2022年研究生考試數(shù)學(xué)二302預(yù)測(cè)卷4套合集和答案解析

1、2022年全國碩士研究生招生考試數(shù)學(xué)（二）預(yù)測(cè)卷（一）（科目代碼：302）考生注意事項(xiàng)1 .答題前，考生須在試題冊(cè)指定位置上填寫考生編號(hào)和考生姓名；在答題卡指 定位置上填寫報(bào)考單位、考生姓名和考生編號(hào)，并涂寫考生編號(hào)信息點(diǎn)。2 .選擇題的答案必須涂寫在答題卡相應(yīng)題號(hào)的選項(xiàng)上，非選擇題的答案必須書 寫在答題卡指定位置的邊框區(qū)域內(nèi)。超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿 紙、試題冊(cè)上答題無效。3 .填（書）寫部分必須使用黑色字跡簽字筆書寫，字跡工整、筆跡清楚；涂寫 部分必須使用2B鉛筆填涂。4 .考試結(jié)束，將答題卡和試題冊(cè)按規(guī)定交回。（以下信息考生必須認(rèn)真填寫）考生編號(hào)考生姓名一、選擇題：110小題,

2、每小題5分，共50分.下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是最符合題目要求的.1 .設(shè) /(sin%) = r，當(dāng) f 0，時(shí)I sin x IA. /(力與1為等價(jià)無窮小量.B.八工)與x為同階非等價(jià)無窮小量.C. /(J-)為比工高階的無窮小量.D. /(x)為比了低階的無窮小量.2 .設(shè)函數(shù)/(工)可導(dǎo),y = /(73).當(dāng)自變量r在z =- 1處取得增量=-0.1時(shí).相應(yīng)的函數(shù)增量的線性主部為0.3,則/(I)=A. 1.B. 0. 1.C. 1.D. 0. 3.3 .設(shè)函數(shù)/(/)在0,1上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)A.C.(工)dr | WM.4 .下列反常積分發(fā)散的是A.廣曰*C.為口也J

3、。右 1，且 /(0) =0, max | /'(7)| = M,則B. |仆)同和.D.M& |/(_r)dr & 2M.(x2 + y2 )sin 2 j.0,w? +1/ # 0, x2+y = 0在點(diǎn)(0,0)處數(shù)學(xué)(二)預(yù)測(cè)卷(一)試題 第1頁(共3頁)A.不連續(xù).C.可微.B.連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)不存在.D.偏導(dǎo)數(shù)存在但不可微.D,則二重積分+/)匕=D6 .將雙紐線(f+y)2 = 22(3-2-/)圍成的平面區(qū)域記為A. 7t.B. 27t.C. 37r.D. 47r.7 .設(shè)a均為常數(shù),則微分方程d'+ 4» = 1 + cos 2工的特解可

4、設(shè)為 A. ar + /»+ Arcos 2x.B. s +。+ Asin 2jc.C. ar + +Acos 2x + Bsin 2/).D. xajc + + Acos 2jc + Bsin 2z).8 .設(shè)A為mX "矩陣，且A的秩為廠，則下列命題中正確的是A. r = n時(shí)，方程組Ar = 8有解.B. r = m時(shí)，方程組Ar = b有解.C. r = m時(shí)，方程組Ax = 0有非零解.D.r = n時(shí)方程組Ar = 0有非零解.9 .設(shè)A.5均為5階非零矩陣,且滿足AB =O,下列命題中正確的是 A.若矩陣B有1階非零子式,則r(A) = 4.B.若矩陣3有2階

5、非零子式，則廠（A） = 3.C.若矩陣3有3階非零子式則NA） = 2.D.若矩陣B有4階非零子式，則廠（A） = 1.A. zi + 忌.C. Z Z2.10.二次型/'（不，工2，73）=（力+ J,2）2 +（/2 3產(chǎn)+ （為+/3）2的規(guī)范形為B. z +zl+ zf.D-Z1 22 二、填空題：1116小題,每小題5分，共30分.11 . /（x）=cosd出在0,1上的平均值為12 .由曲線y = 口-j和直線z = 0,2=中,y = 0所圍成圖形的面積為.1 + sin x213 .已知（ary3 一 丁2cos x）dr+ （1 +6ysin x + 372y2）

6、dy是某函數(shù)的全微分，則a,b的取值 分別為.14 .曲線y = /（x） =（z + ?sin的漸近線的條數(shù)為.15. 一水平橫放的圓柱形油桶，設(shè)F1為桶內(nèi)盛半桶油時(shí)桶的一個(gè)端面所受的側(cè)壓力,B為桶內(nèi)盛滿油時(shí)桶的一個(gè)端面所受的側(cè)壓力，則今=.X X1 X16. /(x)=1 11 111X1l-2z中/的系數(shù)為三、解答題：1722小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17 .（本題滿分10分）設(shè)/ =1 sin（a +/"）dn = 1,2,，其中 a 為實(shí)數(shù)，證明：lim/rt = sin a.18 .（本題滿分12分）設(shè)函數(shù) y = 滿足= J -=Sx +。

7、（ Ar）,且 y（ 1） = 1,計(jì)算>（x）dr.V2xx2J119 .（本題滿分12分）計(jì)算 lim* S ', 一S M （n2 +i2Vn2 +j220 .（本題滿分12分）已知z =在Z>0時(shí)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且滿足痣+零=0.求/（u）的表達(dá)式.21 .（本題滿分12分）一容器內(nèi)表面是由曲線> =（0 &工4 2,單位:m）繞 > 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的曲面.現(xiàn)以1 m'/min的速率注入某液體.求：數(shù)學(xué)（二）預(yù)測(cè)卷（一）試題第#頁（共3頁）（D容器的體積；（2）當(dāng)液面升高到1 m時(shí)液面上升的速率.22 .（本題滿分12分）設(shè)A為3階矩陣

