聊城大學固體物理第一章 1第四節(jié)

1、第五節(jié)第五節(jié) 倒格子倒格子聊城大學物理科學與信息工程學院聊城大學物理科學與信息工程學院3）倒格空間的畫圖。）倒格空間的畫圖。本節(jié)重點本節(jié)重點1）倒格子的定義；）倒格子的定義；2）倒格子與正格子間的關(guān)系；）倒格子與正格子間的關(guān)系；第五節(jié)第五節(jié) 倒格子倒格子聊城大學物理科學與信息工程學院聊城大學物理科學與信息工程學院1、倒格子概念的引入、倒格子概念的引入晶晶體體研研究究已知成分已知成分 x射線衍射射線衍射透射電鏡衍射透射電鏡衍射晶體結(jié)構(gòu)晶體結(jié)構(gòu)點陣常數(shù)點陣常數(shù)周期分布的點、環(huán)周期分布的點、環(huán)倒格子倒格子未知成分未知成分結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)測成分測成分測結(jié)構(gòu)測結(jié)構(gòu)能譜儀、電子探針等能譜儀、電子探針等 x射線衍射

2、射線衍射透射電鏡衍射透射電鏡衍射周期分布周期分布的點、環(huán)的點、環(huán)倒格子倒格子晶體結(jié)構(gòu)晶體結(jié)構(gòu)點陣常數(shù)點陣常數(shù)性能性能第五節(jié)第五節(jié) 倒格子倒格子聊城大學物理科學與信息工程學院聊城大學物理科學與信息工程學院第五節(jié)第五節(jié) 倒格子倒格子聊城大學物理科學與信息工程學院聊城大學物理科學與信息工程學院第五節(jié)第五節(jié) 倒格子倒格子聊城大學物理科學與信息工程學院聊城大學物理科學與信息工程學院由于晶格的周期性，標志晶體中一族晶面特征的是它的法線的由于晶格的周期性，標志晶體中一族晶面特征的是它的法線的取向。如果已知晶格的基矢和法線的方向，即可得出晶面的指取向。如果已知晶格的基矢和法線的方向，即可得出晶面的指數(shù)，進一步

3、晶面族中最靠近原點的晶面的截距和面間距都可得數(shù)，進一步晶面族中最靠近原點的晶面的截距和面間距都可得出，這樣，晶面族就完全決定。出，這樣，晶面族就完全決定。設(shè)想存在這樣的設(shè)想存在這樣的逆問題逆問題：晶格的基矢是未知的，現(xiàn)在只有一些周：晶格的基矢是未知的，現(xiàn)在只有一些周期性分布的點子（或環(huán)），同所討論的晶格中的每族晶面有一一期性分布的點子（或環(huán)），同所討論的晶格中的每族晶面有一一對應(yīng)的關(guān)系，則通過對應(yīng)關(guān)系所聯(lián)系的規(guī)律，就可以把晶格的基對應(yīng)的關(guān)系，則通過對應(yīng)關(guān)系所聯(lián)系的規(guī)律，就可以把晶格的基矢確定下來，此外還可以把晶面族指數(shù)確定出來。矢確定下來，此外還可以把晶面族指數(shù)確定出來。 所謂所謂倒格子倒格子

4、就是類似上面所設(shè)想的那些點子所組成的格子。所說就是類似上面所設(shè)想的那些點子所組成的格子。所說的對應(yīng)關(guān)系即晶格（正格子）與倒格子之間聯(lián)系的規(guī)律，就是數(shù)的對應(yīng)關(guān)系即晶格（正格子）與倒格子之間聯(lián)系的規(guī)律，就是數(shù)學中的傅里葉變換。學中的傅里葉變換。第五節(jié)第五節(jié) 倒格子倒格子聊城大學物理科學與信息工程學院聊城大學物理科學與信息工程學院我們通過晶體我們通過晶體x射線衍射來引入倒格子。射線衍射來引入倒格子。obbaapms0s晶面晶面ll1nn1cd如圖，相鄰平行晶面如圖，相鄰平行晶面aa、bb，入射線單位矢量為入射線單位矢量為s0，衍射線單位矢量為，衍射線單位矢量為s。m、p、o為格點位置。為格點位置。晶

5、面間距為晶面間距為|op|=d，且op=l1a1+ l2a2+ l3a3。第五節(jié)第五節(jié) 倒格子倒格子聊城大學物理科學與信息工程學院聊城大學物理科學與信息工程學院2）對于不同晶面上的原子）對于不同晶面上的原子p、o，反射后光程差為：，反射后光程差為：1）對于同一晶面上的原子）對于同一晶面上的原子p、m的散射線，處于反射線位置時，的散射線，處于反射線位置時，光程差為光程差為0，產(chǎn)生衍射加強；，產(chǎn)生衍射加強；sin2dodco因此在這個方向散射線互相加強的條件為因此在這個方向散射線互相加強的條件為ndsin2布拉格方程布拉格方程上式說明，晶體的上式說明，晶體的x衍射可以看作晶面反射。只有在滿足布拉格

