在方差分析中是用樣本方差即均方（mean squares）來度量資料的變異程度的。 表6-1中全部觀測值的總變異可以用總均方來度量。 將總變異分解為處理間變異和處理內(nèi)變異，就是要將 總 均方 分解為處理間均方和處理內(nèi)均方。但這種分解是通過將總均方的分子稱為總離均差平方和，簡稱為總平方和，剖分成處理間平方和與處理內(nèi)平方和兩部分；將總均方的分母稱為總自由度，剖分成處理間自由度與處理內(nèi)自由度兩部分來實現(xiàn)的。下一張 主 頁 退 出 上一張 第21頁/共145頁 （

13、一）總平方和的剖分 在表6-1中，反映 全部觀測值總變異的總平方和是各觀測值xij與總平均數(shù)的離均差平方和，記為SST。即kinjijTxxSS112.)(下一張 主 頁 退 出 上一張 第22頁/共145頁kinjiijnjiijkikiiikinjiijiijiikinjkinjiijiijxxxxxxxxnxxxxxxxxxxxxxx11211121122111122.)(.)(.).(2.).(.)(.).)(.( 2.).(.)(.).(.)(第23頁/共145頁 其中 所以 （6-7） （6-7）式中， 為各處理平均數(shù)與總平均數(shù)的離均差平方和與重復數(shù)n的乘積 ，反映了重復 n 次的

14、處理間變異 ，稱為處理間平方和，記為SSt，即njiijxx1.0)(kinjkikinjiijiijxxxxnxx111112.2.2.)()()(kiixxn12.).(kiitxxnSS12.).(下一張 主 頁 退 出 上一張 第24頁/共145頁 (6-7)式中， 為 各處 理內(nèi)離均差平方和之和，反映了各處理內(nèi)的變異即誤差，稱為處理內(nèi)平方和或誤差平方和，記為SSe，即于是有 SST =SSt+SSe （6-8） 這個關系式中三種平方和的簡便計算公式如下：kinjiijxx112.)(kinjiijexxSS112.)(下一張 主 頁 退 出 上一張 第25頁/共145頁 (6-9)

15、其中，C= /kn稱為矯正數(shù)。（二）總自由度的剖分 在計算總平方和時，資料中的各個觀測值要受 這一條件的約束，故總自由度等于資料中觀測值的總個數(shù)減1，即kn-1?？傋杂啥扔洖閐fT，即dfT=kn-1。 CxnSSCxSSikitijnjkiT2.12111tTeSSSSSSkinjijxx110.)(下一張 主 頁 退 出 上一張 2 x第26頁/共145頁 在計算處理間平方和時，各處理均數(shù) 要受 這一條件的約束，故處理間自由度為處理數(shù)減1，即k-1。處理間自由度記為dft，即dft=k-1。 在計算處理內(nèi)平方和時，要受k個條件的約束，即 （i=1,2,k。故處理內(nèi)自由度為資料中觀測值的總個

16、數(shù)減k，即kn-k 。處理內(nèi)自由度記為dfe，即dfe=kn-k=k(n-1)。 . ixkiixx1.0)(njiijxx1.0)(下一張 主 頁 退 出 上一張 第27頁/共145頁 因為 所以 (6-10) 綜合以上各式得： (6-11) 1() 1()() 1(1nkkknkknketTdfdfdftTetTdfdfdfkdfkndf11下一張 主 頁 退 出 上一張 第28頁/共145頁 各部分平方和除以各自的自由度便得到總均方、處理間均方和處理內(nèi)均方， 分別記為 MST（或 ）、MSt（或 ）和MSe（或 ）。 即 （6-12） 總均方一般不等于處理間均方加處理內(nèi)均方。2TS2tS

17、2eSTTTTdfSSSMS/2ttttdfSSSMS/2eeeedfSSSMS/2下一張 主 頁 退 出 上一張 第29頁/共145頁 【例6.1】 某水產(chǎn)研究所為了比較四種不同配合飼料對魚的飼喂效果，選取了條件基本相同的魚20尾，隨機分成四組，投喂不同飼料，經(jīng)一個月試驗以后，各組魚的增重結果列于下表。下一張 主 頁 退 出 上一張 第30頁/共145頁 表6-2 飼喂不同飼料的魚的增重 （單位：10g）下一張 主 頁 退 出 上一張 第31頁/共145頁 這是一個單因素試驗，處理數(shù)k=4，重復數(shù)n=5。各項平方和及自由度計算如下： 矯正數(shù) 總平方和 03.15169)54/(8 .550/

18、22.nkxCCCxSSijT22225 .289 .279 .3167.19903.151697 .15368下一張 主 頁 退 出 上一張 第32頁/共145頁27.11403.151693.15283)8.1397 .1234 .1319.155(51.122222CCxnSSit40.8527.11467.199tTeSSSSSS第33頁/共145頁 總自由度 處理間自由度 處理內(nèi)自由度 用SSt、SSe分別除以dft和dfe便得到處理間均方MSt及處理內(nèi)均方MSe。 因為方差分析中不涉及總均方的數(shù)值，所以不必計算之。191451 nkdfT3141 kdft16319tTedfdfd

