《中考課件初中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)資料》專題21 一元二次方程（解析版）

1、專題21 一元二次方程知識點(diǎn)1：一元二次方程的定義1.一元二次方程：方程兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的方程，叫做一元二次方程2.一元二次方程的一般形式 一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，經(jīng)過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a0）這種形式叫做一元二次方程的一般形式一個(gè)一元二次方程經(jīng)過整理化成ax2+bx+c=0（a0）后，其中ax2是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng) 知識點(diǎn)2：一元二次方程的解法（1）開平方法：運(yùn)用開平方法解形如（x+m）2=n（n0）的方程；領(lǐng)會降次轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想（2）配方法：解一元二次

2、方程的一般步驟是現(xiàn)將已知方程化為一般形式；化二次項(xiàng)系數(shù)為1；常數(shù)項(xiàng)移到右邊；方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，使左邊配成一個(gè)完全平方式；變形為(x+p)2=q的形式，如果q0，方程的根是x=-p±q；如果q0,方程無實(shí)根介紹配方法時(shí)，首先通過實(shí)際問題引出形如的方程。這樣的方程可以化為更為簡單的形如的方程，由平方根的概念，可以得到這個(gè)方程的解。進(jìn)而舉例說明如何解形如的方程。然后舉例說明一元二次方程可以化為形如的方程，引出配方法。最后安排運(yùn)用配方法解一元二次方程的例題。在例題中，涉及二次項(xiàng)系數(shù)不是1的一元二次方程，也涉及沒有實(shí)數(shù)根的一元二次方程。對于沒有實(shí)數(shù)根的一元二次方程，學(xué)了“公

3、式法”以后，學(xué)生對這個(gè)內(nèi)容會有進(jìn)一步的理解。（3）公式法：一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根由方程的系數(shù)a、b、c而定，因此： 解一元二次方程時(shí)，可以先將方程化為一般形式ax2+bx+c=0，當(dāng)b2-4ac0時(shí)，將a、b、c代入式子x=就得到方程的根(公式所出現(xiàn)的運(yùn)算，恰好包括了所學(xué)過的六中運(yùn)算，加、減、乘、除、乘方、開方，這體現(xiàn)了公式的統(tǒng)一性與和諧性。)這個(gè)式子叫做一元二次方程的求根公式利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法（4）因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，這種方法簡單易行，是解一元二次方程最常用的方法。主要用提公因式法、平方差公式。知識點(diǎn)3

4、：解有關(guān)一元二次方程的實(shí)際問題的一般步驟：第1步：審題。認(rèn)真讀題，分析題中各個(gè)量之間的關(guān)系。第2步：設(shè)未知數(shù)。根據(jù)題意及各個(gè)量的關(guān)系設(shè)未知數(shù)。第3步：列方程。根據(jù)題中各個(gè)量的關(guān)系列出方程。第4步：解方程。根據(jù)方程的類型采用相應(yīng)的解法。第5步：檢驗(yàn)。檢驗(yàn)所求得的根是否滿足題意。第6步：答。1.對本章知識點(diǎn)回顧的思維導(dǎo)圖2.理解韋達(dá)定理 韋達(dá)定理就是研究一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的理論。 如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是，那么，。也就是說，對于任何一個(gè)有實(shí)數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商?！纠}1】（2020臨沂）一元二

5、次方程x24x80的解是（）ax12+23，x2223bx12+23，x2223cx12+22，x2222dx123，x223【答案】b【分析】方程利用配方法求出解即可【解析】一元二次方程x24x80，移項(xiàng)得：x24x8，配方得：x24x+412，即（x2）212，開方得：x2±23，解得：x12+23，x2223【例題2】（2020瀘州）已知x1，x2是一元二次方程x24x70的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則x12+4x1x2+x22的值是【答案】2【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求解【解析】根據(jù)題意得則x1+x24，x1x27所以，x12+4x1x2+x22（x1+x2）2+2x1x216142【例題

