泄洪水渠的修建策略

1、 地區(qū)防洪設(shè)施修建策略摘 要本文討論的是某地區(qū)防洪設(shè)施最優(yōu)修建策略的問題，如何做到在一定時間內(nèi)排洪量達(dá)到計劃規(guī)定的值，政府所投入的總開支盡量地節(jié)省，是防洪設(shè)施最優(yōu)修建的關(guān)鍵。問題一中，總的泄洪量包括四條天然河道的可泄洪量，開挖的排洪溝的泄洪量，還有修建的新泄洪河道的泄洪量，總的開支主要由開挖排洪溝的費用和修建新泄洪河道的費用組成。因此，采用01規(guī)劃模型列出目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式及與其對應(yīng)的約束條件。通過LINGO軟件對所建立的模型進(jìn)行編程求解，取最優(yōu)解，從而使得在排洪量達(dá)標(biāo)的前提下總的開支盡量地節(jié)省。針對問題二，根據(jù)水只能從地勢高的地方流向地勢低的地方這一常理，將表3中的數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理，得到矩陣。同

2、樣采用01規(guī)劃建立模型，列出目標(biāo)函數(shù)，給出約束條件，通過編程軟件的求解，得到一個各村之間修建新泄洪河道網(wǎng)絡(luò)的合理方案，畫出了網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖，算出了總費用的最小值。問題三是在問題一和問題二的基礎(chǔ)上通過自行設(shè)計方案再次對模型進(jìn)行優(yōu)化。海拔比較接近又相鄰的村莊，一般會修建泄洪河道，考慮到實際情況，兩個村莊的河水可以經(jīng)過一定時間之后匯集于某個地方后，一起流向別的村莊。為此，假定A、B、C三個村莊，海拔A>B>C，故有三種水流方案：A到B再一起到C，A到C，B到C，A、B分別匯集到E之后一起流向C。然后算出三種方案各自的費用，進(jìn)行比較，最后采納費用比較少的方案。關(guān)鍵詞：最優(yōu)修建策略；01規(guī)劃一、

3、問題重述1.1問題背景位于我國南方的某個偏遠(yuǎn)貧困鄉(xiāng)，地處山區(qū)，一旦遇到暴雨，經(jīng)常發(fā)生洪澇災(zāi)害。以往下雨時，完全是依靠天然河流進(jìn)行泄洪。2010年入夏以來，由于史無前例的連日大雨侵襲，加上這些天然河流泄洪不暢，造成大面積水災(zāi)，不僅夏糧顆粒無收，而且嚴(yán)重危害到當(dāng)?shù)厝罕姷纳敭a(chǎn)安全。為此，鄉(xiāng)政府打算立即著手解決防汛水利設(shè)施建設(shè)問題。1.2相關(guān)信息從兩方面考慮，一是在各村開挖一些排洪溝,以滿足近兩三年的短期防汛需要；二是從長遠(yuǎn)考慮，可以通過修建新泄洪河道的辦法把洪水引出到主干河流。經(jīng)測算，修建新泄洪河道的費用為（萬元），其中表示泄洪河道的可泄洪量（萬立方米/小時），表示泄洪河道的長度（公里）。1.3

4、待解決的問題問題1：該鄉(xiāng)的某個村區(qū)域內(nèi)原有四條天然河流，由于泥沙沉積，其泄洪能力逐年減弱。在表1中給出它們在近年來的可泄洪量（萬立方米/小時）粗略統(tǒng)計數(shù)字。水利專家經(jīng)過勘察，在該村區(qū)域內(nèi)規(guī)劃了8條可供開挖排洪溝的路線。由于它們的地質(zhì)構(gòu)造、長度不同，因而開挖的費用和預(yù)計的可泄洪量也不同，詳見表2，而且預(yù)計每條排洪溝的可泄洪量還會以平均每年10%左右的速率減少。同時開始修建一段20公里長的新泄洪河道。修建工程從開工到完成需要三年時間，且每年投資修建的費用為萬元的整數(shù)倍。要求完成之后，通過新泄洪河道能夠達(dá)到可泄洪量100萬立方米/小時的泄洪能力。鄉(xiāng)政府從2010年開始，連續(xù)三年，每年最多可提供60萬

