2022年2022年《三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用》的教學(xué)設(shè)計剖析

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載1.6三角函數(shù)模型的簡潔應(yīng)用教學(xué)設(shè)計一.教學(xué)分析三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)模型、 可以用來爭論許多問題、 在刻畫周期變化規(guī)律.猜測其將來等方面都發(fā)揮著非常重要的作用.三角函數(shù)模型的簡潔應(yīng)用的設(shè)置目的、 在于加強(qiáng)用三角函數(shù)模型刻畫周期變化現(xiàn)象的學(xué)習(xí). 本節(jié)教材通過4 個例題 、 循序漸進(jìn)地從四個層次來介紹三角函數(shù)模型的應(yīng)用、 在素材的挑選上留意了廣泛性.真實性和新奇性、 同時又關(guān)注到三角函數(shù)性質(zhì) 特殊為周期性 的應(yīng)用 .通過引導(dǎo)同學(xué)解決有肯定綜合性和摸索水平的問題、 培育他們綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科 的學(xué)問解決問題的才能. 培育同

2、學(xué)的建模.分析問題. 數(shù)形結(jié)合. 抽象概括等才能. 由于實際問題經(jīng)常涉及一些復(fù)雜數(shù)據(jù)、 因此要勉勵同學(xué)利用運算機(jī)或運算器處理數(shù)據(jù)、 包括建立有關(guān)數(shù)據(jù)的散點圖 、 依據(jù)散點圖進(jìn)行函數(shù)擬合等.二.教學(xué)目標(biāo)1.學(xué)問與技能：把握三角函數(shù)模型應(yīng)用基本步驟:1 依據(jù)圖象建立解析式 ; 2依據(jù)解析式作出圖象 ; 3將實際問題抽象為與三角函數(shù)有關(guān)的簡潔函數(shù)模型.2.過程與方法：挑選合理三角函數(shù)模型解決實際問題, 留意在復(fù)雜的背景中抽取基本的數(shù)學(xué)關(guān)系, 仍要調(diào)動相關(guān)學(xué)科學(xué)問來幫忙懂得問題； 切身感受數(shù)學(xué)建模的全過程,體驗數(shù)學(xué)在解決實際問題中的價值 和作用及數(shù)學(xué)和日常生活和其它學(xué)科的聯(lián)系；3.情態(tài)與價值：培育同學(xué)

3、數(shù)學(xué)應(yīng)用意識 ; 提高同學(xué)利用信息技術(shù)處理一些實際運算的才能；三.教學(xué)重點與難點教學(xué)重點 : 分析.整理.利用信息 、 從實際問題中抽取基本的數(shù)學(xué)關(guān)系來建立三角函數(shù)模型、 用三角函數(shù)模型解決一些具有周期變化規(guī)律的實際問題.教學(xué)難點 : 將某些實際問題抽象為三角函數(shù)的模型、 并調(diào)動相關(guān)學(xué)科的學(xué)問來解決問題.四.教學(xué)過程：三角函數(shù)模型的簡潔應(yīng)用一.導(dǎo)入新課思路1. 問題導(dǎo)入 既然大到宇宙天體的運動、 小到質(zhì)點的運動以及現(xiàn)實世界中具有周精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載期性變化的現(xiàn)象無處不在、 那么到底怎樣用三角函數(shù)解決這些具有周期性變化的問題？它到底能發(fā)揮哪些作用呢？由

4、此綻開新課.思路2. 我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的概念.圖象與性質(zhì)、 特殊爭論了三角函數(shù)的周期性.在現(xiàn)實生活中、 假如某種變化著的現(xiàn)象具有周期性、 那么為否可以借助三角函數(shù)來描述呢？ 回憶必修1 第三章其次節(jié) “函數(shù)模型及其應(yīng)用”、 面臨一個實際問題、 應(yīng)當(dāng)如何挑選恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來刻畫它呢？以下通過幾個詳細(xì)例子、 來爭論這種三角函數(shù)模型的簡潔應(yīng)用.二.推動新課.新知探究.提出問題回憶從前所學(xué)、 指數(shù)函數(shù).對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的模型都為常用來描述現(xiàn)實世界中的哪些規(guī)律的 .數(shù)學(xué)模型為什么、 建立數(shù)學(xué)模型的方法為什么.上述的數(shù)學(xué)模型為怎樣建立的.怎樣處理搜集到的數(shù)據(jù).活動 : 師生互動 、 喚起回憶 、