19、f34.516/40.85/09.383/27.114/eeetttdfSSMSdfSSMS下一張 主 頁 退 出 上一張 第34頁/共145頁三、期望均方 如前所述，方差分析的一個基本假定是要求各 處 理 觀 測 值 總 體 的 方 差 相 等 ， 即 （i=1,2,k）表示第i個處理觀測值總體的方差。如果所分析的資料滿足這個方差同質性的要求，那么各處理的樣本方差S21 ， S22 ， ，S2k 都 是 2 的 無 偏 估 計（unbiased estimate）量。 S2i(i=1,2,k) 是由試驗資料中第i個處理的n個觀測值算得的方差。 2222221,ik下一張 主 頁 退 出 上一

20、張 第35頁/共145頁 顯然，各S2i的合并方差 （以各處理內(nèi)的自由度n-1為權的加權平均數(shù)）也是2的無偏估計量，且估計的精確度更高。很容易推證處理內(nèi)均方MSe就是各 的合并。2eS2iS2221222221121212.) 1() 1()(估計ekkkkkiiijeeeSdfdfdfSdfSdfSdfdfdfdfSSSSSSnkSSnkxxdfSSMS下一張 主 頁 退 出 上一張 第36頁/共145頁 其中SSi、dfi（i=1，2，k）分別表示由試驗資料中第i個 處理的n個觀測值算得的平方和與自由度。這就是說，處理內(nèi)均方MSe是誤差方差2的無偏估計量。 試驗中各處理所屬總體的本質差異體

21、現(xiàn)在處理效應 的差異上。我們把 稱為效應方差，它也反映了各處理觀測值總體平均數(shù) 的變異程度，記為 。 i) 1/()() 1/(22kkaiii2下一張 主 頁 退 出 上一張 第37頁/共145頁 (6-13) 因為各i未知，所以無法求得 的 確切值，只能通過試驗結果中各處理均數(shù)的差異去估計。然而， 并非 的無偏估計量。這是因為處理觀測值的均數(shù)間的差異實際上包含了兩方面的內(nèi)容： 一 是各處理本質上的差異即i（或i）間的差異，二 是本身的抽樣誤差。統(tǒng)計學上已經(jīng)證明 ， 是 +2/n的無偏估計量。因而，我們前面所計算的處理間均方MSt實際上是n +2的無偏估計量。 122kia2) 1/()(2

22、.kxxi2) 1/()(2.kxxi22下一張 主 頁 退 出 上一張 第38頁/共145頁 因為MSe是2的無偏估計量，MSt是n +2的無偏估計量，所以2為MSe的數(shù)學期望（mathematical expectation），n +2為MSt的數(shù)學期望。又因為它們是均方的期望值（expected value）， 故 又 稱 期 望 均 方 ， 簡 記 為 EMS （expected mean squares）。 當處理效應的方差 =0，亦即各處理觀測值總體平均數(shù) （i=1，2，,k）相等時， 處理間均方MSt與處理內(nèi)均方一樣，也是誤差方差2的估計值，方差分析就是通過 MSt 與MSe的比

23、較來推斷 是否為零即 是否相等的。 222i2i下一張 主 頁 退 出 上一張 第39頁/共145頁 四、F分布與F檢驗 （一）F分布 設想我們作這樣的抽樣試驗，即在一正態(tài)總體N（，2）中隨機抽取樣本含量為n的樣本k個，將 各 樣本觀測值整理成 表6-1 的形式。此時所謂的各處理沒有真實差異，各處理只是隨機分的組。因此，由（6-12）式算出的 和 都是誤差方差 的估計量。以 為分母， 為分子，求其比值。統(tǒng)計學上把兩個均方之比值稱為F值。即 2tS2eS22eS2tS下一張 主 頁 退 出 上一張 第40頁/共145頁 （6-14）F具有兩個自由度： 若在給定的k和n的條件下， 繼續(xù)從該總體進行

24、一系列抽樣，則可獲得一系列的F值。這些F值 所 具 有 的 概 率 分 布 稱 為 F 分 布 （ F distribution）。F 分 布密度曲線是隨自由度df1、df2的變化而變化的一簇偏態(tài)曲線，其形態(tài)隨著df1、df2的增大逐漸趨于對稱，如圖6-1所示。22/etSSF 。) 1(, 121nkdfdfkdfdfet下一張 主 頁 退 出 上一張 第41頁/共145頁 F分布的取值范圍是（0，+），其平均值 =1。 用 表示F分布的概率密度函數(shù)，則其分布函數(shù) 為： (6-15) 因而F分布右尾從 到+的概率為： (6-16) F)(Ff)(FFFdFFfFFPFF)()()(FFdFF