8、,a為3維列向量，且A2a手O.A a = 0.（1）證明向量組a，4a.A2a線性無關(guān)；若P= （a,4a.A%）,計(jì)算 P AP；（3）判斷矩陣A能否相似對(duì)角化,并說明理由.2022年全國碩士研究生招生考試數(shù)學(xué)（二）預(yù)測(cè)卷（二）（科目代碼：302）考生注意事項(xiàng)1 .答題前，考生須在試題冊(cè)指定位置上填寫考生編號(hào)和考生姓名；在答題卡指 定位置上填寫報(bào)考單位、考生姓名和考生編號(hào)，并涂寫考生編號(hào)信息點(diǎn)。2 .選擇題的答案必須涂寫在答題卡相應(yīng)題號(hào)的選項(xiàng)上，非選擇題的答案必須書 寫在答題卡指定位置的邊框區(qū)域內(nèi)。超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿 紙、試題冊(cè)上答題無效。3 .填（書）寫部分必須使用黑色字

9、跡簽字筆書寫，字跡工整、筆跡清楚；涂寫 部分必須使用2B鉛筆填涂。4 .考試結(jié)束，將答題卡和試題冊(cè)按規(guī)定交回。（以下信息考生必須認(rèn)真填寫）考生編號(hào)考生姓名一、選擇題：110小題,每小題5分，共50分.下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是 最符合題目要求的.1 .函數(shù)/()=lim 信)+(今)+z"在(0,+8)內(nèi)A.處處連續(xù)但有一個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn).B.處處連續(xù)且可導(dǎo).C.處處連續(xù)但有兩個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn).D.有一個(gè)不連續(xù)點(diǎn).2 .若當(dāng)70時(shí),/(z) = f，(eM,-es'",)d/a是等價(jià)無窮小，則常數(shù)a#的值分別為 J 0A.,3.B.,3.C.!,4.D.5,4.0

10、Lo43 .設(shè)二階可導(dǎo)函數(shù)/()滿足/(-1) =/(1) =0,/(0) = 1,且/'(為<0,則A. j /(x)dr > 1.B. J /(jr)dr < 1.c J；/(j')cLr = J /(x)cLzD. J /(j-)cLr J /(x)dr.教學(xué)(二)預(yù)測(cè)卷(二)試題第1頁(共3頁)4 .設(shè)函數(shù)/("在7=0處可導(dǎo)，且lim八也)- 2zf Cr) = 2,則/ = X-*OxA. - 1.B. C. 0.D. 1.5 .設(shè)函數(shù)fCr)在點(diǎn)z = 0的某一鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且lim叢力=0, T-*O Xhm3h3 = ,則

11、 lOXA. /(0)是函數(shù)/Cr)的極大值.B. ./ (0)是函數(shù)/(h)的極小值.C. (0,/(0)是曲線> =/(J-)的拐點(diǎn).D. /(0)不是函數(shù)義工)的極值,(0,7函數(shù)也不是曲線y = /(x)的拐點(diǎn).6.設(shè)人=尸一叫+了)也/J 0XA. /, < /2 < 1.B. 1 < /, < I2.C. /! < 1 < I2.D. 72 < 1 < /).7 .設(shè)/(z)為連續(xù)函數(shù),F(力=J：dyj(z)dLr,則尸'=A. /(/),C. -f(t).D. f(. z).8 .設(shè)3維列向量組內(nèi)，a?線性無關(guān),az

12、，也線性無關(guān)，而如，03線性相關(guān)，且%則下 列向量組中一定線性無關(guān)的是A. a, +a2 -a? +a.i .a：t - ai.B. a, .ai - a： -ai +a2 as.C. ai - a> .a, +a(.D. a - a> .a:! +a：i.9 .設(shè)4是正定矩陣,P是初等矩陣,則非齊次線性方程組PAPx = bA.無解.B.有唯一解.C.有無窮多解.D.不能確定是否有解.10 .設(shè)A,3,C都是2階矩陣,AB = BC,若A有一個(gè)特征值為3,3的兩個(gè)特征值為2, 2,則 矩陣C有一個(gè)特征值為A. - 2.B. 2.C. 一 3.D. 3.二、填空題：H16小題，每小

13、題5分，共30分.11 .設(shè) /（了）=，久一】則 r（i）=.Ie, z = 1,12 .設(shè)y =其中函數(shù)/Cr）具有二階導(dǎo)數(shù),且lim 小二 =4,則宴|' JC I A /*0 JCCl«* |13 .定積分（后三口n（z+ 的值為.14 .若函數(shù)= d +»3 +C在約束條件J*? + 2/ = 9下的最小值為1,則常 數(shù) C =.15 .設(shè)函數(shù)u = 及u =具有一階偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)z = f（u,v）具有二階連續(xù)偏2,導(dǎo)數(shù),且 dz = （y/：+2z/：）dr+ （z«2y/：）dy,則方, =.16 .設(shè)向量a= （1,0, - l）,A =