5、元用于該村開挖排洪溝和修建新泄洪河道，為了保證該村從2010至2014年這五年間每年分別能至少達(dá)到可泄洪量150、160、170、180、190萬立方米/小時的泄洪能力，請作出一個從2010年起三年的開挖排洪溝和修建新泄洪河道計劃，以使整個方案的總開支盡量節(jié)?。ú豢紤]利息的因素在內(nèi)）。表1 現(xiàn)有四條天然河道在近幾年的可泄洪量（萬立方米/小時） 年份編號2001200220032004200520062007200820091號32.231.329.728.627.526.125.323.722.72號21.515.911.88.76.54.83.52.62.03號27.925.823.821.

6、619.517.415.513.311.24號46.232.626.723.020.018.917.516.3表2 開挖各條排洪溝費用（萬元）和預(yù)計當(dāng)年可泄洪量（萬立方米/小時）編號12345678開挖費用57546553當(dāng)年泄洪量2536321531282212問題2：該鄉(xiāng)共有10個村,分別標(biāo)記為，下圖給出了它們大致的相對地理位置，海拔高度總體上呈自西向東逐漸降低的態(tài)勢。 其中村距離主干河流最近，且海拔高度最低。鄉(xiāng)政府打算擬定一個修建在各村之間互通的新泄洪河道網(wǎng)絡(luò)計劃，將洪水先通過新泄洪河道引入村后，再經(jīng)村引出到主干河流。要求完成之后，每個村通過新泄洪河道能夠達(dá)到可泄洪量100萬立方米/小時

7、的泄洪能力。表3 各村之間修建新泄洪河道的距離（單位：公里）2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 98 5 9 12 14 12 16 17 229 15 17 8 11 18 14 227 9 11 7 12 12 173 17 10 7 15 188 10 6 15 159 14 8 168 6 1111 1110請你們根據(jù)表3中的數(shù)據(jù)，為該鄉(xiāng)提供一個各村之間修建新泄洪河道網(wǎng)絡(luò)的合理方案，使得總費用盡量節(jié)省。（說明：從村A村B的新泄洪河道，一般要求能夠承載村A及上游新泄洪河道的泄洪量。）問題3：你們是否能夠為該鄉(xiāng)提出一個更加合理的解決泄洪的辦法？二、問題分析

8、問題一要求在該地區(qū)修建一段20公里長的新泄洪河道及開挖一定數(shù)目的排洪溝，保證該村從2010至2014年這五年間每年分別能至少達(dá)到可泄洪量150、160、170、180、190萬立方米/小時的泄洪能力，并且使得整個方案的的總開支盡量節(jié)省。考慮到四天天然河流也能泄洪，但是表1中只給出了這四條河流20012009這九年的可泄洪量，因此必須通過表中所給的數(shù)據(jù)分別擬合出這四條天然河流每年的可泄洪量關(guān)于年限的函數(shù)。在選擇要開挖哪幾條排洪溝的同時，采用01規(guī)劃建立模型，選擇就是1，沒有選到的就是0，故總的泄洪量是四條天然河道的可泄洪量、開挖的排洪溝的泄洪量、修建的新泄洪河道的泄洪量之和，總的開支包括開挖排洪

9、溝的費用和修建新泄洪河道的費用。根據(jù)這些列出目標(biāo)函數(shù)，給出約束條件，通過軟件編程取最優(yōu)解。對于問題二，以村為研究對象，村莊上游的任何一個村莊的洪水都可以流入村，村莊的洪水可以流入其下游任何一個村莊。同樣選擇01規(guī)劃建模，如果在上游，村莊的洪水就能流入村，取1，反之取0。根據(jù)表3中各村之間修建新泄洪河道的距離及該地區(qū)10個村莊的海拔地勢可以整理出矩陣。列出目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)約束條件，在矩陣中選一組數(shù)據(jù)獲得最優(yōu)解，即總費用的最小值。問題三是基于問題一、問題二的完善，要求自己設(shè)計一種更加合理的解決泄洪的方法，為此，可以對問題一、二所給的信息及得出的結(jié)果歸納分析，最后運用到自己設(shè)計的方案中。三、模型假設(shè)(