25、fFFFFP)()(1)(下一張 主 頁 退 出 上一張 第42頁/共145頁 附 表 4 列 出 的 是 不 同 df1 和 df2 下 ，P（F ）=0.05和P（F ）=0.01時的F值，即右尾概率=0.05和=0.01時的臨界F值，一般記作 ， 。 FF),(05. 021dfdfF),(01. 021dfdfF下一張 主 頁 退 出 上一張 第43頁/共145頁 (二)F檢驗 附表4是專門為檢驗 代表的總體方差是否比 代表的總體方差大而設計的。 若實際計算的F值大于 ，則 F 值在=0.05的水平上顯著，我們以95% 的 可靠性(即冒5%的風險)推斷 代 表 的總體方差大于 代表的總

26、體方差。這種用F值出現(xiàn)概率的大小推斷兩個總體方差是否相等的方法稱為 F檢驗(F-test)。 2tS2eS),(05. 021dfdfF2tS2eS下一張 主 頁 退 出 上一張 第44頁/共145頁 在方差分析中所進行的F 檢驗目的在于推斷處理間的差異是否存在，檢驗某項變異因素的效應方差是否為零。因此，在計算F 值時總是以被檢驗因素的均方作分子，以誤差均方作分母。應當注意，分母項的正確選擇是由方差分析的模型和各項變異原因的期望均方?jīng)Q定的。 下一張 主 頁 退 出 上一張 第45頁/共145頁 在單因素試驗結果的方差分析中，無效假設為H0：1=2=k，備擇假設為 HA：各i不全相等，或H0 ：

27、 =0,HA: 0； F=MSt/MSe，也就是要判斷處理間均方是否顯著大于處理內(nèi)(誤差)均方。 如果結論是肯定的，我們將否定H0；反之，不否定H0。 22下一張 主 頁 退 出 上一張 第46頁/共145頁 反過來理解：如果H0是正確的，那么MSt與MSe都是總體誤差2的估計值，理論上講F值等于1；如果H0是不正確的，那么 MSt之期望均方中的就不等于零，理論上講 F 值就必大于1。但是由于抽樣的原因，即使H0正確，F(xiàn)值也會出現(xiàn)大于1的情況。所以，只有F值大于1達到一定程度時，才有理由否定H0。 下一張 主 頁 退 出 上一張 第47頁/共145頁 實際進行F檢驗時 ，是將由試驗資料所算得的

28、F值與根據(jù)df1=dft (大均方 ，即分子均方的自由度)、df2=dfe(小均方，即分母均方的自由度)查附表4所得的臨界F值 ， 相比較作出統(tǒng)計推斷的。 若F ，即P0.05， 不 能 否定H0，統(tǒng)計學上，把這一檢驗結果表述為：各處理間差異不顯著，在F值的右上方標記“ns”，或 不標記符號； ),(05. 021dfdfF),(01. 021dfdfF),(05. 021dfdfF第48頁/共145頁 若 F ， 即0.01P0.05，否定H0，接受HA， 統(tǒng)計學上，把這一檢驗結果表述為：各處理間差異顯著，在F值的右上方標記“*”； 若F ，即P0.01，否定H0，接受HA，統(tǒng)計學上，把這一

29、檢驗結果表述為：各處理間差異極顯著，在 F 值 的 右上方標記“*”。),(05. 021dfdfF),(01. 021dfdfF),(01. 021dfdfF下一張 主 頁 退 出 上一張 第49頁/共145頁 對于【例6.1】： 因為 F=MSt/MSe=38.09/5.34=7.13*； 根據(jù) df1 = dft = 3 ， df2 = dfe = 16 查附表4，得F0.01(3，16)； 因為 FF0.01(3，16) =5.29, P0.01 表明四種不同飼料對魚的增重效果差異極顯著，用不同的飼料飼喂，增重是不同的。 下一張 主 頁 退 出 上一張 第50頁/共145頁 表6-3

30、表6-2資料方差分析表 下一張 主 頁 退 出 上一張 第51頁/共145頁 在實際進行方差分析時，只須計算出各項平方和與自由度，各項均方的計算及F檢驗可在方差分析表上進行。 下一張 主 頁 退 出 上一張 第52頁/共145頁五、多重比較 F值顯著或極顯著，否定了無效假設HO ，表明試驗的總變異主要來源于處理間的變異，試驗中各處理平均數(shù)間存在顯著或極顯著差異，但并不意味著每兩個處理平均數(shù)間的差異都顯著或極顯著，也不能具體說明哪些處理平均數(shù)間有顯著或極顯著差異，哪些差異不顯著。 下一張 主 頁 退 出 上一張 第53頁/共145頁 因而，有必要進行兩兩處理平均數(shù)間的比較，以具體判斷兩兩處理平均