14、aa,若矩陣A的特征多項(xiàng)式為fGD,則微分方程，'- y = /<x）的通解為.三、解答題：1722小題，共7（）分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17 .（本題滿分10分）設(shè)/（1）=（1 + 1）（7 > 0）,求lim 當(dāng)；-.18 .（本題滿分12分）設(shè)定義在（-8,+8）上的連續(xù)函數(shù)八外滿足方程/Cr） +U（f）d，= 2,求： J 0（1）函數(shù)八公的解析式；（2）曲線y = /Cr）的凹、凸區(qū)間與拐點(diǎn).19 .（本題滿分12分）設(shè) D = （z,y） | 1 （ f< 2工,求：（1）平面圖形D的面積；（2）平面圖形。繞.y軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋

15、轉(zhuǎn)體的體積.20 .（本題滿分12分）ri （計(jì)算二次積分J dr1（x2+y2'）dy.21 .（本題滿分12分）設(shè)函數(shù)/（x）在閉區(qū)間a,切上連續(xù)，且| f（x） | <= 0.證明：11 x/（x）dr竽（6 a）.22.（本題滿分12分）已知實(shí)二次型，（©,%?。?*tAr的矩陣為A,且A-E = 0.AB 3B = O,其中1 1 2矩陣5= 2 1 4，求一個(gè)正交變換x = Qy,化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形.1 1 2.數(shù)學(xué)（二）預(yù)測(cè)卷（二）試題第3頁（共3頁）2022年全國碩士研究生招生考試數(shù)學(xué)（二）預(yù)測(cè)卷（三）（科目代碼:302）考生注意事項(xiàng)1 .答題前，考生須在

16、試題冊(cè)指定位置上填寫考生編號(hào)和考生姓名；在答題卡指 定位置上填寫報(bào)考單位、考生姓名和考生編號(hào)，并涂寫考生編號(hào)信息點(diǎn)。2 .選擇題的答案必須涂寫在答題卡相應(yīng)題號(hào)的選項(xiàng)上，非選擇題的答案必須書 寫在答題卡指定位置的邊框區(qū)域內(nèi)。超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿 紙、試題冊(cè)上答題無效。3 .填（書）寫部分必須使用黑色字跡簽字筆書寫，字跡工整、筆跡清楚；涂寫 部分必須使用2B鉛筆填涂。4 .考試結(jié)束，將答題卡和試題冊(cè)按規(guī)定交回。（以下信息考生必須認(rèn)真填寫）考生編號(hào)考生姓名一、選擇題：110小題,每小題5分，共50分.下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是 最符合題目要求的.r? ,1 .設(shè)/'

17、;(Z)=(/廿/-1)出名(力=.若當(dāng)Z-0+時(shí),/(工)是8(工)的高階無窮小,J 0而當(dāng)H T 8時(shí),是我 的高階無窮小，則常數(shù)a的取值范圍為 g(£) j (X)A. (4,6).B. (4,8).C. (5,6).D. (5,8).2 .設(shè)/Cr) = lim匚/工，則函數(shù)/Cr)有n-x> 1 十A. 一個(gè)跳躍間斷點(diǎn).B.兩個(gè)跳躍間斷點(diǎn).C. 一個(gè)可去間斷點(diǎn).D.兩個(gè)可去間斷點(diǎn).3 .設(shè)/(x)在工=0處連續(xù)，且lim 厘=2,則lim一幻一 sin/與Q £運(yùn)= 10 XXA. 1.B. 2,C, 3.D.4.4 .設(shè)函數(shù)/(x) = (In/1)( I

18、n z 2)(In一),其中n為正整數(shù)，則f (e)=(1( 1 y,A.( “ (一1)!.B. i(n-l)!.ee5 .設(shè)函數(shù)f(z)在0,1上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且/'(?) > 0.若/(后)業(yè)=0,則必有 A./(f )<0.B./(1)<0.C./(1)<0,D./(1)<0.6 .設(shè)函數(shù)/(h)在0,1上二階可導(dǎo),且/'(力V 0,則A.小。丁(0) Ve，"> 一乎。> <e/<1>/(l).B.空。>八1) </-»。> < 夕>/(0).C.e/(1

19、)/(0) <e/<n-e0)儀/.D. < 空" 一丫<。> < »”(0).7.設(shè) D= Cr,y)|/+y2&2,z + N) /,a， 為常數(shù),則！也三與 drdy = D X 丁A.6速(-1).B. j(n-2).C. W&l2).D. y(7T-l).8 .設(shè)A為加X”矩陣，r(A) = mV”,考慮下列四個(gè)命題：齊次線性方程組A4 " = 0只有零解；齊次線性方程組A' Ax = 0有非零解；對(duì)任意的"，維列向量6方程組心=b有無窮多解；對(duì)任意的»維列向量八方程組* x

20、 = b有唯一解.正確命題的個(gè)數(shù)為A. 0.B. 1.C. 2.D. 3.9 .設(shè)A,8均為4階方陣,且廠(A) =4,r(B”)= 1,則齊次線性方程組(A，8)x = 0的基礎(chǔ)解 系所含解的個(gè)數(shù)為A. 1.B. 2.C. 3.D. 4.0 A .10 .設(shè)A為3階可逆矩陣，|A| = 2,C=- 八，則| - 2C| =、A O .A. 16.B. 128.C. -16.D. -128.二、填空題：n16小題，每小題5分，共30分.11 .設(shè)<p(1)=3，則函數(shù)y = w(z)2>的最小值為.12 .設(shè)/(h)為可導(dǎo)函數(shù)，且/XI) = O，/。)= j dyj則li邛=(1

