群題極值點(diǎn)偏移

1、極值點(diǎn)偏移1、(2017合肥二模)已知 In(x m) _mx = 0 , ( m . 1)有兩個(gè)根 , x2,求證：x x2 : 0分析：幾何感受明顯，但有兩個(gè)地方帶m,常用的對(duì)T In(Xi m) - m Xi = 0t1%t2 x2(1)故只需證明，In(x m) _x =的兩根t2 : 0 ,即可。下面證明稱函數(shù)方法失效，但注意下圖： 方法一：In(t1 m) -t| = 0 ： In(t| m) - mtj，(x <0)11記：g(x) = In(x m) -mx , g，(x)m ;令 g (x)0 得 x m，x + mm11.g(x)在(-m， m )單調(diào)遞增；同理 g(

2、x)在( m，0)單調(diào)遞減。mm又：匕魚)g(xj =0，. E x ；同理 t2 X2，. % X2 : t t2只要證明In(x m) -x = 0的兩根，即ex - x二m的兩根t1 t2 ： 0即可;增-設(shè) f (x) =ex -x，易知 f (x)在(-構(gòu)造函數(shù) h(x)二 f (x) - f(x)=ex -eh'(x)二 ex-2 0， h(x)在(0,h(x) h(0) =0，即 f (x) f(-x)，. f (t2)f(t2)又 f(tj = f(t2)，f(tj f(-t2)，且 t1，-t2 <0-t| t2 <0，- x1 x2 : 0，得證。方法二

3、：證明：mx =1 n(捲+m)， mx2=l n(x2+m)1-(% m) _( x2+m)m In(片 m)In(x2 m)m) - In(x2 m)1 . 1(x1 m)(x2 +m)，(x1 m)(x2+m)2m 'm7 / 11再由XX2In (咅 m)ln (x2 m)x1x2n(x m) ln(x2 m)%x21門(片 m) - In(x2 m)得.In(xr+m)+ln(x2 十m) In(xi+m)(x2+m)得：x X?二In Am-2I<0,( m>i)m為x2: 0In x2、已知函數(shù) f (x)，如果 x x2 且 f (xj = f (x2),x

4、(方法1)分析：已知的是相等關(guān)系所求是一個(gè)不等關(guān)系，已知的是函數(shù)值之間的關(guān)系所求 是自變量之間的關(guān)系， 故考慮利用函數(shù)的單調(diào)性。 此外利用已知的相等關(guān)系將雙變量降為單 變量，從而構(gòu)造函數(shù)。證明：for，x(o,：)X易得當(dāng) x (0,e)時(shí)，f，(x)0 ,當(dāng) x (e,：)時(shí)，f，(x) ： 0 -f (x)在(0,e)單調(diào)遞增，在(e,：)單調(diào)遞減，且f(xj = f(x2)0 ： x1 : : e ： x2要證x x22e，只要2 :eeXi，又易知(0,e)X2X2所以只要證2f (x2) = f (xjf (邑)即可X2構(gòu)造函數(shù) F(x)二 f(x)-f( )，x (e,：) xIn

5、x In xIn x x(2 -In x)F(x)在(e,：)單調(diào)遞增，.F(x) F(e)=O2即f (x) f (二)，從而f(X2) f ()，即原結(jié)論成立，證畢。Xx2(方法2)(引入?yún)?shù)、設(shè)而不求，利用齊次式將雙變量降為單變量)因?yàn)閒 (xj = f (x2)，所以可設(shè)In x In x2In X1 訶人 (1)In 捲二 mx2 |1川|(2)(1)+( 2)得 In x1In x2= m(Xi X2)l川I丨(3)(1)- ( 2)得 In Xi - Inx2 =m(xi -X2)mnX1nx2，帶入(3)得% -x2咔Inx2=I(X2)=% _x2咅_x2冬1n生X1 ,X2

6、X2設(shè) t = XX2t (0,1)，則 In xi InX2itt -1要證x x22e，只要 In x1In x22t +12( t1)只要 Int 2即可，即只要Int即可t -1t+1設(shè) g(t) =I nt -, t (0,1)t 1(此處很重要，指對(duì)幕分離)所以g'(t)二進(jìn) 卷 o，所以g(t)在(0,1)單調(diào)遞增t(t1)2所以g(t) ：g(1) = 0，即Int -2(t 一1): 0,即Int ：坐丄，從而原結(jié)論成立，證畢注：本題變式In x =mx有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根2x2，求證：x1 x2 - ef (X2)3、已知 f(x)=xe",若 f(x)=x