6、3】（2020孝感）已知關(guān)于x的一元二次方程x2（2k+1）x+12k220（1）求證：無論k為何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2滿足x1x23，求k的值【答案】見解析?！痉治觥浚?）根據(jù)根的判別式得出（2k+1）24×1×（12k22）2（k+1）2+70，據(jù)此可得答案；（2）先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出x1+x22k+1，x1x2=12k22，由x1x23知（x1x2）29，即（x1+x2）24x1x29，從而列出關(guān)于k的方程，解之可得答案【解析】（1）（2k+1）24×1×（12k22）4k2+4k+12k2+82k

7、2+4k+92（k+1）2+70，無論k為何實(shí)數(shù)，2（k+1）20，2（k+1）2+70，無論k為何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）由根與系數(shù)的關(guān)系得出x1+x22k+1，x1x2=12k22，x1x23，（x1x2）29，（x1+x2）24x1x29，（2k+1）24×（12k22）9，化簡得k2+2k0，解得k0或k2【例題4】（2020湘西州）某口罩生產(chǎn)廠生產(chǎn)的口罩1月份平均日產(chǎn)量為20000個(gè)，1月底因突然爆發(fā)新冠肺炎疫情，市場對口罩需求量大增，為滿足市場需求工廠決定從2月份起擴(kuò)大產(chǎn)能，3月份平均日產(chǎn)量達(dá)到24200個(gè)（1）求口罩日產(chǎn)量的月平均增長率；（2）按照這個(gè)增

8、長率，預(yù)計(jì)4月份平均日產(chǎn)量為多少？【答案】見解析?！痉治觥浚?）根據(jù)題意設(shè)口罩日產(chǎn)量的月平均增長率為x，根據(jù)題意列出方程即可求解；（2）結(jié)合（1）按照這個(gè)增長率，根據(jù)3月份平均日產(chǎn)量為24200個(gè)，即可預(yù)計(jì)4月份平均日產(chǎn)量【解析】（1）設(shè)口罩日產(chǎn)量的月平均增長率為x，根據(jù)題意，得20000（1+x）224200解得x12（舍去），x20.110%，答：口罩日產(chǎn)量的月平均增長率為10%（2）24200（1+0.1）26620（個(gè)）答：預(yù)計(jì)4月份平均日產(chǎn)量為26620個(gè)一元二次方程單元精品檢測試卷本套試卷滿分120分，答題時(shí)間90分鐘一、選擇題（每小題3分，共36分）1（2020涼山州）一元二次方

9、程x22x的根為（）ax0bx2cx0或x2dx0或x2【答案】c【分析】移項(xiàng)后利用因式分解法求解可得【解析】x22x，x22x0，則x（x2）0，x0或x20，解得x10，x22，2（2020菏澤）等腰三角形的一邊長是3，另兩邊的長是關(guān)于x的方程x24x+k0的兩個(gè)根，則k的值為（）a3b4c3或4d7【答案】c【分析】當(dāng)3為腰長時(shí)，將x3代入原一元二次方程可求出k的值；當(dāng)3為底邊長時(shí)，利用等腰三角形的性質(zhì)可得出根的判別式0，解之可得出k值，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得出兩腰之和，將其與3比較后可得知該結(jié)論符合題意【解析】當(dāng)3為腰長時(shí)，將x3代入x24x+k0，得：324×3+k0，解得

10、：k3；當(dāng)3為底邊長時(shí)，關(guān)于x的方程x24x+k0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，（4）24×1×k0，解得：k4，此時(shí)兩腰之和為4，43，符合題意k的值為3或43（2020南京）關(guān)于x的方程（x1）（x+2）p2（p為常數(shù)）的根的情況，下列結(jié)論中正確的是（）a兩個(gè)正根b兩個(gè)負(fù)根c一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根d無實(shí)數(shù)根【答案】c【分析】先把方程（x1）（x+2）p2化為x2+x2p20，再根據(jù)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根可得1+8+4p20，由2p20即可得出結(jié)論【解析】關(guān)于x的方程（x1）（x+2）p2（p為常數(shù)），x2+x2p20，1+8+4p29+4p20，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，兩個(gè)的積為