21、 +) >/2 X2(x cos31,14 .曲線4.，的弧長(zhǎng)為.= sin Z15 .設(shè)函數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)(0,0) = 1,£(0,0) = 2,£(0,0) = 4,z = z(x,y)是由方程f(xz,yz) = x3 +y z3所確定的函數(shù)，則dz|x = o =.16 .設(shè)A是3階方陣，其特征值為2,3,4,將A的第2行加到第3行得矩陣B,再將8的第3列 的一 1倍加到第2列得矩陣C,則tr(2C+E) =.三、解答題：1722小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17 .(本題滿分12分)求函數(shù) f(z,y) = (2x3+3t2+&g

22、t;) 的極值.18 .(本題滿分12分)討論方程=工+1的實(shí)根的個(gè)數(shù).19 .(本題滿分12分)設(shè)/是第一象限內(nèi)連接點(diǎn)A(0,l)與點(diǎn)8(1,0)的一段連續(xù)曲線弧,為該曲線弧 上任一點(diǎn)，點(diǎn)C為M在遼軸上的投影為坐標(biāo)原點(diǎn).若梯形OCMA的面積與曲邊三角形CBM的面積之和為,求曲線弧L的方程，并求該曲線弧與拋物線y = 1所圍成的平面圖形的面積.20 .(本題滿分10分)設(shè)a2且為常數(shù),證明反常積分I =一 甩/收斂，并計(jì)算積分的值.J o 1十a(chǎn)r+x21 .(本題滿分12分)rir Vi-x2計(jì)算二次積分J數(shù)學(xué)(二)預(yù)測(cè)卷(三)試題第I頁(共3頁)22 .（本題滿分12分）設(shè)A為3階實(shí)對(duì)稱矩

23、陣,A的特征值為一 1, 一 L2,A，g =或其中§ = （-1,-1,1）T.（1）求一個(gè)正交變換x =仍,將二次型,x2 ,x3） = xtAx化為標(biāo)準(zhǔn)形；（2）求矩陣A.數(shù)學(xué)（二）預(yù)測(cè)卷（三）試題 第3頁（共3頁）2022年全國碩士研究生招生考試數(shù)學(xué)（二）預(yù)測(cè)卷（四）（科目代碼：302）考生注意事項(xiàng)1 .答題前，考生須在試題冊(cè)指定位置上填寫考生編號(hào)和考生姓名；在答題卡指 定位置上填寫報(bào)考單位、考生姓名和考生編號(hào)，并涂寫考生編號(hào)信息點(diǎn)。2 .選擇題的答案必須涂寫在答題卡相應(yīng)題號(hào)的選項(xiàng)上，非選擇題的答案必須書 寫在答題卡指定位置的邊框區(qū)域內(nèi)。超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿 紙

24、、試題冊(cè)上答題無效。3 .填（書）寫部分必須使用黑色字跡簽字筆書寫，字跡工整、筆跡清楚；涂寫 部分必須使用2B鉛筆填涂。4 .考試結(jié)束，將答題卡和試題冊(cè)按規(guī)定交回。（以下信息考生必須認(rèn)真填寫）考生編號(hào)考生姓名一、選擇題J10小題，每小題5分，共50分.下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是 最符合題目要求的.1.設(shè)當(dāng)3-> 0+時(shí)，函數(shù)/（x）=W"一與4（彳）=sin jca是同階無窮小，則常數(shù)學(xué)（二）預(yù)測(cè)卷（四）試題第3頁（共3頁）數(shù)a的值為2.3.4.A. 2.B.設(shè)工=2是函數(shù)八公=/與七A. 4,2.C.2,ln 2.C. 4-OD.3.的第一類間斷點(diǎn),則常數(shù)。，的

25、值分別為B. 2,4.D. In 2,2.設(shè)函數(shù)/（T）在（o,+°0）上可導(dǎo)，且/（工）<匹？，則 X設(shè)函數(shù)/（X）與g（x）滿足r Cr） = 2g（z） ,g'Cz） = 2/（z）,且函數(shù)以工）在z = 0處取得極值2,則曲線3 =A. 1.f(x) g(N)B. 2.的漸近線的條數(shù)為C. 3.D. 4.5.也d»/=Usin(三)設(shè)“D(3) | Cr 1)2 + (y-lV 4 2,則A. L V J2 V hC 13 V L VArdy/ =卜山("2drdy,其中 D = DB./2Vl3 V八.D. h<I2< L.6.

26、二元函數(shù)/Cz）=(1,y) = (0,0)（«r,y） # （0,0）,在點(diǎn)（0,0）處必定7.A.C.A.連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在.C.不連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)存在. 下列反常積分收斂的是B.D.B.D.連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)不存在.不連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)不存在.f-fooo8.設(shè)4維列向量組a,債,。3,a線性無關(guān)次是實(shí)數(shù),A =ai+32,住=。2+33，；=。3 +妞4仇=6 +，則向量:組小性，詼,小線性無關(guān)的充分必要條件為B. k 中 土 1.D. k =± 1.9.設(shè)A為（22）階可逆矩陣，1 & i V j & ，互換A的第，行與第j行得矩陣3 ,A , ,B 分別為A,3的

27、伴隨矩陣，則Z = 2所圍成的平面閉區(qū)域.22.（本題滿分12分）設(shè)二次型 f（© ,后，23）= ar?+xi+&c|+4x）X2+4xiX3+4x2-T3 的矩陣為 A,已知。=（1,1,（1） A的一個(gè)特征向量.（D求常數(shù)a,6的值;（2）求一個(gè)正交變換x = 3,將二次型/化為標(biāo)準(zhǔn)形.數(shù)學(xué)(二)預(yù)測(cè)卷(一)試題答案及評(píng)分參考一、選擇題1 .答應(yīng)選D.解 設(shè)£ = 5山2工,則在Z = 0的某一較小去心鄰域內(nèi)，有| sin z | = sin | 71 = , | 1 | = arcsin 77.故 /(sin2x) = i可化為/(/) = (arcs)而%

