六年級(jí)奧數(shù)-第二講.比和比例.教師版

1、第二講 比和比例教學(xué)目標(biāo)：1、比例的基本性質(zhì)2、熟練掌握比例式的恒等變形及連比問題3、能夠進(jìn)行各種條件下比例的轉(zhuǎn)化，有目的的轉(zhuǎn)化；4、單位“ 1”變化的比例問題5、方程解比例應(yīng)用題知識(shí)點(diǎn)撥：比例與百分?jǐn)?shù)作為一種數(shù)學(xué)工具在人們?nèi)粘Ｉ钪刑幚矶嘟M數(shù)量關(guān)系非常有用，這一部分內(nèi)容也是小升初考試的重要內(nèi)容. 通過本講需要學(xué)生掌握的內(nèi)容有：一、比和比例的性質(zhì)性質(zhì) 1：若 a: b=c：d，則 (a + c)：(b + d)= a：b=c：d；性質(zhì) 2：若 a: b=c：d，則 (a - c)：(b - d)= a：b=c： d；性質(zhì) 3：若 a: b=c：d，則 (a +x c)：(b +x d)=a：b

2、=c：d； (x 為常數(shù) ) 性質(zhì) 4：若 a: b=c：d，則 a d = b c；(即外項(xiàng)積等于內(nèi)項(xiàng)積) 正比例：如果a b=k(k 為常數(shù) )，則稱 a、b 成正比；反比例：如果a b=k(k 為常數(shù) )，則稱 a、b 成反比二、主要比例轉(zhuǎn)化實(shí)例xaybybxa；xyab；abxy；xaybmxamyb；xmaymb( 其中0m) ；xaybxaxyab；xyabxa；xyabxyab；xayb，yczdxaczbd；:x yzac bc bd ；x的ca等于y的db，則x是y的adbc，y是x的bcad三、按比例分配與和差關(guān)系按比例分配例如：將x個(gè)物體按照:a b 的比例分配給甲、乙兩

3、個(gè)人， 那么實(shí)際上甲、乙兩個(gè)人各自分配到的物體數(shù)量與x的比分別為:aab 和:bab ，所以甲分配到axab個(gè)，乙分配到bxab個(gè). 已知兩組物體的數(shù)量比和數(shù)量差，求各個(gè)類別數(shù)量的問題例如：兩個(gè)類別a、b，元素的數(shù)量比為:a b ( 這里 ab ) ，數(shù)量差為x，那么a的元素?cái)?shù)量為axab，b的元素?cái)?shù)量為bxab，所以解題的關(guān)鍵是求出ab 與a或 b 的比值四、比例題目常用解題方式和思路解答分?jǐn)?shù)應(yīng)用題關(guān)鍵是正確理解、運(yùn)用單位“l(fā)” 。題中如果有幾個(gè)不同的單位“1” ，必須根據(jù)具體情況，將不同的單位“1” ，轉(zhuǎn)化成統(tǒng)一的單位“1” ，使數(shù)量關(guān)系簡(jiǎn)單化，達(dá)到解決問題的效果。在解答分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時(shí)，要注

4、意以下幾點(diǎn)：1.題中有幾種數(shù)量相比較時(shí)，要選擇與各個(gè)已知條件關(guān)系密切、便于直接解答的數(shù)量為單位“1” 。2.若題中數(shù)量發(fā)生變化的，一般要選擇不變量為單位“1” 。3.應(yīng)用正、反比例性質(zhì)解答應(yīng)用題時(shí)要注意題中某一數(shù)量是否一定，然后再確定是成正比例，還是成反比例。找出這些具體數(shù)量相對(duì)應(yīng)的分率與其他具體數(shù)量之間的正、反比例關(guān)系，就能找到更好、更巧的解法。4.題中有明顯的等量關(guān)系，也可以用方程的方法去解。5.賦值解比例問題例題精講：模塊一、比例轉(zhuǎn)化【例1】已知甲、乙、丙三個(gè)數(shù)，甲等于乙、丙兩數(shù)和的13，乙等于甲、丙兩數(shù)和的12，丙等于甲、乙兩數(shù)和的57，求:甲 乙 丙 .【解析】 由甲等于乙、 丙兩數(shù)

5、和的13， 得到甲等于三個(gè)數(shù)和的113+14， 同樣的乙等于甲、 丙兩數(shù)和的112+13，同樣的丙等于甲、乙兩個(gè)數(shù)和的557512，所以115:3: 4:543 12甲 乙 丙【例2】已知甲、乙、丙三個(gè)數(shù)，甲的一半等于乙的2倍也等于丙的23，那么甲的23、乙的2倍、丙的一半這三個(gè)數(shù)的比為多少？【解析】 甲 的 一 半 、 乙 的2倍 、 丙 的23這 三 個(gè) 數(shù) 的 比 為 1 :1 : 1 ， 所 以 甲 、 乙 、 丙 這 三 個(gè) 數(shù) 的 比 為121: 12 : 123即132:22，化簡(jiǎn)為 4:1: 3，那么甲的23、乙的2倍、丙的一半這三個(gè)數(shù)的比為214: 12 : 332即83:2

6、:32，化簡(jiǎn)為 16:12 : 9.【例3】如下圖所示，圓b與圓 c 的面積之和等于圓a面積的45，且圓a中的陰影部分面積占圓a面積的16，圓b的陰影部分面積占圓b面積的15，圓 c 的陰影部分面積占圓c 面積的13求圓a、圓b、圓 c 的面積之比cba【解析】 設(shè)a與b的 共 同 部 分 的 面 積 為x，a與 c 的 共 同 部 分 的 面 積 為y， 則 根 據(jù) 題 意 有564abcxy ，5bx，3cy，于是得到56453bcbc，這條式子可化簡(jiǎn)為15bc ，所以5204abcc . 最后得到:20:15 :1a b c.【例4】某俱樂部男、 女會(huì)員的人數(shù)之比是3:2 ， 分為甲、乙

