高考數(shù)學(xué)(文)：專題04導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(教學(xué)案)含解析

1、【高考考綱解讀】高考對(duì)本內(nèi)容考查主要有：(1) 導(dǎo)數(shù)幾何意義是考查熱點(diǎn)，要求是b 級(jí)，理解導(dǎo)數(shù)幾何意義是曲線上在某點(diǎn)處切線斜率，能夠解決與曲線切線有關(guān)問題；(2) 導(dǎo)數(shù)運(yùn)算是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用基礎(chǔ)，要求是b 級(jí)，熟練掌握導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則、常用導(dǎo)數(shù)公式及復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，一般不單獨(dú)設(shè)置試題，是解決導(dǎo)數(shù)應(yīng)用第一步；(3) 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性與極值是導(dǎo)數(shù)核心內(nèi)容，要求是b 級(jí)，對(duì)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性與極值要達(dá)到相等高度. (4) 導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中應(yīng)用為函數(shù)應(yīng)用題注入了新鮮血液，使應(yīng)用題涉及到函數(shù)模型更加寬廣，要求是b級(jí)；(5) 導(dǎo)數(shù)還經(jīng)常作為高考?jí)狠S題，能力要求非常高，它不僅要求考生牢固掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基

2、本技能，還要求考生具有較強(qiáng)分析能力和計(jì)算能力、估計(jì)以后對(duì)導(dǎo)數(shù)考查力度不會(huì)減弱、作為導(dǎo)數(shù)綜合題，主要是涉及利用導(dǎo)數(shù)求最值解決恒成立問題，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式等，常伴隨對(duì)參數(shù)討論，這也是難點(diǎn)之所在. 【重點(diǎn)、難點(diǎn)剖析】 1 、導(dǎo)數(shù)幾何意義(1) 函數(shù)yf(x)在xx0處導(dǎo)數(shù)f(x0)就是曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0) 處切線斜率，即kf(x0) 、(2) 曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0) 處切線方程為yf(x0)f(x0)(xx0)、2、基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式和運(yùn)算法則(1) 基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)c f(x)0 f(x)xn(nr)f(x)nxn 1f(x)sin x f

3、(x)cos xf(x)cos x f(x)sin xf(x)ax(a0 且a1)f(x) axln af(x)exf(x)exf(x) logax (a0 且a1)f(x)1xln af(x) ln x f(x) 1x(2) 導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算u(x)v(x) u(x)v(x)；u(x)v(x) u(x)v(x) u(x)v(x)；uxvxuxvxuxvxvx2(v(x)0)、3、函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)如果已知函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增( 減) ，則這個(gè)函數(shù)導(dǎo)數(shù)在這個(gè)區(qū)間上大(小)于零恒成立、在區(qū)間上離散點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)等于零，不影響函數(shù)單調(diào)性，如函數(shù)yxsin x . 4、函數(shù)導(dǎo)數(shù)與極值對(duì)可導(dǎo)函數(shù)而言，某點(diǎn)導(dǎo)數(shù)

4、等于零是函數(shù)在該點(diǎn)取得極值必要條件、例如f(x)x3，雖有f(0) 0，但x0 不是極值點(diǎn)，因?yàn)閒(x)0恒成立，f(x)x3在( ， )上是單調(diào)遞增函數(shù)，無(wú)極值。5、閉區(qū)間上函數(shù)最值在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)，一定有最大值和最小值，其最大值是區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值和在這個(gè)區(qū)間內(nèi)函數(shù)所有極大值中最大者，最小值是區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值和在這個(gè)區(qū)間內(nèi)函數(shù)所有極小值中最小值。6、函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用(1) 若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增， 則f(x)0在區(qū)間(a，b)上恒成立；(2) 若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞減， 則f(x)0在區(qū)間(a，b)上恒成立；(3) 可導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間 (a，b)上為增函

5、數(shù)是f(x) 0 必要不充分條件 . 【題型示例】題型 1、導(dǎo)數(shù)幾何意義【例 1】 【2016 高考新課標(biāo) 2 文數(shù)】若直線ykxb是曲線ln2yx切線，也是曲線ln(1)yx切線，則b?！敬鸢浮? ln2ln2yx相 切 于 點(diǎn)111(,)p xy， 與 曲 線ln(1)yx相 切 于 點(diǎn)222(,)p xy， 則1122ln2,ln(1)yxyx， 由 點(diǎn)111(,)p xy在 切 線 上 得1111ln2()yxxxx， 由 點(diǎn)222(,)p xy在切線上得2221ln(1)()1yxxxx，這兩條直線表示同一條直線，所以12221211121ln(1)ln1xxxxxx，解得11111