5、充分復(fù)習(xí)前面學(xué)習(xí)過的建立數(shù)學(xué)模型的方法與過程 . 對課前已經(jīng)做好復(fù)習(xí)的同學(xué)賜予夸獎 、 并勉勵他們類比以前所學(xué)學(xué)問方法 、 連續(xù)探究新的數(shù)學(xué)模型 . 對仍沒有進(jìn)入狀態(tài)的同學(xué) 、 老師要幫忙回憶并快速激起相應(yīng)的學(xué)問方法 . 在老師的引導(dǎo)下 、 同學(xué)能夠較好地回憶起解決實際問題的基本過程為 : 收集數(shù)據(jù)畫散點圖挑選函數(shù)模型求解函數(shù)模型檢驗用函數(shù)模型說明實際問題.這點很重要 、 同學(xué)只要有了這個認(rèn)知基礎(chǔ)、 本節(jié)的簡潔應(yīng)用便可迎刃而解. 新課標(biāo)下的教學(xué)要求 、 不為老師給同學(xué)解決問題或帶領(lǐng)同學(xué)解決問題、 而為老師引領(lǐng)同學(xué)逐步登高、 在合作探究中自己解決問題、 探求新知 .爭論結(jié)果 : 描述現(xiàn)實世界中不

6、同增長規(guī)律的函數(shù)模型.簡潔地說 、 數(shù)學(xué)模型就為把實際問題用數(shù)學(xué)語言抽象概括、 再從數(shù)學(xué)角度來反映或近似地反映實際問題時、 所得出的關(guān)于實際問題的數(shù)學(xué)描述. 數(shù)學(xué)模型的方法、 為把實際問題加以抽象概括 、 建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型、 利用這些模型來爭論實際問題的一般數(shù)學(xué)方法.解決問題的一般程序為:1°審題 : 逐字逐句的閱讀題意、 審清晰題目條件.要求.懂得數(shù)學(xué)關(guān)系；2°建模 : 分析題目變化趨勢、 挑選適當(dāng)函數(shù)模型；3°求解 : 對所建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析爭論得到數(shù)學(xué)結(jié)論；4°仍原 : 把數(shù)學(xué)結(jié)論仍原為實際問題的解答.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡

7、迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載畫出散點圖、 分析它的變化趨勢、 確定合適的函數(shù)模型.三.應(yīng)用示例例 1 如圖 1、某地一天從614 時的溫度變化曲線近似滿意函數(shù)y=sin x+ +b.圖 1(1) 求這一天的最大溫差;(2) 寫出這段曲線的函數(shù)解析式.活動 : 這道例題為20xx 年全國卷的一道高考題、 探究時老師與同學(xué)一起爭論. 本例為爭論溫度隨時間呈周期性變化的問題. 老師可引導(dǎo)同學(xué)摸索、 本例給出模型了嗎？給出的模型 函數(shù)為什么？要解決的問題為什么？怎樣解決？然后完全放給同學(xué)自己爭論解決.題目給出了某個時間段的溫度變化曲線這個模型. 其中第 1 小題實際上就為求函數(shù)圖 象的解析式 、 然后再求函

8、數(shù)的最值差. 老師應(yīng)引導(dǎo)同學(xué)觀看摸索: “求這一天的最大溫差”實 際指的為 “求 6 為到 14 時這段時間的最大溫差”、 可依據(jù)前面所學(xué)的三角函數(shù)圖象直接寫出 而不必再求解析式. 讓同學(xué)體會不同的函數(shù)模型在解決詳細(xì)問題時的不同作用. 第 2 小題只要用待定系數(shù)法求出解析式中的未知參數(shù)、 即可確定其解析式. 其中求 為利用半周期 14-6、通過建立方程得解.解:1由圖可知 、 這段時間的最大溫差為20 .2 從圖中可以看出、 從 6 14 時的圖象為函數(shù)y=asin x+ +b 的半個周期的圖象、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 a= 1 30-10=10、b=21 30+10=