7、、 丙三組已知甲、乙、 丙三組的人數(shù)比是10 :8:7 ，甲組中男、女會(huì)員的人數(shù)之比是3:1 ，乙組中男、女會(huì)員的人數(shù)之比是5:3求丙組中男、女會(huì)員人數(shù)之比【解析】 以 總?cè)藬?shù)為1，則甲組男會(huì)員人數(shù)為103310873110，女會(huì)員為31110310，乙組男會(huì)員為8511087535， 女 會(huì) 員 為1335525； 丙 組 男 會(huì) 員 為33113+210510， 女 會(huì) 員 為21393+2102550；所以，丙組中男、女會(huì)員人數(shù)之比為19:5:91050【鞏固】一項(xiàng)公路的修建工程被平均分成兩份承包給甲、乙個(gè)工程隊(duì)建設(shè)，兩個(gè)工程隊(duì)建設(shè)了相同多的一段時(shí)間后，分別剩下60% 、 40% 的任務(wù)

8、沒有完成，已知兩個(gè)工程隊(duì)的工作效率( 建設(shè)速度 ) 之比3:1 ，求這兩個(gè)工程隊(duì)原先承包的修建公路長(zhǎng)度之比.【解析】 ( 法一 )甲工程隊(duì)以3倍乙工程隊(duì)建設(shè)速度，僅完成了40% 的承包任務(wù)，而乙工程隊(duì)完成了60% ，所以甲工程隊(duì)承包任務(wù)的40% 等于乙工程隊(duì)承包任務(wù)的60%3180% ，所以甲工程隊(duì)的承包的任務(wù)是 乙 工 程 隊(duì) 承 包 任 務(wù) 的 180 %40%450%， 所 以 兩 個(gè) 工 程 隊(duì) 承 包 的 修 建 公 路 長(zhǎng) 度 之 比 為45 0% :19 : 2( 法二 )兩個(gè)工程隊(duì)完成的工程任務(wù)( 修建公路長(zhǎng)度)之比等于工作效率之比，等于3:1 ，而他們分別完成了各自任務(wù)的 4

9、0%和 60% ，所以兩個(gè)工程隊(duì)承包的修建公路長(zhǎng)度之比為340% : 160%9: 2 【例5】某團(tuán)體有 100名會(huì)員，男女會(huì)員人數(shù)之比是14:11 ，會(huì)員分成三組，甲組人數(shù)與乙、丙兩組人數(shù)之和一樣多，各組男女會(huì)員人數(shù)之比依次為12 :13 、 5: 3、 2:1 ，那么丙組有多少名男會(huì)員？【解析】 會(huì)員總?cè)藬?shù) 100人，男女比例為14:11 ，則可知男、女會(huì)員人數(shù)分別為56 人、44人；又已知甲組人數(shù)與乙、丙兩組人數(shù)之和一樣多，則可知甲組人數(shù)為50 人，乙、丙人數(shù)之和為50 人，可設(shè)丙組人數(shù)為x人，則乙組人數(shù)為50 x 人，又已知甲組男、女會(huì)員比為12:13 ，則甲組男、女會(huì)員人數(shù)分別為24

10、人、26 人，又已知乙、 丙兩組男、 女會(huì)員比例， 則可得：5224(50)5683xx， 解得18x 即丙組會(huì)員人數(shù)為18 人，又已知男、女比例，可得丙組男會(huì)員人數(shù)為218123人【例6】 ( 2007 年華杯賽總決賽)a、b、c 三項(xiàng)工程的工作量之比為1: 2: 3， 由甲、乙、 丙三隊(duì)分別承擔(dān) 三個(gè)工程隊(duì)同時(shí)開工，若干天后，甲完成的工作量是乙未完成的工作量的二分之一，乙完成的工作量是丙未完成的工作量的三分之一，丙完成的工作量等于甲未完成的工作量，則甲、乙、丙隊(duì)的工作效率的比是多少？【解析】 根據(jù)題意，如果把a(bǔ)工程的工作量看作1，則b工程的工作量就是2， c 工程的工作量就是3設(shè)甲、乙、丙

11、三個(gè)工程隊(duì)的工作效率分別為x、y、 z. 經(jīng)過 k 天，則：22133213kxkykykzkzkx將代入，得243kxky，將代入，得2223kxkx，47xk，將47xk代入，得67yk代入，得37zk甲、乙、丙三隊(duì)的工作效率的連比是463:4: 6:3777kkk【鞏固】某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽設(shè)一、二、三等獎(jiǎng)已知：甲、乙兩校獲一等獎(jiǎng)的人數(shù)相等；甲校獲一等獎(jiǎng)的人數(shù)占該校獲獎(jiǎng)總?cè)藬?shù)的百分?jǐn)?shù)與乙校相應(yīng)的百分?jǐn)?shù)的比為5: 6；甲、乙兩校獲二等獎(jiǎng)的人數(shù)總和占兩校獲獎(jiǎng)人數(shù)總和的20% ；甲校獲三等獎(jiǎng)的人數(shù)占該校獲獎(jiǎng)人數(shù)的50% ；甲校獲二等獎(jiǎng)的人數(shù)是乙校獲二等獎(jiǎng)人數(shù)的4.5 倍那么，乙校獲一等獎(jiǎng)的人數(shù)占該校獲

