冪級數(shù)教學(xué)課件

1、第十四章第十四章 冪冪 級級 數(shù)數(shù) 引言引言 前面介紹了一般的函數(shù)項級數(shù)，重點(diǎn)前面介紹了一般的函數(shù)項級數(shù)，重點(diǎn)是函數(shù)項級數(shù)收斂、一致收斂的判定方法以是函數(shù)項級數(shù)收斂、一致收斂的判定方法以及一致收斂函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)及一致收斂函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì).從今天開始，從今天開始，我們將陸續(xù)向大家介紹兩類特殊的常用的函我們將陸續(xù)向大家介紹兩類特殊的常用的函數(shù)項級數(shù)，一類是數(shù)項級數(shù)，一類是“冪級數(shù)冪級數(shù)”（代數(shù)多項式（代數(shù)多項式的推廣）；另一類是的推廣）；另一類是“fourier級數(shù)級數(shù)”（三（三角多項式的推廣，三角級數(shù)的特例，在物理角多項式的推廣，三角級數(shù)的特例，在物理中有廣的應(yīng)用）中有廣的應(yīng)用）.14.1 冪

2、級數(shù)一一 冪級數(shù)及其收斂性冪級數(shù)及其收斂性二二 冪級數(shù)的性質(zhì)冪級數(shù)的性質(zhì)三三 冪級數(shù)的運(yùn)算冪級數(shù)的運(yùn)算四四 小結(jié)小結(jié)1.1.定義定義形如 20010200()()()nnaxxaa xxaxx0(),nnaxx一、冪級數(shù)的定義及其收斂性一、冪級數(shù)的定義及其收斂性的函數(shù)項級數(shù)稱為冪級數(shù). 冪級數(shù)系數(shù)通項注: 當(dāng) 時, 上面的冪級數(shù)化為 00 x 20120.nnnnna xaa xa xa x我們主要討論形如(2)的冪級數(shù), 因為只要把(2)中的 換成 , 就得到(1). x0 xx(1)(2)2.2.冪級數(shù)的收斂點(diǎn)與收斂域冪級數(shù)的收斂點(diǎn)與收斂域如果如果ix 0, ,數(shù)項級數(shù)數(shù)項級數(shù) 10)(n

3、nxu收斂收斂, ,則則稱稱0 x為為級級數(shù)數(shù))(1xunn 的的收收斂斂點(diǎn)點(diǎn), ,否否則則稱稱為為發(fā)發(fā)散散點(diǎn)點(diǎn). .所有發(fā)散點(diǎn)的全體稱為所有發(fā)散點(diǎn)的全體稱為發(fā)散域發(fā)散域. .函函數(shù)數(shù)項項級級數(shù)數(shù))(1xunn 的的所所有有收收斂斂點(diǎn)點(diǎn)的的全全體體稱稱為為收收斂斂域域, ,120 xxxnn例如級數(shù)例如級數(shù);,1收收斂斂時時當(dāng)當(dāng) x;,1發(fā)發(fā)散散時時當(dāng)當(dāng) x);1 , 1( 收斂域收斂域);, 11,( 發(fā)散域發(fā)散域因此級數(shù)斂散性的問題對于函數(shù)項級數(shù)或因此級數(shù)斂散性的問題對于函數(shù)項級數(shù)或冪級數(shù)而言，正確的提法是區(qū)間上的那些冪級數(shù)而言，正確的提法是區(qū)間上的那些點(diǎn)使級數(shù)收斂，那些點(diǎn)使級數(shù)發(fā)散？點(diǎn)使

4、級數(shù)收斂，那些點(diǎn)使級數(shù)發(fā)散？)()(limxsxsnn 函數(shù)項級數(shù)的部分和函數(shù)項級數(shù)的部分和余項余項)()()(xsxsxrnn (x在收斂域上在收斂域上)0)(lim xrnn注意注意函數(shù)項級數(shù)在某點(diǎn)函數(shù)項級數(shù)在某點(diǎn)x的收斂問題的收斂問題, ,實質(zhì)上實質(zhì)上是常數(shù)項級數(shù)的收斂問題是常數(shù)項級數(shù)的收斂問題. .3.3.和函數(shù)和函數(shù) )()()()(21xuxuxuxsn定義域是什么定義域是什么? ?),(xsn定義域就是級數(shù)的收斂域定義域就是級數(shù)的收斂域如如果果級級數(shù)數(shù) 0nnnxa在在0 xx 處處發(fā)發(fā)散散, ,則則它它在在滿滿足足不不等等式式0 xx 的的一一切切x處處發(fā)發(fā)散散. .證明證明,

