第二章角動(dòng)量

1、2 2.3 角動(dòng)量定理角動(dòng)量定理力矩是通過分析引起轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)改變的原因而引入的。力矩是通過分析引起轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)改變的原因而引入的。本部分通過研究力矩的時(shí)間累積效應(yīng)，本部分通過研究力矩的時(shí)間累積效應(yīng)，引進(jìn)沖量矩的引進(jìn)沖量矩的概念，概念，建立刻畫與力矩的作用效果有關(guān)的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)建立刻畫與力矩的作用效果有關(guān)的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的另一描述量狀態(tài)的另一描述量角動(dòng)量角動(dòng)量，推導(dǎo)出質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定推導(dǎo)出質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理，并將之推廣到質(zhì)點(diǎn)系的一般情形，并考慮了重理，并將之推廣到質(zhì)點(diǎn)系的一般情形，并考慮了重要的力矩的時(shí)間累計(jì)效應(yīng)為零這一特殊情形。作為要的力矩的時(shí)間累計(jì)效應(yīng)為零這一特殊情形。作為力學(xué)基本定理的總結(jié)，本部分扼要介紹對(duì)稱

2、性與守力學(xué)基本定理的總結(jié)，本部分扼要介紹對(duì)稱性與守恒律的問題。恒律的問題。2.3 .1 2.3 .1 質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理與角動(dòng)量守恒定律與角動(dòng)量守恒定律本本部部分分內(nèi)內(nèi)容容2.3 .2 2.3 .2 質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理與角動(dòng)量守恒定律質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理與角動(dòng)量守恒定律2.4 2.4 對(duì)稱性與守恒定律對(duì)稱性與守恒定律為力的作用點(diǎn)的位置矢量為力的作用點(diǎn)的位置矢量力矩大?。毫卮笮。篛xyPrFMz2.3.1 2.3.1 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理一、力矩一、力矩FrMsinFrM r力對(duì)參考點(diǎn)力對(duì)參考點(diǎn)O的力矩：的力矩：在直角坐標(biāo)系中在直角坐標(biāo)系中kFjFiFFzyxkzj yi xr方向

3、由方向由右手螺旋規(guī)則右手螺旋規(guī)則確定。確定。FrMzyxFFFzyxkjikMjMiMzyxjxFzFzx)(kyFxFxy)(izFyFyz)(kjiikjjikOxyPzijk為質(zhì)點(diǎn)的位置矢量為質(zhì)點(diǎn)的位置矢量大?。捍笮。篛xyPrpLz二、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量、角動(dòng)量定理二、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量、角動(dòng)量定理vmrprLsinprL r方向由方向由右手螺旋規(guī)則右手螺旋規(guī)則確定確定由矢量微商法則由矢量微商法則dtBdABdtAddtBAdFrvmv得得在在慣性參考系慣性參考系中，一質(zhì)點(diǎn)中，一質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量的角動(dòng)量tprpdtrddtLdd dMFrdtLdM 在慣性參考系中，在慣性參考系中，質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定參考點(diǎn)的角

4、質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定參考點(diǎn)的角動(dòng)量在任意時(shí)刻的時(shí)間變化率等于質(zhì)點(diǎn)在動(dòng)量在任意時(shí)刻的時(shí)間變化率等于質(zhì)點(diǎn)在該時(shí)刻所受合外力對(duì)該點(diǎn)的力矩。該時(shí)刻所受合外力對(duì)該點(diǎn)的力矩。質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)O的角動(dòng)量定理的角動(dòng)量定理定義定義沖量矩沖量矩：abbattLLLddtMba角動(dòng)量定理的另一形式角動(dòng)量定理的另一形式在慣性參考系中，在慣性參考系中，質(zhì)點(diǎn)所受合外力在其任一運(yùn)動(dòng)過程質(zhì)點(diǎn)所受合外力在其任一運(yùn)動(dòng)過程中對(duì)任一固定點(diǎn)的沖量矩等于質(zhì)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)的角動(dòng)量在中對(duì)任一固定點(diǎn)的沖量矩等于質(zhì)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)的角動(dòng)量在該過程中的增量。該過程中的增量。注意：注意：1. 為物體相對(duì)于指定參考點(diǎn)的位矢，所以求物體所為物體相對(duì)于指定參考點(diǎn)的位矢，

5、所以求物體所受的力矩時(shí)必須先指明參考點(diǎn)，相對(duì)于不同的參考點(diǎn)，受的力矩時(shí)必須先指明參考點(diǎn)，相對(duì)于不同的參考點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的位矢對(duì)應(yīng)的位矢 不同。物體所受的力矩不同。不同。物體所受的力矩不同。rr3.如果力如果力 的方向始終指向一個(gè)固定點(diǎn)，則該力就稱為的方向始終指向一個(gè)固定點(diǎn)，則該力就稱為有心力，該固定點(diǎn)稱為這個(gè)力的力心。有心力，該固定點(diǎn)稱為這個(gè)力的力心。F受到有心力作用的物體，相對(duì)于力心，其所受力矩為零。受到有心力作用的物體，相對(duì)于力心，其所受力矩為零。2.何時(shí)何時(shí) 為零？為零？ Ma.0Fc.受到有心力作用受到有心力作用b.力的作用線與軸相交力的作用線與軸相交 【補(bǔ)充例補(bǔ)充例】一質(zhì)量為一質(zhì)量為m m

6、的質(zhì)點(diǎn)沿著一條空間曲線運(yùn)的質(zhì)點(diǎn)沿著一條空間曲線運(yùn)動(dòng)，該曲線在直角坐標(biāo)下的矢徑為：動(dòng)，該曲線在直角坐標(biāo)下的矢徑為：其中其中a、b、 皆為常數(shù)，皆為常數(shù)，求求該質(zhì)點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)的角動(dòng)量。該質(zhì)點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)的角動(dòng)量。j tbi tadtrdvcossin vmrL解：解：kmab jtbi tar sincos ktmabktmab 22sincos j tbi tadtrdvcossin 解：解：分析分析,vmrL jir34 ？點(diǎn)點(diǎn)的的角角動(dòng)動(dòng)量量求求：該該時(shí)時(shí)刻刻質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)對(duì)對(duì) L0【補(bǔ)充例補(bǔ)充例】質(zhì)量為質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)，某時(shí)刻的位置如圖，的質(zhì)點(diǎn)，某時(shí)刻的位置如圖，速度為速度為 受力為受力為j6 vjF2

7、 （SI）kmjmjiL246)34( (Z(Z軸正方向軸正方向) )FrM 利用利用 （4，3）0 xy的的力力矩矩的的大大小小和和方方向向？點(diǎn)點(diǎn)該該時(shí)時(shí)刻刻質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)受受到到的的對(duì)對(duì) 0思考：思考： PObxy【補(bǔ)充例補(bǔ)充例】 t=0時(shí)，質(zhì)量為時(shí)，質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)由的質(zhì)點(diǎn)由 P點(diǎn)自由下落。點(diǎn)自由下落。 問：?jiǎn)枺?. 在任意在任意t時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)所受的對(duì)原點(diǎn)時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)所受的對(duì)原點(diǎn)O的力矩的力矩? 2.在任意在任意t時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)O的角動(dòng)量。的角動(dòng)量。j yixr vmrL FrM jmgF在任意在任意t時(shí)刻時(shí)刻jgt vFrM )jgt21ib(2 jmg kbmg 方向垂直于紙面

