工程流體力學(xué)課件-孔瓏-第四版

1、中國古代提水中國古代提水灌溉所用風(fēng)車灌溉所用風(fēng)車大禹治水大禹治水 都江堰都江堰李冰李冰（302-235 bc）archimedes(285-212 bc)leonardo da vinci(1452-1519)galileo(1564-1642)b. pascal(1623-1662)i. newton(1642-1727)d. bernoulli(1700-1782)l. euler(1707-1783)j. le r. dalembert (1717-1783)j. l. lagrange(1736-1813)c. -l. m. h. navier(1785-1836)g. g. stok

2、es(1819-1905)o. reynolds(1842-1912)l. prandtl (1875-1953)儒科夫斯基儒科夫斯基 h. e. (1847-1921)t. von karman(1881-1963)周培源周培源（19021993) 錢學(xué)森錢學(xué)森（1911）有有能能否否無無否否是是 建立理論模型建立理論模型建立方程建立方程組與定解條件組與定解條件求解析解求解析解算例驗證算例驗證普適性好普適性好數(shù)學(xué)難度大，數(shù)學(xué)難度大，分析解有限分析解有限建立實驗?zāi)Ｐ筒⑦x取實驗建立實驗?zāi)Ｐ筒⑦x取實驗介質(zhì)介質(zhì)測定有關(guān)物理量測定有關(guān)物理量擬合實驗數(shù)據(jù)找出準(zhǔn)則方擬合實驗數(shù)據(jù)找出準(zhǔn)則方程式程式發(fā)現(xiàn)新現(xiàn)象

3、、發(fā)現(xiàn)新現(xiàn)象、新原理，驗證新原理，驗證其它方法得到其它方法得到的結(jié)論的結(jié)論普適性差普適性差建立理論模型建立理論模型建立方程建立方程組與定解條件組與定解條件編制計算編制計算程序程序計算并分析答案計算并分析答案應(yīng)用面廣泛，應(yīng)用面廣泛，結(jié)果直觀結(jié)果直觀數(shù)值實驗數(shù)值實驗近似性、不穩(wěn)近似性、不穩(wěn)定性定性實驗研究實驗研究（pivpiv）數(shù)值計算數(shù)值計算 如此大量的分子，如此大量的分子，容易取得它們共同容易取得它們共同作用的有代表性的作用的有代表性的統(tǒng)計平均值統(tǒng)計平均值vm式中，式中，m為流體的質(zhì)量，為流體的質(zhì)量，v為流體的體積。為流體的體積。0limvmdmvdv式中，式中，v為在空間某點取的流體體積，流

4、體的質(zhì)量為為在空間某點取的流體體積，流體的質(zhì)量為m 。4 水的密度水的密度 = 1000kg/m30水銀的密度水銀的密度 = 13600kg/m30空氣的密度空氣的密度 = 1.29 kg/m31mvpvvpvv式中，式中，p為壓強(qiáng)增量，為壓強(qiáng)增量，v為體積的變化量。為體積的變化量。vpvk1tvvtvvv式中，式中，t為溫度的增量。為溫度的增量。xyxh1fufafh并且并且f與流體的種類有關(guān)與流體的種類有關(guān)huaf 式中，式中，為流體的為流體的動力粘度動力粘度，與流體的種類、溫度、壓強(qiáng)有關(guān)，在，與流體的種類、溫度、壓強(qiáng)有關(guān)，在一定的溫度壓強(qiáng)下為常數(shù)，單位一定的溫度壓強(qiáng)下為常數(shù)，單位pas；

5、 u/h為速度梯度，表示在速度的垂直方向上單位長度的速度增量，為速度梯度，表示在速度的垂直方向上單位長度的速度增量，單位單位s-1； a為兩平板的接觸面積。為兩平板的接觸面積。uhxy x+ x xyyoxddy000tan() limlimxxtttydddtttdy 當(dāng)時，故有：dtdyxt如圖所示，轉(zhuǎn)軸直徑如圖所示，轉(zhuǎn)軸直徑d=0.36m，軸承長度，軸承長度l=1m，軸與軸承之間的間隙，軸與軸承之間的間隙 =0.2mm，其中充滿動力粘度，其中充滿動力粘度=0.72pas的油，如果軸的轉(zhuǎn)速的油，如果軸的轉(zhuǎn)速n=200 r/min，求克服油的粘性阻力所消耗的功率。，求克服油的粘性阻力所消耗的

6、功率。dn解：油層與軸承接觸面上的速度為零，與接觸面上的速度等于軸面上的線速度：m/s77. 33020018. 030nrr軸表面上的切向力為：n10535. 1136. 010277. 372. 044dlaf克服摩擦所消耗的功率為：kw57.9w1079.577.310535.144fp如圖所示，上下兩平行圓盤的直徑為如圖所示，上下兩平行圓盤的直徑為d，兩盤之間的間隙為，兩盤之間的間隙為 ，間隙中，間隙中流體的動力粘度為流體的動力粘度為 ，若下盤不動，上盤以角速度，若下盤不動，上盤以角速度旋轉(zhuǎn)，不記空氣旋轉(zhuǎn)，不記空氣的摩擦力，求所需力矩的摩擦力，求所需力矩m的表達(dá)式。的表達(dá)式。drdr解

7、：假設(shè)兩盤之間流體的速度為直線分布，上盤半徑r處的切向應(yīng)力為：r所需力矩為：3222420320ddrrrrdrmddkdydnx式中，為流體的表觀粘度，k為常數(shù)，n為指數(shù)。dacxddyb 0otn f ft fn0limnaafp0limnnnnadadaffp0limttntadadaffppn=f(x,y,z,n,t)kjifzyxfffxyza0 xf0yf zfa g nnndpda fpnxyzpxpzpypn x y zabcd 如圖所示，在靜止流體中的點a取一微元四面體，與坐標(biāo)軸相重合的邊長分別為x、y、z，三角形bcd的面積設(shè)為s，各微小平面中心點上的壓強(qiáng)分別為px、py、

8、pz，單位質(zhì)量力在三個坐標(biāo)軸方向上的投影分別為fx、fy、fz。由于流體靜止，則作用在四面體上的力平衡，即：000zyxfff11cos,026xxnpy zfx y zp s n i以x坐標(biāo)軸方向為例，作用在四面體上的力在x方向上的平衡方程為：zys21,cosin106xxnpfxpxnppynppznppxyznpppp),(zyxpp 在靜止流體中取一邊長分別為x、y、z的微小立方體，中心點為a（x,y,z），該點的密度為，靜壓強(qiáng)為p。abcxzy x y zfx2xxpp2pxpx022xpxpxpy zpy zfx y zxx 作用在立方體上的力在x方向的平衡方程為:xyz除以上式