31、數(shù)間的差異顯著性。 統(tǒng)計上把多個平均數(shù)兩兩間的相互比較稱為多重比較(multiple comparisons)。 多重比較的方法甚多，常用的有最小顯著差數(shù)法(LSD法)和 最小顯著極差法(LSR法)，現(xiàn)分別介紹如下。 第54頁/共145頁 （一）最小顯著差數(shù)法 (LSD法，least significant difference) 此法的基本作法是： 在F檢驗顯著的 前提下，先 計 算 出 顯 著 水 平為的最小顯著差數(shù) ，然后將任意兩個處理平均數(shù)的差數(shù)的絕對值 與其比較。 LSD.jixx 下一張 主 頁 退 出 上一張 第55頁/共145頁 若 LSD時，則 與 在水平上差異顯著；反之，則

32、在水平上差異不顯著。最小顯著差數(shù)由(6-17)式計算。 (6-17) 式中： 為在F檢驗中誤差自由度下，顯著水平為的臨界t值， 為 均 數(shù)差異標準誤，由(6-18)式算得。 (6-18) .jixx . ix. jx.)(jiexxdfaaStLSD)(edft.jixxSnMSSexxji/2.下一張 主 頁 退 出 上一張 第56頁/共145頁 其中 為F檢驗中的誤差均方，n為各處理的重復數(shù)。 當顯著水平=0.05和0.01時，從t值表中查出 和 ，代入(6-17)式得： (6-19) 利用LSD法進行多重比較時，可按如下步驟進行： (1) 列出平均數(shù)的多重比較表 比較表中各處理按其平均數(shù)

33、從大到小自上而下排列； eMS)(05. 0edft)(01. 0edft.)(01. 001. 0)(05. 005. 0jiejiexxdfxxdfStLSDStLSD第57頁/共145頁 (2)計算最小顯著差數(shù) 和 ； (3)將平均數(shù)多重比較表中兩兩平均數(shù)的差數(shù)與 、 比較，作出統(tǒng)計推斷。 對于【例6.1】， 各 處 理 的多重比較如 表6-4所示。05. 0LSD01. 0LSD05. 0LSD01. 0LSD下一張 主 頁 退 出 上一張 第58頁/共145頁 表6-4 四種飼料平均增重的多重比較表 (LSD法) 注：表中A4與 A3的差數(shù)3.22用q檢驗法與新復極差法時，在=0.0

34、5的水平上不顯著。 第59頁/共145頁 因為 查t值表得： t0.05(dfe) =t0.05(16) =2.120 t0.01(dfe) =t0.01(16) =2.921 所以，顯著水平為0.05與0.01的最小顯著差數(shù)為462. 15/34. 52/2.nMSSexxji271. 4462. 1921. 2099. 3462. 1120. 2.)(01. 001. 0)(05. 005. 0jiejiexxdfxxdfStLSDStLSD下一張 主 頁 退 出 上一張 第60頁/共145頁05. 0LSD01. 0LSD05. 0LSD05. 0LSD01. 0LSD01. 0LSD第

35、61頁/共145頁 檢驗結果除差數(shù) 1.68、1.54不顯著、3.22 顯著外， 其余兩個差數(shù)6.44、4.90極顯著。表明 A1飼料對魚的增重效果極顯著高于A2 和 A3，顯著高于A4；A4飼料對魚的增重效果極顯著高于A3飼料；A4 與A2、A2 與A3的增重效果差異不顯著，以A1飼料對魚的增重效果最佳。 第62頁/共145頁 關于LSD 法的應用有以下幾點說明： 1、 LSD 法實質上就是t檢驗法。它是將 t 檢驗中由所求得的t之絕對值 與臨界ta值的比較轉為將各對均數(shù)差值的絕對值 與最小顯著差數(shù) 的 比較而作出統(tǒng)計推斷的 。 但是，由于LSD法是利用F檢驗中的誤差自由度 df e 查 臨

36、界t值，利用誤差均 方 計 算 均 數(shù) 差 異 標 準誤 ， 因而法又不同于每次利用兩組數(shù)據(jù)進行多個 平 均 數(shù) 兩 兩 比較的檢驗法 。 它 解 決了本章開頭指出的 檢 驗 法 檢驗過 程 煩 瑣 ，無統(tǒng) 一 的)/)(.jixxjiSxxt.jixx .jixxaSteMS.jixxS下一張 主 頁 退 出 上一張 第63頁/共145頁試驗誤差且估計誤差的精確性和檢驗的靈敏性低這兩個問題。但 法并未解決推斷的可靠性降低、犯I型錯誤的概率變大的問題。 2、有人提出，與檢驗任何兩個均數(shù)間的差異相 比較，LSD法適用于各處理組與對照組比較而處理組間不進行比較的比較形式。實際上關于這種形式的比較更

