分式培優(yōu)訓(xùn)練(含答案)

1、13、分式總復(fù)習(xí)【知識精要】4定義：一（A、B為整式，8中含有字母） B約分:B BxMB 8+M(M。0)(M。0)定義：分母含有未知數(shù)的方程。如 = x - 1 x + 3思想：把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程A ,方法：兩邊同乘以最簡公分母解法V依據(jù)：等式的基本性質(zhì)注意：必須驗(yàn)根應(yīng)用：列分式方程解應(yīng)用題及在其它學(xué)科中的應(yīng)用【分類解析】1 .分式有意義的應(yīng)用例1,若,心+ a1 = 0,試判斷上，一是否有意義,分析:要判斷,，,是否有意義，須看其分母是否為零，由條件中等式左邊因式 分解，即可判斷"1與零的關(guān)系。解：ab+ab =0：.a(b + l)-(b+) = 0即 S + 1)(-

2、 1) = 0.+ 1 =0或。-1 = 0.，土 日 I 7U/& XOa - 1 b+ 12 .結(jié)合換元法、配方法、拆項(xiàng)法、因式分解等方法簡化分式運(yùn)算。分析：如果先通分，分子運(yùn)算量較大，觀察分子中含分母的項(xiàng)與分母的關(guān)系，可采取“分離分式法”簡化計(jì)算.皿 a .( + 1) - 1 ci(a -3) + 1解：原式=a + 1a - 311 、=。-(« + -)a + 1。- 3_ a + 1 。- 3_ (a - 3) + (a + l)一一伍 + 1)伍3)26/-2_(" + 1)(。3)&力-1x2 -5x + 5例3. 解方程：1-=-廠 +

3、7x + 6 廠 5x + 6分析：因?yàn)閤2+7x + 6 = (x +l)(x + 6), x2-5x + 6 = (x-2)(x-3),所以最簡 公分母為：(x+l)(x + 6)(x 2)(x 3),若采用去分母的通常方法，運(yùn)算量較大°由于=1- -47故可得如下解法。 廠一 5x + 6廠5x + 5 廠5x + 6 1解:由己知得。-3 = 0, 一 1 = 0,解得。=3, b = 心 “ 4a+ b _ a2 +ab-2b2 b原式=+ + -(a + b)(a - b) ab(b-a) ab(a + 2b) a 一(a _I)：一1+ab-l/b=l14iab(a -

4、 b)(a + b) ab(a + 2b) a一(“一 b)1 ab(a + 2b) b =1ab(a - b)(a + /?) (a - b)(a + 2b) a1 a=1a+b h把。=3, = 1代入得：原式=-L124.用方程解決實(shí)際問題例5. 一列火車從車站開出，預(yù)計(jì)行程4 5 0千米，當(dāng)它開出3小時(shí)后，因特殊任務(wù)多停一 站，耽誤3 0分鐘，后來把速度提高了 0.2倍，結(jié)果準(zhǔn)時(shí)到達(dá)目的地,求這列火車的速度。解：設(shè)這列火車的速度為x千米/時(shí)根據(jù)題意，得里=3，+上匕土x 2.2x方程兩邊都乘以12乂,得5400 = 42工+4500 30方解得 = 75經(jīng)檢驗(yàn)， = 75是原方程的根答

5、：這列火車原來的速度為7 5千米/時(shí)。5.在數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)等學(xué)科的學(xué)習(xí)中，都會遇到有關(guān)公式的推導(dǎo)，公式的變形等問題。而公式的變形實(shí)質(zhì)上就是解含有字母系數(shù)的方程。例6.已知x =冬9，試用含x的代數(shù)式表示y,并證明（3x - 2）（3），- 2） = 13。3），一 22V+ 3解:由 x =-，得 3xy - 2x = 2y + 33y-2./. 3xy - 2y = 2x + 3/. (3x-2)y = 2x + 32x + 3- 3x 2暇產(chǎn)2二氣芋3y 2133），一2(3x 2)(3y 2) = 136、中考原題:一 一l M 2xy - x - y 例1 ,已知r = + 一，貝U