9、，得a點在x方向的平衡方程：101010 xyzpfxpfypfz寫成矢量形式：10 fp將流體平衡微分方程的兩端分別乘以dx、dy、dz，然后相加，得：xyzpppf dxf dyf dzdxdydzxyz即：xyzdpf dxf dyf dzdp=0p(x,y,z)=const。0 xyzf dxf dyf dz0 rf d寫成矢量形式：xyzz2z1p1p212p0o在重力場中，單位質(zhì)量力只有重力，即：代入壓力差公式得：積分得： pgzc 00 xyzfffg ，dpgdz gcgpz如圖所示，上式可寫成：1212ppzzggz p/(g) z+p/(g) xzzhpapp0hob如圖所

10、示，玻璃管上端抽真空，對于a點和b點，流體力學(xué)基本方程式為：gphhzgpzppzp/(g)z+ p/(g)z1z2aa1 p1gp12pgp2 2p0apgz1z2aa1 p11epg2epgp2 2p0pa完全真空完全真空積分常數(shù)根據(jù)自由表面上的邊界條件確定：00,zzpp在重力場中，單位質(zhì)量力只有重力，即：代入壓力差公式積分得： pgzc 00 xyzfffg ，xyzz0zp0oh00gzpc所以任意坐標(biāo)z處的壓強(qiáng)為：ghpzzgpp000p=pa+gh ppe=p-pa=gh pepv=- pe= pa-pppepvppp=0pappahp0ppahpapghppaghpppaeap

11、pghvpghh1h2pap1122由于1和2點在同一流體的等壓面上，故：21pp 111ghpp222ppgh故有：1122ghghppa2211eapppghgh其中：h1h2pap11222211appghgh2211vapppghghhh2h1b11a212 由于1、2兩點在同一等壓面上，故有：ghghpghpba22111a、b兩點的壓強(qiáng)差為：ghghghghpppba121121212(sin)aapppghgla a2a1paphhl00兩液面的高度差為：21sinaalhhh所測的壓強(qiáng)差為：h1h2h3h4h511223344b ba1123已知已知h1=600mm，h2=25

12、0mm，h3=200mm，h4=300mm，h5=500mm， 1=1000kg/m3， 2=800kg/m3， 3=13598kg/m3，求，求a、b兩點的壓強(qiáng)差。兩點的壓強(qiáng)差。解：圖中1-1、2-2、3-3均為等壓面，可以逐個寫出有關(guān)點的靜壓強(qiáng)為：32232312111ghppghppghppa)(45144334hhgppghppb聯(lián)立求解得：4543322311hhgghghghghppaba、b兩點的壓強(qiáng)差為：pa67864324231451ghhhghhhgppbaf2f1hped1d2aa兩圓筒用管子連接，內(nèi)充水銀。第一個圓筒直徑兩圓筒用管子連接，內(nèi)充水銀。第一個圓筒直徑d1=4

13、5cm，活塞上受力，活塞上受力f1=3197n，密封氣體的計示壓強(qiáng)，密封氣體的計示壓強(qiáng)pe=9810pa；第二圓筒直徑；第二圓筒直徑d2=30cm，活塞上受力活塞上受力f2=4945.5n，開口通大氣。若不計活塞質(zhì)量，求平衡狀態(tài)時，開口通大氣。若不計活塞質(zhì)量，求平衡狀態(tài)時兩活塞的高度差兩活塞的高度差h。（已知水銀密度。（已知水銀密度 =13600kg/m3)。解：在f1、f2作用下，活塞底面產(chǎn)生的壓強(qiáng)分別為：pa699644pa20101422222111dfpdfp， 圖中a-a為等壓面，第一圓筒上部是計示壓強(qiáng)，第二圓筒上部的大氣壓強(qiáng)不必計入，故有：21pghppem3003. 012gpp

14、phe單位質(zhì)量液體上的質(zhì)量力沿坐標(biāo)軸的分量為：gfaffzyx，0代入壓強(qiáng)差公式得：gdzadydp積分上式得：paygzc 根據(jù)邊界條件：x=0，y=0，z=0時p=p0，代入上式得積分常數(shù)c=p0，故有：0ppaygzayz p0 xg-afo 以（xs，ys，zs）表示自由液面上點的坐標(biāo)，由于在自由液面上的任意一點都有p=p0，所以由靜壓強(qiáng)的分布規(guī)律可得自由液面的方程為：將質(zhì)量力代入等壓面方程得：0adygdz積分上式得：1aygzc等壓面與水平面之間的夾角為：gaarctan0ssaygz如果y坐標(biāo)都相同，對于液面內(nèi)任意一點，有：sszagyy將上式代入靜壓強(qiáng)分布規(guī)律得：00sppg

15、zzpghayz p0 xoh 作用在半徑為r處的液體質(zhì)點上的單位質(zhì)量力沿坐標(biāo)軸的分量為：gfyrfxrfzyx，2222sincos代入壓強(qiáng)差公式得：積分上式得：gdzydyxdxdp22czgrgcgzyxp222222222yxyoo2r2y2xhzp0r根據(jù)邊界條件：r=0，z=0時p=p0，代入上式得積分常數(shù)c=p0，故有：2202rppgzg將質(zhì)量力代入等壓面方程得：積分上式得：220 xdxydygdz1222cgzr 以下標(biāo)s表示自由液面上點的坐標(biāo)，由于在自由液面上的任意一點都有p=p0，所以由靜壓強(qiáng)的分布規(guī)律可得自由液面的方程為：2202ssrgz如果考察的是相同半徑r處的情

16、況，則由上式得液面下任一點處：222222ssrrzgg將上式代入靜壓強(qiáng)分布規(guī)律得：00sppg zzpghzorpagr2222222cossinxyzfrxfryfg ，代入壓強(qiáng)差公式并積分得：222rpgzcg根據(jù)邊界條件：r=0，z=0時p=pa，代入上式得積分常數(shù)c=pa，故有：222arppgzg作用在頂蓋上的計示壓強(qiáng)為：222erp2222cossinxyzfrxfryfg ，代入壓強(qiáng)差公式并積分得：222rpgzcg根據(jù)邊界條件：r=r，z=0時p=pa，代入上式得c=pa-2r2/2，故有：2222arrppgzg作用在頂蓋上的真空度為：2222rrpvzorpagr222h