6、,2,ln211ln 22xkbxx. 【感悟提升】函數(shù)圖像上某點(diǎn)處切線斜率就是函數(shù)在該點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值、求曲線上點(diǎn)到直線距離最值基本方法是“平行切線法”，即作出與直線平行曲線切線，則這條切線到已知直線距離即為曲線上點(diǎn)到直線距離最值，結(jié)合圖形可以判斷是最大值還是最小值?！九e一反三】 (2015陜西， 15) 設(shè)曲線yex在點(diǎn)(0 ，1) 處切線與曲線y1x(x0) 上點(diǎn)p處切線垂直，則p坐標(biāo)為_。解析(ex)|x0e01，設(shè)p(x0，y0)，有1xxx01x201，又x00，x01，故xp(1，1) 。答案(1，1) 【變式探究】 (1) 曲線 yxex 1在點(diǎn)(1，1)處切線斜率等于 ( ) a、

7、2eb、ec、2 d、1 (2) 在平面直角坐標(biāo)系xoy中，若曲線 yax2bx(a ，b 為常數(shù)) 過點(diǎn) p(2，5) ，且該曲線在點(diǎn) p處切線與直線 7x2y30 平行，則 ab 值是_?！久}意圖】 (1) 本題主要考查函數(shù)求導(dǎo)法則及導(dǎo)數(shù)幾何意義。(2) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)幾何意義，意在考查考生運(yùn)算求解能力?！敬鸢浮?(1)c(2) 3 又 y2axbx2，所以在點(diǎn) p處切線斜率 4ab472. 由解得 a1，b2，所以 ab3. 【感悟提升】1、求曲線切線要注意“過點(diǎn)p切線”與“在點(diǎn) p處切線”差異，過點(diǎn)p切線中，點(diǎn) p不一定是切點(diǎn)，點(diǎn)p也不一定在已知曲線上，而在點(diǎn)p處切線，必以點(diǎn) p為

8、切點(diǎn)。2、利用導(dǎo)數(shù)幾何意義解題，主要是利用導(dǎo)數(shù)、切點(diǎn)坐標(biāo)、切線斜率之間關(guān)系來(lái)進(jìn)行轉(zhuǎn)化、以平行、垂直直線斜率間關(guān)系為載體求參數(shù)值，則要求掌握平行、垂直與斜率之間關(guān)系，進(jìn)而和導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來(lái)求解。題型 2、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性【例 2】 (2017高考全國(guó)卷 ) 設(shè)函數(shù)f(x) (1x2)ex. (1) 討論f(x)單調(diào)性；(2) 當(dāng)x0時(shí)，f(x)ax1，求a取值范圍?！咀兪教骄俊俊?016 高考山東文數(shù)】 ( 本小題滿分 13 分) 已知221( )ln,rxf xa xxax. （i ）討論( )f x單調(diào)性；（ii ）當(dāng)1a時(shí)，證明3( )2f xfx對(duì)于任意1,2x成立. 【答案】（）見解

9、析；（）見解析（1）20a，12a，當(dāng))1 ,0(x或x),2(a時(shí)，( )0f x，)(xf單調(diào)遞增；當(dāng)x)2, 1(a時(shí)，( )0f x，)(xf單調(diào)遞減；（2）2a時(shí)，12a，在x),0(內(nèi)，( )0f x，)(xf單調(diào)遞增；（3）2a時(shí)，120a，當(dāng))2,0(ax或x), 1(時(shí)，( )0f x，)(xf單調(diào)遞增；當(dāng)x) 1 ,2(a時(shí)，( )0f x，)(xf單調(diào)遞減 . 綜上所述，當(dāng)0a時(shí)，函數(shù))(xf在)1 ,0(內(nèi)單調(diào)遞增，在), 1(內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)20a時(shí)，)(xf在)1 , 0(內(nèi)單調(diào)遞增，在)2, 1(a內(nèi)單調(diào)遞減，在),2(a內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)2a時(shí)，)(xf在), 0(內(nèi)