37、適用的方法有頓納特(Dunnett)法 (關于此法，讀者可參閱其它有關統(tǒng)計書籍)。LSD第64頁/共145頁 3、因為LSD法實質上是t檢驗，故有人指出其最適宜的比較形式是：在進行試驗設計時就確定各處理只是固定的兩個兩個相比，每個處理平均數(shù)在比較中只比較一次。例如，在一個試驗中共有4個處理， 設 計 時 已 確 定 只是處理1與處理2、處理3與處理4(或1與3、2與4；或1與4、2與3)比較， 而 其它的處理間不進行比較。因為這種比較形式實際上不涉及多個均數(shù)的極差問題，所以不會增大犯I型錯誤的概率。下一張 主 頁 退 出 上一張 第65頁/共145頁 綜上所述，對于多個處理平均數(shù)所有可能的兩兩

38、比較，LSD法的優(yōu)點在于方法比較簡便，克服一般檢驗法所具有的某些缺點，但是由于沒有考慮相互比較的處理平均數(shù)依數(shù)值大小排列上的秩次，故仍有推斷可靠性低、犯I型錯誤概率增大的問題。為克服此弊病，統(tǒng)計學家提出了最小顯著極差法。 下一張 主 頁 退 出 上一張 第66頁/共145頁 (二)最小顯著極差法 (LSR法 ,Least significant ranges) LSR法的特點是把平均數(shù)的差數(shù)看成是平均數(shù)的極差， 根據(jù)極差范圍內(nèi)所包含的處理數(shù)(稱為秩次距)k的不同而采用不同的檢驗尺度，以克服LSD法的不足。這些在顯著水平上依秩次距k的不同而采用的不同的檢驗尺度叫做 最小顯著極差LSR。第67頁/

39、共145頁 例如有10 個要相互比較， 先將10個 依其數(shù)值大小順次排列， 兩 極 端平均數(shù)的差數(shù)(極差)的顯著性，由 其 差 數(shù) 是 否 大于秩次距k=10時的最小顯著極差決定 (為顯著，為不顯著）；而后是秩次距 k=9 的平均數(shù)的極差的顯著性，則由極差是否大于k=9 時 的最小顯著極差決定；直到任何兩個相鄰平均數(shù)的差數(shù)的顯著性由這些差數(shù)是否大于秩次距 k=2 時的最小顯著極差決定為止。因此，有 k個平均數(shù)相互比較，就有 k-1 種秩次距 (k ， k-1 ，k-2，2)，因而需求得k-1個最小顯著極差(LSR，k) ，分別作為判斷具有相應秩次距的平均數(shù)的極差是否顯著的標準。 xx下一張 主

40、 頁 退 出 上一張 第68頁/共145頁 因為LSR法是一種極差檢驗法 ， 所以當一個平均數(shù)大集合的極差不顯著時，其中所包含的各個較小集合極差也應一概作不顯著處理。 LSR法克服了LSD法的不足 ，但檢驗的工作量有所增加。常用的LSR法有q檢驗法和新復極差法兩種。 1、q檢驗法(q test) 此法是以統(tǒng)計量q的概率分布為基礎的。q值由下式求得： (6-20)xSq/第69頁/共145頁 式中，為極差， 為標準誤，分布依賴于誤差自由度dfe及秩次距k。 利用q檢驗法進行多重比較時 ， 為了簡便起見，不是將由(6-20)式算出的q值 與 臨界 q值 比較，而是將極差與 比較，從而作出統(tǒng)計推斷。

41、 即為水平上的最小顯著極差。nMSSex/),(kdfaeqxkdfaSqe),(xkdfaSqe),(下一張 主 頁 退 出 上一張 第70頁/共145頁 (6-21) 當顯著水平=0.05和0.01時， 從 附 表5(q值表)中根據(jù)自由度 及 秩 次 距 k 查出 和 代入(6-21)式得 (6-22) 實際利用q檢驗法進行多重比較時，可按如下步驟進行：xkdfakaSqLSRe),(,edf),(05. 0kdfeq),(01. 0kdfeqxkdfkxkdfkSqLSRSqLSRee),(01. 0,01. 0),(05. 0,05. 0第71頁/共145頁 (1)列出平均數(shù)多重比較表

42、； (2)由自由度dfe、秩次距k查臨界q值，計算最小顯著極差LSR0.05,k，LSR0.01,k； (3)將平均數(shù)多重比較表中的各極差與相應的最小顯著極差LSR0.05,k, LSR0.01,k比較，作出統(tǒng)計推斷。 對于【例6.1】，各處理平均數(shù)多重比較表同表6-4。 在表6-4中， 極差1.54、1.68、3.22的秩次距為2；極差3.22、4.90的秩次距為3；極差6.44的秩次距為4。 下一張 主 頁 退 出 上一張 第72頁/共145頁 因為，MSe=5.34，故標準誤 為 根據(jù)dfe=16，k=2，3，4 由 附表5查出=0.05、0.01水平下臨界q值，乘以標準誤求 得各最小顯