8、向里方向垂直于紙面向里解解:jgtib221 kbmgtjmgtjgtibvmrL221 【補(bǔ)充例補(bǔ)充例】質(zhì)點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)（對(duì)圓心的）角動(dòng)量：（對(duì)圓心的）角動(dòng)量：)()(vvv rrmmrL大?。捍笮。簉mmvrLv sin【補(bǔ)充例補(bǔ)充例】 行星在繞太陽公轉(zhuǎn)時(shí)的橢圓軌行星在繞太陽公轉(zhuǎn)時(shí)的橢圓軌道運(yùn)動(dòng)對(duì)定點(diǎn)道運(yùn)動(dòng)對(duì)定點(diǎn)（太陽）的角動(dòng)量：（太陽）的角動(dòng)量：)(v rmprL大小：大小： sinrmLv 方向：方向：垂直于軌道平面垂直于軌道平面方向：方向：ovLrovLrm 【補(bǔ)充例補(bǔ)充例】 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m、長為、長為L的均勻細(xì)棒，的均勻細(xì)棒，可在水平桌面上繞通過其一端的豎直固定軸轉(zhuǎn)

9、可在水平桌面上繞通過其一端的豎直固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，已知細(xì)棒與桌面的摩擦因素為動(dòng)，已知細(xì)棒與桌面的摩擦因素為 ,求求棒轉(zhuǎn)動(dòng)棒轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)受到的摩擦力矩的大小。時(shí)受到的摩擦力矩的大小。xodxx如圖，距如圖，距O點(diǎn)為點(diǎn)為x，長為，長為dx的質(zhì)元的質(zhì)元dm的質(zhì)量的質(zhì)量解：解：xlmmdd)d(dmgxMmgLxxlmgmgxML21dd0其所受阻力矩其所受阻力矩xodxx三、質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量守恒定律三、質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量守恒定律若外力對(duì)某個(gè)固定點(diǎn)若外力對(duì)某個(gè)固定點(diǎn)O的力矩為零時(shí)，即的力矩為零時(shí)，即 ，則對(duì)同一固定點(diǎn)則對(duì)同一固定點(diǎn)O的角動(dòng)量不變，即的角動(dòng)量不變，即角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律dtLdM 0LL0M有時(shí)質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)

10、過程中所受力矩在某個(gè)方向上的分量為零，有時(shí)質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中所受力矩在某個(gè)方向上的分量為零，則在該方向上的角動(dòng)量分量守恒，則在該方向上的角動(dòng)量分量守恒，例如例如0 xM1CLx時(shí)，時(shí)，(恒量恒量) Sm如行星在太陽的萬有引力的作用如行星在太陽的萬有引力的作用下，顯然，相對(duì)于太陽的力矩為下，顯然，相對(duì)于太陽的力矩為零，相對(duì)于太陽的角動(dòng)量不變，零，相對(duì)于太陽的角動(dòng)量不變，不但大小不變，而且方向不變，不但大小不變，而且方向不變，行星的軌道在同一平面內(nèi)。行星的軌道在同一平面內(nèi)。0sinLmrvL rFvLsinmvrL m Lvrdr開普勒第二定律開普勒第二定律dtrdrmsin212sinrdtrdm

11、Frrdrrd0sinLmrvL三角形面積三角形面積dtdSm2.constdtdS力力 力矩力矩動(dòng)量動(dòng)量 角動(dòng)量角動(dòng)量沖量沖量沖量矩沖量矩力與動(dòng)量力與動(dòng)量力矩與角動(dòng)量力矩與角動(dòng)量動(dòng)量定理動(dòng)量定理(沖量與動(dòng)量沖量與動(dòng)量)角動(dòng)量定理角動(dòng)量定理(沖量矩與角動(dòng)量沖量矩與角動(dòng)量)動(dòng)量守恒動(dòng)量守恒：某一時(shí)間間隔內(nèi)，某一時(shí)間間隔內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)系所受外力矢量和始終質(zhì)點(diǎn)系所受外力矢量和始終為零，為零，角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒：對(duì)固定參考點(diǎn)而對(duì)固定參考點(diǎn)而言，質(zhì)點(diǎn)受到的合力矩始終為言，質(zhì)點(diǎn)受到的合力矩始終為零，零，F(xiàn)rMF21ttdtFI21ttdtMvmPvmrL1221vmvmdtFttdtvmdFdtLdM1221

12、21LLLddtMLLtt一一質(zhì)量為質(zhì)量為m的的質(zhì)點(diǎn)以速率質(zhì)點(diǎn)以速率v作作圓錐擺運(yùn)動(dòng)。圓錐擺運(yùn)動(dòng)。分別以圓心分別以圓心O 和懸掛點(diǎn)和懸掛點(diǎn)A OAgmm分析張力力矩、分析張力力矩、重力力矩、重力力矩、 合力力矩合力力矩和質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量。和質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量。解解求求張力力矩張力力矩重力力矩重力力矩合力力矩合力力矩角動(dòng)量角動(dòng)量AOTRv方向方向0TrgmRvgmrv0)(TgmRgmrTgmr)(vcmRvr為參考點(diǎn)，為參考點(diǎn)，vmr vmr 【補(bǔ)充例補(bǔ)充例】 方向方向TRv【例例2-29】如圖所示，質(zhì)點(diǎn)受輕繩的約束在光滑的水如圖所示，質(zhì)點(diǎn)受輕繩的約束在光滑的水平桌面上運(yùn)動(dòng)。開始時(shí)質(zhì)點(diǎn)繞點(diǎn)平桌面上運(yùn)動(dòng)。

13、開始時(shí)質(zhì)點(diǎn)繞點(diǎn)O作半徑為作半徑為R0的勻速的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，速率為圓周運(yùn)動(dòng)，速率為v0。若用外力。若用外力F F通過輕繩使質(zhì)點(diǎn)的圓通過輕繩使質(zhì)點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)半徑減小到周運(yùn)動(dòng)半徑減小到R1，問問質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速率變?yōu)槎嗌儋|(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速率變?yōu)槎嗌?動(dòng)動(dòng)能如何變化能如何變化? 解：解：質(zhì)點(diǎn)受到重力質(zhì)點(diǎn)受到重力mg g、桌面支持力、桌面支持力NN和繩子拉力和繩子拉力T T的共的共同作用。選同作用。選O為參考點(diǎn)，為參考點(diǎn)，mg g和和NN平衡，對(duì)點(diǎn)平衡，對(duì)點(diǎn)O的合的合力矩為零。繩子拉力力矩為零。繩子拉力T T通過點(diǎn)通過點(diǎn)O，它的力矩也為零。，它的力矩也為零。T TNNmg g0011mvRmvR因此，所有作用力對(duì)