9、20.2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 1 · 2=14-6、2 = . 將 x=6、y=10代入上式 、 解得 = 3.84綜上 、 所求解析式為y=10sin.x+ 3+20、x 6、14.84點評 : 本例中所給出的一段圖象實際上只取6 14 即可 、 這恰好為半個周期、 提示同學(xué)留意抓關(guān)鍵 . 本例所求出的函數(shù)模型只能近似刻畫這天某個時段的溫度變化情形、 因此應(yīng)當(dāng)特精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載別留意自變量的變化范疇、 這點往往被同學(xué)忽視掉.（互動探究）圖5 表示的為電流i 與時間 t 的函數(shù)關(guān)系圖 5精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料

10、- - - 歡迎下載i=asin x+ >0、| |< 在一個周期內(nèi)的圖象.2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載(1) 依據(jù)圖象寫出i=asin x+ 的解析式 ;(2) 為了使 i=asin x+ 中的 t 在任意一段和最小值 、 那么正整數(shù) 的最小值為多少.1s 的時間內(nèi)電流i 能同時取得最大值100精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解:1由圖知 a=300、 第一個零點為 1、0、其次個零點為3001、0、150精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 · 1+ =0、 ·3001+ = . 解得 =100 、 =1503、

11、i=300sin100 t+.3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2 依題意有t1、 即 21001100、 200 . 故 min =629.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 2做出函數(shù)y=|sinx|的圖象并觀看其周期例 3 如圖 2、 設(shè)地球表面某地正午太陽高度角為 、 為此時太陽直射緯度、 為該地的緯度值、 那么這三個量之間的關(guān)系為 =90°-| - |. 當(dāng)?shù)叵陌肽?取正值 、 冬半年 取負(fù)值 .假如在北京地區(qū) 緯度數(shù)約為北緯40° 的一幢高為h0 的樓房北面蓋一新樓、 要使新樓一層正午的太陽全年不被前面的樓房遮擋、 兩樓的距離不應(yīng)小于

12、多少.活動 :如圖 2 本例所用地理學(xué)問.物理學(xué)問較多、 綜合性比較強(qiáng) 、 需調(diào)動相關(guān)學(xué)科的學(xué)問來幫忙懂得問題、 這為本節(jié)的一個難點. 在探討時要讓同學(xué)充分熟識實際背景、 懂得各個量的含義以及它們之間的數(shù)量關(guān)系.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載第一由題意要知道太陽高度角的定義: 設(shè)地球表面某地緯度值為 、 正午太陽高度角為 、 此時太陽直射緯度為、 那么這三個量之間的關(guān)系為 =90° -| - |. 當(dāng)?shù)叵陌肽?取正值 、 冬半年 取負(fù)值 .依據(jù)地理學(xué)問、 能夠被太陽直射到的地區(qū)為南.北回來線之間的地帶、 圖形如圖3、 由畫圖易知太陽高度角 .樓高 h0

13、 與此時樓房在地面的投影長h 之間有如下關(guān)系: h0=htan .由地理學(xué)問知、 在北京地區(qū) 、 太陽直射北回來線時物體的影子最短、 直射南回來線時物體的影子最長 . 因此 、 為了使新樓一層正午的太陽全年不被遮擋、 應(yīng)當(dāng)考慮太陽直射南回來線時的情形 .圖 3解: 如圖 3、a .b. c分別為太陽直射北回來線.赤道.南回來線時樓頂在地面上的投影點. 要使新樓一層正午的太陽全年不被前面的樓房遮擋、 應(yīng)取太陽直射南回來線的情形考慮、此時的太陽直射緯度23° 26. 依題意兩樓的間距應(yīng)不小于mc.依據(jù)太陽高度角的定義、有 c 90° |40 ° 23° 26

14、 | 26° 34 、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以 mch0=tanch0tan 26 34' 2.000h 0、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載即在蓋樓時 、 為使后樓不被前樓遮擋、 要留出相當(dāng)于樓高兩倍的間距.點評 : 本例為爭論樓高與樓在地面的投影長的關(guān)系問題、 為將實際問題直接抽象為與三 角函數(shù)有關(guān)的簡潔函數(shù)模型、 然后依據(jù)所得的函數(shù)模型解決問題. 要直接依據(jù)圖2 來建立函數(shù)模型 、 同學(xué)會有肯定困難、 而解決這一困難的關(guān)鍵為聯(lián)系相關(guān)學(xué)問、 畫出圖3、 然后由圖形建立函數(shù)模型、 問題得以求解. 這道題的結(jié)論有肯定的實際應(yīng)用價值. 教