11、2p2，一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根，4（2020泰安）將一元二次方程x28x50化成（x+a）2b（a，b為常數(shù)）的形式，則a，b的值分別是（）a4，21b4，11c4，21d8，69【答案】a【分析】將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方配成完全平方式后即可得出答案【解析】x28x50，x28x5，則x28x+165+16，即（x4）221，a4，b21，5（2020黔西南州）已知關(guān)于x的一元二次方程（m1）x2+2x+10有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（）am2bm2cm2且m1dm2且m1【答案】d【分析】根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)非零及根的判別式0，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式組，解之即可得

12、出m的取值范圍【解析】關(guān)于x的一元二次方程（m1）x22x+10有實(shí)數(shù)根，m-10=22-4×1×(m-1)0，解得：m2且m16（2020懷化）已知一元二次方程x2kx+40有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則k的值為（）ak4bk4ck±4dk±2【答案】c【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式0，即可得出關(guān)于k的方程，解之即可得出k值【解析】一元二次方程x2kx+40有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，（k）24×1×40，解得：k±47（2020鄂州）目前以5g等為代表的戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè)蓬勃發(fā)展某市2019年底有5g用戶2萬戶，計(jì)劃到2021年底全市

13、5g用戶數(shù)累計(jì)達(dá)到8.72萬戶設(shè)全市5g用戶數(shù)年平均增長率為x，則x值為（）a20%b30%c40%d50%【答案】c【分析】設(shè)全市5g用戶數(shù)年平均增長率為x，則2020年底全市5g用戶數(shù)為2（1+x）萬戶，2021年底全市5g用戶數(shù)為2（1+x）2萬戶，根據(jù)到2021年底全市5g用戶數(shù)累計(jì)達(dá)到8.72萬戶，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論【解析】設(shè)全市5g用戶數(shù)年平均增長率為x，則2020年底全市5g用戶數(shù)為2（1+x）萬戶，2021年底全市5g用戶數(shù)為2（1+x）2萬戶，依題意，得：2+2（1+x）+2（1+x）28.72，整理，得：x2+3x1.360，解得：x10

14、.440%，x23.4（不合題意，舍去）8（2020濱州）對于任意實(shí)數(shù)k，關(guān)于x的方程12x2（k+5）x+k2+2k+250的根的情況為（）a有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根b沒有實(shí)數(shù)根c有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根d無法判定【答案】b【分析】先根據(jù)根的判別式求出“”的值，再根據(jù)根的判別式的內(nèi)容判斷即可【解析】12x2（k+5）x+k2+2k+250，（k+5）24×12×（k2+2k+25）k2+6k25（k3）216，不論k為何值，（k3）20，即（k3）2160，所以方程沒有實(shí)數(shù)根.9（2020黔東南州）若菱形abcd的一條對角線長為8，邊cd的長是方程x210x+240的一個(gè)根，則該菱

15、形abcd的周長為（）a16b24c16或24d48【答案】b【分析】解方程得出x4，或x6，分兩種情況：當(dāng)abad4時(shí)，4+48，不能構(gòu)成三角形；當(dāng)abad6時(shí)，6+68，即可得出菱形abcd的周長【解析】如圖所示：四邊形abcd是菱形，abbccdad，x210x+240，因式分解得：（x4）（x6）0，解得：x4或x6，分兩種情況：當(dāng)abad4時(shí)，4+48，不能構(gòu)成三角形；當(dāng)abad6時(shí)，6+68，菱形abcd的周長4ab2410（2020衢州）某廠家2020年15月份的口罩產(chǎn)量統(tǒng)計(jì)如圖所示設(shè)從2月份到4月份，該廠家口罩產(chǎn)量的平均月增長率為x，根據(jù)題意可得方程（）a180（1x）2461

16、b180（1+x）2461c368（1x）2442d368（1+x）2442【答案】b【分析】本題為增長率問題，一般用增長后的量增長前的量×（1+增長率），如果設(shè)這個(gè)增長率為x，根據(jù)“2月份的180萬只，4月份的利潤將達(dá)到461萬只”，即可得出方程【解析】從2月份到4月份，該廠家口罩產(chǎn)量的平均月增長率為x，根據(jù)題意可得方程：180（1+x）2461，11（2020銅仁市）已知m、n、4分別是等腰三角形（非等邊三角形）三邊的長，且m、n是關(guān)于x的一元二次方程x26x+k+20的兩個(gè)根，則k的值等于（）a7b7或6c6或7d6【答案】b【分析】當(dāng)m4或n4時(shí)，即x4，代入方程即可得到結(jié)論