14、點(diǎn)因此，所有作用力對(duì)點(diǎn)O的合力矩等于零。質(zhì)點(diǎn)的合力矩等于零。質(zhì)點(diǎn)m在運(yùn)動(dòng)過程中相對(duì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中相對(duì)點(diǎn)O的角動(dòng)量守恒，即的角動(dòng)量守恒，即因此，得因此，得1001/RvRv 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的變化為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的變化為 1)/(212121210202021RRmvmvmvEk因?yàn)橐驗(yàn)镽1 0，即質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能增加。增，即質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能增加。增加的這部分能量來源于力加的這部分能量來源于力F F所做的功。所做的功。 【例例2-30】 將一質(zhì)點(diǎn)沿一個(gè)半徑為將一質(zhì)點(diǎn)沿一個(gè)半徑為 r 的光滑半球形的光滑半球形碗的內(nèi)面碗的內(nèi)面水平地投射水平地投射, 碗保持靜止碗保持靜止, 如圖如圖, 設(shè)設(shè) v0 是質(zhì)是質(zhì)點(diǎn)恰好能達(dá)到碗口所需

15、的初速率。點(diǎn)恰好能達(dá)到碗口所需的初速率。(1) 試說明質(zhì)點(diǎn)為試說明質(zhì)點(diǎn)為什么能到達(dá)碗口什么能到達(dá)碗口? (2) 求求 v0 與與 0 的關(guān)系。的關(guān)系。 ( 0 是質(zhì)點(diǎn)是質(zhì)點(diǎn)的初始角位置，的初始角位置，O為球心為球心)當(dāng)當(dāng)v v0大到一定程度時(shí)，小球能到達(dá)大到一定程度時(shí)，小球能到達(dá)甚至飛出碗口。甚至飛出碗口。 0zO(2)由題設(shè)條件，由題設(shè)條件， v v0與與 0滿足小球剛好能到達(dá)碗口滿足小球剛好能到達(dá)碗口,即即小球到達(dá)碗口時(shí)速度沿水平方向小球到達(dá)碗口時(shí)速度沿水平方向,沿碗口作圓周運(yùn)動(dòng)。沿碗口作圓周運(yùn)動(dòng)。0vgmN解：解：(1)如圖，設(shè)碗對(duì)小球的支持力如圖，設(shè)碗對(duì)小球的支持力為為NN，其水平分量

16、提供了小球其水平分量提供了小球繞繞 z軸做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力。軸做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力。小球圓周運(yùn)動(dòng)的速度小球圓周運(yùn)動(dòng)的速度v v0越大，越大，NN就越大，當(dāng)就越大，當(dāng)Ncos 0mg時(shí)，時(shí)，小球?qū)⑾蛏霞铀?，向碗口運(yùn)動(dòng)。小球?qū)⑾蛏霞铀伲蛲肟谶\(yùn)動(dòng)。zO0vv到達(dá)碗口后，沿碗到達(dá)碗口后，沿碗口作圓周運(yùn)動(dòng)口作圓周運(yùn)動(dòng)沿碗面螺旋上升沿碗面螺旋上升 0zO0vgmN00sinrmv但是，由于重力矩但是，由于重力矩MM在在z方向的分量為零，即方向的分量為零，即Mz=0，所以，小球在上升過程中對(duì)點(diǎn)所以，小球在上升過程中對(duì)點(diǎn)O的角動(dòng)量的角動(dòng)量L L在在z方向的方向的分量守恒分量守恒, 為為 在小球上升過程中，相對(duì)

17、于參考點(diǎn)在小球上升過程中，相對(duì)于參考點(diǎn)O，支持力支持力NN的力的力矩為零，但矩為零，但小球所受重力矩不為零（始終在水平面小球所受重力矩不為零（始終在水平面內(nèi)），即合力矩即重力矩內(nèi)），即合力矩即重力矩MM0，這樣，小球?qū)c(diǎn)，這樣，小球?qū)c(diǎn)O的的角動(dòng)量不守恒。角動(dòng)量不守恒。zO0vv又，小球上升過程系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，即又，小球上升過程系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，即202021cos21mvmgrmv設(shè)小球上升到碗口時(shí)速度為設(shè)小球上升到碗口時(shí)速度為v v，沿水平方向，沿水平方向，則在此則在此處處小球?qū)c(diǎn)小球?qū)c(diǎn)O的角動(dòng)量沿的角動(dòng)量沿z方向，大小為方向，大小為mvr故故mvrrmv00sin00cos2grv

18、【補(bǔ)充例補(bǔ)充例】在半角為在半角為的圓錐面內(nèi)壁距頂角的圓錐面內(nèi)壁距頂角h的高處，有一個(gè)小球以初速度的高處，有一個(gè)小球以初速度v0沿內(nèi)壁水平方沿內(nèi)壁水平方向射出。設(shè)錐面內(nèi)壁光滑。向射出。設(shè)錐面內(nèi)壁光滑。（1）為使小球在高）為使小球在高h(yuǎn)處的水平面上作勻速圓處的水平面上作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周運(yùn)動(dòng)，v0？；？；（2）若）若初速度為初速度為v1=2v0，求小球在運(yùn)動(dòng)過程，求小球在運(yùn)動(dòng)過程中的最大高度。中的最大高度。mgNsintancos20hvmNghv 0【解解】（1）小球受力：）小球受力：重力重力mg，約束反力，約束反力N。小球的運(yùn)動(dòng)方程。小球的運(yùn)動(dòng)方程v0hmgNmghmvxhmgmv2122212

19、1hxv1(2) 當(dāng)初速度當(dāng)初速度v12v0時(shí)，時(shí)，平衡不成立。小球平衡不成立。小球作螺旋運(yùn)動(dòng)。機(jī)械作螺旋運(yùn)動(dòng)。機(jī)械能守恒，設(shè)上升得能守恒，設(shè)上升得最大高度最大高度x，其速，其速度為度為v2 ，則，則mgN以圓錐頂點(diǎn)為參考點(diǎn)，合力矩方向以圓錐頂點(diǎn)為參考點(diǎn)，合力矩方向始終在水平面內(nèi)始終在水平面內(nèi)，所以沿圓錐軸線得角動(dòng)量分量守恒所以沿圓錐軸線得角動(dòng)量分量守恒上兩式聯(lián)立可得上兩式聯(lián)立可得（4）（5）由（由（4）、（）、（5）式得到）式得到2 3x3h，tantan21xhmvhmvxhghhv220323xhxhx3得：得：表面附近的重力加速度表面附近的重力加速度g表示表示)；(2)衛(wèi)星運(yùn)行軌道在衛(wèi)