15、學(xué)中 、 老師可以在這精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載道題的基礎(chǔ)上再提出一些問題、 如下例的變式訓(xùn)練、 激發(fā)同學(xué)進(jìn)一步探究.變式訓(xùn)練某市的緯度為北緯23° 、 小王想在某住宅小區(qū)買房、 該小區(qū)的樓高7 層、 每層 3 米、 樓與樓之間相距15 米. 要使所買樓層在一年四季正午太陽不被前面的樓房遮擋、 他應(yīng)挑選哪幾層的房？圖 4解: 如圖 4、 由例 3 知 、 北樓被南樓遮擋的高度為h=15tan 90° -23 ° +23° 26 =15tan43 ° 34 14.26、由于每層樓高為3 米、 依據(jù)以上數(shù)據(jù) 、所

16、以他應(yīng)選3 層以上 .例 4 貨船進(jìn)出港時間問題: 海水受日月的引力、 在肯定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮. 一般地 、早潮叫潮 、 晚潮叫汐 . 在通常情形下、 船在漲潮時駛進(jìn)航道、 靠近碼頭 ; 卸貨后 、 在落潮時返回海洋 . 下面為某港口在某季節(jié)每天的時間與水深關(guān)系表:時刻水深 /0:003:006:009:0012:0015:0018:0021:0024:005.07.55.02.55.07.55.02.55.0米(1) 選用一個函數(shù)來近似描述這個港口的水深與時間的函數(shù)關(guān)系、 給出整點時的水深的近似數(shù)值 精確到 0.001.(2) 一條貨船的吃水深度 船底與水面的距離 為 4 米、 安全

17、條例規(guī)定至少要有1.5 米的安全間隙 船底與洋底的距離、 該船何時能進(jìn)入港口.在港口能呆多久.(3) 如某船的吃水深度為4 米、 安全間隙為1.5 米、 該船在 2:00 開頭卸貨 、 吃水深度以每小時 0.3 米的速度削減 、 那么該船在什么時間必需停止卸貨、 將船駛向較深的水域.活動 : 引導(dǎo)同學(xué)觀看上述問題表格中的數(shù)據(jù)、 會發(fā)覺什么規(guī)律.比如重復(fù)顯現(xiàn)的幾個數(shù)據(jù).并進(jìn)一步引導(dǎo)同學(xué)作出散點圖. 讓同學(xué)自己完成散點圖、 提示同學(xué)留意認(rèn)真精確觀看散點圖、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載如圖6. 老師引導(dǎo)同學(xué)依據(jù)散點的位置排列、 摸索可以用怎樣的函數(shù)模型來刻畫其中的規(guī)

18、律. 依據(jù)散點圖中的最高點.最低點和平穩(wěn)點、 同學(xué)很簡潔確定挑選三角函數(shù)模型. 港口的水深與時間的關(guān)系可以用形如y=asin x+ +h 的函數(shù)來刻畫 . 其中 x 為時間 、y 為水深 、 我們可以依據(jù)數(shù)據(jù)確定相應(yīng)的a、 、 、h 的值即可 . 這時留意引導(dǎo)同學(xué)與“五點法” 相聯(lián)系 . 要求同學(xué)獨立操作完成、 老師指導(dǎo)點撥、 并訂正可能顯現(xiàn)的錯誤、 直至無誤地求出解析式、 進(jìn)而依據(jù)所得的函數(shù)模型 、 求出整點時的水深.圖 6依據(jù)同學(xué)所求得的函數(shù)模型、 指導(dǎo)同學(xué)利用運算器進(jìn)行運算求解. 留意引導(dǎo)同學(xué)正確懂得題意 、 一天中有兩個時間段可以進(jìn)港. 這時點撥同學(xué)摸索: 你所求出的進(jìn)港時間為否符合時