17、2h1lazyo解：質(zhì)量力在坐標(biāo)軸方向的分量為：gfaffzyx, 0代入壓強(qiáng)差公式并積分得：cgzayp在y=0，z=0處，p=pa求得c=pa，即：appaygz在y=-l，z=h1-h2處，p=pa，代入上式得：021hhgal即：12ahhlgdh2h1hz解：設(shè)坐標(biāo)原點始終位于凹液面的最低點。 當(dāng)水恰好觸及容器口時，自由液面所包容的體積等于原來無水部分的體積，即：szdhhd2124214其中：gdgrzs82221221所以：rad/s67.1816211dhhgr/min3 .178/3011n 當(dāng)自由液面形成的拋物面恰好觸及容器底部時，拋物面所包容的體積正好為容器體積的一半，此

18、時：gdhzs82222820.88 rad/sghdr/min3 .178/3011n當(dāng)容器停止轉(zhuǎn)動時容器中水的高度為：20.25 m2hh 在平面上取一微元面積da，其中心的淹沒深度為h，到oy軸的距離為x，液體作用在該微元面積上的微元總壓力為：dagxghdadfpsin 在平面上積分上式，可得液體作用在平面上的總壓力：aappxdagdffsin上式中，axxdaca為平面對oy軸的面積矩，xc為平面形心的x坐標(biāo)，故：aghagxfccpsin總壓力fp對oy軸的力矩等于各微元總壓力對oy軸的力矩的代數(shù)和，即：apdpxdfxfadcdaxgaxxg2sinsin式中，yaidax2為

19、面積a對oy軸的慣性矩，故有：axixcyd 根據(jù)慣性矩平行移軸定理iy=icy+xc2a(icy為面積a對通過其形心并平行于oy軸的坐標(biāo)軸的慣性矩），代入上式，得：同理可求得壓力中心的y坐標(biāo)：cycxydccciiyyx ax ax 式中，yc為平面形心的y坐標(biāo)，ixy、icxy分別為平面對oxy坐標(biāo)系和通過平面形心并 平行于oxy的坐標(biāo)系的慣性積。cydccixxx a, ,h1h2xdxd1xd2f2f1foyxb解：對于閘門左側(cè)bghaghfc2111121311111121111212223cydccibhxxhhx abh同理，對于閘門右側(cè)2222212cfgh agh b3222

20、22222221212223cydccibhxxhhx abh兩側(cè)總壓力的合力為：bhhgfff22212121 方向向右。設(shè)合力f的作用點的淹沒深度為xd，根據(jù)合力矩定理，對oy軸取矩，有：221211dddxhhfxffx222112122212212122 232322332dgh bhgh b hhhhxhhhgb hh合力作用點的y坐標(biāo)為b/2。 在靜止液體中有一二維曲面，面積為a，它的母線與oy軸平行，它在oxz平面上的投影為曲線ab。在淹沒深度為h的地方取一微元面積da，則液體作用在該微元面積上的微元總壓力為：abdaaxazxzhcxhopadfpdfpxdfpdfpzdada

21、xdazghdadfpcoscospxpxdfdfghdaghdasinsinpzpzdfdfghdaghda微元總壓力在坐標(biāo)軸上的投影為：pxpxxxaaafdfghdaghdapxcxxfgh a式中，xcxxahdah a為投影面積ax對oy軸的面積矩，hcx為ax的形心淹沒深度。故上式成為：pzpzzzaaafdfghdaghda式中，zpahdav為曲面上的液體體積，稱為。故上式成為：ppzgvf22pzpxpfff總壓力與垂線之間的夾角為：pzpxffarctan并指向曲面。 總壓力的水平分力fpx的作用線通過ax的壓力中心指向受壓面，垂直分力fpz的作用線通過壓力體的重心指向受壓

22、面，故總壓力的作用線一定通過這兩條作用線的交點并與垂線成角。abdaxazpadfpdfpxdfpzfpzfpzfpzpahhddd123解：由于作用在底蓋上的壓強(qiáng)左右對稱，其總壓力的水平分力為零，垂直分力方向向下，大小為：n657912243211dhhdggvfppz頂蓋上總壓力的水平分力為零，垂直分力方向向上，大小為：23223049 n4212pzpdhdfgvgh側(cè)蓋上總壓力的水平分力為：n4814423dghaghfxcxpx側(cè)蓋上總壓力的垂直分力應(yīng)為作用在半球上的上半部分和下半部分垂直分力的合力，即半球體積水的重量：33321 n12pzdfg故側(cè)蓋上的總壓力：223334825

23、 nppxpzfff33arctan86.2pxpzff由于總壓力的作用線與球面垂直，所以它一定通過球心。dhhzom1m1122解：坐標(biāo)原點選在直管中心的液面上，z軸鉛直向上。由于容器處于大氣環(huán)境中，只需按計示壓強(qiáng)進(jìn)行計算。在頂蓋的下表面上有z=-h，故有：ghrpe2221作用在頂蓋上的計示壓強(qiáng)的合力與頂蓋的重力之差就是螺栓組1受到的拉力：22222221111001222416ddedfprdrm grrgh drm gdghm g 螺栓組2受到的拉力為：gmmghddmgff122212164筒壁處自由液面的高度為：222228rdhgg頂蓋上壓力體的體積為：2222212 44416

24、fdvd hd hdhg故螺栓組1受到的拉力為：22211416dfdghm g螺栓組2受到的拉力為：22221416dfdghmm gabcdfpz1fpz2pagfzxadbcadbfgacbfgpzgvvvgfadbcpzbgvff 流體運(yùn)動時，表征運(yùn)動特征的運(yùn)動要素一般隨時間空間流體運(yùn)動時，表征運(yùn)動特征的運(yùn)動要素一般隨時間空間而變，而流體又是眾多質(zhì)點組成的連續(xù)介質(zhì)，流體的運(yùn)動是而變，而流體又是眾多質(zhì)點組成的連續(xù)介質(zhì)，流體的運(yùn)動是無窮多流體運(yùn)動的綜合。無窮多流體運(yùn)動的綜合。 怎樣描述整個流體的運(yùn)動規(guī)律呢？怎樣描述整個流體的運(yùn)動規(guī)律呢？拉格朗日法拉格朗日法 歐拉法歐拉法 拉格朗日法拉格朗日