7、ef且，f(xj求證：xix2 21 24、已知函數(shù)f(x) x (1-a)x-alnx , a R ,有兩個(gè)不同的零點(diǎn) x1, x2求證：x1 x22證明：f (x)的定義域?yàn)?0, ：)(x 1)(x -a)f x ：x顯然a冬0時(shí)，不符合題意a 0時(shí) 當(dāng)(0,a) f x ： 0 f (x)單調(diào)遞減當(dāng)x(a, ：), f x 0, f (x)單調(diào)遞增 f (x)有極小值 f (a)，且 0 ：為：X2下面證明x1 x2 - 2a構(gòu)造 F(x) = f (x) - f (2a-x), x (a,2a)=aln (2a -x) -alnx 2x -2a2(x-a)2x(x -2a):0x (

8、a,2a)-F(x)在(a, 2a)單調(diào)遞減.F (x) ： F (a) = 0f(x) ： f(2a-x)f(x2) ： f(2a-x2)又 f(xh = f (x2) . f(xj ： f (2a-x2)又為(0,a) 2a-X2(0,a)且f (x)在(0,a)單調(diào)遞減為 2a - x2 x1 x2 2a1 2又 f (a) a (1 a)a alna : 0 21lna a -1021設(shè) g(a) = lna £ a _1易知g(a)在(0,=)單調(diào)遞增，且g：0,g(2)0極值點(diǎn)偏移9 / ii由g(a) 0易知a -1Xi X2 2a 2a 05、已知函數(shù)f (x)二xl

9、nx x(a R),若函數(shù)g(x)二f (x) - x有兩根極值點(diǎn)2Xi,X2,(Xi求證：iic2aeInx.)Inx2證明：a 2g (x) = xlnxx - x,( x 0)2g (x) = Inx - ax1 _ ax設(shè) h(x) =1 nx-ax,(x 0) h(x)二x當(dāng)a乞0時(shí)，h(x) 0,h(x)在(0, ：)單調(diào)x遞增，不符合題意ii當(dāng)a 0時(shí)，若(0,), h (x) 0, h(x)在(0, )上單調(diào)遞增 ai若 x (, ：), h(x) ：0ah(x)在(丄，：)單調(diào)遞減a.h(xih(ilJ-ia a依題意h(x)有兩根不同的零點(diǎn)Xi, X2，不妨設(shè) 0 ：Xi：

10、X2i Inai-i 0. a ：e2 ae ： 2要證明2aeInx.)Inx2只要證明2即可,lnx.) Inx2F面證明:由上可知:In x_! = axiIn x2 = ax2lnxilnx2a 為X2且 In %I nx2 二 a(Mx2)ixx2aInxi - lnx2i ilnxi lnx2為X2l l (i lnxi Tnx2 xiXiX2)xiX2設(shè)XL,r (0,i) 故只要X2iInti2(t - J 2 即 2tlnt -t2 i 0即可極值點(diǎn)偏移令 m(t) =2tlnt -t21,t(0,1)m(t) =2(1 nt -t 1)易知m(t)在(0,1)單調(diào)遞增.m(

11、t) ：m(1)=0 m(t)在(0,1)單調(diào)遞減.m(t) m(1) =0即 2tlnt -t210所以原結(jié)論得證。6、已知a R，函數(shù)f(x)=x-aex1有兩個(gè)零點(diǎn) 為公2,(為：x2).(1) 求實(shí)數(shù)a的取值范圍。(2) 證明：eXl ex22解析：設(shè) t = ex . x = lnt則原函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為lnt -at 0有兩個(gè)根t1,t2(t：t2)要證明exi - ex2 2 只要t1 t2 2即可2(方法一)：對(duì)數(shù)均值不等式可證 t1 t( 2)a(方法二)：構(gòu)造函數(shù) 先設(shè)g(t) =lnt -at，1(t 0)11可得g(t)在(o,)單調(diào)遞增，在(一，：)單調(diào)遞減aa1

12、可得 0 ： x1x2a2要證t1 t22只要t2x1即可a2只要 g(t2)g( -xj 即可,又 g(tj=g(t2)a構(gòu)造函數(shù)h(x)二 g(t) -g(2 -x)a7、已知1f (x) = xxl nx2(1 )求f(x)的單調(diào)區(qū)間(2 )若f (x)二a有兩個(gè)不等實(shí)根 x1, x2求證：112為x2e&已知函數(shù)f (x) =ex - ax有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2 (x- ： x2)則下列說(shuō)法正確的是(18 / 11A.X-Jx2 : 2 B.a ： e C.x?1 D .有極小值點(diǎn)解析：(1) f (x) =ex_a有極值點(diǎn)怡=Ina而且 f (Ina) = a - alna .