19、間情形？假如不符合、 應(yīng)怎樣修改？讓同學(xué)養(yǎng)成檢驗的良好習(xí)慣.在本例 3 中、 應(yīng)保持港口的水深不小于船的安全水深 、 那么如何刻畫船的安全水深呢？ 引導(dǎo)同學(xué)摸索 、 怎樣把此問題翻譯成函數(shù)模型 . 求貨船停止卸貨 、 將船駛向深水域的含義又為什么 .老師引導(dǎo)同學(xué)將實際問題的意義轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)說明 、 同時提示同學(xué)留意貨船的安全水深.港口的水深同時在變 、 停止卸貨的時間應(yīng)當(dāng)在安全水深接近于港口水深的時候 .進(jìn)一步引導(dǎo)同學(xué)摸索: 依據(jù)問題的實際意義、 貨船的安全水深正好等于港口的水深時停止卸貨行嗎？為什么？正確結(jié)論為什么？可讓同學(xué)摸索.爭論后再由老師組織同學(xué)進(jìn)行評判. 通過爭論或爭辯、 最終得出一樣

20、結(jié)論: 在貨船的安全水深正好等于港口的水深時停止卸貨將船駛向較深水域為不行的、 由于這樣不能保證貨船有足夠的時間發(fā)動螺旋槳.解:1以時間為橫坐標(biāo)、 水深為縱坐標(biāo)、 在直角坐標(biāo)系中畫出散點圖 圖 6.依據(jù)圖象 、 可以考慮用函數(shù)y=asin x+ +h 刻畫水深與時間之間的對應(yīng)關(guān)系. 從數(shù)據(jù)和圖象可以得出:a 2.5、h 5、t 12、 0、由 t 2 12、 得 .6精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以這個港口的水深與時間的關(guān)系可用y 2.5sin由上述關(guān)系式易得港口在整點時水深的近似值:x+5 近似描述 .6精品學(xué)習(xí)

21、資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1:002:003:04:005:006:007:008:009:0010:011:00006.257.167.57.166.255.003.752.832.502.833.750550045054時0:00刻水5.00深0時刻12:013:014:015:016:017:018:019:020:021:022:023:0000000000000水深5.006.257.167.57.166.255.003.752.832.502.833.7500550045054(2) 貨船需要的安全水深為4+1.5 5.5 米、 所以當(dāng) y 5.5 時就可以進(jìn)港.精品學(xué)

22、習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載令 2.5sin6由運算器可得mode mode 2 shift-1sinx+5=5.5、sinx=0.2.6精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載0.2=0.201 357 92 0.201 4.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載如圖 7、 在區(qū)間 0、12內(nèi)、 函數(shù) y 2.5sinx+5 的圖象與直線y 5.5 有兩個交點a.b、6精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載圖 7精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載因此x 0.201 4、或 6x 0.201 4.6精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - -

23、- 歡迎下載解得 x a0.384 8、xb 5.615 2.由函數(shù)的周期性易得:x c12+0.384 8 12.384 8、xd 12+5.615 2 17.615 2.因此 、 貨船可以在0 時 30 分左右進(jìn)港 、 早晨 5 時 30 分左右出港 ; 或在中午12 時 30 分左右進(jìn)港 、 下午 17 時 30 分左右出港 . 每次可以在港口停留5 小時左右 .圖 8(3) 設(shè)在時刻x 貨船的安全水深為y、 那么 y=5.5-0.3x-2x 2. 在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出這兩個函數(shù)的圖象、 可以看到在6 7 時之間兩個函數(shù)圖象有一個交點 如圖 8.通過運算也可以得到這個結(jié)果. 在 6 時的水深約為5 米、 此時貨船的安全水深約為4.3 米;6.5時的水深約為4.2 米、 此時貨船的安全水深約為4.1 米;7 時的水深約為3.8 米、 而貨船的安全水深約為4 米. 因此為了安全 、 貨船最好在6.5 時之前停止卸貨、 將船駛向較深的水域.點評 : 本例為爭論港口海水深度隨時間呈周期性變化的問題、 題目只給出了時間與水深 的關(guān)系表 、 要想由此表直接得到函數(shù)模型為很困難的. 對第 2 問的解答 、 老師引導(dǎo)同學(xué)利用