10、單調(diào)遞增；當(dāng)2a，)(xf在)2,0(a內(nèi)單調(diào)遞增，在)1 ,2(a內(nèi)單調(diào)遞減，在), 1 (內(nèi)單調(diào)遞增 . 【感悟提升】確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間要特別注意函數(shù)定義域，不要從導(dǎo)數(shù)定義域確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間，在某些情況下函數(shù)導(dǎo)數(shù)定義域與原函數(shù)定義域不同?！九e一反三】 (2015福建，10) 若定義在 r上函數(shù)f(x)滿足f(0) 1，其導(dǎo)函數(shù)f(x) 滿足f(x)k1，則下列結(jié)論中一定錯(cuò)誤是( ) a、f1k1kb、f1k1k1c、f1k11k1d、f1k1kk1解析導(dǎo)函數(shù)f(x) 滿足f(x)k1，f(x) k0，k10，1k10， 可構(gòu)造函數(shù)g(x)f(x)kx， 可得g(x)0， 故g(x) 在 r上

11、為增函數(shù)，f(0)1，g(0) 1，g1k1g(0) ，f1k1kk11，f1k11k1，選項(xiàng) c錯(cuò)誤，故選 c. 答案c 【變式探究】 (2014新課標(biāo)全國(guó)卷 )已知函數(shù)f(x) exex2x. (1) 討論f(x)單調(diào)性；(2) 設(shè)g(x)f(2x) 4bf(x) ，當(dāng)x0時(shí)，g(x)0，求b最大值；(3) 已知 1.414 220 ，ln 28 23120.692 8 ；當(dāng)b3241 時(shí)，ln(b1b22b)ln 2，g(ln2) 3222(32 2)ln 2 0，ln 2182280時(shí)，xf(x) f(x) 0，則使得f(x)0 成立x取值范圍是( ) a、(， 1)(0，1) b、(

12、1，0)(1，)c、(， 1)(1，0) d、(0，1)(1，)解析因?yàn)閒(x)(xr ) 為奇函數(shù)，f(1) 0，所以f(1) f( 1) 0. 當(dāng)x0時(shí)， 令g(x)f（x）x， 則g(x)為偶函數(shù)，且g(1) g(1) 0. 則當(dāng)x0時(shí)，g(x)f（x）xxf（x）f（x）x20，故g(x)在(0，)上為減函數(shù)，在 (，0) 上為增函數(shù)、所以在 (0 ，)上，當(dāng) 0 x1 時(shí)，g(x)g(1) 0?f（x）x0?f(x) 0；在( ，0) 上，當(dāng)x1 時(shí)，g(x) g( 1) 0?f（x）x0?f(x) 0. 綜上，得使得f(x)0 成立x取值范圍是 ( ， 1)(0，1) ，選 a.

13、答案a 【舉一反三】 (2015江蘇， 19) 已知函數(shù)f(x)x3ax2b(a，br) 。(1) 試討論f(x)單調(diào)性；(2) 若bca(實(shí)數(shù)c是與a無(wú)關(guān)常數(shù) ) ，當(dāng)函數(shù)f(x)有三個(gè)不同零點(diǎn)時(shí)，a取值范圍恰好是 ( ， 3) 1，3232， ，求c值。則在( ， 3) 上g(a)0，且在 1，3232， 上g(a)0 均恒成立、從而g(3)c10，且g32c10，因此c1. 此時(shí)，f(x)x3ax21a(x1)x2(a1)x1a ，因函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)， 則x2(a1)x1a0 有兩個(gè)異于 1 不等實(shí)根，所以(a1)24(1a)a22a30，且( 1)2(a1)1a0，解得a(， 3) 1，

14、3232， . 綜上c1. 題型四導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用【例 4】(2017高考天津卷 )設(shè)a，br，|a| 1. 已知函數(shù)f(x) x36x23a(a4)xb，g(x)exf(x)。(1) 求f(x)單調(diào)區(qū)間。(2) 已知函數(shù)yg(x) 和yex圖象在公共點(diǎn) (x0，y0)處有相同切線，求證：f(x) 在xx0處導(dǎo)數(shù)等于 0；若關(guān)于x不等式g(x)ex在區(qū)間x01，x01 上恒成立，求b取值范圍、因?yàn)間(x)ex，xx01，x01 ，且 ex0，所以f(x)1.又因?yàn)閒(x0) 1，f(x0) 0，所以x0為f(x)極大值點(diǎn)，由 (1) 知x0a. 另一方面，由于 |a| 1，故a14a. 由(1)