12、獎(jiǎng)總?cè)藬?shù)的百分?jǐn)?shù)等于多少？【解析】 由、 可知甲、 乙兩校獲獎(jiǎng)總?cè)藬?shù)的比為6:5，不妨設(shè)甲校有60 人獲獎(jiǎng)， 則乙校有50 人獲獎(jiǎng) 由知兩校獲二等獎(jiǎng)的共有(6050)20%22 人；由知甲校獲二等獎(jiǎng)的有22(4.51)4.518 人；由知甲校獲一等獎(jiǎng)的有606050%1812人，那么乙校獲一等獎(jiǎng)的也有12 人，從而所求百分?jǐn)?shù)為 1250100%24% 【例7】某校畢業(yè)生共有9 個(gè)班，每班人數(shù)相等已知一班的男生人數(shù)比二、三班兩個(gè)班的女生總數(shù)多 1；四、五、六班三個(gè)班的女生總數(shù)比七、八、九班三個(gè)班的男生總數(shù)多1那么該校畢業(yè)生中男、女生人數(shù)比是多少？【解析】 如下表所示，由知，一、二、三班的男生總數(shù)

13、比二、三班總?cè)藬?shù)多1；由知，四至九班的男生總數(shù)比四、五、六班總?cè)藬?shù)少1一班男生比二、三班女生多 1 人加上二、三班男生二、三班男生一、二、三班男生比二、三班總?cè)藬?shù)多 1 人七、八、九班男生比四、五、六班女生少 1 人加上四、五、六班男生四、五、六班男生四、五、六、七、八、九班男生比四、五、六班總?cè)藬?shù)少 1 人因此，一至九班的男生總數(shù)是二、三、四、五、六共五個(gè)班的人數(shù)之和，由于每班人數(shù)均相等，則女生總數(shù)等于四個(gè)班的人數(shù)之和所以，男、女生人數(shù)之比是5 :4模塊二、按比例分配與和差關(guān)系（一）量倍對(duì)應(yīng)【例8】一些蘋果平均分給甲、乙兩班的學(xué)生，甲班比乙班多分到16 個(gè)，而甲、乙兩班的人數(shù)比為13:11

14、，求一共有多少個(gè)蘋果？【解析】 一共有 1613111311192 個(gè)蘋果 .【鞏固】小新、小志、小剛?cè)藫碛械牟貢鴶?shù)量之比為3: 4:6 ，三人一共藏書52本，求他們?nèi)烁髯缘牟貢鴶?shù)量 .【解析】 根據(jù)題意可知，他們?nèi)烁髯缘牟貢鴶?shù)量分別占三人藏書總量的3346、4346、6346，所以小新?lián)碛械牟貢鴶?shù)量為35212346本，小志擁有的藏書數(shù)量為45216346本，小剛擁有的藏書數(shù)量為65224346本.【鞏固】在抗洪救災(zāi)區(qū)活動(dòng)中，甲、乙、丙三人一共捐了80 元已知甲比丙多捐18 元，甲、乙所捐資的和與乙、丙所捐資的和之比是10 :7 ，則甲捐元，乙捐元，丙捐元【解析】 由于甲比丙多捐18

15、元，所以甲、乙所捐資的和比乙、丙所捐資的和多18 元，那么甲、乙所捐資的和為：18(107)1060 (元) ， 乙、丙所捐資的和為601842元所以，甲捐了 804238 ( 元) ，乙捐了 603822 ( 元) ，丙捐了 381820 ( 元) 【鞏固】有 120個(gè)皮球，分給兩個(gè)班使用，一班分到的13與二班分到的12相等，求兩個(gè)班各分到多少皮球？【解析】 根據(jù)題意可知一班與二班分到的球數(shù)比1 1:3: 22 3，所以一班分到皮球31207232個(gè)，二班分到皮球 1207248 個(gè)【例9】一班和二班的人數(shù)之比是8:7 ，如果將一班的8名同學(xué)調(diào)到二班去，則一班和二班的人數(shù)比變?yōu)?: 5求原來

16、兩班的人數(shù)【解析】 原來一班的人數(shù)為兩班總?cè)藬?shù)的888715， 調(diào)班后一班的人數(shù)是兩班人數(shù)的44459，調(diào)班前后一班人數(shù)的比值為84:6 :5159，所以一班原來的人數(shù)為865648 人，二班原來的人數(shù)為488742 人.【例10】 幼兒園大班和中班共有32 名男生， 18 名女生 已知大班男生數(shù)與女生數(shù)的比為5:3，中班男生數(shù)與女生數(shù)的比為2:1 ，那么大班有女生多少名？【解析】 由于男、女生人數(shù)有比例關(guān)系，而且知道總數(shù)，所以可以用雞兔同籠的方法假設(shè)18 名女生全部是大班，則大班男生數(shù)：女生數(shù)5:330:18 ，即男生應(yīng)有30 人，實(shí)際上男生有32 人，相差 2 個(gè)人；又中班男生數(shù)：女生數(shù)2

17、 :16: 3，以 3 個(gè)中班女生換3 個(gè)大班女生，每換一組可增加1 個(gè)男生，所以需要換2 組；所以，大班女生有183212( 名) 【鞏固】參加植樹的同學(xué)共有720人，已知六年級(jí)與五年級(jí)人數(shù)的比是3: 2 ，六年級(jí)比四年級(jí)多80 人，三個(gè)年級(jí)參加植樹的各有多少人?【解析】 假設(shè)四年級(jí)和六年級(jí)人數(shù)同樣多，則參加植樹的同學(xué)共有72080800 人，四、五、六三個(gè)年級(jí)的人數(shù)比為 3:2:3 ，知道三個(gè)量的和及它們的比，就可以按比例分配，分別求出三個(gè)年級(jí)參加植樹的人數(shù)六年級(jí)：3800300323人；五年級(jí)：2800200323人；四年級(jí)： 30080220人【鞏固】圓珠筆和鉛筆的價(jià)格比是4：3，20