43、著極差，所得結果列于表6-5。xS033. 15/34. 5/nMSSexxS第73頁/共145頁 表6-5 q值及LSR值下一張 主 頁 退 出 上一張 第74頁/共145頁 將表6-4中的極差1.54、1.68、3.22 與表6-5中的最小顯著極差 3.099 、4.266比較 ； 將極差3.22、4.90與3.770、4.948比較； 將極差6.44與4.184、5.361比較。 檢驗結果， 除A4與 A3的差數(shù)3.22由LSD法比較時的差異顯著變?yōu)椴町惒伙@著外，其余檢驗結果同法。 第75頁/共145頁 2、新復極差法(new multiple range method) 此法是由鄧肯

44、(Duncan) 于1955年提出，故又稱Duncan法，此法還稱SSR法(shortest significant ranges)。 新復極差法與q檢驗法的檢驗步驟相同，唯一不同的是計算最小顯著極差時需查SSR表(附表6)而不是查q值表。最小顯著極差計算公式為 (6-23) xkdfakaSSSRLSRe),(,下一張 主 頁 退 出 上一張 第76頁/共145頁 其中是根據(jù)顯著水平、誤差自由度dfe、秩次距k，由SSR表查得的臨界SSR， 。=0.05 和 =0.01 水平下 的 最小顯著極差為： (6-24) 對于【例6.1】，各處理均數(shù)多重比較表同表6-4。 已算出 =1.033，依d

45、fe=16 k=2,3,4,由附表6查臨界SSR0.05(16,k)和SSR0.01(16,k)值，乘以 =1.033，求得各最小顯著極差，所得結果列于表6-6。 nMSSex/xkdfkxkdfkSSSRLSRSSSRLSRee),(01. 0,01. 0),(05. 0,05. 0 xSxS第77頁/共145頁 表6-6 SSR值與LSR值 下一張 主 頁 退 出 上一張 第78頁/共145頁 將表6-4中的平均數(shù)差數(shù)(極差)與表6-6中的最小顯著極差比較，檢驗結果與 q檢驗法 相同。 當各處理重復數(shù)不等時，為簡便起見，不論LSD法還是LSR法，可用(6-25)式計算出一個各處理平均的重復

46、數(shù)n0，以代替計算 或 所需的n。 (6-25) 式中k為試驗的處理數(shù)， (i=1,2,k)為第i處理的重復數(shù)。 .jixxSxSiiinnnkn2011in第79頁/共145頁 以上介紹的三種多重比較方法，其檢驗尺度有如下關系： LSD法新復極差法q檢驗法 當秩次距k=2時，取等號； 秩次距 k 3時，取小于號。在多重比較中，LSD法的尺度最小，q檢驗法尺度最大，新復極差法尺度居中。用 上述排列順序前面方 法 檢 驗 顯 著 的 差 數(shù) ，用 后 面 方 法 檢 驗 未 必 顯著；用后面 方 法 檢 驗 顯 著 的 差 數(shù) ， 用 前 面 方 法 檢 驗必 然 顯 著 。 一 般 地 講 ，

47、一 個下一張 主 頁 退 出 上一張 第80頁/共145頁試驗資料，究竟采用哪一種多重比較方法，主要應根據(jù)否定一個正確的 H0 和接受一個不正確的H0的相對重要性來決定。如果否定正確的 H0是事關重大或后果嚴重的，或對試驗要求嚴格時，用檢驗法較為妥當 ；如果接受一個不正確的H0是事關重大或后果嚴重的，則宜用新復極差法。 生物試驗中，由于試驗誤差較大，常采用新復極差法；F檢驗顯著后，為了簡便 ， 也 可采用LSD法。第81頁/共145頁 (三)多重比較結果的表示法 各平均數(shù)經(jīng)多重比較后，應以簡明的形式將結果表示出來，常用的表示方法有以下兩種。 1、三角形法 此法是將多重比較結果直接標記在平均數(shù)多

48、重比較表上，如表6-4所示。此法的優(yōu)點是簡便直觀，缺點是占的篇幅較大。 2、標記字母法 此法是先將各處理平均數(shù)由大到小自上而下排列 ； 然后在最大平均數(shù)后標記字母， 并 將 該 平 均數(shù)與 以 下 各 平 均 數(shù)依次相比，凡 差 異 不 顯著標 記 同 一 字 母 ，直到某一個與其差異顯著的平均數(shù)標記字母b ；下一張 主 頁 退 出 上一張 第82頁/共145頁 再以標有字母b的平均數(shù)為標準 ，與上方比它大的各個平均數(shù)比較，凡差異不顯著一律再加標b ，直至顯著為止； 再以標記有字母 b的最大平均數(shù)為標準，與下面各未標記字母的平均數(shù)相比，凡差異不顯著，繼續(xù)標記字母b，直至某一個與其差異顯著的平均