15、知f(x)在(a1，a) 內(nèi)單調(diào)遞增，在 (a，a1) 內(nèi)單調(diào)遞減，故當(dāng)x0a時(shí)，f(x)f(a)1 在a1，a1 上恒成立，從而g(x)ex在x01，x01 上恒成立、由f(a)a36a23a(a4)ab1，得b2a36a21，1a1.令t(x)2a36x21，x 1，1 ，所以t(x)6x212x. 令t(x) 0，解得x2( 舍去) 或x0. 因?yàn)閠(1)7，t(1) 3，t(0) 1，所以，t(x)值域?yàn)?7，1 。所以，b取值范圍是 7，1 ?！咀兪教骄俊磕车卣b于某種日常食品價(jià)格增長(zhǎng)過快，欲將這種食品價(jià)格控制在適當(dāng)范圍內(nèi)，決定對(duì)這種食品生產(chǎn)廠家提供政府補(bǔ)貼，設(shè)這種食品市場(chǎng)價(jià)格為x

16、元/ 千克，政府補(bǔ)貼為t元/ 千克，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，當(dāng)16x24 時(shí)，這種食品市場(chǎng)日供應(yīng)量p萬(wàn)千克與市場(chǎng)日需求量q萬(wàn)千克近似地滿足關(guān)系：p2(x4t14)(x16，t0)，q248ln 20 x(16x24)。當(dāng)pq時(shí)市場(chǎng)價(jià)格稱為市場(chǎng)平衡價(jià)格。(1) 將政府補(bǔ)貼表示為市場(chǎng)平衡價(jià)格函數(shù)，并求出函數(shù)值域、(2) 為使市場(chǎng)平衡價(jià)格不高于每千克20 元，政府補(bǔ)貼至少為每千克多少元？而x20時(shí)，t1321420ln 20201.5( 元/ 千克)，t是x減函數(shù)，欲使x20，必須t1.5( 元/ 千克)，要使市場(chǎng)平衡價(jià)格不高于每千克 20 元，政府補(bǔ)貼至少為1.5 元/ 千克?！九e一反三】時(shí)下，網(wǎng)校教學(xué)越來(lái)

17、越受到廣大學(xué)生喜愛，它已經(jīng)成為學(xué)生們課外學(xué)習(xí)一種趨勢(shì)，假設(shè)某網(wǎng)校套題每日銷售量y(單位：千套 )與銷售價(jià)格x(單位：元/ 套) 滿足關(guān)系式y(tǒng)mx24(x6)2，其中 2x0(1)fxx，故( )f x在 r上是增函數(shù)，( )f x沒有極值；3a時(shí)，( )=0fx有兩個(gè)相異實(shí)根213=3aabx，223=3aabx. 列表如下x1(,)x1x12,x x2x2(,)x( )fx+ 0 0 + ( )f x極大值極小值故( )f x極值點(diǎn)是12,x x. 從而3a，因此2239aba，定義域?yàn)?3,). 346420279aabab記( )f x，( )fx所有極值之和為( )h a，因?yàn)? )f

18、x極值為221339abaa，所以213( )=9h aaa，3a. 因?yàn)?23( )=09h aaa，于是( )h a在(3,)上單調(diào)遞減 . 因?yàn)?(6)=2h，于是( )(6)h ah，故6a. 因此a取值范圍為3 6，. 【變式探究】 (2016高考全國(guó)卷 ) 已知函數(shù)f(x)(x1)ln xa(x1)、(1) 當(dāng)a4 時(shí)，求曲線yf(x)在(1，f(1) 處切線方程；(2) 若當(dāng)x(1)時(shí)，f(x)0，求a取值范圍、【舉一反三】 (2015湖南，21)已知a0，函數(shù)f(x)eaxsin x(x0 ，) 、記xn為f(x)從小到大第n(nn*)個(gè)極值點(diǎn)，證明：(1) 數(shù)列f(xn) 是