18、 支圓珠筆和21 支鉛筆共用715 元問圓珠筆的單價(jià)是每支多少元 ? 【解析】 設(shè)圓珠筆的價(jià)格為4，那么鉛筆的價(jià)格為3， 則 20 支圓珠筆和21 支鉛筆的價(jià)格為204+213=143，則單位“ 1”的價(jià)格為71.5 143=0.5 元所以圓珠筆的單價(jià)是o.5 4=2( 元) 【例11】 甲、乙兩只螞蟻同時(shí)從a點(diǎn)出發(fā)，沿長(zhǎng)方形的邊爬去，結(jié)果在距b點(diǎn)2厘米的 c 點(diǎn)相遇，已知乙螞蟻的速度是甲的1.2 倍，求這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)【解析】 兩 只螞蟻在距b點(diǎn)2厘米的 c 點(diǎn)相遇，說明乙比甲一共多走了224( 厘米 ) 又知乙螞蟻的速度是甲螞蟻的1.2 倍，相同時(shí)間內(nèi)乙螞蟻爬的路程與甲螞蟻爬的路程比為：1

19、. 2：16：5，所以甲爬的路程是465520 ( 厘米 )， 乙爬的路程是20424 ( 厘米) ，長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為202444 ( 厘米 ) 【例12】 甲乙兩車分別從a， b 兩地出發(fā)，相向而行出發(fā)時(shí)，甲、乙的速度比是54，相遇后，甲的速度減少 20，乙的速度增加20，這樣，當(dāng)甲到達(dá)b 地時(shí)，乙離a 地還有 10 千米問： a， b 兩地相距多少千米？【解析】 甲、乙原來的速度比是54，相遇后的速度比是：5 （ 120） 4 （120） 44856相遇時(shí)，甲、乙分別走了全程的95和94。設(shè)全程x 千米，剩下的部分甲行的長(zhǎng)度和乙行的長(zhǎng)度之比為5：6，其中相遇后甲行駛了全長(zhǎng)的4/9 ，所以乙行

20、駛了全長(zhǎng)的1586594，所以乙一共行了全長(zhǎng)454415894，還剩 1-4544451，沒有走所以a、b 全長(zhǎng)為 450 千米 . 【例13】 師徒二人加工一批零件，師傅加工一個(gè)零件用9 分鐘，徒弟加工一個(gè)零件用15 分鐘 完成任務(wù)時(shí)，師傅比徒弟多加工100 個(gè)零件，求師傅和徒弟一共加工了多少個(gè)零件？【解析】 師傅與徒弟的工作效率之比是11:5: 39 15，工作時(shí)間相同，工作量與工作效率成正比，所以師傅與徒弟分別完成總量的553和353，師傅和徒弟一共加工了53100()4005353個(gè)零件【鞏固】師徒二人共加工零件400 個(gè)，師傅加工一個(gè)零件用9 分鐘，徒弟加工一個(gè)零件用15 分鐘完成任

21、務(wù)時(shí)，師傅比徒弟多加工多少個(gè)零件？【解析】 師傅與徒弟的工作效率之比是11:5: 39 15，而工作時(shí)間相同，則工作量與工作效率成正比，所以師傅與徒弟分別完成總量的553和353，師傅比徒弟多加工零件534001005353個(gè)【例14】a、b、 c 三個(gè)水桶的總?cè)莘e是1440 公升，如果a、b兩桶裝滿水，c 桶是空的；若將a桶水的甲乙cba全部和b桶水的15，或?qū)桶水的全部和a桶水的13倒入 c 桶， c 桶都恰好裝滿求a、b、 c 三個(gè)水桶容積各是多少公升？【解析】 根據(jù)題意可知，a桶水的全部加上b桶水的15等于b桶水的全部加上a桶水的13， 所以a桶水的23等于b桶水的45，那么a桶水的

22、全部等于b桶水的426535， c 桶水為b桶水的617555所以a、b、 c 三個(gè)水桶的容積之比是67:1:6 :5: 755又a、b、 c 三個(gè)水桶的總?cè)莘e是1440 公升，所以a桶 的 容 積 是61 44 0480657公 升 ，b桶 的 容 積 是54804006公 升 ， c 桶 的 容 積 是74 805606公升【鞏固】學(xué)校四五六年級(jí)共有615 名學(xué)生，已知六年級(jí)學(xué)生的12，等于五年級(jí)學(xué)生的25，等于四年級(jí)學(xué)生的37。這三個(gè)年級(jí)各有多少名學(xué)生學(xué)生？【解析】 將六年級(jí)學(xué)生的12，等于五年級(jí)學(xué)生的25，等于四年級(jí)學(xué)生的37，看作一個(gè)單位，那么六年級(jí)學(xué)生人數(shù)等于2 個(gè)單位，五年級(jí)學(xué)生

23、等于2.5 個(gè)單位，四年級(jí)學(xué)生等于73學(xué)生，所以六年級(jí)、五年級(jí)、四年級(jí)學(xué)生人數(shù)的比為5 7212 15 142 3： ： ，所以六年級(jí)學(xué)生人數(shù)為12615121514=180 人，五年級(jí)學(xué)生人數(shù)為15615225121514人，四年級(jí)學(xué)生人數(shù)為14615210121514人【例15】 一塊長(zhǎng)方形鐵板， 寬是長(zhǎng)的45從寬邊截去21厘米，長(zhǎng)邊截去 35% 以后，得到一塊正方形鐵板問原來長(zhǎng)方形鐵板的長(zhǎng)是多少厘米?【解析】 如 果 只 將 長(zhǎng) 邊 截 去 35% ， 寬 、 長(zhǎng) 之 比 為 4 :513 5 %1 6 : 1 3， 所 以 寬 邊 的 長(zhǎng) 度 為2 1( 1 61 3 )1 61厘米，