25、法: : 質(zhì)點系法質(zhì)點系法 把流體質(zhì)點作為研究對象，把流體質(zhì)點作為研究對象，跟蹤每一個質(zhì)點跟蹤每一個質(zhì)點，描述其運(yùn)，描述其運(yùn)動過程中流動參數(shù)隨時間的變化，綜合流場中所有流體質(zhì)點，動過程中流動參數(shù)隨時間的變化，綜合流場中所有流體質(zhì)點，來獲得整個流場流體運(yùn)動的規(guī)律。來獲得整個流場流體運(yùn)動的規(guī)律。 設(shè)某一流體質(zhì)點設(shè)某一流體質(zhì)點 在在t=tt=t0 0 時刻占據(jù)起始坐標(biāo)（時刻占據(jù)起始坐標(biāo)（a a，b b，c c），），t t為時間變量為時間變量 xzyoaxbzct0tm ),( ),(),(tcbazztcbayytcbaxxzxyoaxbyzct0tmt t時刻，流體質(zhì)點運(yùn)動到空間坐標(biāo)（時刻，流體

26、質(zhì)點運(yùn)動到空間坐標(biāo)（x，y，z） ),( ),(),(tcbazztcbayytcbaxx( , , , )( , , , )( , , , )( , , , ) ( , , , )( , , , )xyzx a b c tutxx a b c tdy a b c tyy a b c tudttzz a b c tz a b c tut222222( , , , )( , , , )( , , , )( , , , )( , , , )( , , , )( , , , )( , , , )( , , , )xxxyyyzzzu a b c tx a b c taa a b c tttua b

27、c ty a b c taaa b c tttu a b c tz a b c taa a b c ttt 問題問題 1 每個質(zhì)點運(yùn)動規(guī)律不同，很難跟蹤足夠多質(zhì)點每個質(zhì)點運(yùn)動規(guī)律不同，很難跟蹤足夠多質(zhì)點2 數(shù)學(xué)上存在難以克服的困難數(shù)學(xué)上存在難以克服的困難3 實用上，不需要知道每個質(zhì)點的運(yùn)動情況實用上，不需要知道每個質(zhì)點的運(yùn)動情況 因此，該方法在工程上很少采用因此，該方法在工程上很少采用。( , , , )( , , , ) ( , , ) limited fluid points ( , , , )xx a b c tyy a b c ta b czz a b c t 又稱為流場法，核心是研究

28、運(yùn)動要素分布場。又稱為流場法，核心是研究運(yùn)動要素分布場。即研究即研究流體質(zhì)點在通過某一空間點時流動參數(shù)隨時間的變化規(guī)律。流體質(zhì)點在通過某一空間點時流動參數(shù)隨時間的變化規(guī)律。該法是對流動參數(shù)場的研究，例如速度場、壓強(qiáng)場、密度該法是對流動參數(shù)場的研究，例如速度場、壓強(qiáng)場、密度場、溫度場等。場、溫度場等。 采用歐拉法，可將流場中任何一個運(yùn)動要素表示為采用歐拉法，可將流場中任何一個運(yùn)動要素表示為空間坐標(biāo)（空間坐標(biāo)（x，y，z）和時間）和時間t 的單值連續(xù)函數(shù)。的單值連續(xù)函數(shù)。液體質(zhì)點在任意時刻液體質(zhì)點在任意時刻t 通過任意空間固定點通過任意空間固定點 (x, y, z) 時時的流速為：的流速為：( ,

29、 , )( , , )( , , )xxyyzzuux y z tuux y z tuux y z t式中，式中， ( (x, y, z, t ) )稱為歐拉變數(shù)。稱為歐拉變數(shù)。( , , )( , , )( , , )pp x y z tx y z ttt x y z t令令 (x, y, z) 為常數(shù)，為常數(shù)， t為變數(shù)為變數(shù)令令 (x, y, z) 為變數(shù)，為變數(shù)， t為常數(shù)為常數(shù)表示在某一固定空間點上，流體質(zhì)點的運(yùn)動參數(shù)隨時間表示在某一固定空間點上，流體質(zhì)點的運(yùn)動參數(shù)隨時間的變化規(guī)律。的變化規(guī)律。表示在同一時刻，流場中流動參數(shù)的分布規(guī)律。即在表示在同一時刻，流場中流動參數(shù)的分布規(guī)律。即

30、在空間的分布狀況?？臻g的分布狀況。(a, b, c) : 質(zhì)點起始坐標(biāo)質(zhì)點起始坐標(biāo) t : 任意時刻任意時刻(x, y, z) : 質(zhì)點運(yùn)動的位置坐標(biāo)質(zhì)點運(yùn)動的位置坐標(biāo)(a, b, c , t ) : 拉格朗日變數(shù)拉格朗日變數(shù)(x, y, z) : 空間固定點（不動）空間固定點（不動） t : 任意時刻任意時刻(x, y, z , t ) : 歐拉變數(shù)歐拉變數(shù)拉格朗日法拉格朗日法歐拉法歐拉法 液體質(zhì)點通過任意空間坐標(biāo)時的加流速液體質(zhì)點通過任意空間坐標(biāo)時的加流速式中，式中， (ax , ay , az) 為通過空間點的加速度分量。為通過空間點的加速度分量。 ttzyxuattzyxuattzyx

31、uazzyyxxd),(dd),(dd),(d 利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法，將（利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法，將（x,y,z）看成是時間看成是時間 t 的函數(shù)，則的函數(shù)，則d ( , , , )dd ( , , , )dd ( , , , )dxxxxxxxyzyyyyyyxyzzzzzzzxyzu x y z tuuuuauuuttxyzu x y z tuuuuauuuttxyzu x y z tuuuuauuuttxyz()duuuudtta = 寫為矢量形式寫為矢量形式,ijkxyz為矢量微分算子。zuuyuuxuututtzyxuazuuyuuxuututtzyxuazuuyuuxuututtzyxu

32、azzzyzxzzzyzyyyxyyyxzxyxxxxxd),(dd),(dd),(d 時變加速度分量（三項）時變加速度分量（三項） 位變加速度分量（九項）位變加速度分量（九項）ut()uuv 從歐拉法來看，不同空間位置上的液體流速可以不同；從歐拉法來看，不同空間位置上的液體流速可以不同；v 在同一空間點上，因時間先后不同，流速也可不同。在同一空間點上，因時間先后不同，流速也可不同。因此，加速度分因此，加速度分 u 遷移加速度（位變加速度）：遷移加速度（位變加速度）：同一時刻，不同空間點上流速不同一時刻，不同空間點上流速不同，而產(chǎn)生的加速度。同，而產(chǎn)生的加速度。u 當(dāng)?shù)丶铀俣龋〞r變加速度）：當(dāng)

