例談回避分類討論的優(yōu)化策略(中學(xué)理科)

1、例談回避分類討論的優(yōu)化策略浙江省諸暨市學(xué)勉中學(xué) （311811）郭天平分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法和解題策略，滲透到整個中學(xué)數(shù)學(xué)每個章節(jié)，一直是 高考屮的熱點和重點，由于這類題目綜合性強，邏輯性嚴(yán)，探索性開放，自然也是高考的難點. 我們在重視分類討論思想應(yīng)用的基礎(chǔ)上，也要注意克服動輒加以討論的思維定勢，要充分挖掘 數(shù)學(xué)問題中潛在的特殊性和簡單性，盡力打破常規(guī)，避免不必要的分類討論.下面通過舉例談?wù)?如何避免分類討論的優(yōu)化策略.一、巧用公式，回避討論由于三角函數(shù)部分公式繁多，解題屮要盡量避免由于角的條件去討論三角函數(shù)的符號，因 此選擇恰當(dāng)?shù)墓剑蓛毡苡懻?，化繁為?例1已知ctga = i

2、n, a g （龍,2龍）,求cos a的值.< 3兀、3)ae71.和qw2兀< 2丿< 2 )分析 若選用公式tga = ,cos = ± . 1 來求，必須對aw （龍,2龍）分兩部分 ctga+分別討論cosa及加的符號；若根據(jù)azm 的范圍，直接選用恰當(dāng)?shù)钠椒疥P(guān)系式，則可有效地避開討論.解 a w (龍,2兀)， sin a v 0，故 cos a = ctga sin =vl + m2二、引參換元，回避討論引入?yún)⒆兞?，作為揭示變量間的內(nèi)在聯(lián)系的媒介，能幫助對運動變化過程作出定量的刻畫, 消化難點，化難為易.x兀$例2解不等式>蘭一 7177 宀 1

3、分析本題按常規(guī)解法是去分母，兩邊平方去根號，而且需要討論左右的正負情況，若我們 注意觀察原不等式，引入?yún)?shù)，進行三角換元，可避免繁瑣的解題過程.（兀兀、解 令x = tan a , ae，,則原不等式可化為：2sin2 a-sina- < 0 ,解得i 2 2；丄vsinavl,故 sa 攔,tan6r>-,所以原不等式的解集為（3,+oo）.2 6233三、分離參數(shù)，反客為主，回避討論在含參數(shù)的方程或不等式中，若能通過適當(dāng)?shù)淖冃危狗匠袒虿坏仁降囊欢酥缓袇?shù)的 解析式，另一端是無參數(shù)的的主變元函數(shù)，從而分離參數(shù)，反客為主，接下去需解有關(guān)主變元 函數(shù)的有關(guān)問題，往往可以回避討論.

4、例3若/(兀)=(a-dlog；jt+o+i在cig 0,1時恒為正數(shù)，求實數(shù)無的取值范圍.分析 本題形式上是關(guān)于log3x的二次函數(shù)，如果用換元的方法去討論，明顯較繁.若能 變更主元把原函數(shù)看成是關(guān)于。的一次函數(shù)，問題便迎難而解了.解 設(shè)關(guān)于° 的函數(shù) g(a)= (a-dlog j r-6slogs x+alqog3j x6kg,r + l 當(dāng)gw 0,1時 g)> 0恒成立.|-6fcg5x-i-2>0“33評注：本題的解法側(cè)重于對題意等價地“改頭換面”，更直截了當(dāng)?shù)匕盐樟藛栴}的本質(zhì).即只須滿足g(0)>0 g(l)>0-khao n iv log3x&

5、lt;- n_vxv羽.四、消除參數(shù)，回避討論例 4 設(shè)0<x <1, a >0, aho,試比較|loga(1 -x)|-|logfl(1 + x)| 的大小.分析一般情況下比較大小我們采用作差 = |log“(l-x)|-|k)g“(l + x)|,對底數(shù)g的取值范圍加以討論脫去絕對值符號，因q是討論因素，若能消去參數(shù)q，則可避免討論，何樂而不 為呢！為此作商，運用換底公式，可得到明顯的效果.|log“(l-x)|iog°(i + q|=10g(z)(l-x)tog(i+*)(1 一兀)iog(t又 0 v兀v 1時，> 1 + 兀 log(g)亠 >

6、; l°g(g)(1 + x)= 1 ' |log“(i 兀)| >1 x1 x五、整體化歸，回避討論例5(2002年高考題)函數(shù)y = q”在0,1上的最大值與最小值的和為3,則a =.分析 此題的常規(guī)思維是刈底數(shù)分0 vgv1,g> 1來討論確定函數(shù)y = ax的單調(diào)性，再分 別求岀y = 在0, 1上的最大值與最小值后求。值；若從整體思維出發(fā)，單調(diào)函數(shù)在閉區(qū)間 上的最值總是在端點處達到，則可回避討論，直接求解.解rh題設(shè)得xnax + >nin =+ r = 1 + ° = 3 ,故 cl = 2說明：將數(shù)學(xué)問題分成若干問題，逐個擊破，分而治

7、z固然重要，但有時若能有意識的放 大看問題的視線，將問題視為整體，去研究整體的形式與結(jié)構(gòu)，可能會起到意想不到的效果.六、數(shù)形結(jié)合，回避討論利用函數(shù)圖像、幾何圖形的直觀性能巧妙地將數(shù)量關(guān)系與空間圖形有機的結(jié)合起來，有時 也可以回避問題的討論.例 6 已知集合 a = x| lg(x2 -2ax + a2 +1) < lg2 , b = x(x-a)x- 2)> 0,若ajb = rf求a的范圍.而用數(shù)形結(jié)合來解就解析 按照不等式知識須分a>o,a = o,a<o分類討論求出集合b ,不必討論.由 a = x lg(x2 一 2ax + a2 +1) < lg2,解得

8、 a = (a - l,a +1)卩(a + l)>0 仇-1)>o令 fx) = (x- ax - 2)> 0 ,如圖，不論 y = f(x)a>o,a = o,a<o,由 aub = 7?u>七、巧用補集思想，不正則反，回避討論有些問題，分類討論比較麻煩，若用補集法去考慮問題的對立面，即從結(jié)論的反面去思考 和探索，得出反面結(jié)論，結(jié)合集合性質(zhì)ajcua = u ,可以將題目化難為易，化繁為簡，開拓 解題思路.例7如果二次函數(shù)y =+(加-3)兀+1的圖像與兀軸的交點至少有一個在原點的右側(cè)，試求加的取值范圍.解析若從正面求解，必須要對“兩交點均在原點右側(cè)”，“一個交點在原點右側(cè)另一個交 點在原點左側(cè)”等情況進行分類討論；若從反面考慮問題，即先考慮兩個交點都在原點左側(cè)時加 的取值范圍，則由一元二次方程/2+(m-3)x + l = 0有兩負根得：a = (m 一 3)2 一 4m > 03 加< <0m丄&g