24、所以原來鐵板的長(zhǎng)為41121405厘米【鞏固】一個(gè)正方形的一邊減少20% ，另一邊增加2米，得到一個(gè)長(zhǎng)方形，這個(gè)長(zhǎng)方形的面積與原正方形面積相等原正方形的邊長(zhǎng)是多少米?【解析】 要保證面積不變，一邊減少20% ，即是原來的45，另一邊要變成原來的54，即增加51144，所以原正方形的邊長(zhǎng)為1284( 米 ) .【例16】 一把小刀售價(jià)3元如果小明買了這把小刀，那么小明與小強(qiáng)剩余的錢數(shù)之比是2:5；如果小強(qiáng)買了這把小刀，那么兩人剩余的錢數(shù)之比變?yōu)?:13 小明原來有多少錢？【解析】 由已知，小強(qiáng)的錢相當(dāng)于小明、小強(qiáng)買刀后所剩錢數(shù)和的55257，小明的錢相當(dāng)于小明、小強(qiáng)買刀后錢數(shù)和的888+1321

25、，所以小明、小強(qiáng)的錢數(shù)的比值為85:8:1521 7，而小明買刀后小明、小強(qiáng)的錢數(shù)之比為2:56:15 ，所以小明買刀前后的錢數(shù)之比為8:64:3，所以小刀的售價(jià)等于小明原來錢數(shù)的43144，所以小明的錢數(shù)為13124元。也可這樣看，小明買刀與未買刀的錢數(shù)比為28:3: 4721，小明的錢數(shù)為434312（元）【鞏固】甲、乙兩人原有的錢數(shù)之比為6:5 ，后來甲又得到180 元，乙又得到30 元，這時(shí)甲、乙錢數(shù)之比為 18:11 ，求原來兩人的錢數(shù)之和為多少？【解析】 兩人原有錢數(shù)之比為6:5，如果甲得到180 元，乙得到150 元，那么兩人的錢數(shù)之比仍為6: 5 ，現(xiàn)在甲得到180 元，乙只得

26、到30 元，相當(dāng)于少得到了120 元，現(xiàn)在兩人錢數(shù)之比為18:11 ，可以理解為：兩人的錢數(shù)分別增加180 元和 150 元之后，錢數(shù)之比為18:15 ，然后乙的錢數(shù)減少120 元，兩人的錢數(shù)之比變?yōu)?8:11 ，所以120 元相當(dāng)于4 份， 1 份為30 元，后來兩人的錢數(shù)之和為30(1815)990元，所以原來兩人的總錢數(shù)之和為990180150660元【例17】 一項(xiàng)機(jī)械加工作業(yè)，用 4 臺(tái)a型機(jī)床， 5 天可以完成； 用 4 臺(tái)a型機(jī)床和 2 臺(tái)b型機(jī)床 3 天可以完成；用 3 臺(tái)b型機(jī)床和9 臺(tái) c 型機(jī)床， 2天可以完成， 若 3 種機(jī)床各取一臺(tái)工作5 天后， 剩下a、c型機(jī)床繼續(xù)

27、工作，還需要_ 天可以完成作業(yè)【解析】 由于用 4 臺(tái)a型機(jī)床 5 天可以完成；用4 臺(tái)a型機(jī)床和2 臺(tái)b型機(jī)床 3 天可以完成，所以2臺(tái)b型機(jī)床3 天完成的量等于4 臺(tái)a型機(jī)床2 天完成的量，則a、b兩種機(jī)床每天完成的量的比為23 : 423: 4，即a型機(jī)床每天完成的量為3，b型機(jī)床每天完成的量為4，該項(xiàng)作業(yè)總量為34560 ，那么 c 型機(jī)床每天完成的量為6024392，3 種機(jī)床各取一臺(tái)工作5 天后，剩下的工作量為60342515 ，a、 c 型機(jī)床還需繼續(xù)工作15323 天【例18】 動(dòng)物園門票大人20元，小孩 10 元六一兒童節(jié)那天，兒童免票，結(jié)果與前一天相比，大人增加了60% ，

28、兒童增加了90% ，共增加了2100 人，但門票收入與前一天相同六一兒童節(jié)這天共有多少人入園？【解析】 前 一天大人與小孩的人數(shù)比為1: (60%2)5:6，六一那天增加的大人與增加的小孩人數(shù)比為560% : 690%5:9，大 人 增 加 的 人 數(shù) 為5210075014人 ， 小 孩 增 加 的 人 數(shù) 為21007501350 人 ， 大 人 的 總 數(shù) 為7 5 06 0 %7 5 0人 ， 小 孩 的 總 人 數(shù) 為1 3 5 09 0 %1 3 5 0人，總?cè)藬?shù)為200028504850人【例19】 某水果批發(fā)市場(chǎng)存放的蘋果與桃子的噸數(shù)的比是1: 2 ，第一天售出蘋果的20% ，

29、售出桃子的噸數(shù)與所剩桃子的噸數(shù)的比是1: 3 ；第二天售出蘋果18噸，桃子12噸，這樣一來，所剩蘋果的噸數(shù)是所剩桃子噸數(shù)的415，問原有蘋果和桃子各有多少噸？【解析】 法一：設(shè)原來蘋果有x噸，則原來桃子有2x 噸，得：(120%x，解得37x所以原有蘋果 37 噸，原有桃子37274 (噸) 法二：原來蘋果和桃子的噸數(shù)的比是1: 2 ，把原來的蘋果的噸數(shù)看作1，則原來桃子的噸數(shù)為2，第一天后剩下的蘋果是41 (120%)5，剩下的桃子是332132，所以此時(shí)剩下的蘋果和桃子的重量比是43:8:1552現(xiàn)在再售出蘋果18 噸，桃子 12 噸，所剩的蘋果與桃子的重量比是4