13、 0 a e又八吋。|e 2 ax2 =0X2x1 = In a + l nx1 x2 = Ina Inx2(1)(1)-(2)得 X1 -X2 =lnX1 = Inx2X - X2212X1X22 In捲-Inx2Xx2 2(3) XjX21為 x2 = 2lna Inx1x2 : 2lna = 2x0F面另證x1 x22e 1 aX1 0 eX2 - ax20X1設(shè)t呂(t 1)X1e(5FIntx1 =t1.為x2 = (t 1)也 2 (要證)t -1只要Int -坐耳 0即可t +1I nl此處不宜直接令 g (t) = (t +1)廠1也不要轉(zhuǎn)化為g(t) =(t 1)lnt -2

14、(1)0原則是指對(duì)幕分離設(shè) g(t) J nt _2； ：)g (t)1 _4(t 1)2(t-1)2c2 0 t(t 1)2-g(t)在(1,二)單調(diào)遞增g(t) g(i)=o所以X-!x22再證為x2: 1X-|X2 =tx；"蟲 1 (要證)t -1只要Int-1 ： 0即可t沁t1”111t設(shè) h(t) =lnt -. h(x)22: 0tt t2 t2.h(t)在(0, ：)上單調(diào)遞減.h(t) : h(1) =0. %x2 : 19、已知f(x)=x -1 xlnx ,若f (x) = a有兩個(gè)不等實(shí)根 饑,X22求證：1X11+X2證明：設(shè)t丄tXlnt2 lnt2t,

15、(t 0)則g(t) =a有兩不等實(shí)根t1,t2 (不妨設(shè)山：t2)要證X2只要t1 t2 -即可e-2(1 l nt)4t21t (0,)時(shí),g(t)0,g(t)單調(diào)遞增e1t 一，匸：)時(shí)g (t) : 0,g(t)單調(diào)遞減e1 eg(t)max 二 g( )二e 2e12方程g(t) =a要有兩個(gè)不等實(shí)根，則a 即一2ae且 0 ： t,： 1 : t2e1F面證明t1 ' t2alnt| _ lnt2 二 2a(b _t2),4 Int1lnt2 二 2a(t1 t2)、丄2lng Fat!2 +l nt2 =2at2丄_ t1 t2_小2a 4 lnt1 lnt2ln 1)I

16、nt221-t1 t得證a2(方法2)：要證右+t2 >-22只要 t2-ti只要 g(t2)：g( -ti)ee2又 g(tj=g(t2)所以只要證 g(ti) ： g(-切e2構(gòu)造函數(shù) h(t) =g(t) _g( t)e以下略10、(2016年新課標(biāo)i)已知f (x) =(x-2)ex a(x-1)2有兩個(gè)零點(diǎn)(i)求a的取值范圍設(shè)Xi,X2是f (x)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：Xi x： 2In x11、 (2015年中國(guó)科技大學(xué)自主招生考試)已知函數(shù)f(x)= x(1)求函數(shù)f(X)的單調(diào)區(qū)間和最大值 設(shè)0：a：b,且ab二ba,證明：a b 2e,其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)1 _ x12

17、、 (2013年湖南卷)已知函數(shù)f (x)ex1+x(1)求f (x)的單調(diào)區(qū)間證明：當(dāng) f (xj = f (X2)(Xj = x2)時(shí)， x2 : 013、(2011年遼寧卷)已知函數(shù)f(x) =ln x-ax2 (2-a)x(1)討論f (x)的單調(diào)性 若函數(shù)y = f (x)的圖像與x軸交于A,B兩點(diǎn)，線段 AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 x0，證明：f (X)014、已知函數(shù) f(x) = lnx-ax(a R)(1)若函數(shù)f (x)無(wú)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) a的取值范圍 ” , 2若存在兩個(gè)實(shí)數(shù)X1, X2且為=X2,滿足f (為)=0, f(X2) = 0,15、 已知f (x) = xln x的圖

18、像上有兩點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為0 ： % ： x2 ： 1,且f (%) = f (x2)2(1)證明： ：:：x-i x2 : 1e若X1 X2 1,求t的取值范圍1解析：(1) f (x) =1 Inx,令 f(x)=O得 X 二 e111所以0 ： x1x2 <1且f (x)在(0,)單調(diào)遞減，在(：)單調(diào)遞增eee2構(gòu)造函數(shù)(極值點(diǎn)偏移)易證x1 x2以下略e要證明 - x2 : 1只要x2 ： 1 - 即可、 1 1 1 1 1(因?yàn)?X1, x1 - x1 - 1且，x?)eee ee1而f (x)在(，=)單調(diào)遞增e所以只要證明f (x2) ： f (1-xj只要f(xj ： f(1_xj即可1構(gòu)造函數(shù) g(x) = f (x) - f (1x), x (0,)21 2xg (x) =ln x ln( 1 -x) 2 g (x)0x(1 x)1.g (x)在(0,-)上單調(diào)遞增21由于 x； 0 時(shí)，g (x)且 g ()= In(e-1)0e1故必存在x° (0,),使得g (x0)=