6、衍射可以看作晶面反射。只有在滿足布拉格方程的方程的上才能發(fā)生衍射。上才能發(fā)生衍射。經(jīng)過經(jīng)過o點和點和p點的點的x光，衍射后的光程差可以用矢量表示：光，衍射后的光程差可以用矢量表示：sopsop0)(0ssop第五節(jié)第五節(jié) 倒格子倒格子聊城大學物理科學與信息工程學院聊城大學物理科學與信息工程學院又又x射線衍射加強的條件為射線衍射加強的條件為nssop)(0式中式中為波長為波長，n為整數(shù)。引入衍射波矢和衍射波矢：為整數(shù)。引入衍射波矢和衍射波矢：)(200sskk則衍射加強的條件變?yōu)閯t衍射加強的條件變?yōu)閚kkop2)(0令令0kkkh則則nkoph2可以發(fā)現(xiàn)可以發(fā)現(xiàn) 的量綱是互為倒逆的，的量綱是互為

7、倒逆的， 是格點的位置矢量，是格點的位置矢量，稱為稱為正格矢正格矢，稱，稱 為正格矢的倒矢量，簡稱為正格矢的倒矢量，簡稱倒格矢倒格矢。hkop與ophk第五節(jié)第五節(jié) 倒格子倒格子聊城大學物理科學與信息工程學院聊城大學物理科學與信息工程學院2、倒格基矢與正格基矢的關(guān)系、倒格基矢與正格基矢的關(guān)系如圖，以原點如圖，以原點o建立正格子，建立正格子，其基矢分別為其基矢分別為a1、 a2、 a3 ；正；正格子的坐標面格子的坐標面a1a2， a2 a3， a3a1各有其對應(yīng)的晶面族。各有其對應(yīng)的晶面族。o1a2a3a因此得到三個矢量因此得到三個矢量 b1， b2， b3，稱為倒格子基矢。，稱為倒格子基矢。設(shè)

8、設(shè)a1a2， a2 a3， a3a1面族的面間距分別為面族的面間距分別為d3，d1， d2。p3b作作op垂直垂直a1a2面，并另面，并另op= b3，使，使b3=2/ d3。1b同理，對于同理，對于a2 a3面，得到面，得到b1 = 2/ d1 ；對于對于 a3a1面，得到面，得到b2 = 2/ d2。2b第五節(jié)第五節(jié) 倒格子倒格子聊城大學物理科學與信息工程學院聊城大學物理科學與信息工程學院213322aadb又因矢量又因矢量b3和矢量和矢量a1a2的方向一致，所以的方向一致，所以332db底sd3又又21aa )(2213aabo1a2a3ap3b1b2b第五節(jié)第五節(jié) 倒格子倒格子聊城大學

9、物理科學與信息工程學院聊城大學物理科學與信息工程學院同理還有同理還有,)(2132aab)(2321aab即倒格子基矢即倒格子基矢bj(j=1,2,3)和正格子基矢和正格子基矢ai(i=1,2,3)之間符合以下關(guān)之間符合以下關(guān)系：系： 又正格子體積又正格子體積)(321aaa)(132aaa)(213aaa所以倒格子基矢和正格子基矢存在如下關(guān)系：所以倒格子基矢和正格子基矢存在如下關(guān)系：,211ab,222ab332abijjiba2若若i = j，則，則ai bj = 2 ；若；若i j，則，則ai bj = 0 第五節(jié)第五節(jié) 倒格子倒格子聊城大學物理科學與信息工程學院聊城大學物理科學與信息工

10、程學院(1)倒格子線度的量綱為米倒格子線度的量綱為米-1，和波矢的單位相同，而常用波矢來，和波矢的單位相同，而常用波矢來描述晶格和電子的運動狀態(tài)，可以認為由倒格子所組成的空間為描述晶格和電子的運動狀態(tài)，可以認為由倒格子所組成的空間為狀態(tài)空間狀態(tài)空間，而由正格子所組成的空間稱為，而由正格子所組成的空間稱為坐標空間坐標空間，倒格子是正，倒格子是正格子在狀態(tài)空間的化身。格子在狀態(tài)空間的化身。注意注意：(2)由倒格基矢在三維空間重復(fù)取點，可以得到由倒格基矢在三維空間重復(fù)取點，可以得到倒易點陣倒易點陣。倒易點。倒易點陣是正格點陣經(jīng)過一定轉(zhuǎn)化導出的抽象點陣。倒易點陣的每一個陣是正格點陣經(jīng)過一定轉(zhuǎn)化導出的抽