10、1)每條排洪溝的可泄洪量每年減少的速率均是10%；(2)所有的排洪設(shè)施都不會受天災(zāi)的毀壞；(3)修建新泄洪河道每年的泄洪量不變：(4)不考慮利息的因素在內(nèi)。 四、符號說明 第條自然河道的泄洪量 第年的排洪溝和河道的總泄洪量 第年修第條排洪溝的可能性 第條排洪溝的泄洪量 第年自然河流的泄洪量 第年修排洪溝與河道所需的總費用 第年修河道所需的費用 修第條排洪溝所需的費用 第年修新泄洪河道的長度 村莊到村莊的距離 村莊流向村莊的泄洪量五、模型建立與求解5.1問題一模型一的建立與求解對數(shù)據(jù)進(jìn)行處理：由表1中的數(shù)據(jù)，通過數(shù)據(jù)擬合可以預(yù)測四條天然河道未來五年的可泄洪量。用matlab畫出四條天然河道200

11、1年到2009年的可泄洪量走向如下圖：由四條天然河道2001年到2009年的可泄洪量走向可知：第一、三條天然河道的可泄洪量呈線性下降趨勢，可用一次多項式擬合，第二、四條天然河道的可泄洪量呈指數(shù)下降趨勢，可用回歸分析進(jìn)行擬合。通過擬合分別得到四條天然河道的擬合函數(shù)如下：根據(jù)函數(shù)可求得20102014這五年各天然河流的泄洪量，列出表格如下：編號 年份201020112012201320141號21.420.219.017.816.62號1.41.10.80.60.43號9.17.05.02.90.84號12.711.19.78.47.3總泄洪量44.839.534.529.725.2根據(jù)題意算出第

12、年的天然河道、排洪溝和新泄洪河道的總泄洪量,，結(jié)果如下：;；;其中，表示第條排洪溝的泄洪量，表示第年天然河道的泄洪量和新泄洪河道的泄洪量之和。由題目中給出的公式得出第年所需總費用：得到第年河道所需費用：其中表示修第條排洪溝所需費用，為第年修新泄洪河道的長度；最后得出目標(biāo)函數(shù):約束條件：通過LINGO軟件編程得出整個開挖排洪溝和修建新泄洪河道的計劃：第一年開挖編號為2,5,6,7的排洪溝，第二年開挖編號為3的排洪溝，第三年開挖編號為8的排洪溝；得出整個費用的總開支為169.2210萬元，其中政府第一年撥款37萬元，第二年撥款55萬元，第三年撥款46.22097萬元給河道修建工程。且第一年修新泄洪

13、河道的長度為5.3公里，第二年修新泄洪河道的長度為8.0公里，第三年修新泄洪河道的長度為6.7公里。5.2問題二模型建立由于受地勢因素影響，水只能從地勢高的地方流向地勢低的地方。以村為研究對象，村莊上游的任何一個村莊的洪水都可以流入村，村莊的洪水可以流入其下游任何一個村莊。令其中為村和村之間修泄洪河道的距離；則得到如下矩陣：以村為研究對象，令其中為村莊流向村莊的泄洪量；則得到如下矩陣：由于每個村莊通過新泄洪河道能夠達(dá)到可泄洪量100萬立方米/小時的能力，且村莊泄洪河道必須能夠承載連接該村的上游河道的泄洪量，從上游村流入村的洪水量，從村流向下游村莊的總洪水量，則由如下約束條件：在滿足以上式約束條