5、 0lim0 nnnxa,)1(00收斂收斂 nnnxa), 2 , 1 , 0(0 nmxann使使得得,m nnnnnnxxxaxa00 nnnxxxa00 nxxm0 ,10時時當(dāng)當(dāng) xx,00收收斂斂等等比比級級數(shù)數(shù)nnxxm ,0收收斂斂 nnnxa;0收收斂斂即即級級數(shù)數(shù) nnnxa,)2(0時時發(fā)發(fā)散散假假設(shè)設(shè)當(dāng)當(dāng)xx 而而有有一一點(diǎn)點(diǎn)1x適適合合01xx 使使級級數(shù)數(shù)收收斂斂, ,則則級級數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng)0 xx 時時應(yīng)應(yīng)收收斂斂,這與所設(shè)矛盾這與所設(shè)矛盾.由由(1)結(jié)論結(jié)論xo r r幾何說明幾何說明收斂區(qū)域收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域如如果果冪冪級級數(shù)數(shù) 0nnnxa不

6、不是是僅僅在在0 x一一點(diǎn)點(diǎn)收收斂斂, ,也也不不是是在在整整個個數(shù)數(shù)軸軸上上都都收收斂斂, ,則則必必有有一一個個完完全全確確定定的的正正數(shù)數(shù)r存存在在, ,它它具具有有下下列列性性質(zhì)質(zhì): :當(dāng)當(dāng)rx 時時, ,冪冪級級數(shù)數(shù)絕絕對對收收斂斂; ;當(dāng)當(dāng)rx 時時,冪級數(shù)發(fā)散冪級數(shù)發(fā)散;當(dāng)當(dāng)rxrx 與與時時, ,冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. .由定理由定理14.114.1知道知道定義定義: : 正數(shù)正數(shù)r稱為冪級數(shù)的稱為冪級數(shù)的收斂半徑收斂半徑., 0 r),rr ,(rr .,之之一一rr 規(guī)定規(guī)定, r收收斂斂域域),(. 問題問題如何求冪級數(shù)的收斂半徑如何求冪級數(shù)的

7、收斂半徑r?(1) 冪冪級級數(shù)數(shù)只只在在0 x處處收收斂斂,收斂域收斂域是是稱為冪級數(shù)的稱為冪級數(shù)的收斂區(qū)間收斂區(qū)間.),(rr 開區(qū)間開區(qū)間),(rr 設(shè)設(shè) nnnaa1lim (或或 nnnalim)(1) 則則當(dāng)當(dāng)0 時時, 1r;(3) 當(dāng)當(dāng) 時時,0 r.(2) 當(dāng)當(dāng)0 時時, r;證明證明應(yīng)應(yīng)用用達(dá)達(dá)朗朗貝貝爾爾判判別別法法對對級級數(shù)數(shù) 0nnnxannnnnxaxa11lim xaannn1lim ,x ,)0(lim)1(1存在存在如果如果 nnnaa由比值判別法由比值判別法,1|時時當(dāng)當(dāng) x,|0收收斂斂級級數(shù)數(shù) nnnxa.0收收斂斂絕絕對對從從而而級級數(shù)數(shù) nnnxa,1

8、|時時當(dāng)當(dāng) x,|0發(fā)發(fā)散散級級數(shù)數(shù) nnnxa開始開始并且從某個并且從某個 n|,|11nnnnxaxa 0|nnxa.0 nnnxa發(fā)發(fā)散散從從而而級級數(shù)數(shù);1 r收斂半徑收斂半徑, 0)2( 如如果果, 0 x),(011 nxaxannnn有有,|0收收斂斂級級數(shù)數(shù) nnnxa.0收收斂斂絕絕對對從從而而級級數(shù)數(shù) nnnxa; r收斂半徑收斂半徑,)3( 如如果果, 0 x.0 nnnxa必必發(fā)發(fā)散散級級數(shù)數(shù). 0 r收斂半徑收斂半徑),(11 nxaxannnn有有例例1 1 求下列冪級數(shù)的收斂域求下列冪級數(shù)的收斂域:解解)1(nnnaa1lim 1lim nnn1 1 r,1時時當(dāng)