11、象點陣。倒易點陣的每一個倒易點對應(yīng)著正格空間的一組晶面。倒易點對應(yīng)著正格空間的一組晶面。倒易點陣倒易點陣的主要應(yīng)用：的主要應(yīng)用：第五節(jié)第五節(jié) 倒格子倒格子聊城大學物理科學與信息工程學院聊城大學物理科學與信息工程學院3、倒格子與正格子的關(guān)系、倒格子與正格子的關(guān)系1）正格子原胞體積與倒格子原胞體積之積等于）正格子原胞體積與倒格子原胞體積之積等于3)2(證明：設(shè)倒格子原胞體積為證明：設(shè)倒格子原胞體積為*，其數(shù)學表達式如下，其數(shù)學表達式如下：)(321*bbb)()()()2(21133233aaaaaa(1)可以解釋衍射圖像；可以解釋衍射圖像；(2)研究能帶理論；研究能帶理論；(3)推導晶體學公式推

12、導晶體學公式第五節(jié)第五節(jié) 倒格子倒格子聊城大學物理科學與信息工程學院聊城大學物理科學與信息工程學院)()()()2(21133233*aaaaaa由于由于cbabcacba)()()(則則)()(2113aaaa1213)(aaaa2113)(aaaa1213)(aaaa1a所以所以13233*)()2(aaa233)2(所以所以3*)2(2）倒格子與正格子互為對方的倒格子）倒格子與正格子互為對方的倒格子證明：證明： 設(shè)正格子基矢為設(shè)正格子基矢為 ，倒格子基矢為，倒格子基矢為 ，倒格，倒格子的倒格基矢為子的倒格基矢為321,aaa321,bbb*321,bbb第五節(jié)第五節(jié) 倒格子倒格子聊城大學

13、物理科學與信息工程學院聊城大學物理科學與信息工程學院按照倒格子的定義，倒格子的倒格基矢計算如下：按照倒格子的定義，倒格子的倒格基矢計算如下：*32*1)(2bbb1122*)2(2aa 同理可以證明同理可以證明3322*,abab)()()2(2211322*aaaa證明：證明：設(shè)正格子基矢為設(shè)正格子基矢為 ，321,aaa321,bbb倒格子基矢為倒格子基矢為 ，3）倒格矢量）倒格矢量 與正格子晶面組與正格子晶面組(h1h2h3)正交正交332211bhbhbhkh第五節(jié)第五節(jié) 倒格子倒格子聊城大學物理科學與信息工程學院聊城大學物理科學與信息工程學院ocba11ha22ha33hahk如圖設(shè)

14、如圖設(shè)abc是離原點最近的晶面是離原點最近的晶面(h1h2h3)該晶面在三個晶軸上的截距矢量分別為：該晶面在三個晶軸上的截距矢量分別為：11haoa 22haob 33haoc 則則1133hahaoaocac1122hahaoaobab所以所以 abkh)()(1122332211hahabhbhbh022 ackh)()(1133332211hahabhbhbh022倒格矢量倒格矢量 與正格子晶面組與正格子晶面組(h1h2h3)正交正交332211bhbhbhkh第五節(jié)第五節(jié) 倒格子倒格子聊城大學物理科學與信息工程學院聊城大學物理科學與信息工程學院hu+kv+lw=0 晶帶定理晶帶定理設(shè)晶

15、帶軸的晶向指數(shù)為設(shè)晶帶軸的晶向指數(shù)為uvw，由矢量代數(shù)可知，該晶帶中任一晶由矢量代數(shù)可知，該晶帶中任一晶面面(hkl)與晶帶軸指數(shù)間具有如下關(guān)系與晶帶軸指數(shù)間具有如下關(guān)系： 證明：證明： 根據(jù)上述結(jié)論，晶面根據(jù)上述結(jié)論，晶面(hkl)與下面倒格矢量垂直與下面倒格矢量垂直而晶帶軸平行于晶面而晶帶軸平行于晶面(hkl)，所以晶帶軸與上述倒格矢量垂直，即，所以晶帶軸與上述倒格矢量垂直，即0)()(*c lbkahcwbvau0)(2lwkvhu0lwkvhu晶帶定理適用所有晶系晶帶定理適用所有晶系*c lbkahkh第五節(jié)第五節(jié) 倒格子倒格子聊城大學物理科學與信息工程學院聊城大學物理科學與信息工程學