20、星運(yùn)行軌道在近地點(diǎn)的曲率半徑近地點(diǎn)的曲率半徑r r。 【例例2-31】如圖如圖所示，人造地球衛(wèi)星近地點(diǎn)離地所示，人造地球衛(wèi)星近地點(diǎn)離地r1=2R(R為地球半徑為地球半徑)，遠(yuǎn)地點(diǎn)離地心，遠(yuǎn)地點(diǎn)離地心r2=4R。求：。求：(1)衛(wèi)星在衛(wèi)星在近地點(diǎn)及遠(yuǎn)地點(diǎn)的速率近地點(diǎn)及遠(yuǎn)地點(diǎn)的速率v1和和v2。 (用地球半徑用地球半徑R以及地球以及地球1v2vxyO近地點(diǎn)近地點(diǎn)遠(yuǎn)地點(diǎn)遠(yuǎn)地點(diǎn)RmvRmv4221解：解： (1)系統(tǒng)內(nèi)的作用力是有心力，且為保守力，因此系統(tǒng)內(nèi)的作用力是有心力，且為保守力，因此系統(tǒng)對(duì)地心的角動(dòng)量守恒。系統(tǒng)對(duì)地心的角動(dòng)量守恒。1v2vxyO近地點(diǎn)近地點(diǎn)遠(yuǎn)地點(diǎn)遠(yuǎn)地點(diǎn)在遠(yuǎn)地點(diǎn)和近地點(diǎn)，速度與相

21、對(duì)于在遠(yuǎn)地點(diǎn)和近地點(diǎn)，速度與相對(duì)于O點(diǎn)的位置矢點(diǎn)的位置矢量垂直，所以有量垂直，所以有等式兩邊分別為衛(wèi)星在近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)的等式兩邊分別為衛(wèi)星在近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)的角動(dòng)量及機(jī)械能。角動(dòng)量及機(jī)械能。引力勢(shì)能的一般表示式為引力勢(shì)能的一般表示式為rMmGEp221RmgRMmGEp442RmgRMmGEp故故考慮到在地面附近考慮到在地面附近mgRMmGF2地面2221212121ppEmvEmv機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒(2)人造地球衛(wèi)星在近地點(diǎn)處的法向加速度分量為人造地球衛(wèi)星在近地點(diǎn)處的法向加速度分量為利用利用4)2(2gRMGan21n1var得近地點(diǎn)處軌道的曲率半徑為得近地點(diǎn)處軌道的曲率半徑為384/3

22、/2121nRgRgvar聯(lián)立求解，得聯(lián)立求解，得Rgv321Rgv612【例例2-32】如圖如圖所示，質(zhì)量為所示，質(zhì)量為m的飛船繞質(zhì)量為的飛船繞質(zhì)量為M的的地球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑為地球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑為3R(R為地球半徑為地球半徑)，它的運(yùn)行速率它的運(yùn)行速率v0為多少為多少?飛船在此處要將它的運(yùn)動(dòng)速飛船在此處要將它的運(yùn)動(dòng)速度至少增加到度至少增加到v1為多少時(shí)，才能飛離地球?yàn)槎嗌贂r(shí)，才能飛離地球?若飛船在若飛船在3R處將速度增加到處將速度增加到v1后關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)，在離地心為后關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)，在離地心為12R處，它的切向加速度分量處，它的切向加速度分量at為多少為多少?該處軌道的曲率該處

23、軌道的曲率半徑半徑r r為多少為多少(用地球半徑用地球半徑R以及地球表面附近的重力以及地球表面附近的重力加速度加速度g表示結(jié)果表示結(jié)果)?解：解：在地面處，在地面處，飛船在飛船在3R處繞地球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)處繞地球作勻速圓周運(yùn)動(dòng) 以無窮遠(yuǎn)為勢(shì)能零點(diǎn)，為脫離以無窮遠(yuǎn)為勢(shì)能零點(diǎn)，為脫離地球，系統(tǒng)機(jī)械能至少為零地球，系統(tǒng)機(jī)械能至少為零 9)3(3220mgRmMGRvm30Rgv 02121321321222121mvMmGmvmgRmvRMmGmv321Rgv mgRMmG22RMGg 飛船從飛船從3R處運(yùn)動(dòng)到處運(yùn)動(dòng)到12R處，系統(tǒng)機(jī)械能守恒處，系統(tǒng)機(jī)械能守恒 0122122RMmGmv62Rgv

24、在此過程中，飛船相在此過程中，飛船相對(duì)地心的角動(dòng)量守恒對(duì)地心的角動(dòng)量守恒 sin12321RmvRmv2/1sin其中其中 為飛船在離地心為飛船在離地心12R處的速處的速度與徑向之間的夾角度與徑向之間的夾角(見圖見圖)。 1vR3Rav48/n22r在離地心在離地心12R處飛船加速度大小處飛船加速度大小144)12(2gRMGa2883costgaa288sinngaaanata1vR3方向指向地球球心方向指向地球球心解：解：Ro【補(bǔ)充例補(bǔ)充例】當(dāng)一質(zhì)量為當(dāng)一質(zhì)量為 m2的飛船距一質(zhì)量為的飛船距一質(zhì)量為 m1、半徑為、半徑為 R 的行星的中心的行星的中心 4R 處時(shí)，速度處時(shí)，速度 為為 ,

25、要使飛船恰好掠要使飛船恰好掠著行星的表面著陸，著行星的表面著陸， 角應(yīng)是多少角應(yīng)是多少? 著陸滑行初速度著陸滑行初速度 v 多大多大?0v有心力場(chǎng)中有心力場(chǎng)中, 運(yùn)用角動(dòng)運(yùn)用角動(dòng)量守恒和量守恒和(m1 , m2 )系系統(tǒng)機(jī)械能守恒定律：統(tǒng)機(jī)械能守恒定律：vRmRvm202sin4RmGmvmRmGmvm2122212022142121201)231 (41sinRvGm212010)231 (RvGmvv2m0vRr40v1m m 0R =3Rm sin 火箭運(yùn)動(dòng)過程中只受引力火箭運(yùn)動(dòng)過程中只受引力(保守力保守力)作用，機(jī)械能守恒作用，機(jī)械能守恒(火火箭、地球箭、地球)、對(duì)、對(duì)o點(diǎn)的角動(dòng)量守恒

26、：點(diǎn)的角動(dòng)量守恒： 【補(bǔ)充例補(bǔ)充例】質(zhì)量為質(zhì)量為m的火箭的火箭A，以水平速度，以水平速度 沿地球表面發(fā)射出沿地球表面發(fā)射出去。地軸去。地軸oo 與與 平行，火箭平行，火箭A的運(yùn)動(dòng)軌道與地軸的運(yùn)動(dòng)軌道與地軸oo 相交于距相交于距o為為3R的的C點(diǎn)。不考慮地球的自轉(zhuǎn)和空氣阻力，點(diǎn)。不考慮地球的自轉(zhuǎn)和空氣阻力，求火箭求火箭A在在C點(diǎn)的速點(diǎn)的速度度 與與 之間的夾角之間的夾角 。(設(shè)地球的質(zhì)量為設(shè)地球的質(zhì)量為M、半徑為、半徑為R) 解得解得Co AMRo3Rm解：解：0 0 0 0 0 RMmGmRMmGm32121220)43(3sin2020GMRR 【補(bǔ)充例補(bǔ)充例】人造地球衛(wèi)星變軌問題。人造地球