17、，當(dāng)mn時(shí)，即（6）24×（k+2）0，解方程即可得到結(jié)論【解析】m、n、4分別是等腰三角形（非等邊三角形）三邊的長，當(dāng)m4或n4時(shí)，即x4，方程為426×4+k+20，解得：k6，當(dāng)mn時(shí)，即（6）24×（k+2）0，解得：k7，綜上所述，k的值等于6或7.12（2020遵義）已知x1，x2是方程x23x20的兩根，則x12+x22的值為（）a5b10c11d13【答案】d【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x23，x1x22，再利用完全平方公式得到x12+x22（x1+x2）22x1x2，然后利用整體代入的方法計(jì)算【解析】根據(jù)題意得x1+x23，x1x22，所

18、以x12+x22（x1+x2）22x1x2322×（2）13二、填空題（每空3分，共36分）13（2020咸寧）若關(guān)于x的一元二次方程（x+2）2n有實(shí)數(shù)根，則n的取值范圍是 【答案】n0【分析】將原方程變形為一般式，根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式0，即可得出關(guān)于n的一元一次不等式，解之即可得出n的取值范圍（利用偶次方的非負(fù)性也可以找出n的取值范圍）【解析】原方程可變形為x2+4x+4n0該方程有實(shí)數(shù)根，424×1×（4n）0，解得：n014（2020泰州）方程x2+2x30的兩根為x1、x2，則x1x2的值為 【答案】-3【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，

19、即可得出x1x2的值【解析】方程x2+2x30的兩根為x1、x2，x1x2=ca=-315（2020北京）已知關(guān)于x的方程x2+2x+k0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則k的值是【答案】1【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式0，即可得出關(guān)于k的一元一次方程，解之即可得出k值【解析】關(guān)于x的方程x2+2x+k0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，224×1×k0，解得：k116（2020棗莊）已知關(guān)于x的一元二次方程（a1）x22x+a210有一個(gè)根為x0，則a【答案】-1【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義把x0代入原方程得到關(guān)于a的一元二次方程，解得a±1，然后根據(jù)一元二次方程的定義確定a

20、的值【解析】把x0代入（a1）x22x+a210得a210，解得a±1，a10，a117（2020煙臺）關(guān)于x的一元二次方程（m1）x2+2x10有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是 【答案】m0且m1【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到m10且224（m1）×（1）0，然后求出兩個(gè)不等式的公共部分即可【解析】根據(jù)題意得m10且224（m1）×（1）0，解得m0且m118（2020甘孜州）三角形的兩邊長分別為4和7，第三邊的長是方程x28x+120的解，則這個(gè)三角形的周長是 【答案】17【分析】先利用因式分解法解方程得到x12，x26，再根據(jù)三角形三

21、邊的關(guān)系得到三角形第三邊長為3，然后計(jì)算三角形的周長【解析】x28x+120，（x2）（x6）0，解得：x12，x26，若x2，即第三邊為2，4+267，不能構(gòu)成三角形，舍去；當(dāng)x6時(shí)，這個(gè)三角形周長為4+7+617，19（2020揚(yáng)州）方程（x+1）29的根是 【答案】x12，x24【分析】根據(jù)直接開平方法的步驟先把方程兩邊分別開方，再進(jìn)行計(jì)算即可【解析】（x+1）29，x+1±3，x12，x2420（2020上海）如果關(guān)于x的方程x24x+m0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么m的值是 【答案】4【分析】一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，即根的判別式b24ac0，即可求m值【解析】依題意，方程

22、x24x+m0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，b24ac（4）24m0，解得m4，21（2020天水）一個(gè)三角形的兩邊長分別為2和5，第三邊長是方程x28x+120的根，則該三角形的周長為【答案】13【分析】先利用因式分解法解方程x28x+120，然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得出第三邊的長，則該三角形的周長可求【解析】x28x+120，（x2）（x6）0，x12，x26，三角形的兩邊長分別為2和5，第三邊長是方程x28x+120的根，2+25，2+56，三角形的第三邊長是6，該三角形的周長為：2+5+61322（2020江西）若關(guān)于x的一元二次方程x2kx20的一個(gè)根為x1，則這個(gè)一元二次方程的另一個(gè)根為 【