33、地加速度（時變加速度）：同一空間點，不同時刻上因流速同一空間點，不同時刻上因流速不同，而產(chǎn)生的加速度。不同，而產(chǎn)生的加速度。t0tutu00),( ttzyxux水面不斷下降！水面不斷下降！u2t0u1水面保持恒定！水面保持恒定！0),( xtzyxuuxx 已知平面流動的已知平面流動的ux=3=3x m/sm/s, , uy=3=3y m/sm/s, ,試確定坐標(biāo)為（試確定坐標(biāo)為（8 8，6 6）點上流體的加速度。）點上流體的加速度。 【解解】：由式：由式xxxxxxyzyyyyyxyzuuuuauuutxyzuuuuauuutxyz22033072/0033054/xxxxxyyyyyxy

34、uuuauuxm stxyuuuauuym stxy 22290/xyaaam s在討論流體運(yùn)動的基本規(guī)律和基本方程之前，為了便于分析、在討論流體運(yùn)動的基本規(guī)律和基本方程之前，為了便于分析、研究問題，先介紹一些有關(guān)流體運(yùn)動的基本概念。研究問題，先介紹一些有關(guān)流體運(yùn)動的基本概念。 若流場中流體的運(yùn)動參數(shù)（速度、加速度、壓強(qiáng)、若流場中流體的運(yùn)動參數(shù)（速度、加速度、壓強(qiáng)、密度、溫度等）不隨時間而變化，而僅是位置坐標(biāo)的函數(shù)，密度、溫度等）不隨時間而變化，而僅是位置坐標(biāo)的函數(shù)，則稱這種流動為定常流動或恒定流動。則稱這種流動為定常流動或恒定流動。 若流場中流體的運(yùn)動參數(shù)不僅是位置坐標(biāo)的函數(shù)，若流場中流體的

35、運(yùn)動參數(shù)不僅是位置坐標(biāo)的函數(shù)，而且隨時間變化，則稱這種流動為非定常流動或非恒定流動。而且隨時間變化，則稱這種流動為非定常流動或非恒定流動。ut0h水面保持恒定！水面保持恒定！如圖所示容器中水頭不隨時間變化的流動為定常流動。流體的如圖所示容器中水頭不隨時間變化的流動為定常流動。流體的速度、壓強(qiáng)、密度和溫度可表示為速度、壓強(qiáng)、密度和溫度可表示為( , )( , )( , )xxyyzzuux y zuux y zuux y z( ,)( ,)( ,)pp x y zx y ztt x y z 運(yùn)動要素之一不隨時間發(fā)生變化，即運(yùn)動要素之一不隨時間發(fā)生變化，即所有運(yùn)動要素對時所有運(yùn)動要素對時間的偏導(dǎo)數(shù)

36、恒等于零間的偏導(dǎo)數(shù)恒等于零0. ttptututuzyx ()auu即，在定常流動中只有遷移加速度。即，在定常流動中只有遷移加速度。 運(yùn)動要素之一隨時間而變化的流動，即運(yùn)動要素之一運(yùn)動要素之一隨時間而變化的流動，即運(yùn)動要素之一對時間的偏導(dǎo)數(shù)不為零。對時間的偏導(dǎo)數(shù)不為零。2t01水面保持恒定！水面保持恒定！圖中，當(dāng)水箱的水位保持不變時，圖中，當(dāng)水箱的水位保持不變時，1點到點到2點流體質(zhì)點速度增加，就是由于截面變化點流體質(zhì)點速度增加，就是由于截面變化而引起的遷移加速度。而引起的遷移加速度?！熬S維”是指空間自變量的個數(shù)。是指空間自變量的個數(shù)。 流場中流體的運(yùn)動參數(shù)僅是流場中流體的運(yùn)動參數(shù)僅是一個一個

37、坐標(biāo)的函數(shù)。坐標(biāo)的函數(shù)。流場中流體的運(yùn)動參數(shù)是流場中流體的運(yùn)動參數(shù)是兩個兩個坐標(biāo)的函數(shù)。坐標(biāo)的函數(shù)。流場中流體的運(yùn)動參數(shù)依賴于流場中流體的運(yùn)動參數(shù)依賴于三個三個坐標(biāo)時的流動。坐標(biāo)時的流動。 實際上，任何實際液體流動都是三維流，需考慮運(yùn)動要實際上，任何實際液體流動都是三維流，需考慮運(yùn)動要素在三個空間坐標(biāo)方向的變化。素在三個空間坐標(biāo)方向的變化。 由于實際問題通常非常復(fù)雜，數(shù)學(xué)上求解三維問題的困由于實際問題通常非常復(fù)雜，數(shù)學(xué)上求解三維問題的困難，所以流體力學(xué)中，在滿足精度要求的前提下，常用簡化難，所以流體力學(xué)中，在滿足精度要求的前提下，常用簡化方法，盡量減少運(yùn)動要素的方法，盡量減少運(yùn)動要素的“維維”

38、數(shù)。數(shù)。 例如，下圖所示的帶錐度的圓管內(nèi)黏性流體的流動，流體質(zhì)點例如，下圖所示的帶錐度的圓管內(nèi)黏性流體的流動，流體質(zhì)點運(yùn)動參數(shù)，如速度，即是半徑運(yùn)動參數(shù)，如速度，即是半徑r的函數(shù)，又是沿軸線距離的函數(shù)，的函數(shù)，又是沿軸線距離的函數(shù)，即：即：u=u (r，x)。顯然這是二元流動問題。顯然這是二元流動問題。u 工程上在討論其速度分布時，常采用其每個截面的平均值工程上在討論其速度分布時，常采用其每個截面的平均值u。就將流動參數(shù)如速度，簡化為僅與一個坐標(biāo)有關(guān)的流動問題，這種就將流動參數(shù)如速度，簡化為僅與一個坐標(biāo)有關(guān)的流動問題，這種流動就叫一維流動，即：流動就叫一維流動，即：u=u (x)。如圖所示的繞