19、等比數(shù)列；(2) 若a1e21，則對(duì)一切nn*，xn|f(xn)| 恒成立 . 于是當(dāng)xm(mn*)時(shí)，f(x)取得極值，所以xnn(nn*)。此時(shí)，f(xn)ea(n)sin(n) (1)n1ea(n)sin . 易知f(xn)0，而f（xn1）f（xn）（1）n2ea （n1）sin （1）n1ea（n）sin ea是常數(shù)，故數(shù)列 f(xn) 是首項(xiàng)為f(x1) ea()sin ，公比為 ea等比數(shù)列。(2) 由(1) 知，sin 1a21，于是對(duì)一切nn*；xn|f(xn)| 恒成立，即n1a21ea(n )恒成立，等價(jià)于a21aea（n）a（n）(*) 恒成立，因?yàn)?(a0) 。設(shè)g(

20、t)ett(t0) ，則g(t) et（t1）t2. 令g(t) 0 得t1. 當(dāng) 0t1 時(shí)，g(t) 0，所以g(t)在區(qū)間 (0，1) 上單調(diào)遞減；當(dāng)t1 時(shí)，g(t)0，所以g(t) 在區(qū)間(1 ，)上單調(diào)遞增。從而當(dāng)t1 時(shí)，函數(shù)g(t)取得最小值g(1) e. 因此，要使 (*) 式恒成立，只需a21ag(1) e，即只需a1e21. 而當(dāng)a1e21時(shí)，由 tan 1ae213且 02知，32. 于是 23e21，且當(dāng)n2時(shí)，n232e21. 因此對(duì)一切nn*，axnne211，所以g(axn) g(1) ea21a. 故(*) 式亦恒成立。綜上所述，若a1e21，則對(duì)一切nn*，

21、xn|f(xn)| 恒成立?！咀兪教骄俊?(2015福建， 20) 已知函數(shù)f(x)ln(1 x) ，g(x) kx(kr)。(1) 證明：當(dāng)x0 時(shí)，f(x)x；(2) 證明：當(dāng)k1 時(shí)，存在x00，使得對(duì)任意x(0，x0)，恒有f(x)g(x)；(3) 確定k所有可能取值， 使得存在t0，對(duì)任意x(0，t) ，恒有|f(x) g(x)|x2. m(x)kxln(1 x) x2，x0 ，)、則有m(x)k11x2x2x2（k2）xk1x1. 故當(dāng)x 0，k2（k2）28（k1）4時(shí)，m(x) 0，m (x) 在 0，k2（k2）28（k1）4上單調(diào)遞增，故m(x)m(0) 0，即|f(x)

22、g (x)| x2，所以滿足題意t不存在、當(dāng)k1 時(shí)，由(2) 知，存在x00，使得當(dāng)x(0，x0)時(shí)，f(x)g(x) ，此時(shí)|f(x) g(x)| f(x) g(x) ln(1 x)kx. 令n(x)ln(1 x) kxx2，x0 ，)。則有n(x)1x1k2x2x2（k2）x1kx1. 當(dāng)x 0，（k2）（k2）28（1k）4時(shí)，n(x) 0，n(x) 在0，（k2）（k2）28（1k）4上單調(diào)遞增，故n(x)n(0) 0，即f(x) g(x)x2. 記x0與（k2）（k2）28（1k）4中較小者為x1，則當(dāng)x(0，x1)時(shí)，恒有 |f(x) g(x)| x2. 故滿足題意t不存在。當(dāng)k

23、1 時(shí)，由(1) 知，當(dāng)x0 時(shí)，|f(x) g(x)| g(x) f(x)xln(1 x)，令h(x)xln(1 x)x2，x0 ，)，則有h(x)111x2x2x2xx1. 當(dāng)x0 時(shí)，h(x)0，所以h(x) 在0 ，)上單調(diào)遞減，故h(x)h(0) 0. 故當(dāng)x0 時(shí)，恒有 |f(x) g(x)| x2. 此時(shí)，任意正實(shí)數(shù)t均滿足題意。綜上，k1. 法二(1)(2)證明同法一。當(dāng)x(0，x1) 時(shí)，恒有 |f(x)g(x)| x2. 故滿足題意t不存在。當(dāng)k1 時(shí)，由(1) 知，x0，|f(x) g(x)| f(x)g(x)xln(1 x)，令m(x)xln(1 x)x2，x0 ，)，則有m(x)111x2x2x2xx1. 當(dāng)x0 時(shí)，m(x)0，所以m(x) 在0 ，)上