9、當(dāng) x,1時時當(dāng)當(dāng) x,)1(1 nnn級級數(shù)數(shù)為為,11 nn級級數(shù)數(shù)為為該級數(shù)收斂該級數(shù)收斂;該級數(shù)發(fā)散該級數(shù)發(fā)散;)1()1(1nxnnn ;)()2(1 nnnx;!)3(1 nnnx故收斂域故收斂域是是1 , 1( . nnna limnn lim, , r級級數(shù)數(shù)只只在在0 x處處收收斂斂,nnnaa1lim 11lim nn, 0 , 0 r收收斂斂域域),( . ;)()2(1 nnnx;!)3(1 nnnx例例 2 2 求求冪冪級級數(shù)數(shù) 1122nnnx的的收收斂斂域域. 解解 3523222xxx級數(shù)為級數(shù)為缺少偶次冪的項缺少偶次冪的項應(yīng)應(yīng)用用達(dá)達(dá)朗朗貝貝爾爾判判別別法法)

10、()(lim1xuxunnn nnnnnxx22lim12112 ,212x 級數(shù)收斂級數(shù)收斂, 1212 x當(dāng)當(dāng),2時時即即 x, 1212 x當(dāng)當(dāng),2時時即即 x級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散,2時時當(dāng)當(dāng) x,211 n級數(shù)為級數(shù)為,2時時當(dāng)當(dāng) x,211 n級數(shù)為級數(shù)為級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散,級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散,原級數(shù)的收斂域為原級數(shù)的收斂域為).2, 2( 解解.)32()1(302的的收收斂斂域域求求冪冪級級數(shù)數(shù)例例 nnnxyx 2)32(令令 0)1(nnny得得時時，級級數(shù)數(shù)收收斂斂；當(dāng)當(dāng)1y 原原級級數(shù)數(shù)收收斂斂；時時，所所以以，當(dāng)當(dāng)121321 xx .12 ，所所求求收收斂斂域域為為時時，級級

11、數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散；當(dāng)當(dāng)1y nnnaa1lim 12lim nnn2 ,21 r,2121收斂收斂即即 x,)1 , 0(收斂收斂 x,0時時當(dāng)當(dāng) x,11 nn級數(shù)為級數(shù)為,1時時當(dāng)當(dāng) x,)1(1 nnn級數(shù)為級數(shù)為發(fā)散發(fā)散收斂收斂故收斂域為故收斂域為(0,1.)21(2)1(41的的收收斂斂域域求求例例nnnnxn 解解二二 冪級數(shù)的性質(zhì)冪級數(shù)的性質(zhì) 1 （阿貝爾第二定理）（阿貝爾第二定理）定理定理14.4證明：證明：即冪級數(shù)在包含收斂域中的任意閉區(qū)間上都一致收斂. 2.2.冪級數(shù)的和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì)冪級數(shù)的和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì): :(1) 冪冪級級數(shù)數(shù) 0nnnxa的的和和函函數(shù)數(shù))(x

12、s在在收收斂斂域域 i上上連連續(xù)續(xù). （求和與求極限可交換次序（求和與求極限可交換次序) )(2) 冪冪級級數(shù)數(shù) 0nnnxa的的和和函函數(shù)數(shù))(xs在在收收斂斂區(qū)區(qū)間間 ),(rr 內(nèi)內(nèi)可可積積,且且對對),(rrx 可可逐逐項項積積分分. （求和與求積可交換次序（求和與求積可交換次序) ) xnnnxdxxadxxs000)()(即即 00nxnndxxa.110 nnnxna(3) 冪冪級級數(shù)數(shù) 0nnnxa的的和和函函數(shù)數(shù))(xs在在收收斂斂區(qū)區(qū)間間 ),(rr 內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo), 并并可可逐逐項項求求導(dǎo)導(dǎo). 0)()(nnnxaxs即即 0)(nnnxa.11 nnnxna（求和與求導(dǎo)可

13、交換次序（求和與求導(dǎo)可交換次序) )冪級數(shù)經(jīng)逐項求導(dǎo)或逐項積分后，所得之冪級冪級數(shù)經(jīng)逐項求導(dǎo)或逐項積分后，所得之冪級數(shù)的收斂半徑不變；數(shù)的收斂半徑不變；說明說明：在收斂區(qū)間的端點(diǎn)處的收斂性可能改變在收斂區(qū)間的端點(diǎn)處的收斂性可能改變；若經(jīng)逐項求導(dǎo)或逐項積分后得冪級數(shù)在某一端若經(jīng)逐項求導(dǎo)或逐項積分后得冪級數(shù)在某一端點(diǎn)處收斂，則在該點(diǎn)處點(diǎn)處收斂，則在該點(diǎn)處(2)、(3)仍成立仍成立。 推論1. 設(shè) 為冪級數(shù)(2)在收斂區(qū)間 內(nèi)的和函數(shù), 則它在 內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù),( )s x,r r,r r且可逐項求導(dǎo)任意次, 即 1122( );nns xaa xna x22323 21( )();nnsxaa