39、無限翼展的流動就是二維流動，二維流動的參數(shù)以速如圖所示的繞無限翼展的流動就是二維流動，二維流動的參數(shù)以速度為例，可寫成：度為例，可寫成：( , ) ( , ) xyuu x y iu x x j 流體質(zhì)點不同時刻流經(jīng)的空間點所連成的線，即流流體質(zhì)點不同時刻流經(jīng)的空間點所連成的線，即流體質(zhì)點運(yùn)動的軌跡線。體質(zhì)點運(yùn)動的軌跡線。由拉格朗日法引出的概念。由拉格朗日法引出的概念。 例如在流動的水面上撒一片木屑，木屑隨水流漂流的途徑就是某例如在流動的水面上撒一片木屑，木屑隨水流漂流的途徑就是某一水點的運(yùn)動軌跡，也就是跡線。一水點的運(yùn)動軌跡，也就是跡線。ddddxyzxyztuuu 從該方程的積分結(jié)果中消去

40、時間從該方程的積分結(jié)果中消去時間t，便可求得跡線方程式。，便可求得跡線方程式。 某一瞬時在流場中所作的一條曲線，在這條曲線上的某一瞬時在流場中所作的一條曲線，在這條曲線上的各流體質(zhì)點的速度方向都與該曲線相切，因此各流體質(zhì)點的速度方向都與該曲線相切，因此流線是同一時刻，流線是同一時刻，不同流體質(zhì)點所組成的曲線。不同流體質(zhì)點所組成的曲線。由歐拉法引出。由歐拉法引出。a1a2a3a4u1u2u3s1s2s3oyzx1. 流線和跡線相重合。流線和跡線相重合。 在定常流動時，因為流場中各流體質(zhì)點的速度不隨時間變化，在定常流動時，因為流場中各流體質(zhì)點的速度不隨時間變化，所以通過同一點的流線形狀始終保持不變

41、，因此流線和跡線相重合。所以通過同一點的流線形狀始終保持不變，因此流線和跡線相重合。2. 流線不能相交和分支。流線不能相交和分支。 通過某一空間點在給定瞬間只能有一條流線，一般情況流線不能相通過某一空間點在給定瞬間只能有一條流線，一般情況流線不能相交和分支。否則在同一空間點上流體質(zhì)點將同時有幾個不同的流動方向。交和分支。否則在同一空間點上流體質(zhì)點將同時有幾個不同的流動方向。3. 流線不能突然折轉(zhuǎn)，是一條光滑的連續(xù)曲線。流線不能突然折轉(zhuǎn)，是一條光滑的連續(xù)曲線。4. 流線密集的地方，表示流場中該處的流速較大，稀疏的地流線密集的地方，表示流場中該處的流速較大，稀疏的地方，表示該處的流速較小。方，表示

42、該處的流速較小。駐點駐點：速度為：速度為0的點；的點；奇點奇點：速度為無窮大的點（源和匯）。：速度為無窮大的點（源和匯）。 在駐點和奇點處，由于不存在不同流動方向，流線在駐點和奇點處，由于不存在不同流動方向，流線可以轉(zhuǎn)折和彼此相交。可以轉(zhuǎn)折和彼此相交。 設(shè)在流場中某一空間點（設(shè)在流場中某一空間點（x，y，z）的流線上取微元）的流線上取微元段矢量段矢量 該點流體質(zhì)點的速度矢量為該點流體質(zhì)點的速度矢量為 。 ddddsxiyjzkxyzuu iu ju k 根據(jù)流線的定義，該兩個矢量相切，其矢量積為根據(jù)流線的定義，該兩個矢量相切，其矢量積為0。即即 d 0d d dxyzi j kusu u u

43、xyzdd0dd0dd0 xyyzzxuyuxuzuyuxuzddd( , , , )( , , , )( , , , )xyzxyzu x y z tu x y z tu x y z t上式即為流線的微分方程，式中時間上式即為流線的微分方程，式中時間t是個參變量。是個參變量。 有一流場，其流速分布規(guī)律為：有一流場，其流速分布規(guī)律為：ux= -ky，uy= kx， uz=0，試求其流線方程。試求其流線方程?！窘饨狻坑捎谟捎?uz=0，所以是二維流動，其流線方程微分為，所以是二維流動，其流線方程微分為dd( , , , )( , , , )xyxyu x y z tu x y z t將兩個分速度

44、代入流線微分方程（上式），得到將兩個分速度代入流線微分方程（上式），得到xyyxkdkddd0 x xy y22xyc積分積分即流線簇是以坐標(biāo)原點為圓心的同心圓。即流線簇是以坐標(biāo)原點為圓心的同心圓。 在流場中任取一不是流線在流場中任取一不是流線的封閉曲線的封閉曲線c，過曲線上的每一點，過曲線上的每一點作流線，這些流線所組成的管狀表作流線，這些流線所組成的管狀表面稱為流管。面稱為流管。c流管內(nèi)部的全部流體稱為流束。流管內(nèi)部的全部流體稱為流束。v流管與流線只是流場中的一個幾何面和幾何線，而流束不論流管與流線只是流場中的一個幾何面和幾何線，而流束不論大小，都是由流體組成的。大小，都是由流體組成的。v

45、因為流管是由流線構(gòu)成的，所以它具有流線的一切特性，流因為流管是由流線構(gòu)成的，所以它具有流線的一切特性，流體質(zhì)點不能穿過流管流入或流出體質(zhì)點不能穿過流管流入或流出(由于流線不能相交由于流線不能相交)。微小截面積的流束。微小截面積的流束。 如果封閉曲線取在管道內(nèi)部周線上，則流束就是充如果封閉曲線取在管道內(nèi)部周線上，則流束就是充滿管道內(nèi)部的全部流體，這種情況通常稱為總流。滿管道內(nèi)部的全部流體，這種情況通常稱為總流。 注意注意 單位時間內(nèi)通過有效截面的流體體積稱為體積流量，單位時間內(nèi)通過有效截面的流體體積稱為體積流量，以以qv表示，其單位為表示，其單位為m m3 3/s/s、m m3 3/h/h等。等

46、。體積流量體積流量 qv （m3/s） 質(zhì)量流量質(zhì)量流量 qv （kg/s） 重量流量重量流量 qv （n/s）或（）或（kn/s） 有三種表示方法：有三種表示方法：adau1212dqv 從總流中任取一個微小流束，其過水?dāng)嗝鏋閺目偭髦腥稳∫粋€微小流束，其過水?dāng)嗝鏋閐a ，流速為流速為u ，則通過微小流束的體積流量為則通過微小流束的體積流量為 qvvdcos( ,)daaquauu na 式中：式中：da為微元面積矢量為微元面積矢量 ， 為速度為速度u 與微元法線方向與微元法線方向n夾角的余弦。夾角的余弦。cos( , )u n 處處與流線相垂直的截面稱為有效截面。處處與流線相垂直的截面稱為有