28、 >。).則有.r/、 r (arcsin -/xY 7 八lim/(x) = Iim-= lim = 0,1r*o+vXJ工又lim 9 = lim(arc*n G* = lim 4=+oo, lo+ X lo+ >JjC X l0' jcjx即當(dāng)Hf 0+時(shí)JCr)為無窮小量，且為2的低階無窮小量.【注】 判定當(dāng)l-0+時(shí)，/(外為無窮小量是不可缺少的一步.2 .答應(yīng)選A.解由于f(z)可導(dǎo)，因此' = /()可導(dǎo).由微分的定義知，當(dāng)Ar-0時(shí),»-£!'為& 的高階無窮小量，且dy為的線性主部,于是有= dy +o(Ar)

29、= y'Ax +o(D.當(dāng)、=八了 3)時(shí)，有丁 = 3/r(合)，由題設(shè)有3/“才力匚3尸0.3,3/(-1) (-0. 1) = 0. 3,/(-I) =-1.3 .答應(yīng)選A.解顯然/(x)在區(qū)間0,1上滿足拉格朗日中值定理的條件,于是有/(x)-/(0) = /($)T,O<f<x.根據(jù)題設(shè)，可知|J；3酸卜 |£)-/(O)dr|= |£r(f).rdr|W C I X($)-r | Ar = | f (?) | j-dx & f Air dr =M.JoJoJoZ4 .答應(yīng)選D.解因?yàn)閿?shù)學(xué)(二)預(yù)測(cè)卷(一)試題答案及評(píng)分參考第1頁(共3

30、3頁)8 .答應(yīng)選B.解 當(dāng)廠=”時(shí)，系數(shù)矩陣A為行滿秩矩陣，所以增廣矩陣(A ; b)的秩也為，從而方程 組Ax = b有解,故選項(xiàng)B正確.當(dāng)r = 時(shí)，增廣矩陣(A ;捫的秩可能為，也可能為所以方程組可能有解，也可能 無解,故選項(xiàng)A不正確.當(dāng)廠=/«時(shí)，若r = m V ",則方程組Ax = 0有非零解，若r = m "，則方程組Ax = 0 只有零解,故選項(xiàng)C不正確.當(dāng)時(shí),方程組Ax =0只有零解,故選項(xiàng)D不正確.【注】 考核點(diǎn)為方程組的解與矩陣的秩.關(guān)鍵是當(dāng)矩陣A的秩為"，時(shí)，矩陣A必有機(jī)階非零子式，從而矩陣(A i b)也有，階非零子式,又矩陣

31、(4 ：力行數(shù)為如所以其秩為日9 .答應(yīng)選D.解 由于A.B均為5階非零矩陣，且AB =O,故矩陣A.B均不可逆，從而r(A)44, r(B) <4.記B =(4,p2遇弧，仙)，由AB = O,得A(R,也，怯*0、.止)=(Afi.AfiAfi5) = (0.0.0.0.0),可知B的每一列均為方程組Ax = 0的解,故矩陣B的列向量組可由方程組Ax = 0的基 礎(chǔ)解系線性表示，從而r(B)&5 r(A),即r(A)+r(B)&5.若B有4階非零子式，又r(B) & 4,則r(B) = 4,r(A) & 5-r(B) = 1,又由于A為非零矩陣，即MA

32、)21,因此r(A) = 1.故選項(xiàng)D正確.當(dāng)B有4階非零子式時(shí)，必有1,2,3階非零子式，此時(shí)r(A) = 1,故選項(xiàng)A,B,C均不正確. 【注】考核點(diǎn)為矩陣運(yùn)算,矩陣的秩，線性方程組等.注意AB=O=r(A)+r(B)(5是 常用的結(jié)論.10 .答應(yīng)選A.解由于/(© ,Xz ,X-s ) =(X1 +x2)2 + (網(wǎng)13)，+(為 +13)2=2x? + 2x1 + 2x1 + 2x 22X3 + 2xiX3，因此其矩陣為211A=12-1.1-12因?yàn)閨力一4| =/(4-3)2,所以矩陣4的特征值為貓=的=3山=0,故二次型的規(guī) 范形為若+后.二、填空題應(yīng)填sin 1.1

33、1.答解12.答解占義工）業(yè)=心3市空積分次序面'/母J 0 J XJo JO=I Zcos t2d/ = -sin t21 =sin 1.J oZ I o Z應(yīng)填i一考.1 + sin x2dr= TJo1_1 + sin x2d(x2).當(dāng)04z4百時(shí)=匚產(chǎn)?>0.故所求圖形面積為 N1 + sin x10分?jǐn)?shù)學(xué)（二）預(yù)測(cè)卷（一）試題答案及評(píng)分參考 第5頁（共33頁）Ip 1 . = 1.戶 l-sinz>2 J o 1 4- sin t 2 J o 1 sin2Z_j_r2cos 11 o-環(huán)嗎&=*2 J o cos t2 J o cos t 2=彥(y/2