14、件的同時，以總費用最少作為目標(biāo)函數(shù)。建立模型如下：目標(biāo)函數(shù)：約束條件：模型求解用Lingo軟件對上述線性規(guī)劃問題進(jìn)行優(yōu)化，得出修建各村之間修建新泄洪河道網(wǎng)絡(luò)的方案如下：河道網(wǎng)1-32-73-74-55-86-57-89-710-8流量100100200100300100500100100表6說明：表6中1-3表示從村莊1修建到村莊3的泄洪河道。圖3結(jié)果分析：如圖可知途中各點代表實際村莊的相對位置，圖像明顯可以看到有一條河流與兩條河流相交，且相交的兩條河流存在著泄洪量不同，可能使得泄洪能力減弱，因此相交方案不可行，對此做出更優(yōu)化的方案使得每兩條河流不相交，方案如下：第一步令村莊5到村莊6的距離變

15、得很大，使得村莊6不能連到村莊5，得到值為571萬元。河道編號12345678910泄洪量1001002001003001005001000100100價錢34.5676.0268.9020.7372.6255.29125.63041.4776.02第二步令村莊2與村莊7的距離變得很大，使得村莊2不能連到村莊7，得到值為578.43萬元。圖4因此得到如下結(jié)果：河道編號12345678910泄洪量1001003004006001002001000100100價錢34.5562.2084.7242.05103.4155.2978.73041.4776.025.3問題三模型建立從問題二可以知道，海拔

16、比較接近又相鄰的村莊，一般會修建泄洪河道，考慮到實際情況，兩個村莊的河水可以經(jīng)過一定時間之后匯集于某個地方后，一起流向別的村莊。假設(shè)現(xiàn)有A、B、C三個村莊，它們構(gòu)成三角形，其海拔有A>B>C，A、B的河水最后都流向C。根據(jù)問題二有兩種方案：A到B再一起到C；A到C，B到C，而新方案；A、B分別匯集到E之后一起流向C 。 方案的費用為方案的費用為對于方案、，明顯有，因此，方案要比方案更節(jié)省更優(yōu)。而對于方案，設(shè)模型求解對上式分別求偏導(dǎo)有：從而可以解得，將其帶入函數(shù)最后可求。求解起來很復(fù)雜，上式證明起來有一定困難，在這里我們隨機(jī)的取直角、鈍角、銳角三角形，進(jìn)行驗算。六、模型評價與推廣優(yōu)點

17、：(1)模型一通過采用擬合一次多項式擬合和回歸分析擬合兩種方法對天然的河的泄洪能力做出了客觀合理的預(yù)測。對不同變化趨勢的河流采取不同的方案推測，對未來天然的河的泄洪能力進(jìn)行更加準(zhǔn)確的預(yù)測。(2)模型二通過零一分析和表三，再結(jié)合各村地勢高低位置整理出各村洪水可能的流向與各村之間的距離矩陣圖和各村之間泄洪量矩陣圖，通過零一變量的靈活使用，很好的得出了最優(yōu)的修建方案。(3)模型精簡易懂，便于通過程序?qū)崿F(xiàn)，具有很大程度上的通用性。而且，本模型比較符合實際情況，也可以根據(jù)實際的變化進(jìn)行調(diào)整。缺點：(1)模型沒有將新建的河道衰減考慮在內(nèi)，避免不了其他相關(guān)的次要因素在一定程度上造成的偏差，使得模型的穩(wěn)定性的

18、降低。(2)實際上新修建的泄洪河道在修建過程中就會一定量的排洪，但由于條件有限我們并沒作考慮，但所得的結(jié)果準(zhǔn)確性不高。推廣：問題一、二所運用的01規(guī)劃可推廣到公路、鐵路、橋梁的修建。七、參考文獻(xiàn)【1】胡良劍，孫曉君，MATLAB數(shù)學(xué)實驗，北京：高等教育出版社，2006.6【2】謝金星，薛毅，優(yōu)化建模與LINGO軟件，北京：清華大學(xué)出版社，2010.5【3】姜啟源，謝金星，葉俊，數(shù)學(xué)模型，北京：高等教育出版社，2011.1【4】趙書蘭，MATLAB編程與最優(yōu)化設(shè)計應(yīng)用，北京：電子工業(yè)出版社，2013.8 八、附錄問題一的程序附錄一：四條天然河道2001年到2009年的可泄洪量走向圖曲線clear