47、效截面。有效斷面可能是曲面，或平面。有效斷面可能是曲面，或平面。u 在直管中，在直管中，流線為平行線，有效截面為平面；流線為平行線，有效截面為平面； u 在有錐度的管道中，流線收斂或發(fā)散，有效截面為曲面。在有錐度的管道中，流線收斂或發(fā)散，有效截面為曲面。 常把通過某一有效截面的流量常把通過某一有效截面的流量qv與該有效截面面與該有效截面面積積a相除，得到一個均勻分布的速度相除，得到一個均勻分布的速度v。 vvvddqaqqu avavqvau(y)yqvv 平均流速是一個假想的流速，即假定在有效截面上各平均流速是一個假想的流速，即假定在有效截面上各點都以相同的平均流速流過，這時通過該有效截面上

48、的點都以相同的平均流速流過，這時通過該有效截面上的體積流量仍與各點以真實流速流動時所得到的體積流量體積流量仍與各點以真實流速流動時所得到的體積流量相同。相同。 使流體運(yùn)動得到簡化（使流體運(yùn)動得到簡化（使三維流動變成了一維流動使三維流動變成了一維流動）。）。在實際工程中，平均流速是非常重要的。在實際工程中，平均流速是非常重要的。 在總流的有效截面上，流體與固體壁面接觸的長度。在總流的有效截面上，流體與固體壁面接觸的長度。用用表示。表示。 在總流的有效截面上，流體與固體壁面接觸的長度。在總流的有效截面上，流體與固體壁面接觸的長度。用用表示。表示。 總流的有效截面與濕周之比。用總流的有效截面與濕周之

49、比。用rh表示。表示。2h44dadrdhra圓管圓管h4dr非圓管非圓管h44darhb422()bhbhdbhbh222121124(44)ddddddd212124(4)4s sds sdddd 一群流體質(zhì)點的組合。一群流體質(zhì)點的組合。 在運(yùn)動的過程中，盡管系統(tǒng)的形狀和位置常常不停地在運(yùn)動的過程中，盡管系統(tǒng)的形狀和位置常常不停地變化，但始終包含這群流體質(zhì)點，有確定的質(zhì)量。變化，但始終包含這群流體質(zhì)點，有確定的質(zhì)量。 在流場中確定的空間區(qū)域稱為控制體。在流場中確定的空間區(qū)域稱為控制體?？刂企w外表面稱控制體外表面稱控制面控制面，控制體可根據(jù)需要將其取成不同形狀。，控制體可根據(jù)需要將其取成不同

50、形狀。流體可自由進(jìn)出控制體。流體可自由進(jìn)出控制體。有效截面、壁面、自由液面有效截面、壁面、自由液面 有效截面有效截面流體與管壁的交界面流體與管壁的交界面有效截面有效截面 連續(xù)性方程是連續(xù)性方程是質(zhì)量守恒定律質(zhì)量守恒定律在流體力學(xué)中的應(yīng)用。他建在流體力學(xué)中的應(yīng)用。他建立了流體流速與流動面積之間的關(guān)系。立了流體流速與流動面積之間的關(guān)系。選取控制體：選取控制體：過流斷面過流斷面1-1、2-2及管壁所圍成的體積。及管壁所圍成的體積。取微元流束：取微元流束：流束的兩過流斷面面積為流束的兩過流斷面面積為da1 ，da2 ，速度分別為，速度分別為u1， u2 。dt時間流經(jīng)兩個過流斷面的流體時間流經(jīng)兩個過流

51、斷面的流體體積：體積：u1a1 dt 和和 u2 da2 dt 。 流束的形狀不隨時間改變，為定常流動；流束的形狀不隨時間改變，為定常流動； 流束側(cè)面沒有流體質(zhì)點流入或流出；流束側(cè)面沒有流體質(zhì)點流入或流出； 流體是不可壓縮的；流體是不可壓縮的； 該流束內(nèi)流體的質(zhì)量不變。該流束內(nèi)流體的質(zhì)量不變。2211ddauau 12vvvdddqqq1221dduaua上述各式即為流束的連續(xù)性方程。它上述各式即為流束的連續(xù)性方程。它表明流束過流斷面面積與該斷面表明流束過流斷面面積與該斷面上速度的乘積為一常數(shù)，或所有過流斷面上流量都相等。上速度的乘積為一常數(shù)，或所有過流斷面上流量都相等。12v1122ddaa

52、quauav1 12 2qava v1221aavv 12vvvqqq 移項得移項得 上式即為總流的連續(xù)性方程。上式即為總流的連續(xù)性方程。表明流量一定時，斷面平均流速與斷面面表明流量一定時，斷面平均流速與斷面面積成反比。在過水?dāng)嗝娣e小處，流速大；過水?dāng)嗝婷娣e大處，流速小。積成反比。在過水?dāng)嗝娣e小處，流速大；過水?dāng)嗝婷娣e大處，流速小。 設(shè)在流場中任取一個微元平行六面體，其邊長分別為設(shè)在流場中任取一個微元平行六面體，其邊長分別為dx、dy和和dz，如下圖所示。，如下圖所示。假設(shè)微元平行六面體形假設(shè)微元平行六面體形心的坐標(biāo)為心的坐標(biāo)為x、y、z，在，在某一瞬時某一瞬時t經(jīng)過形心的流經(jīng)過形心的流體質(zhì)點

53、沿各坐標(biāo)軸的速體質(zhì)點沿各坐標(biāo)軸的速度分量為度分量為ux、 uy、 uz ，流體的密度為流體的密度為。2u dxux2dxx2dxx2u dxux先分析先分析x軸方向，由于軸方向，由于ux和和都是坐標(biāo)和時間的連續(xù)函數(shù)，即都是坐標(biāo)和時間的連續(xù)函數(shù)，即ux=uxx (x，y，z，t)和和 = (x，y，z，t)。根據(jù)泰勒級數(shù)展開根據(jù)泰勒級數(shù)展開式，略去高于一階的無窮小量，得在式，略去高于一階的無窮小量，得在dt時間內(nèi)，沿軸方向從左時間內(nèi)，沿軸方向從左邊微元面積邊微元面積dydz流入的流體質(zhì)量為流入的流體質(zhì)量為dd, , , , ,d d d22dd( , , , )( , , , )d d d22d