30、:15 這就相當(dāng)于第一天后剩下的蘋果和桃子的重量比是8:15 ，先售出桃子12 噸，蘋果83212155噸，此時(shí)剩下的蘋果和桃子的重量比還是8:15 ，再售出32581855噸蘋果， 剩下的蘋果和桃子的重量比變?yōu)?:15 ，所以這585相當(dāng)于 844 份，最后剩下的桃子有581587542噸，那么第一天后剩下的桃子有871111222噸，原有桃子111374213噸，原有蘋果74237 噸（二）利用不變量統(tǒng)一份數(shù)【例20】 有一個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng)和寬的比是2 :1 ，寬與高的比是3:2 表面積為272cm ，求這個(gè)長(zhǎng)方體的體積.【解析】 由 條件長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高的比6: 3: 2 ，則長(zhǎng)方體的所有

31、視面，上面、前面、左面的面積比為63 : 62 : 3218:12: 63: 2:1 ，這三個(gè)面的面積和等于長(zhǎng)方體表面積的二分之一，所以，長(zhǎng)方體的上面的面積為2137218cm2321，前面的面積為2127212cm2321，左面的面積為2117206cm2321，而218 126129636，所以 36 即是長(zhǎng)、寬、高的乘積，所以這個(gè)長(zhǎng)方體的體積為336cm 【鞏固】有一個(gè)長(zhǎng)方體， 長(zhǎng)與寬的比是2:1 ，寬與高的比是3: 2已知這個(gè)長(zhǎng)方體的全部棱長(zhǎng)之和是220厘米，求這個(gè)長(zhǎng)方體的體積【解析】 由條件寬與高的比為23: 21:3，所以這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高的比為22:1:3即 6 :3:2 ，

32、由于長(zhǎng)方體的 所 有 棱 中 ， 長(zhǎng) 、 寬 、 高 各 有4條 ， 所 以 長(zhǎng) 方 體 的 長(zhǎng) 為16220304632厘 米 ， 寬 米 ， 高 為12220104632厘 米 ， 所 以 這 個(gè) 長(zhǎng) 方 形 的 體 積 為3 01 5104 5 0立方厘米 .【例21】 （2009 年第七屆“希望杯”二試六年級(jí)）某高速公路收費(fèi)站對(duì)于過往車輛收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：大型車30元，中型車 15元，小型車 10 元一天，通過該收費(fèi)站的大型車和中型車數(shù)量之比是5:6 ，中型車與小型車之比是4:11 ，小型車的通行費(fèi)總數(shù)比大型車多270 元 （1）這天通過收費(fèi)站的大型車、中型車、小

33、型車各有多少輛？（2）這天的收費(fèi)總數(shù)是多少元？【解析】 大型車、小型車通過的數(shù)量都是與中型車相比，如果能將5:6 中的 6 與 4:11 中的4統(tǒng)一成4,612 ，就可以得到大型車、中型車、小型車的連比由5: 610 :12 和 4:1112:33 ，得到10:12 :33大型車 : 中型車 : 小型車以 10 輛大型車、12輛中型車、33 輛小型車為一組因?yàn)槊拷M中 收 取 小 型 車 的 通 行 費(fèi) 比 大 型 車 多 1033301030 ( 元 ) ， 所 以 這 天 通 過 的 車 輛 共 有270309 ( 組 ) 所以這天通過大型車有10990 ( 輛 ) ，中型車有129108

34、( 輛) ，小型車有339297( 輛) （2）這天收取的總費(fèi)用為：309015108297107290 元【例22】 6 枚壹分硬幣摞在一起與5 枚貳分硬幣摞在一起一樣高，4枚壹分硬幣摞在一起與3枚伍分硬幣摞在一起一樣高用壹分、 貳分、 伍分硬幣各摞成一個(gè)圓柱體，并且三個(gè)圓柱體一樣高，共用了124枚硬幣，問：這些硬幣的幣值為多少元？【解析】 由題目條件壹分硬幣和貳分硬幣的數(shù)量比為6: 5，壹分硬幣和伍分硬幣的數(shù)量比為4:36: 4.5 ，所以壹分硬幣、貳分硬幣以及伍分硬幣的數(shù)量比為6: 5: 4.5，即 12 :10 :9，因此壹分硬幣的數(shù)量為121244812109枚 ， 貳 分 硬 幣

35、的 數(shù) 量 為101244012109枚 ， 伍 分 硬 幣 的 數(shù) 量 為91243612109枚，這些硬幣一共有481402365308分，即幣值為3.08 元【例23】 某工地用 3種型號(hào)的卡車運(yùn)送土方已知甲、乙、丙三種卡車載重量之比為10: 7:6 ，速度比為6:8: 9 ，運(yùn)送土方的路程之比為15 :14 :14 ，三種車的輛數(shù)之比為10 :5: 7工程開始時(shí)，乙、丙兩種車全部投入運(yùn)輸，但甲種車只有一半投入，直到 10 天后， 另一半甲種車才投入工作，一共干了 25 天完成任務(wù)那么，甲種車完成的工作量與總工作量之比是多少？【解析】 由于甲、乙、丙三種卡車運(yùn)送土方的路程之比為15 14