34、 1)= 一 冬13.答 應(yīng)填2,一2.解 設(shè)(ary， y2cos j;)cLr + (1 +6ysin x + 3jc2y2)dy 是(1)的全微分，則=axy3 - y2cos £, = 1 + 外sin x + 3jc2jz2.顯然(科y)存在二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，于是有普=普，即 dxdy dydx3ory2 2ycos r = by cos x + &xy2,比較系數(shù)得a = 2,b=-2.14.答應(yīng)填2.解 由limf（幻=lim Qsinz = o,可知該曲線有一條水平漸近線= 0； j>-*oojr-*ooX由lim/（z） = lim（十.三±1

35、 = 8,可知該曲線有一條鉛直漸近線 X-0lOXl0 XXz = 0；又由lim 9 = lim I十?sin“ = o,可知該曲線沒有斜漸近線. X-X> xJT-oaX綜上，該曲線有兩條漸近線.【注】由lim/Cr） =0可知曲線、= /（外肯定沒有斜漸近線，事實(shí)上不必再判定lim 3OO X15.答應(yīng)填熹解如圖所示，以桶的一個(gè)端面中心（圓心）為原點(diǎn)，鉛直向下 的方向?yàn)楣ぽS正向，建立平面直角坐標(biāo)系，選取遼為積分變量， 設(shè)油桶的底圓半徑為R,油的密度為p,重力加速度為g,則dFi = 2pgx y/R2 x2ir, dF2 = 2 闈（R + 丈）/R2 jc2 dr. 于是，F(xiàn)i

36、= j：2陶:2 TAe =號(hào)R3,F2 = 1 2儆（R + z） VR2 x2 dr = 4圖R J VR2 x2<Lr4限R jnR2 = npgR16.答應(yīng)填3.解由于只有主對(duì)角線元素與（1,2）元含工,由行列式的定義知含有d的有兩項(xiàng)，一項(xiàng)為主對(duì)角線元素的乘積二（1 - 2工）=n3一2/，且符號(hào)為正；另一項(xiàng)為（1,2）,（2,1）, （3,3）,（4,4）元的乘積公（1-2外=工2 2，且符號(hào)為負(fù).從而Z3的系數(shù)為工 【注】考核點(diǎn)為行列式的定義.注意由行列式的定義知每一項(xiàng)為不同行、不同列元素 的乘積，故若選取了（1,2）元，則（1,1）與（2,2）元均不能再選取.三、解答題17

37、.證 顯然函數(shù)sint在區(qū)間a,a+工口上滿足拉格朗日中值定理的條件，故存在 $6 (a,a+z"),使得sin(a +1”) sin a = xncos 63 分于是0 & I in - sin a | = | J sin(a +xn) sin adz& f | sin(a + z" ) sin a dr j o=J。| "cos £ | dz & J xndjc = ； .8 分當(dāng)f 87-7 f 0,根據(jù)夾逼準(zhǔn)則，可知 lim| 1” 一sin a| = 0,故 liml” = sin a.71 I 1»-*<

38、;»n-*818.解 由» = /二. Ar + o（3,有V 2 J7 - X2=1 -z | 0（最）y/2x 兩邊取極限，得y（x）r y v 1 _X _j_O（Az） lim U = hmtAr-0 X5/21 之工 X _1 -xx/2x x2y（z） = f J / ：dr = /2x x2 + C.J，2z z2又？（1） = 1,得 C=0,即 yCz） = V2x-x2.于是j （x）dr = j/2x x2dr = 1a/1 （x l）2drJ-1 = S，n< pcos = f.Jo4解 lim * 2 " / = lim 次 * 1

39、 了 一仁M（n2+：2）v6?T7 一仁G 口 +（上/沙 +（上）2=UJ d/rdy電（i+x2）/i+7=,毋M -i-d>J。1 +x2 Jo +y212分1廬6分-j-lnd +V2） 94其中區(qū)域。=（z,y） | 0&z&l,0&y&l12分20 .解由z = /R）,有Hz _ 1 /«/ /N 1 ,/為=37 ,方=宗/,則票+ =/'+等原方程可化為（1 + «2）/ + 2«/ = 0,7 分其中”=衛(wèi),解上述方程，得 X故/()= G arctan +C2，其中G(2為任意常數(shù).12分21

40、.解 (1)容器的體積為 V = (“Vdy = 7tl, ydy = 87c(n?).5 分J 0J 0記液面在t時(shí)刻高為y =?,則液體體積為V=Ttj'" ydy,兩邊對(duì)，求導(dǎo)，有%L 二.腎一，又北匕")=1 m：'/min,故 at=L.£V(1)J|=3.1 = Lm/min).at I 必=i 7rly(E) d/ I y«)=i n 1k12分22 . （1）證設(shè)向量組a.Aa,Al線性相關(guān),即存在不全為零的數(shù)M，居次3,使得ka I kiAa +3A:a = 0.（ * ）在（* ）式兩端左乘AJ根據(jù)題設(shè)條件A：'

41、;a =（）,得MA% = 0,由于*a#0,因此跖=0. 于是（*）式變?yōu)閗iAa + k3A a = （）.（ * * ）在（* * ）式兩端左乘A,根據(jù)題設(shè)條件A'a = 0,得k2A2a = 0,由于Al卉0,因此A = 0.于是（*）式變?yōu)閗3A2a = 0.由A”#0,得幻=0,與假設(shè)矛盾.故/總5線性無關(guān).4分0 0 0,（3）解記8= 1 0 0，由于|加一川=廠，因此a=。是矩陣B的三重特征值.又 ,0 1 0.因?yàn)閞（OE-B） = 2,所以方程組（OE-B）x = 0的基礎(chǔ)解系由一個(gè)向量構(gòu)成，即矩陣B數(shù)學(xué)（二）預(yù)測(cè)卷（三）試題答案及評(píng)分參考 第7頁（共33頁）數(shù)學(xué)