27、衛(wèi)星變軌問題。地球可看作是半徑地球可看作是半徑 R 的球體，一顆質(zhì)量為的球體，一顆質(zhì)量為 m的人的人造地球衛(wèi)星在半徑為造地球衛(wèi)星在半徑為r 的圓形軌道上，以的圓形軌道上，以 速度速度vt繞地球運(yùn)動(dòng)。衛(wèi)星沿指向地心的方向噴射氣體，繞地球運(yùn)動(dòng)。衛(wèi)星沿指向地心的方向噴射氣體，其沖量不影響衛(wèi)星當(dāng)時(shí)的繞地圓周切向速度其沖量不影響衛(wèi)星當(dāng)時(shí)的繞地圓周切向速度vt ，但卻給予衛(wèi)星一個(gè)指向地心的徑向速度但卻給予衛(wèi)星一個(gè)指向地心的徑向速度vn。噴射。噴射后衛(wèi)星質(zhì)量為后衛(wèi)星質(zhì)量為 ,衛(wèi)星軌道變?yōu)樾l(wèi)星軌道變?yōu)闄E圓橢圓。求。求這次噴這次噴射后衛(wèi)星軌道的射后衛(wèi)星軌道的近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)離地心的距離。離地心的距離

28、。解：這是平方反比律的有心力作用下的軌道問題這是平方反比律的有心力作用下的軌道問題這類問題所滿足的基本規(guī)律是這類問題所滿足的基本規(guī)律是機(jī)械能守恒、機(jī)械能守恒、對(duì)于圓軌道，還可以利用引力提供向心力的概念對(duì)于圓軌道，還可以利用引力提供向心力的概念角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒m2v 1v xyO近地點(diǎn)近地點(diǎn)遠(yuǎn)地點(diǎn)遠(yuǎn)地點(diǎn)nvtvxyOtvmmr 1L2L 噴射噴射后，衛(wèi)星對(duì)地心的角動(dòng)量后，衛(wèi)星對(duì)地心的角動(dòng)量守恒守恒 其中其中 L是軌道是軌道近地點(diǎn)近地點(diǎn)或或遠(yuǎn)地點(diǎn)遠(yuǎn)地點(diǎn)距地心的距離，距地心的距離，為該處速度。為該處速度。此時(shí)此時(shí) 噴射后，衛(wèi)星、地球系統(tǒng)機(jī)械能守恒噴射后，衛(wèi)星、地球系統(tǒng)機(jī)械能守恒 （2 2）（3）

29、LvmrvmtLMmGvmrMmGvvmnt2222121噴射前噴射前，衛(wèi)星處在圓軌道上，衛(wèi)星處在圓軌道上，由牛頓第二定律由牛頓第二定律 22tvGmMmrr2tGMv r（1）Lvv 即即得得遠(yuǎn)地點(diǎn)遠(yuǎn)地點(diǎn)近地點(diǎn)近地點(diǎn)由（由（1），（），（2），）， （3）得）得02222222rvrLvLvvttnt0rvLvvrvLvvtnttntnttvvrvL1nttvvrvL2h1v2v衛(wèi)星所受萬有引力衛(wèi)星所受萬有引力、 火箭反沖力均通過力心，火箭反沖力均通過力心，vr故衛(wèi)星在火箭點(diǎn)燃前故衛(wèi)星在火箭點(diǎn)燃前或后對(duì)地心的角動(dòng)量或后對(duì)地心的角動(dòng)量始終不變，是守恒的。始終不變，是守恒的。R?解：分析解：分析

30、【補(bǔ)充例補(bǔ)充例】 地球可看作是半徑地球可看作是半徑 R= 6400 km 的球體，的球體，一顆一顆 人造地球衛(wèi)星在地面上空人造地球衛(wèi)星在地面上空 h=800km 的圓形軌的圓形軌道上，以道上，以v1=7.5 km/s的速度繞地球運(yùn)動(dòng)。突然點(diǎn)的速度繞地球運(yùn)動(dòng)。突然點(diǎn)燃燃 一一 火箭，其沖力使衛(wèi)星附加一個(gè)火箭，其沖力使衛(wèi)星附加一個(gè) 向外的徑向分向外的徑向分速度速度 v2=0.2 km/s使衛(wèi)星的軌道變成橢圓形。使衛(wèi)星的軌道變成橢圓形。求求此此后衛(wèi)星軌道的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)位于地面上空多高？后衛(wèi)星軌道的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)位于地面上空多高？ 火箭點(diǎn)燃后瞬時(shí)，可認(rèn)火箭點(diǎn)燃后瞬時(shí)，可認(rèn) 為衛(wèi)星距地心的位矢不變?yōu)樾l(wèi)

31、星距地心的位矢不變 仍為仍為 速度為速度為21vvv 根據(jù)角動(dòng)量守恒定律：根據(jù)角動(dòng)量守恒定律：r,21)(vmrvvmr ,12, ,/vrvrvr )1( ,1rmvrmv 衛(wèi)星進(jìn)入橢圓軌道后，設(shè)衛(wèi)星進(jìn)入橢圓軌道后，設(shè)遠(yuǎn)地點(diǎn)（或近地點(diǎn)）的位矢遠(yuǎn)地點(diǎn)（或近地點(diǎn)）的位矢為為 ，該處的速度為，該處的速度為 ,r,v,r,v衛(wèi)星進(jìn)入橢圓軌道后，衛(wèi)星、地球系統(tǒng)只有萬有引力衛(wèi)星進(jìn)入橢圓軌道后，衛(wèi)星、地球系統(tǒng)只有萬有引力 （保守內(nèi)力）作用，機(jī)械能守恒：（保守內(nèi)力）作用，機(jī)械能守恒：)2(21)(21,2,2221rMmGmvrMmGvvm 對(duì)衛(wèi)星原來的圓運(yùn)動(dòng)有對(duì)衛(wèi)星原來的圓運(yùn)動(dòng)有)3(212rvmrMmG

32、 )1(,1rvrv )2(21)(21,2,2221rMGvrMGvv 聯(lián)立（聯(lián)立（1）（）（2）（）（3）式，消去）式，消去 VG M m 則有則有 02)(221,212,2221 rvrrvrvv0)()(1,211,21 rvrvvrvrvvkmvvrvr73972057720057211,1 kmvvrvr70132057720057211,2 ,1r,2r1h2h遠(yuǎn)地點(diǎn)高度遠(yuǎn)地點(diǎn)高度kmRrh997,11 近地點(diǎn)高度近地點(diǎn)高度kmRrh613,22 一一粒子在遠(yuǎn)處以速度粒子在遠(yuǎn)處以速度v0 射向一射向一重原子核重原子核，重原子，重原子核到核到v0直線的距離為直線的距離為b b ，