54、dd d d22xxxxxxxxy z t uxy z ty z tuxxx y z tux y z ty z tttuxxuy z ttt同理可得在同理可得在dt時間內(nèi)從右邊微元面積時間內(nèi)從右邊微元面積dydz流出的流體質(zhì)量為流出的流體質(zhì)量為ddd d d22xxuxxuy z ttt上述兩者之差為在上述兩者之差為在dt時間內(nèi)沿時間內(nèi)沿x軸方向流體質(zhì)量的變化，即軸方向流體質(zhì)量的變化，即()ddd d dd d d dxxxuuxuxy z tx y z txxx 同理，在同理，在dt 時間內(nèi)沿時間內(nèi)沿y軸和軸和z軸方向流體質(zhì)量的變化分別為：軸方向流體質(zhì)量的變化分別為：()d d d dyux

55、 y z ty()d d d dzux y z tz因此，因此，dt時間內(nèi)經(jīng)過微元六面體的流體質(zhì)量總變化為時間內(nèi)經(jīng)過微元六面體的流體質(zhì)量總變化為d d d dyxzuuux y z txyz 由于流體是作為連續(xù)介質(zhì)來研究的，六面體內(nèi)流體質(zhì)量的總變化，唯一的由于流體是作為連續(xù)介質(zhì)來研究的，六面體內(nèi)流體質(zhì)量的總變化，唯一的可能是因為六面體內(nèi)流體密度的變化而引起的?？赡苁且驗榱骟w內(nèi)流體密度的變化而引起的。因此上式中流體質(zhì)量的總變因此上式中流體質(zhì)量的總變化和由流體密度變化而產(chǎn)生的六面體內(nèi)的流體質(zhì)量變化相等?；陀闪黧w密度變化而產(chǎn)生的六面體內(nèi)的流體質(zhì)量變化相等。設(shè)開始瞬時流體的密度為設(shè)開始瞬時流體的密

56、度為，經(jīng)過，經(jīng)過dt時間后的密度為時間后的密度為ttttzyxd)d,(在在dt時間內(nèi)，六面體內(nèi)因密度變化而引起的質(zhì)量變化為時間內(nèi)，六面體內(nèi)因密度變化而引起的質(zhì)量變化為tzyxtzyxzyxttddddddddddd上式為可壓縮流體非定常三維流動的連續(xù)性方程。上式為可壓縮流體非定常三維流動的連續(xù)性方程。不可壓縮流體不可壓縮流體0yxzuuuxyz可壓縮流體定常三維流動可壓縮流體定常三維流動的連續(xù)性方程。的連續(xù)性方程。若流體是定常流動若流體是定常流動上式變?yōu)椋荷鲜阶優(yōu)椋?yxzuuuxyz不可壓縮流體三維流不可壓縮流體三維流動的連續(xù)性方程。動的連續(xù)性方程。 在同一時間內(nèi)通過流場中任一封閉表面的體

57、積流量等于零，在同一時間內(nèi)通過流場中任一封閉表面的體積流量等于零，也就是說，在同一時間內(nèi)流入的體積流量與流出的體積流量相等。也就是說，在同一時間內(nèi)流入的體積流量與流出的體積流量相等。假設(shè)有一不可壓縮流體三維流動，其速度分布規(guī)律為假設(shè)有一不可壓縮流體三維流動，其速度分布規(guī)律為ux=3（x+y3)，uy=4y+z2，w=x+y+2z。試分析該流動是否連續(xù)。試分析該流動是否連續(xù)?！窘饨狻?根據(jù)連續(xù)性方程的微分形式根據(jù)連續(xù)性方程的微分形式3xux4yuy2zuz09 zwyvxu該流動不連續(xù)。該流動不連續(xù)。有一輸水管道，如圖所示。水自截面有一輸水管道，如圖所示。水自截面1-1流向截面流向截面2-2。測

58、得。測得截面截面1-1的水流平均流速的水流平均流速v1=2m/s，已知，已知d1=0.5m， d2=1m，試，試求截面求截面2-2處的平均流速處的平均流速v2為多少？為多少？【解解】 根據(jù)連續(xù)性方程根據(jù)連續(xù)性方程22121244ddvv2212120.520.5/1dvvm sd 運(yùn)動物體在某一時間段內(nèi)動能的增量，等于同運(yùn)動物體在某一時間段內(nèi)動能的增量，等于同一時間段內(nèi)作用在運(yùn)動物體上外力做功的總和。一時間段內(nèi)作用在運(yùn)動物體上外力做功的總和。 能量轉(zhuǎn)換與守恒定律是自然界物質(zhì)運(yùn)動的普遍規(guī)律。伯能量轉(zhuǎn)換與守恒定律是自然界物質(zhì)運(yùn)動的普遍規(guī)律。伯努力方程是努力方程是這一定律這一定律在流體力學(xué)中的應(yīng)用。

59、在流體力學(xué)中的應(yīng)用。2201122mumuw (1)不可壓縮理想流體的定常流動；不可壓縮理想流體的定常流動； (2)沿同一微元流束（也就是沿流線）積分；沿同一微元流束（也就是沿流線）積分； (3)質(zhì)量力只有重力。質(zhì)量力只有重力。 從理想流體恒定流中取出一微小流束，并截取從理想流體恒定流中取出一微小流束，并截取1-1和和2-2斷面之間的流段來研究，沿流束取二過流斷面斷面之間的流段來研究，沿流束取二過流斷面1、2，其上的，其上的流速和壓強(qiáng)分別為流速和壓強(qiáng)分別為u1 、 u2和和p1、 p2 ，斷面面積分別為，斷面面積分別為da1、 da2 ，面積中心距基準(zhǔn)面的高度分別為，面積中心距基準(zhǔn)面的高度分別

60、為z1、z2，如下圖所示。，如下圖所示。u1a1a212121122u2da1da2u2dtu1dtz1z2 時段時段dt內(nèi)，流段由內(nèi)，流段由1-2斷面流至斷面流至1-2 的位置的位置，其動能增量，其動能增量和外力做功的總和分別為：和外力做功的總和分別為：1-1 流段的動能：流段的動能：1221 11v1122dmuu dq dt2-2 流段的動能：流段的動能：222222v1122dm uu dq dt 由于是定常流動，時段由于是定常流動，時段dt內(nèi)，流段內(nèi)，流段1-2 內(nèi)內(nèi)流動的動能不流動的動能不變，所以其動能增量僅為變，所以其動能增量僅為2-2 1-1 動能之差動能之差 ：12vvvdq