42、（二）預(yù)測(cè)卷（二）試題答案及評(píng)分參考一、選擇題1.答應(yīng)選A.解 當(dāng)OVh&I時(shí)看專Vz,此時(shí)有工仔）"+陶）"+x"了 工羽;當(dāng)1 Vz42時(shí)售亨工,此時(shí)有h & 傳）”+酶）"+x" <x73j當(dāng)工>2時(shí)受VhV、,此時(shí)有傳）”+傳）"+工"了，涼又lim%=1,故顯然，/(了)在(0,+8)內(nèi)處處連續(xù).由于/(2) = 1,隹(2) = 2,因此/(才)在z = 2處 不可導(dǎo).【注】本題是用夾逼準(zhǔn)則求極限的題目，注意本題的放縮法.1 y” <& 2，夾逼準(zhǔn)則Xf A(f 8).y

43、f, A,z” f A對(duì)于s +如+0，為有限數(shù))，其放縮法為1 “max & "1 + 2 + ex2.答應(yīng)選C.(ptan t _ sin t)布I vv7 J，A<«n x _ Asin jcqSin x ( tan LSin x _ 1 解im= k - = lim-卷=lime 底 _lo axd akxx-o akx=lim tan-in .*，d akxu數(shù)學(xué)（二）預(yù)測(cè)卷（二）試題答案及評(píng)分參考第8頁（共33頁）0, +8）上單調(diào)減少,從而當(dāng)x>0時(shí),/Cr） < /（0） = 0,即i一 ln（l +工）< ，也即土力 又因?yàn)?/p>

44、工1水1 +- >。，故R烹+工）> 2.于是2 >r ln（ 1 +.r）11 =L x-lnCl+a-） > L故m.7 .答應(yīng)選B.解F（Z）= J dyj /（jr）cLr,F'W = 1 /（x）cLr,r（/）= /（-/）.8 .答 應(yīng)選D.解 因?yàn)?2，23線性無關(guān),。】，。3線性相關(guān)，且中，故存在k W 0,1 ,使得小=31.因?yàn)? 0 1（。| I。2+處Q< +。1）=（。1）1100 1 111 1（Q1 。1 +5。1 +02 +。3 ）=（。2 &）0110 0 111均為可逆矩陣，所以Lr（a, +02 。2 圖。3

45、 +qi ）= r（ai .a1+02，a】+ a? + a3） = r（a），a2 ,處）=2.于是，向量組ai +a->m2 +a3，圖+因與向量組a «）+a?.6+妣 a：s均線性相關(guān).若出=©，則a】，處.。1+a線性相關(guān)，故團(tuán)+小不一定線性無關(guān),由排除法 知應(yīng)選D.也可直接證明a. +妣92 +柒一定線性無關(guān).若存在M 花，使得囪（。1 +妣）+品（。2 +。3）=0.將a.=如代入上式得（M + kk2）ai + （&i +局）。2 =。.由于ai線性無關(guān)，因此+ kkz = 0,因?yàn)閗 # 1,所以3 =卜2 = 0.因此曲+。2+。3 一定線

46、性無關(guān).Ui + k2 = 0.9 .答 應(yīng)選B.解 因?yàn)锳是正定矩陣,P是初等矩陣，所以A,P均可逆，從而PAP也可逆.因此，非齊 次線性方程組P APx = b有唯一解.10 .答 應(yīng)選D.解因?yàn)锽的兩個(gè)特征值為2,2,所以|m=-4#0,即8可逆.于是，由的=比得B AB =C,即A與C相似,從而A與C有相同的特征值.又A有一個(gè)特征值為3,故C也 有一個(gè)特征值為3.二、填空題11 .答應(yīng)填趣./（工）一/ex - e er x - 1 eJ - e - e(jr - 1)= hm： = hm；7T2l1 x1 一 i x-1)r eJ e v eJ e=hm etv = hm-z- =

47、-y.I lx - 1) l】N Z12 .答應(yīng)填0.解 因?yàn)楹瘮?shù)/(z)具有二階導(dǎo)數(shù)，且limT = 4,所以 x-*0 Xf (0) = lim/7 (x) = lim/(x) 2+2 = 0 + 2 = 2, jr-*0x-*0從而r(0) = lim 仆)一逑=lim= 4. jc - 04()x由于d_ _ , /z - 1 1.2dr + 1 / (t + 1 )2 *= Z/J- 1 4 /“/ 一4dr2 x+ir (jt+1)47-(/+1)3,因此副 E = 1r(O)-1r(O) = lx4-1x2 = O.13 .答應(yīng)填當(dāng)+ 1.解 因?yàn)槿桥己瘮?shù),ln（z+4=中）是

48、奇函數(shù)，而積分區(qū)間-1,是關(guān)于原 點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間，所以由奇偶性、對(duì)稱性并運(yùn)用定積分的幾何意義得J I，2 -j"2ln（z+ 71+j-2） + l<Lr = 2 J, >/2 x2cLr= 2（f+l）=f + L14 .答應(yīng)填28.解作拉格朗日函數(shù)LCr，w；l) n/+y+c + xf+zy-g),則由方程組L： = 3x2 + 2Ax = 0,< Ly= 3y2 + 4燈=o,L： = f + 2y2 9 = 0,.ZHjc = IAjc =- 1, X °' (x =±3,解得1 _, 3 4G = 2, y =-2,卜=士忌 L