33、重原子核所帶電量為，重原子核所帶電量為ZeZe 。求求粒子離開重原子核時(shí)的速度粒子離開重原子核時(shí)的速度v/ 的方向偏離的方向偏離v0的角度的角度b(2e) (Ze)【補(bǔ)充例補(bǔ)充例】0vv解解F 可以認(rèn)為重原子核在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中不動(dòng)可以認(rèn)為重原子核在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中不動(dòng)O所受的有心力為庫侖力所受的有心力為庫侖力xb(2e) (Ze)建立如圖坐標(biāo)建立如圖坐標(biāo)庫侖力對(duì)庫侖力對(duì)O點(diǎn)的力矩為零點(diǎn)的力矩為零粒子對(duì)粒子對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量守恒點(diǎn)的角動(dòng)量守恒tmFFyyddsinvtmrmrvbmdd20v0)(FMO22222rkZerekZeF0vrvvy聯(lián)立消去聯(lián)立消去r2得得F xb(2e) (Ze)tbmk

34、Zetyddsin2dd02vv002sin0dsin2dbmkZeyvvv)cos1 (2sin020bmkZevv0vsinvrvvy機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒0vv 在慣性參考系中，對(duì)同一參考在慣性參考系中，對(duì)同一參考點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)系總角動(dòng)量為點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)系總角動(dòng)量為2.3.2 質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理iiMtL ddiiiitLLttLdd)(dddd iiLL內(nèi)外內(nèi)外 )(MMMMiii內(nèi)外iiMM單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理單個(gè)質(zhì)點(diǎn)受到的力矩為單個(gè)質(zhì)點(diǎn)受到的力矩為質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量時(shí)間變化率質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量時(shí)間變化率)(iiiivmrLijijiiifFrM)(ijijiiifr

35、Fr其中，單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量為其中，單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量為其中，一對(duì)內(nèi)力力矩其中，一對(duì)內(nèi)力力矩 iijijifr0jijijifrfr iiLdtd)(i joijjifrr)(0內(nèi)內(nèi) iiMMtLMdd 外式中式中 對(duì)同一參考點(diǎn)。對(duì)同一參考點(diǎn)。LM和外0jririPijfjifiF在在慣性參考系慣性參考系中，中，作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力矩的矢量和等作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力矩的矢量和等于質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率，于質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率，這就是質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固這就是質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)的角動(dòng)量定理。定點(diǎn)的角動(dòng)量定理。jFjP iiLdtd)(tLMdd 外 iiiFr iiMM外外若對(duì)于某點(diǎn)而言，質(zhì)點(diǎn)系所若對(duì)于某點(diǎn)而

36、言，質(zhì)點(diǎn)系所受的外力矩之和為零，則質(zhì)受的外力矩之和為零，則質(zhì)點(diǎn)系對(duì)該點(diǎn)的角動(dòng)量不隨時(shí)點(diǎn)系對(duì)該點(diǎn)的角動(dòng)量不隨時(shí)間改變，即：間改變，即：質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量守恒：質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量守恒：.const LM ，則0若外故質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量守恒和動(dòng)量守恒也是相互獨(dú)立的。故質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量守恒和動(dòng)量守恒也是相互獨(dú)立的。0與0外外 FM注意：注意：是獨(dú)立的，是獨(dú)立的，質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量守恒質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量守恒【補(bǔ)充例補(bǔ)充例】在在光滑光滑水平面上，有一原長為水平面上，有一原長為l0 = 0.6m，倔強(qiáng)系數(shù)，倔強(qiáng)系數(shù)k = 8N/m的彈性繩，繩的一端系一質(zhì)量為的彈性繩，繩的一端系一質(zhì)量為m = 0.2 kg 的小球，另一端的小球，另一

37、端 固定在水平面的固定在水平面的A 點(diǎn)，最初彈性繩是松弛的，小球點(diǎn)，最初彈性繩是松弛的，小球B 的位置的位置 及初速度如圖，當(dāng)小球的速率為及初速度如圖，當(dāng)小球的速率為v 時(shí)，它與時(shí)，它與A 的距離最大，的距離最大， 此時(shí)此時(shí)l = 0.8m, ,求：求：此時(shí)的速率此時(shí)的速率v 及初速率及初速率 v 0 0解：解：B與與A端的距離最大時(shí)，端的距離最大時(shí)，小球的速度與繩垂直。小球的速度與繩垂直。角動(dòng)量守恒：角動(dòng)量守恒：）1sin0mlvmdv機(jī)械能守恒：機(jī)械能守恒：)2)(21212120220llkmvmv由由1 1）40vv smmllv/306. 115)(16200md4 . 0AB0v0

38、30smv/33. 0子彈射入滑塊可視為碰撞過程，動(dòng)量守恒：子彈射入滑塊可視為碰撞過程，動(dòng)量守恒： 【補(bǔ)充例補(bǔ)充例】在一在一光滑水平面光滑水平面上，有一輕彈簧上，有一輕彈簧(倔強(qiáng)系數(shù)倔強(qiáng)系數(shù)k=100N/m)，一端固定于，一端固定于o點(diǎn)，另一端連接一滑塊點(diǎn)，另一端連接一滑塊(M=1kg)。設(shè)開始時(shí)，彈簧長度為。設(shè)開始時(shí)，彈簧長度為l0=0.2m(自然長度自然長度), 滑塊靜止滑塊靜止, 此時(shí)有一子彈此時(shí)有一子彈(m=0.02kg)以水平速度以水平速度 0=255m/s射向滑塊并停在其中。當(dāng)彈簧轉(zhuǎn)過射向滑塊并停在其中。當(dāng)彈簧轉(zhuǎn)過90 時(shí)時(shí),其其長度長度l=0.5m, 求求此時(shí)滑塊速度此時(shí)滑塊速度

39、 的大小和方向。的大小和方向。 m 0解：解： = (m+M) 1 其中其中 1是子彈射入后是子彈射入后滑塊的速度滑塊的速度ol0l 1Mm 0m/s501Mmm =4.02m/s, =30 (m+M) 1l0= (m+M) lsin 同時(shí)系統(tǒng)同時(shí)系統(tǒng)(滑塊、彈簧滑塊、彈簧)機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒在水平面上滑塊只受到彈性力的作用，故對(duì)在水平面上滑塊只受到彈性力的作用，故對(duì)o點(diǎn)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒：的角動(dòng)量守恒： 20221)(21)(21)(21llkMmMm ol0l 1Mm 0由上兩式解得由上兩式解得: 【補(bǔ)充例補(bǔ)充例】宇宙飛船質(zhì)量宇宙飛船質(zhì)量m=12 103kg，在月球上空，在月球上空h=100