36、 14 ，速度之比為6 8 9，所以它們運(yùn)送1次所需的時(shí)間之比為15 14145714689249 ，相同時(shí)間內(nèi)它們運(yùn)送的次數(shù)比為：2495714 在前 10天，甲車只有一半投入使用，因此甲、 乙、丙的數(shù)量之比為5 5 7 由于三種卡車載重量之比為10 7 6 ，所 以 三 種 卡 車 的 總 載 重量 之 比 為 503542 那 么 三 種 卡車 在 前 10 天 內(nèi) 的 工 作 量 之比 為 ：24950354220 20 275714在后 15天，由于甲車全部投入使用，所以在后15天里的工 作 量 之 比 為 40 20 27 所 以 在 這 25 天 內(nèi) ， 甲 的 工 作 量 與

37、總 工 作 量 之 比 為 ：20 1040 1532202027104020271579()()【例24】 將一堆糖果全部分給甲、乙、丙三個(gè)小朋友原計(jì)劃甲、乙、丙三人所得糖果數(shù)的比為5: 4:3 實(shí)際上，甲、乙、丙三人所得糖果數(shù)的比為7:6:5 ，其中有一位小朋友比原計(jì)劃多得了15 塊糖果那么這位小朋友是 (填“甲”、 “乙”或“丙”) ，他實(shí)際所得的糖果數(shù)為塊【解析】 方法一：原計(jì)劃甲、乙、丙三人所得糖果數(shù)分別占總數(shù)的512，412，312；實(shí)際甲、乙、丙三人所得糖果數(shù)分別占總數(shù)的718，618，518，只有丙占總數(shù)的比例是增加的，所以這位小朋友是丙. 糖果總數(shù)為53155401812(

38、塊) ，丙實(shí)際所得的糖果數(shù)為554015018( 塊) 方法二：化通比為：甲乙丙總數(shù)為原計(jì)分配為 5 ： 4 : 3 12份實(shí)際分配為 7 ： 6 ： 5 18份化通比為 15 ： 12 ： 9 36份 14 ： 12 ： 10 36份對(duì)比分析甲15 14，乙 12 12，丙 9 10，發(fā)現(xiàn)多得糖果的是丙所以 15（ 10 9） 10150（塊）【鞏固】今年兒子的年齡是父親年齡的14， 15年后，兒子的年齡是父親年齡的511今年兒子多少歲？【解析】 方 法一：今年兒子的年齡相當(dāng)于父子年齡差的11413， 15 年后兒子的年齡相當(dāng)于父子年齡差的551156， 所以 15 年相當(dāng)于父子年齡差的51

39、1632， 年齡差為115302歲. 今年兒子 30310 歲. 方法二：今年兒子的年齡是父親年齡的14，所以兒子：父親1：4；15 年后，兒子的年齡是父親年齡的511，所以兒子：父親5：11。因?yàn)樵谀挲g問題中年齡差不變所以列表分析為：兒子父親年齡差1 ： 4 3 5 ： 11 6 根據(jù)不變量化通比為 2 ： 8 6 5 ： 11 6 對(duì)比分析為：15（ 52） 210（歲）【例25】 一個(gè)周長(zhǎng)是 56厘米的大長(zhǎng)方形，按圖與圖所示意那樣，劃分為四個(gè)小長(zhǎng)方形在圖中小長(zhǎng)方形面積的比是:1: 2a b，:1: 2b c而在圖中相應(yīng)的比例是:1: 3ab，:1: 3bc. 又知長(zhǎng)方形d的寬減去d的寬所

40、得到的差與d的長(zhǎng)減去d的長(zhǎng)所得到差之比為1: 3 求大長(zhǎng)方形的面積（ 1）dcbadcba【詳解】 因?yàn)?1: 2a b，:1: 2b c，所以:1: 4a c；因?yàn)?1: 3ab，:1: 3bc，所以:1: 9ac，設(shè)長(zhǎng)方形的寬為a, 長(zhǎng)為 b , 得：32143943105aabb得:2:5a b又56228ab，所以8a，20b所以長(zhǎng)方形面積208160 【例26】 北京中學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)男女運(yùn)動(dòng)員比例為19 :12 ，組委會(huì)決定增加女子藝術(shù)體操項(xiàng)目，這樣男女運(yùn)動(dòng)員比例變?yōu)?20:13 ；后來又決定增加男子象棋項(xiàng)目，男女比例變?yōu)?0 :19 , 已知男子象棋項(xiàng)目運(yùn)動(dòng)員比女子藝術(shù)體操運(yùn)動(dòng)員多15

41、人，則總運(yùn)動(dòng)員人數(shù)為多少？【解析】 將運(yùn)動(dòng)會(huì)最初的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)設(shè)為“1” ，那么男運(yùn)動(dòng)員人數(shù)為1919191231，女運(yùn)動(dòng)員人數(shù)為1231，而增加女子藝術(shù)體操項(xiàng)目，男運(yùn)動(dòng)員人數(shù)不變， 仍然是1931， 所以這時(shí)女運(yùn)動(dòng)員人數(shù)為19247201331620，增 加 男 子 象 棋 項(xiàng) 目 ， 女 運(yùn) 動(dòng) 員 人 數(shù) 保 持 不 變 ， 仍 然 是247620， 所 以 男 運(yùn) 動(dòng) 員 人 數(shù) 增 加 為24739193062062女子藝術(shù)體操項(xiàng)目人數(shù)為24712762031620，男子象棋項(xiàng)目的人數(shù)為39191623162，男子象棋項(xiàng)目運(yùn)動(dòng)員比女子藝術(shù)體操運(yùn)動(dòng)員原來總運(yùn)動(dòng)員