23、答案】-2【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系可得出方程的兩根之積為2，結(jié)合方程的一個(gè)根為1，可求出方程的另一個(gè)根，此題得解【解析】a1，bk，c2，x1x2=ca=-2關(guān)于x的一元二次方程x2kx20的一個(gè)根為x1，另一個(gè)根為2÷1223（2020成都）關(guān)于x的一元二次方程2x24x+m-32=0有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 【答案】m72【分析】根據(jù)根的判別式得出不等式，求出不等式的解集即可【解析】關(guān)于x的一元二次方程2x24x+m-32=0有實(shí)數(shù)根，（4）24×2×（m-32）168m+120，解得：m7224.（2019年山東省棗莊市）已知關(guān)于x的方程ax2+2x

24、30有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是【答案】a且a0【分析】由方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則運(yùn)用一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的根的判別式是b24ac0即可進(jìn)行解答【解答】解：由關(guān)于x的方程ax2+2x30有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根得b24ac4+4×3a0，解得a則a且a0三、解答題（7個(gè)小題，共48分）25（6分）（2020徐州）（1）解方程：2x25x+30【答案】見解析?！痉治觥糠匠汤靡蚴椒纸夥ㄇ蟪鼋饧纯??！窘馕觥浚?）2x25x+30，（2x3）（x1）0，2x30或x10，解得：x1=32，x2126（8分）（2020廣東）已知關(guān)于x，y的方程組ax+23y=-1

25、03，x+y=4與x-y=2，x+by=15的解相同（1）求a，b的值；（2）若一個(gè)三角形的一條邊的長為26，另外兩條邊的長是關(guān)于x的方程x2+ax+b0的解試判斷該三角形的形狀，并說明理由【答案】見解析?！痉治觥浚?）關(guān)于x，y的方程組ax+23y=-103，x+y=4與x-y=2，x+by=15的解相同實(shí)際就是方程組x+y=4x-y=2的解，可求出方程組的解，進(jìn)而確定a、b的值；（2）將a、b的值代入關(guān)于x的方程x2+ax+b0，求出方程的解，再根據(jù)方程的兩個(gè)解與26為邊長，判斷三角形的形狀【解析】（1）由題意得，關(guān)于x，y的方程組的相同解，就是程組x+y=4x-y=2的解，解得，x=3y

26、=1，代入原方程組得，a43，b12；（2）當(dāng)a43，b12時(shí)，關(guān)于x的方程x2+ax+b0就變?yōu)閤2-4 3x+120，解得，x1x223，又（23）2+（23）2（26）2，以23、23、26為邊的三角形是等腰直角三角形27（8分）（2020隨州）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m20（1）求證：無論m取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，且x1+x2+3x1x21，求m的值【答案】見解析。【分析】（1）根據(jù)根的判別式得出（2m+1）24×1×（m2）4m2+90，據(jù)此可得答案；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出x1+x2（2

27、m+1），x1x2m2，代入x1+x2+3x1x21得出關(guān)于m的方程，解之可得答案【解析】（1）（2m+1）24×1×（m2）4m2+4m+14m+84m2+90，無論m取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）由根與系數(shù)的關(guān)系得出x1+x2=-(2m+1)x1x2=m-2，由x1+x2+3x1x21得（2m+1）+3（m2）1，解得m828（8分）（2020鄂州）已知關(guān)于x的方程x24x+k+10有兩實(shí)數(shù)根（1）求k的取值范圍；（2）設(shè)方程兩實(shí)數(shù)根分別為x1、x2，且3x1+3x2=x1x24，求實(shí)數(shù)k的值【答案】見解析?！痉治觥浚?）根據(jù)根的判別式即可求出答案（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案【解析】（1）164（k+1）164k4124k0，k3（2）由題意可知：x1+x24，x1x2k+1，3x1+3x2=x1x24，3(x1+x2)x1x2=x1x24，3×4k+1