40、km處圍繞月球旋轉(zhuǎn)。為了能降落在月球表面，處圍繞月球旋轉(zhuǎn)。為了能降落在月球表面，噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)在噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)在A點(diǎn)處向著飛船飛行方向噴氣，設(shè)噴點(diǎn)處向著飛船飛行方向噴氣，設(shè)噴出的氣體相對(duì)宇宙飛船的速度出的氣體相對(duì)宇宙飛船的速度u=10000m/s，求求使飛使飛船到達(dá)月球船到達(dá)月球B點(diǎn)處，所需要的燃料量。點(diǎn)處，所需要的燃料量。(設(shè)月球半徑設(shè)月球半徑R=1700km，質(zhì)量，質(zhì)量M=7.37 1022kg)ABo 0解解: 先求出飛船繞月球旋轉(zhuǎn)的先求出飛船繞月球旋轉(zhuǎn)的速度速度 0：hRmhRGmM202)(10sm1652hRGMABo 0 A B飛船在飛船在A A點(diǎn)噴氣后速度降為點(diǎn)噴氣后速度降為 A A，

41、在，在A AB B的飛行過程中，的飛行過程中，角動(dòng)量守恒、系統(tǒng)角動(dòng)量守恒、系統(tǒng)( (飛船飛船+ +月球月球) )機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒m 代表噴氣后飛船的質(zhì)量。由上兩式解出代表噴氣后飛船的質(zhì)量。由上兩式解出：設(shè)噴出設(shè)噴出 m燃料，由動(dòng)量守恒燃料，由動(dòng)量守恒 RMmGmhRMmGmRmhRmBABA222121)(11sm1724,sm1628BA)()(0ummmmAAkg8 .28)(0ummA0190sinsinvvAAmrrm0解：解：分析因?yàn)槭怯行牧?chǎng)分析因?yàn)槭怯行牧?chǎng),且保守力場(chǎng)且保守力場(chǎng)1 vvAAmdmD0v,Bm 0212Amv)(212dmmGmBAA vrDABv0vdod0

42、v【補(bǔ)充例補(bǔ)充例】已知：質(zhì)點(diǎn)已知：質(zhì)點(diǎn)A A：受粒子：受粒子B B引力作用，引力作用， ， ， D, , ，質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)B B：不動(dòng)，其質(zhì)量未知。：不動(dòng)，其質(zhì)量未知。 m求：求：? Bm【補(bǔ)充例補(bǔ)充例】如圖，兩個(gè)質(zhì)量均為如圖，兩個(gè)質(zhì)量均為m的小孩，各抓住跨過滑輪繩子的的小孩，各抓住跨過滑輪繩子的兩端用力向上爬。若滑輪的質(zhì)量和軸上的摩擦力都可忽略，開始時(shí)兩端用力向上爬。若滑輪的質(zhì)量和軸上的摩擦力都可忽略，開始時(shí)兩小孩都不動(dòng)。兩小孩都不動(dòng)。(1) 哪一個(gè)小孩先到達(dá)滑輪哪一個(gè)小孩先到達(dá)滑輪(2) 若兩個(gè)小孩質(zhì)量不等時(shí)情況如何若兩個(gè)小孩質(zhì)量不等時(shí)情況如何解解:求求RO(1) 以小孩、滑輪作為系統(tǒng)。地面坐標(biāo)

43、以小孩、滑輪作為系統(tǒng)。地面坐標(biāo)系里，則系統(tǒng)對(duì)系里，則系統(tǒng)對(duì)O點(diǎn)的總角動(dòng)量為點(diǎn)的總角動(dòng)量為+而系統(tǒng)所受的外力矩只有兩個(gè)小孩的重力矩，而系統(tǒng)所受的外力矩只有兩個(gè)小孩的重力矩， 且合力矩為零且合力矩為零所以系統(tǒng)對(duì)所以系統(tǒng)對(duì)O點(diǎn)的總角動(dòng)量守恒點(diǎn)的總角動(dòng)量守恒開始時(shí)兩小孩都不動(dòng)開始時(shí)兩小孩都不動(dòng)隨后隨后)(21vv mRLo00021ttvv00 tLo tt21vv 0tLo1v2v總角動(dòng)量不守恒總角動(dòng)量不守恒(2) 若兩個(gè)小孩質(zhì)量不等若兩個(gè)小孩質(zhì)量不等m1m2系統(tǒng)所受的外力矩為系統(tǒng)所受的外力矩為系統(tǒng)對(duì)系統(tǒng)對(duì)O點(diǎn)的總角動(dòng)量為點(diǎn)的總角動(dòng)量為開始時(shí)兩小孩都不動(dòng)開始時(shí)兩小孩都不動(dòng)若若m1m2總之，體輕的小孩

44、上升的快，先到達(dá)滑輪?？傊?，體輕的小孩上升的快，先到達(dá)滑輪。隨后隨后)(2211vvmmRLogRmmMo)(1200 tLo0021vv0oLOoMtLddgRmm)(122211vvmm21vv gRtmmmmRLo122211)(vv00021ttvv同類問題同類問題兩只猴子兩只猴子M、N為了爭(zhēng)奪掛在頂部的香蕉，同為了爭(zhēng)奪掛在頂部的香蕉，同時(shí)沿著一根跨過無摩擦輕滑輪的繩子向上爬時(shí)沿著一根跨過無摩擦輕滑輪的繩子向上爬，（1 1）若兩只猴子質(zhì)量相等，誰先拿到香蕉？）若兩只猴子質(zhì)量相等，誰先拿到香蕉？ （2 2）若）若M質(zhì)量大于質(zhì)量大于N，誰先拿到？，誰先拿到？MN【補(bǔ)充例補(bǔ)充例】一根輕繩跨過

45、一輕定滑輪，一根輕繩跨過一輕定滑輪，繩的兩端分別繩的兩端分別 懸有質(zhì)量懸有質(zhì)量 為為 m1 和和 m2 的物體的物體，m1 m2 ，滑輪的滑輪的 半徑為半徑為 R，所受的摩擦阻，所受的摩擦阻 力矩為力矩為 Mf ，繩與滑輪間無相對(duì)滑動(dòng)。，繩與滑輪間無相對(duì)滑動(dòng)。試求：試求：物體的加速度和繩的張力。物體的加速度和繩的張力。.1m2mRgm1gm2NMfM=m2gR-m1gR-Mf解解: 把把m1、m2和輕定滑輪看和輕定滑輪看作一系統(tǒng)。作一系統(tǒng)。系統(tǒng)所受合外力有重力系統(tǒng)所受合外力有重力m1g、m2g,這兩個(gè)力對(duì)軸這兩個(gè)力對(duì)軸 的力矩分別為的力矩分別為m1gR、m2gR;支撐力支撐力N通過轉(zhuǎn)軸通過轉(zhuǎn)軸