6、M三1一一）廣工_一）廣x + y分析：通過分式加減運(yùn)算等式左邊和右邊的分母相同,則其分子也必然相同，即可求出Mo2xy - y2 + x2 2xy + y2 55尸一、廣2尸一y 2M二K/. M = x2例2,已知/ 一 3x 2 = 0,那么代數(shù)式C"l）一'7 的值是%- 1分析：先化簡所求分式，發(fā)現(xiàn)把/-3x看成整體代入即可求的結(jié)果。解:原式=（x 1） （x + 1） = 2x +1 xl = x 3xv a 2 - 3x 2 = 0x2 - 3x = 2原式=X， 3x = 2例3 （201 3 重慶B卷21）先化簡，再求值：（立一上二）；，其中X是不等式 x

7、廣2 x2-4x+43 x+ 7 >1的負(fù)整數(shù)解.考點(diǎn)：分式的化簡求值;一元一次不等式的整數(shù)解 分析：首先把分式進(jìn)行化簡，再解出不等式,確定出x的值，然后再代入化簡后的分式即可.x (x - 1) . (K- 2 ) 2x (x - 2) J k- 4解：原式=卜（.2） （：不2）x kx - 2）_x2 _ 4 - x2+x；： (k一2) 2 二 x-4 共(k - 2) 2 _x - 2 x (x - 2) x- 4 x (x - 2) x- 4' x3x+7>l,3x>-6,x>- 2,< x 是不等式 3x+7>l 的負(fù)整數(shù)解,，x=-l

8、,把x= - 1代入二工中得：I '.K- 1點(diǎn)評：此題主要考查了分式的化簡求值,以及不等式的整數(shù)解，關(guān)鍵是正確把分式進(jìn)行化簡.其中x的值為方程2例4 （20 1 4重慶A卷21）先化簡，再求值:工（得上1_ -X - - X X- 1x =5x - 1 的解.考點(diǎn):分式的化簡求值；解一元一次方程.專題:計(jì)算題.分析:原式括號中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，同時(shí)利用除法法則變形，約分 后兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的加法法則計(jì)算得到最簡結(jié)果，求出方程的解得到X的值，代 入計(jì)算即可求出值.解答:解：原式 Jxj“二+'X K（X - 1）x+1一（）+JLx （x-l ）

9、2 x+1X- 1 x+1一 2x-x2-l'解方程2x=5x-l,得：x，3當(dāng)時(shí)，原式=-日.點(diǎn)評：此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.7、題型展示：例L 當(dāng)x取何值時(shí)，式子有意義?當(dāng)x取什么數(shù)時(shí)，該式子值為零?x +3x + 2解：由 / + 3x + 2 = （x +l）（x + 2） = 0得x = -l或2所以，當(dāng)x W T和x W -2時(shí)，原分式有意義由分子氏1-2 = 0得工=±2當(dāng)x = 2時(shí)，分母工2+3工+ 2。0當(dāng)x = -2時(shí)，分母Y+3x + 2 = 0,原分式無意義。所以當(dāng)x = 2時(shí)，式子出一2一的值為零廠 +3x + 24

10、 x2一)x 2 x2 - nr _ 什 八 1例2.求；r的值，其中x = 2m = 3 = 一一 °尸 + (? - n)x - nm x一 一 7廣2(x + m)(x - m)(x + )(x )分析:先化簡，再求值。解：原式=(1)(-'.+)(X+ ?)*)(X ?尸 ()2: x = 2m = 3 = 一一2/. x = 2？，x = 3，m = 一一 , n =46(2m-rn)2(3 一/_/_ (-孑 _ 9【實(shí)戰(zhàn)模擬】2x +11 .當(dāng)x取何值時(shí)，分式一有意義?1-Xx W01解：由題意得,11一一W0、x解得xwo且xr1，當(dāng)xwO且xwl時(shí)，原式有意