14、xn na x 1112( )( )!() ();nnnsxn ann nax注: 由此可見 是冪級數(shù)(2)的和函數(shù)的必要( )s x條件是 要任意次可導(dǎo). ( )s x推論2. 設(shè) 是冪級數(shù)(2)在 某鄰域內(nèi)的( )s x0 x 和函數(shù), 則冪級數(shù)(2)的系數(shù)與 在 處的( )s x0 x 各階導(dǎo)數(shù)有以下關(guān)系: 0001 2 3( )( )( ),(, , ,)!nnsasann注: 若冪級數(shù)(2)在 內(nèi)有和函數(shù) , ,r r( )s x則冪級數(shù)(2)就由 在 處的各階導(dǎo)數(shù) ( )s x0 x 所唯一確定. 三、冪級數(shù)的運(yùn)算三、冪級數(shù)的運(yùn)算代數(shù)運(yùn)算性質(zhì)代數(shù)運(yùn)算性質(zhì): :(1) 加減法加減法

15、00nnnnnnxbxa.0 nnnxc(其中其中 21,minrrr )nnnbac rrx, ,2100rrxbxannnnnn和和的收斂半徑各為的收斂半徑各為和和設(shè)設(shè) (2) 乘法乘法)()(00 nnnnnnxbxa.0 nnnxc rrx, (其中其中)0110bababacnnnn 00ba10ba20ba30ba01ba11ba21ba31ba02ba12ba22ba32ba03ba13ba23ba33ba柯柯西西乘乘積積321xxx 21,minrrr 注: 收斂半徑均為 例例,)(12 nnnxxf,)(11 nnnxxf,)1()(22 nnnxnxf它們的收斂半徑都是它們

16、的收斂半徑都是1,但它們的收斂域各是但它們的收斂域各是)1 , 1(),1 , 1,1 , 1 例例：由幾何級數(shù)的收斂得到的幾個結(jié)論：由幾何級數(shù)的收斂得到的幾個結(jié)論)11(.1112 xxxxxn )11(.32111122 xnxxxxn)11(.1.32)1ln(132 xnxxxxxn兩邊求導(dǎo)得兩邊求導(dǎo)得 兩邊積分得兩邊積分得解解 1)1()(nnxnxs設(shè)設(shè) .11)1(51的的和和函函數(shù)數(shù)，在在求求例例 nnxn 110)(nnxxdxxs則則 1 , 11 xxx xxxs1)( 1 , 1112 xx例例 6 6 求級數(shù)求級數(shù) 11)1(nnnnx的和函數(shù)的和函數(shù). 解解,)1(

17、)(11 nnnnxxs, 0)0( s顯顯然然兩邊積分得兩邊積分得)1ln()(0 xdttsx 21)(xxxs,11x )11( x顯然，級數(shù)的收斂域為（顯然，級數(shù)的收斂域為（1，1,1時時又又 x.1)1(11收斂收斂 nnn).1ln()1(11xnxnnn )11( x),1ln()(xxs )1ln()0()(xsxs 即即例例 7 7 求求 12)1(nnnn的的和和. 解解,)1(1nnxnn 考慮級數(shù)考慮級數(shù)收斂區(qū)間收斂區(qū)間(-1,1), 1)1()(nnxnnxs則則)(11 nnxx)1(2 xxx,)1(23xx 12)1(nnnn故故)21( s . 8 幾個常用已

18、知和函數(shù)的冪級數(shù)幾個常用已知和函數(shù)的冪級數(shù);11)1(0 xxnn ;11)1()2(202xxnnn ;1)3(202xaaxnn ;!)4(0 xnnenx );1ln(1)1()6(01xnxnnn ;sin)!12()1()5(1121xnxnnn 注意收斂域！四、小結(jié)四、小結(jié)2.冪級數(shù)的收斂性冪級數(shù)的收斂性:收斂半徑收斂半徑r3.冪級數(shù)的運(yùn)算冪級數(shù)的運(yùn)算:分析運(yùn)算性質(zhì)分析運(yùn)算性質(zhì)1.函數(shù)項級數(shù)的概念；函數(shù)項級數(shù)的概念； .1112的的和和函函數(shù)數(shù)，在在求求 nnxn思考題解答思考題解答xxnn 110 0112111nnnnxnnxx求導(dǎo)求導(dǎo) 11112113112nnnnnnnxxnnxnx求導(dǎo)求導(dǎo) 1121202nnn