49、數(shù)標記c； 如此重復下去，直至最小一個平均數(shù)被標記、比較完畢為止。這樣，各平均數(shù)間凡有一個相同字母的即為差異不顯著，凡無相同字母的即為差異顯著。 用小寫拉丁字母表示顯著水平 =0.05 ，用大寫拉丁字母表示顯著水平=0.01。 在利用字母標記法表示多重比較結果時，常在三角形法的基礎上進行。此法的優(yōu)點是占篇幅小，在科技文獻中常見。 第83頁/共145頁 對于【例6.1】，現(xiàn)根據(jù)表6-4所表示的 用新復極差法進行多重比較結果用字母標記如表6-7所示(注意，用新復極差法進行多重比較 ， 表6-4中A4與A3的差數(shù)3.22在=0.05的水平 上不顯著，其余的與LSD法同)。 表6-7 表6-4多重比較

50、結果的字母標記(SSR法) 下一張 主 頁 退 出 上一張 第84頁/共145頁 在表6-7中 ，先將各處理平均數(shù)由大到小自上而下排列。當顯著水平=0.05時， 先 在平均 數(shù)31.18行上標記字母a；由于31.18與27.96 之差為3.22， 在=0.05水平上顯著 ， 所以 在 平均數(shù)27.96行上標記字母b；然后以標記字母b的平均數(shù)27.96 與 其 下方的 平均數(shù) 26.28 比較，差數(shù)為1.68，在=0.05水平上不顯著 ， 所以在平均數(shù)26.28行上標記字母b ；再將平均數(shù)27.96與平均數(shù)24.74比較 ，差數(shù)為3.22 ，在=0.05水平上不顯著，所以在平均數(shù)24.74行上標

51、記字母b。類似地，可以在= 0.01 將 各 處理平均數(shù)標記上字母，結果見表6-7。q檢驗結果與SSR法檢驗結果相同。下一張 主 頁 退 出 上一張 第85頁/共145頁 由表6-7看到，A1飼料對魚的平均增重極顯著地高于A2和A3飼料，顯著高于A4飼料；A4、A2、A3 三 種 飼料對魚的平均增重差異不顯著。四種飼料其中以A1飼料對魚的增重效果最好。 應當注意，無論采用哪種方法表示多重比較結果，都應注明采用的是哪一種多重比較法。下一張 主 頁 退 出 上一張 第86頁/共145頁 七、方差分析的基本步驟 方差分析的基本步驟歸納如下： （一）計算各項平方和與自由度； （二）列出方差分析表，進行

52、F檢驗； （三）若F檢驗顯著，則進行多重比較。 多重比較的方法有最小顯著差數(shù)法(LSD法)和最小顯著極差法 (LSR法 ：包括q檢驗法和新復極差法) 。表示多重比較結果的方法有三角形法和標記字母法。下一張 主 頁 退 出 上一張 第87頁/共145頁第二節(jié) 單因素試驗資料的方差分析 根據(jù)各處理內(nèi)重復數(shù)是否相等，單因素試驗資料的方差分析又分為重復數(shù)相等和重復數(shù)不等兩種情況。本節(jié)各舉一例予以說明。 下一張 主 頁 退 出 上一張 第88頁/共145頁一、各處理重復數(shù)相等的方差分析 【例6.3】抽測5個不同品種的若干頭母豬的窩產(chǎn)仔數(shù)，結果見表6-12，試檢驗不同品種母豬平均窩產(chǎn)仔數(shù)的差異是否顯著。

53、表6-12 五個不同品種母豬的窩產(chǎn)仔數(shù)下一張 主 頁 退 出 上一張 第89頁/共145頁 這是一個單因素試驗，k=5,n=5。現(xiàn)對此試驗結果進行方差分析如下： 1、計算各項平方和與自由度 00.2809)55/(265/22.knxC20.7300.280920.288200.2809)6548604151(51100.13600.280900.294500.2809)1314138 (222222.22222CxnSSCxSSitijT下一張 主 頁 退 出 上一張 第90頁/共145頁80.6220.7300.136tTeSSSSSS20424, 4151,241551tTetTdfdf

54、dfkdfkndf第91頁/共145頁 2、列出方差分析表，進行F檢驗 表6-13 不同品種母豬的窩產(chǎn)仔數(shù)的 方差分析表下一張 主 頁 退 出 上一張 第92頁/共145頁 根據(jù)df1=dft=4,df2=dfe=20查臨界F值 得：F0.05(4,20) =2.87,F0.05(4,20) =4.43 因為FF0.01(4,20)，即P0.01，表明品種間產(chǎn)仔數(shù)的差異達到1%顯著水平。 3、多重比較 采用新復極差法，各處理平均數(shù)多重比較表見表6-14。 下一張 主 頁 退 出 上一張 第93頁/共145頁 表6-14 不同品種母豬的平均窩產(chǎn)仔數(shù) 多重比較表(SSR法)下一張 主 頁 退 出