11、義2 ,有一根燒紅的鐵釘，質(zhì)量是m,溫度是外，它放出熱量Q后，溫度降為多少？(鐵的比 熱為c)解:設(shè)溫度降為t，由己知得:meQ = 7C«o - f)y-210me答：溫度降為。0-2)0 me3.計(jì)算：x4-2v + -+ , x-2y 4>'- -X-分析:此題的解法要比將和后兩個(gè)分式直接通分計(jì)算簡便,它采用了逐步通分的方法。因此靈 活運(yùn)用法則會給解題帶來方便。同時(shí)注意結(jié)果要化為最簡分式。解：原式:)+9x _ 2y(2y + x)(2y - x)2A ,>x4廠、x-2y (x + 2y)*_2y) x3 +2x2y-4x2y (x + 2y)(x-2y)

12、A-2(x-2y)" (x + 2y)U-2y)x2x + 2y4.解方程：5-3 x+ x+3x + 6 x + 8x+5 x+7解： 以力程化為1 +- 1 - = 1 +- 1 -x+1x+3x+5x+71111 x+1 x + 3 x + 5 x + 7方程兩邊通分，得2(A + l)(x + 3)(x +5)(x +7)(x 4- 5)(x + 7) = (x + l)(x + 3)化簡得8x = -32解得x = -4經(jīng)檢驗(yàn)： = -4是原方程的根。說明:解分式方程時(shí)，在掌握一般方法的基礎(chǔ)上，要注意根據(jù)題目的特點(diǎn),選用簡便的方 法，減少繁瑣計(jì)算。5.要在規(guī)定的日期內(nèi)加工一

13、批機(jī)器零件，如果甲單獨(dú)做，剛好在規(guī)定日期內(nèi)完成,乙單獨(dú) 做則要超過3天?，F(xiàn)在甲、乙兩人合作2天后，再由乙單獨(dú)做，正好按期完成。問規(guī)定日期 是多少天？分析:設(shè)規(guī)定日期是X天，則甲的工作效率為上，乙的工作效率為一,工作總量為1xx + 3解:設(shè)規(guī)定日期為X天11r-2根據(jù)題意，得2(+)+ -一- = 1x x+3x+3解得x = 6求的值。X - y + 2z經(jīng)檢驗(yàn)x=6是原方程的根 答:規(guī)定日期是6天，6.已知4x-3y-6z = 0, x + 2y - 7z =。，xyz, 0,解：.4工一3、-62 = 0(1), x + 2y + 7z = 0 (2)由由）（2）解得y = 2z.x +

14、 y- z_3z + 2"z_4 x-y + 2z 3z 2z + 2z 37 . （2 014重慶B卷21）先化簡，再求值：（入一1一x2 +4x + 4，其中x是方程x 1 x - 2上一上二=0的解。解:原式=廠4 x + (x + 2)(x 2) x 2x + 1 (x + 2)2(x + 2)2 x + 2。解方程口-1=0得:251r-2當(dāng)X = 1時(shí)，原式上一3x + 28.（20 1 3 重慶A卷21）先化簡，再求值：.a2-6ab+9b2. , 5b2a2 - 2aba" 2b-a - 2b)- X其中a,a+b=4a- b=2考點(diǎn)：分式的化簡求值：解二元

15、一次方程組.專題：探究型.分析:解答:先根據(jù)分式混合運(yùn)算的法則把原式進(jìn)行化簡,再求出a、b的值代入進(jìn)行計(jì)算即可.解:原式:(a-3b)水一r i (a - 3b ) 2a (a- 2b) a - 2b a a (a - 2b)(3b - a) (3b+a)3b - aa (3b+a)"+b = 4a- b=21_ -"a'聲3.b=l2 , 3b+aV*.原式= = .3X1+33點(diǎn)評:本題考查的是分式的化簡求值，熟知分式混合運(yùn)算的法則是解答此題的關(guān)鍵.x2 -5x + 6x2 -5x + 6. 廠一5x + 611解：一;一；尸=* 1 -一7廠 一 5x + 6廠 5x + 6原方程變?yōu)橐? =1- 廠 +7x + 6廠5x + 61 1 = x2 + 7x + 6 x2 - 5x + 6，x