49、 =。.由于/(l,2) = 9 + C,/(-l,-2) =-9 + C, /(嗎卜焉+c小一白一第+c /(3,0) = 27 + CJ(3,0) =-27 + C, 故函數(shù)/Cr,y) =/+V+C在約束條件/ +2/ =9下的最小值為/(-3,0) =-27+C. 由題意，-27 + C= 1,故C=28.15 .答 應(yīng)填<+制4+2(72 y2)<4制<.解 由 dz =+ (£/：2x/j)dy,得 o N du dv o -yfu+2rfv,-=J：,-=-2y.于是n2= £+ y /t Z + 4 (- 2y) + 2z4 7 +/(-

50、2) ojcoy=£+13匕+2(工2 y2)4-4_T3£.16 .答 應(yīng)填 y = Ge，+ C2erN3 + 2z2-6z + 4,其中C1,C2 為任意常數(shù).解 因?yàn)? =21.<1 = (1,0, 1),所以 r(A) = 1 ,tr(A) = a.a = 2,從而A 的特征 值為A = 0,0,2.于是,A的特征多項(xiàng)式為/(A) =A2(A-2),從而fS = /Cz 2).與微分方程y-y = /(x)相應(yīng)的齊次方程的通解為V = 。亡+62-，.可設(shè)3/' >= /(丁)的一個(gè)特解為= &3+&2+° +。,代入

51、方程 y y = f(z),得 A =- LB 2,C =6,D = 4.故微分方程y" y = /(x)的通解為 y = Ge- + Cze; / + 2/ 61 + 4,其中 C, ,C2 為任意常數(shù).三、解答題17 .解 對(duì)/（了）=（1 +q）兩邊取對(duì)數(shù)，得In/（工）=工口!1（1+Z）-In z,兩邊對(duì)z求 導(dǎo),得7八工）=In1+7 171+/數(shù)學(xué)（二）預(yù)測(cè)卷（二）試題答案及評(píng)分參考 第10頁（共33頁）八工)=(1+)(i 1 + JC In i ,x 1 +«r從而/(1) = 2ln2-l.于是lim .r-1. limeZe/aT ie(e1 - 1)

52、= elimVj-i jr - 1=e lim檢二抖l1 JC - 1=e，(l) = e(21n 2 1).10 分18 .解 由于函數(shù)f(x)連續(xù)且滿足方程f+1力出=2,因此f(x)可導(dǎo).方程 J 0fix) + f = 2兩邊對(duì)/求導(dǎo)，得/'(z) += 0,這是可分離變量的微分方J o程，其通解為八外=Cef又由原方程得/(0) = 2,故C= 2,從而八工)=2e-+?.6分(2)函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?一8, 4-oo), f (a-) =- 2ze +尸，/(I)= 2(jt2 De令/"(i) = 0,得x 1,7 = 1.列表討論如下：X(8, -1)-

53、1(-1,1)1(1, +8)義工)+00+y - /V)U2eTn2e+u由上表可知：曲線的凹區(qū)間是(-8, - 1及口，+8),凸區(qū)間是- 1,1，拐點(diǎn)是 (及(1,2卜),12分19.解(1)由對(duì)稱性，平面圖形。的面積為A = 21d0f rdr = f 4cos20d0- -yJo JiJ o3=21(cos 26+ l)cl0 - -y = sin 2o + 等=§ + 年 4 分J o310 o L o(2)V = 2k£(1 + /T7)2-(1-一陶2兀(1 y2) (1 V i y2)2 dy=8k j /I y2 dy 2n j"(2 M1 1

54、)心 «=8兀 工江47ry/1 y2 dy + Rk4 J o、 "" 2兀2 - 4k f cos2/dr 十悟五=2兀 (1 + cos 2z)dr + 2兀2+6兀 J 0=-2支,+ sin 2t j j + 2k2 + V3k'dr '/77(x2+3r2)d>=J 0J 1xJ 0dgj t r3dr4 分cm伊卜in 94 fo D (cos 6+sin 6)4_ JL _ 8f -由 16Jo sin4(0 + -J)=A一 8一兼f esc，伍十多曲_ 2L一 8+ ' C "(0+f )+ ldcot(

55、0+f )=JL 8+ lCOt3(0+f)+cOt(0+f) 0=A8+ 16.( 3)8 6-I2分1_貫2 含加+ 27r27r = A2 + 整兀12 分«JLJJ乙20.解21.證 令F（z） =1/（，）&.由于函數(shù)f（z）在閉區(qū)間a,切上連續(xù)，故F（外在a,幻上可 導(dǎo)，且FCr） =/Cr）.對(duì)VxE （a，»，由拉格朗日中值定理，存在& £ （a,z）,& 6 （工而, 使得F(x) F(a) = f(i)(jr a) 9F(b) F(x) = /(&)(6 z).注意到 F(a) = J /(x)dr = 0,F(A) = J f (x)dr = 0,得F(x) = /(fi)(7 a),F(z) =-/(&)(0 一N)4 分由于因此/FCr)dr|= |j：FCr)dr+；FCr)dr=|/(&)(/ a)" +、-/(&)(6 N) dr I(i a)dr +。l/(&)I S z)ir數(shù)學(xué)（二）預(yù)測(cè)卷（二）試題答案及評(píng)分參考 第10頁（共33頁）aJ(。-a)2 (b a)2 "I M z, x2i八八=M_8+8r 7(/,-a) i° 分|