42、人數(shù)為3153100620人，男子象棋項(xiàng)目運(yùn)動(dòng)員有131005062人，女子藝術(shù)體操運(yùn)動(dòng)員有7310035620人，所以現(xiàn)在的總運(yùn)動(dòng)員人數(shù)為310050353185 人【鞏固】袋子里紅球與白球的數(shù)量之比是19:13 放入若干只紅球后，紅球與白球數(shù)量之比變?yōu)?:3；再放入若干只白球后，紅球與白球數(shù)量之比變?yōu)?3:11 已知放入的紅球比白球少80 只那么原來袋子里共有只球【解析】 根據(jù)第一次操作白球的數(shù)量不變，把19:13 改寫成 57 :39 ， 5: 3改寫成 65 :39 第二次操作相對(duì)于第一次操作紅球數(shù)量不變，把13:11 改寫成 65:55 ，這時(shí)我們可以看出，經(jīng)過兩次操作后，紅球共增加

43、了 65578 份 ， 白 球 增 加 了 553916 份 原 來 紅 球 有 8016857570 個(gè) ， 白 球 有8016839390個(gè)兩種球共570390960 個(gè)【例27】 有若干個(gè)突擊隊(duì)參加某工地會(huì)戰(zhàn)，已知每個(gè)突擊隊(duì)人數(shù)相同，而且每個(gè)隊(duì)的女隊(duì)員的人數(shù)是該隊(duì)的男隊(duì)員的718，以后上級(jí)從第一突擊隊(duì)調(diào)走了該隊(duì)的一半隊(duì)員，而且全是男隊(duì)員，于是工地上的全體女隊(duì)員的人數(shù)是剩下的全體男隊(duì)員的817，問開始共有多少支突擊隊(duì)參加會(huì)戰(zhàn)？【解析】 由于每個(gè)隊(duì)的女隊(duì)員的人數(shù)是該隊(duì)的男隊(duì)員的718，所以原來全體女隊(duì)員的人數(shù)是全體男隊(duì)員的718，即原來女隊(duì)員的人數(shù)占所有隊(duì)員人數(shù)的725，調(diào)走第一突擊隊(duì)的一半

44、隊(duì)員后，女隊(duì)員的人數(shù)占剩下的隊(duì)員總數(shù)的825，由于調(diào)走的全是男隊(duì)員，女隊(duì)員的人數(shù)沒有變化，所以調(diào)走后的隊(duì)員總數(shù)與調(diào)走前的隊(duì)員總數(shù)之比為2525:7:887，即調(diào)走的隊(duì)員人數(shù)占原來隊(duì)員總?cè)藬?shù)的18，而調(diào)走的隊(duì)員為第一突擊隊(duì)的一半，且每個(gè)突擊隊(duì)人數(shù)相同，11428，故開始共有4 支突擊隊(duì)參加會(huì)戰(zhàn)（三）利用等量關(guān)系列方程解比例【例28】 某學(xué)校入學(xué)考試， 參加的男生與女生人數(shù)之比是4:3 結(jié)果錄取91 人，其中男生與女生人數(shù)之比是 8:5未被錄取的學(xué)生中，男生與女生人數(shù)之比是3: 4 問報(bào)考的共有多少人？【解析】 ( 法 1) 錄取的學(xué)生中男生有8915658人，女生有 915635( 人) ， 先

45、將未錄取的人數(shù)之比3: 4 變成44: 43，又有356424( 人) ，所以每份人數(shù)是442354333( 人) ，那么未錄取的男生 有431 2 ( 人 ) ， 未 錄 取 的 女 生 有443163( 人 ) 所 以 報(bào) 考 總 人 數(shù) 是56123516119 (人) (法 2)設(shè)未被錄取的男生人數(shù)為3x 人，那么未被錄取的女生人數(shù)為4x 人，由于錄取的學(xué)生中男生有8915658人，女生有915635 (人)，則563: 3544:3xx，解得4x所以未被錄取的男生有12 人，女生有16 人報(bào)考總?cè)藬?shù)是56123516119 ( 人) 【例29】 有甲、乙兩塊含銅率不同的合金，甲塊重6

46、 千克，乙塊重4千克，現(xiàn)在從甲、乙兩塊合金上各切下重量相等的一部分，將甲塊上切下的部分與乙塊的剩余的部分一起熔煉，再將乙塊上切下的部分與甲塊的剩余的部分一起熔煉，得到的兩塊新合金的含銅率相同，求切下的重量為_【解析】 設(shè)切下的部分重量為x千克，則甲切下的x千克與乙剩下的(4) x千克混合 由于得到的兩塊新合金的含銅率相同，所以若將這兩塊新合金混合，得到的大塊合金的含銅率應(yīng)與原來的兩塊新合金的含銅率相同， 而這一大塊合金是由6 千克甲塊合金與4千克乙塊合金混合而成的，所以x千克甲塊合金與 (4) x千克乙塊合金混合后的含銅率與6 千克甲塊合金與4千克乙塊合金混合后的含銅率相同，而甲、乙兩塊合金含

47、銅率不同，所以這兩種混合中甲、乙兩種合金的重量比相同，即644xx，所以：464xx（ ） ，解得2.4x課后練習(xí)：練習(xí) 1.右圖是一個(gè)園林的規(guī)劃圖，其中，正方形的34是草地；圓的67是竹林；竹林比草地多占地450 平方米問：水池占多少平方米?【解析】 正方形的34是草地，那如果水池占1 份，草地的面積便是3 份；圓的67是竹林，水池占1 份，竹林的面積是6 份。從而竹林比草地多出的面積是（6-3=）3 份。 3 份的面積是450 平方米，可見1 份面積是 4503=150（平方米），即水池面積是150 平方米。練習(xí) 2.乙兩個(gè)班共種樹若干棵，已知甲班種的棵數(shù)的14等于乙班種的棵數(shù)的15， 且乙班比甲班多種樹24棵，甲、乙兩個(gè)班各種樹多少棵?【解析】 甲、乙兩班種樹棵數(shù)之比為：1 1:4