16、院4）倒格矢量）倒格矢量kh的模與晶面族的模與晶面族(h1h2h3)的面間距成反比的面間距成反比證明：設(shè)證明：設(shè)d是晶面族是晶面族(h1h2h3)的面間距，的面間距， ocba11ha22ha33hahkabc是離原點最近的晶面是離原點最近的晶面(h1h2h3) 則有則有11haoa 22haob 33haoc 設(shè)設(shè)kh與晶面與晶面abc正交于一點正交于一點n，nond ),cos(hkoaoahhkkha11hkbhbhbhha33221111hk2即倒格矢量即倒格矢量kh的模與晶面族的模與晶面族(h1h2h3)的面間距成反比。的面間距成反比。第五節(jié)第五節(jié) 倒格子倒格子聊城大學物理科學與信息

17、工程學院聊城大學物理科學與信息工程學院證明：根據(jù)倒格子與正格子間的關(guān)系得到晶面族證明：根據(jù)倒格子與正格子間的關(guān)系得到晶面族(hkl)的面間距為的面間距為例、若基矢例、若基矢a、b、c構(gòu)成簡單正交系，證明：晶面族構(gòu)成簡單正交系，證明：晶面族(hkl)面間距為面間距為)()()(122clbkahdhklhklhklkd23212blbkbhclbkah2222又設(shè)正格子三個晶軸方向的單位矢量分別為又設(shè)正格子三個晶軸方向的單位矢量分別為 ，則有則有 ，所以上式化簡為如下的形式所以上式化簡為如下的形式：kji,kccjbbi aa,第五節(jié)第五節(jié) 倒格子倒格子聊城大學物理科學與信息工程學院聊城大學物理

18、科學與信息工程學院kcljbki ahdhkl2222cklbjkaih2222)()()(122clbkah若晶體結(jié)構(gòu)為立方系，晶格常數(shù)為若晶體結(jié)構(gòu)為立方系，晶格常數(shù)為a，晶面族，晶面族(hkl)的面間距為的面間距為222lkhadhkl可以發(fā)現(xiàn)，晶面指數(shù)簡單的晶面族，其面間距大。由于單位體積內(nèi)可以發(fā)現(xiàn)，晶面指數(shù)簡單的晶面族，其面間距大。由于單位體積內(nèi)的格點數(shù)一定，則必有面間距大的晶面上，格點分布的密度大。的格點數(shù)一定，則必有面間距大的晶面上，格點分布的密度大。解理面指數(shù)？解理面指數(shù)？第五節(jié)第五節(jié) 倒格子倒格子聊城大學物理科學與信息工程學院聊城大學物理科學與信息工程學院5）正格子空間的周期函

19、數(shù)可以展成倒格矢量的傅立葉級數(shù)）正格子空間的周期函數(shù)可以展成倒格矢量的傅立葉級數(shù)在正格子空間中，任意一點用基矢在正格子空間中，任意一點用基矢 表示，具有如下的形式：表示，具有如下的形式：321,aaa(xi不一定是整數(shù)不一定是整數(shù), i=1,2,3)332211axaxaxx則一個具有晶格周期性的函數(shù)則一個具有晶格周期性的函數(shù)v(x)表示如下：表示如下：(li是整數(shù)是整數(shù), i=1,2,3)()(332211alalalxvxv該函數(shù)可以看成以該函數(shù)可以看成以x1、x2 、x3為變量，周期為為變量，周期為 l 的周期函數(shù)，其傅的周期函數(shù)，其傅立葉級數(shù)表示如下：立葉級數(shù)表示如下：)(2),(33

20、2211321321321xhxhxhixpevxxxvhhhhhhh1，h2，h3為整數(shù)，其中系數(shù)為整數(shù)，其中系數(shù)第五節(jié)第五節(jié) 倒格子倒格子聊城大學物理科學與信息工程學院聊城大學物理科學與信息工程學院),()(2exp321332211030201321xxxvxhxhxhidxdxdxv111hhh再設(shè)倒格子基矢為再設(shè)倒格子基矢為 ，則根據(jù)，則根據(jù) ，用倒格基矢來用倒格基矢來表示變量：表示變量：321,bbbijjiba2332211axaxaxxxbx3321xbx1121xbx2221)(2),(332211321321321xhxhxhixpevxxxvhhhhhh所以所以xbhbhbhivhhhhhh)(exp33221132132第五節(jié)第五節(jié) 倒格子倒格子聊城大學物理科學與信息工程學院聊城大學物理科學與信息工程學院令令)exp()(xkivxvhhh則傅立葉級數(shù)為則傅立葉級數(shù)為為一倒格矢量332211bhbhbhkh討論討論：已知晶體結(jié)構(gòu)如何求其倒格呢？已知晶體結(jié)構(gòu)如何求其倒格呢？晶體晶體結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)正格正格正格正格基矢基矢倒格倒格基矢基矢倒格倒格321,aaa321,bbb332211