46、,對(duì)軸的力對(duì)軸的力矩為零。加上阻力矩矩為零。加上阻力矩Mf ,系統(tǒng)所受系統(tǒng)所受合外力矩為合外力矩為(順時(shí)針為正順時(shí)針為正)vv1T2T根據(jù)角動(dòng)量定理根據(jù)角動(dòng)量定理)(21vRmvRmdtddtdLMdtdvRmdtdvRm21ammR)(21amgmT111解得解得2112)(mmRMgmmaf系統(tǒng)的角系統(tǒng)的角動(dòng)量包括動(dòng)量包括m1: Rm1vm2: Rm2v系統(tǒng)的總角動(dòng)量為系統(tǒng)的總角動(dòng)量為L=Rm1v+Rm2vamTgm222Clv0【補(bǔ)充例補(bǔ)充例】二球質(zhì)量均為二球質(zhì)量均為m，輕繩，光滑，輕繩，光滑水平面，水平面，求：求：運(yùn)動(dòng)規(guī)律及繩中張力。運(yùn)動(dòng)規(guī)律及繩中張力。解：解：水平方向動(dòng)量守恒水平方向

47、動(dòng)量守恒cmvmv20021vvc質(zhì)心作勻速直線運(yùn)動(dòng)質(zhì)心作勻速直線運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)相對(duì)質(zhì)心角動(dòng)量守恒系統(tǒng)相對(duì)質(zhì)心角動(dòng)量守恒220222lmlmlmvlv0小球繞質(zhì)心作勻速圓周運(yùn)動(dòng)小球繞質(zhì)心作勻速圓周運(yùn)動(dòng)繩中的張力繩中的張力lvmlmT202212abclv045o【補(bǔ)充例補(bǔ)充例】三球質(zhì)量均為三球質(zhì)量均為m，輕桿，光滑，輕桿，光滑水平面，對(duì)心彈性碰撞水平面，對(duì)心彈性碰撞, 分析其運(yùn)動(dòng)情況分析其運(yùn)動(dòng)情況。解：解：系統(tǒng)動(dòng)量、角動(dòng)量、機(jī)械能系統(tǒng)動(dòng)量、角動(dòng)量、機(jī)械能均守恒均守恒？相對(duì)哪個(gè)參考點(diǎn)？相對(duì)哪個(gè)參考點(diǎn)？cmvmvmv20202245sin245sin2lmlmvlmv22202212121cvmmvmv

48、222221lm074vvc0724vl071vvOab【補(bǔ)充例補(bǔ)充例】同軸圓筒同軸圓筒(Ma、Mb)均可自由均可自由轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng),外筒開始靜止。內(nèi)筒開有許多小孔外筒開始靜止。內(nèi)筒開有許多小孔,內(nèi)表面散布著一薄層沙內(nèi)表面散布著一薄層沙(M0),以以 0勻速轉(zhuǎn)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng),沙飛出并附著在外筒內(nèi)壁。單位時(shí)間沙飛出并附著在外筒內(nèi)壁。單位時(shí)間噴出沙的質(zhì)量為噴出沙的質(zhì)量為k,忽略沙的飛行時(shí)間忽略沙的飛行時(shí)間,求求t時(shí)刻兩筒角速度。時(shí)刻兩筒角速度。解：解：以內(nèi)筒與沙作為系統(tǒng)，角動(dòng)量守恒以內(nèi)筒與沙作為系統(tǒng)，角動(dòng)量守恒020aMMa0220ktaaktMMaa0a以噴出的沙與外筒作為系統(tǒng)，角動(dòng)量守恒以噴出的沙與外筒

49、作為系統(tǒng)，角動(dòng)量守恒bbbktMkta202022bktMktabb2. 有一個(gè)小塊物體，置于一個(gè)光滑的水平桌面上，有一有一個(gè)小塊物體，置于一個(gè)光滑的水平桌面上，有一繩其上一端連結(jié)此物體，另一端穿過桌面中心的小孔，繩其上一端連結(jié)此物體，另一端穿過桌面中心的小孔，該物體原以角速度在距孔為該物體原以角速度在距孔為R 的圓周上轉(zhuǎn)動(dòng)，今將繩從的圓周上轉(zhuǎn)動(dòng)，今將繩從小孔緩慢往下拉，則物體小孔緩慢往下拉，則物體A）動(dòng)能不變，動(dòng)量改變。）動(dòng)能不變，動(dòng)量改變。 B）角動(dòng)量不變，動(dòng)量不變。）角動(dòng)量不變，動(dòng)量不變。C）動(dòng)量不變，動(dòng)能改變）動(dòng)量不變，動(dòng)能改變 。D）角動(dòng)量不變，動(dòng)能、動(dòng)量都改變。）角動(dòng)量不變，動(dòng)能、

50、動(dòng)量都改變。課堂練習(xí)課堂練習(xí)1 質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力可以改變質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力可以改變 A）系統(tǒng)的總質(zhì)量。）系統(tǒng)的總質(zhì)量。B）系統(tǒng)的總動(dòng)量。）系統(tǒng)的總動(dòng)量。 C）系統(tǒng)的總動(dòng)能。）系統(tǒng)的總動(dòng)能。D）系統(tǒng)的總角動(dòng)量。）系統(tǒng)的總角動(dòng)量。 f frvOQgmmTRv圓錐擺，已知小球作水圓錐擺，已知小球作水平勻速圓周運(yùn)動(dòng)。那么平勻速圓周運(yùn)動(dòng)。那么課堂練習(xí)課堂練習(xí)A）小球小球 m m 對(duì)對(duì)參考點(diǎn)參考點(diǎn)O O的角動(dòng)量守恒的角動(dòng)量守恒。 B）小球小球 m m 對(duì)對(duì)參考點(diǎn)參考點(diǎn)Q Q的角動(dòng)量守恒的角動(dòng)量守恒。 C）小球小球 m m 對(duì)任何對(duì)任何參考點(diǎn)參考點(diǎn)的角動(dòng)量守恒的角動(dòng)量守恒。 2.4 2.4 對(duì)稱性與守恒定律對(duì)稱性與守恒定律2.4.1 對(duì)稱性對(duì)稱性德國數(shù)學(xué)家魏爾（H. Weyl）對(duì)稱性：系統(tǒng)在某種變換下具有的不變性。對(duì)稱性：系統(tǒng)在某種變換下具有的不變性。鏡面反演對(duì)稱性鏡面反演對(duì)稱性鏡面反演：對(duì)平面直角坐標(biāo)系，僅取x到-x （或y到-y，或z到-z）的變換。一個(gè)系統(tǒng)若在鏡面反演變換下保持不變，則稱這一系統(tǒng)具有鏡面反演對(duì)稱性。空間平移對(duì)稱性空間平移對(duì)稱性系統(tǒng)在空間平移，即在)( 為常矢量RRrr變換下具有的不變性。軸轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱性（軸對(duì)稱性）軸轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱性（軸對(duì)稱性）系統(tǒng)在繞著某直線軸作任意角度旋轉(zhuǎn)的變換下具有的不變性?？臻g反演對(duì)稱性（點(diǎn)對(duì)稱性）