55、上一張 第94頁/共145頁 因為MSe=3.14,n=5，所以 為： 根據(jù)dfe=20，秩次距k=2，3，4，5由附表6查出=0.05和=0.01的各臨界SSR值，乘以 =0.7925，即得各最小顯著極差，所得結果列于表6-15。 xS793. 05/14. 3/nMSStxxS下一張 主 頁 退 出 上一張 第95頁/共145頁 表6-15 SSR值及LSR值下一張 主 頁 退 出 上一張 第96頁/共145頁 將表6-14中的差數(shù)與表6-15中相應的最小顯著極差比較并標記檢驗結果。 檢驗結果表明：5號品種母豬的平均窩產(chǎn)仔數(shù)極顯著高于2號品種母豬，顯著高于4號和1號品種，但與3號品種差異不

56、顯著 ；3號品種母豬的平均窩產(chǎn)仔數(shù)極顯著高于2號品種，與1號和4號品種差異不顯著；1號、4號、2號品種母豬的平均窩產(chǎn)仔數(shù)間差異均不顯著。五個品種中以5號品種母豬的窩產(chǎn)仔數(shù)最高，3號品種次之， 2號品種母豬的窩產(chǎn)仔數(shù)最低。 下一張 主 頁 退 出 上一張 第97頁/共145頁二、各處理重復數(shù)不等的方差分析 設處理數(shù)為k；各處理重復數(shù)為n1, n2, nk；試驗觀測值總數(shù)為N=ni。則 (6-28) tTetTtTeiitijTdfdfdfkdfNdfSSSSSSCnxSSCxSSNxC, 1, 1,/,/2.22.下一張 主 頁 退 出 上一張 第98頁/共145頁 【例6.4】 5個不同品種豬

57、的育肥試驗，后期30天增重(kg)如表6-16所示。試比較品種間增重有無差異。 表6-16 5個品種豬30天增重下一張 主 頁 退 出 上一張 第99頁/共145頁 此例處理數(shù)k=5，各處理重復數(shù)不等?，F(xiàn)對此試驗結果進行方差分析如下： 1、計算各項平方和與自由度 41.848225/5 .460/22.NxC下一張 主 頁 退 出 上一張 第100頁/共145頁20424415124125184.3850.4634.8550.4641.848291.852841.8482) 4/5 .664/8 .785/5 .916/0 .1036/0 .121(/34.8541.848275.856741

58、.8482)0 .160 .175 .195 .21(222222.22222tTetTtTeiitijTdfdfdfkdfNdfSSSSSSCnxSSCxSS下一張 主 頁 退 出 上一張 第101頁/共145頁 2、列出方差分析表，進行F檢驗 臨界F值為：F0.05(4,20) =2.87,F0.01(4,20) =4.43， 因為品種間的F值 5.99F0.01(4,20)，P0.01，表明品種間差異極顯著。下一張 主 頁 退 出 上一張 第102頁/共145頁 表6-17 5個品種育肥豬增重方差分析表下一張 主 頁 退 出 上一張 第103頁/共145頁 3、多重比較 采用新復極差法，

59、各處理平均數(shù)多重比較表見表6-18。 因為各處理重復數(shù)不等，應先由 (6-25)式計算出平均重復次數(shù)n0來代替標準誤 中的n，此例于是，標準誤 為： nMSSex/96. 4254456625151112222220iiinnnknxS625. 096. 4/94. 1/0nMSSex下一張 主 頁 退 出 上一張 第104頁/共145頁 表6-18 5個品種育肥豬平均增重 多重比較表(SSR法)下一張 主 頁 退 出 上一張 第105頁/共145頁 根據(jù)dfe=20，秩次距k=2,3,4,5，從附表6中查出=0.05與=0.01的臨界SSR值，乘以 =0.625，即得各最小顯極差，所得結果列

60、于表6-19。xS下一張 主 頁 退 出 上一張 第106頁/共145頁 表6-19 SSR值及LSR值表下一張 主 頁 退 出 上一張 第107頁/共145頁 將表6-18中的各個差數(shù)與表6-19中相應的最小顯著極差比較，作出推斷。檢驗結果已標記在表6-18中。 多重比較結果表明B1、B4品種的平均增重極顯著或顯著高于B2、B5品種的平均增重，其余不同品種之間差異不顯著?？梢哉J為B1、B4品種增重最快，B2、B5品種增重較差，B3品種居中。第108頁/共145頁第三節(jié) 兩因素試驗資料的方差分析 兩因素試驗資料的方差分析是指對試驗指標同時受到兩個試驗因素作用的試驗資料的方差分析。兩因素試驗按水