19、;clc;format shorty1=32.2 31.3 29.7 28.6 27.5 26.1 25.3 23.7 22.7;y2=21.5 15.9 11.8 8.7 6.5 4.8 3.5 2.6 2.0;y3=27.9 25.8 23.8 21.6 19.5 17.4 15.5 13.3 11.2;y4=46.2 32.6 26.7 23.0 20.0 18.9 17.5 16.3;x=1:9;p=csape(x,y1);figure(1);fnplt(p);p=csape(x,y2);figure(2);fnplt(p);p=csape(x,y3);figure(3);fnplt(

20、p);x=2:9;p=csape(x,y4);figure(4);fnplt(p);附錄二：四條天然河道擬合曲線第一、 三條擬合程序clear;clc;format shorty1=32.2 31.3 29.7 28.6 27.5 26.1 25.3 23.7 22.7;y2=21.5 15.9 11.8 8.7 6.5 4.8 3.5 2.6 2.0;y3=27.9 25.8 23.8 21.6 19.5 17.4 15.5 13.3 11.2;y4=46.2 32.6 26.7 23.0 20.0 18.9 17.5 16.3;x=1:9;xi=10:14;p1=polyfit(x,y1,

21、1);y1i=polyval(p1,xi);p=csape(x,xi,y1,y1i);figure(1);fnplt(p);p3=polyfit(x,y3,1);y3i=polyval(p3,xi);p=csape(x,xi,y3,y3i);figure(2);fnplt(p);第二、 四條擬合程序clear;clc;y2=21.5 15.9 11.8 8.7 6.5 4.8 3.5 2.6 2.0'y4=46.2 32.6 26.7 23.0 20.0 18.9 17.5 16.3'x2=ones(9,1),1:9'x4=ones(8,1),2:9'b2,bi

22、nt2,r2,rint2,stats2=regress(log(y2),x2);b4,bint4,r4,rint4,stats4=regress(log(y4),x4);y2=exp(b2(1)+b2(2)*1:14);p=csape(1:14,y2);figure(1);fnplt(p);y4=exp(b4(1)+b4(2)*2:14);p=csape(2:14,y4);figure(2);fnplt(p);附錄三：lingo求解開挖排洪溝和修建新泄洪河道模型MODEL:Title Location Problem;sets: din1/1.5/:d,l,q,p,b,g; din2/1.8/

23、:v,r; link(din1,din2):k;endsetsdata: d=60,60,60,0,0; b=150,160,170,180,190; q=44.8,39.5,34.5,129.7,125.2; v=5,7,5,4,6,5,5,3; r=25,36,32,15,31,28,22,12;enddatainit: 附錄一：四條天然河道2001年到2009年的可泄洪量走向圖曲線clear;clc;format shorty1=32.2 31.3 29.7 28.6 27.5 26.1 25.3 23.7 22.7;y2=21.5 15.9 11.8 8.7 6.5 4.8 3.5 2

24、.6 2.0;y3=27.9 25.8 23.8 21.6 19.5 17.4 15.5 13.3 11.2;y4=46.2 32.6 26.7 23.0 20.0 18.9 17.5 16.3;x=1:9;p=csape(x,y1);figure(1);fnplt(p);p=csape(x,y2);figure(2);fnplt(p);p=csape(x,y3);figure(3);fnplt(p);x=2:9;p=csape(x,y4);figure(4);fnplt(p);附錄二：四條天然河道擬合曲線第三、 三條擬合程序clear;clc;format shorty1=32.2 31.3

25、 29.7 28.6 27.5 26.1 25.3 23.7 22.7;y2=21.5 15.9 11.8 8.7 6.5 4.8 3.5 2.6 2.0;y3=27.9 25.8 23.8 21.6 19.5 17.4 15.5 13.3 11.2;y4=46.2 32.6 26.7 23.0 20.0 18.9 17.5 16.3;x=1:9;xi=10:14;p1=polyfit(x,y1,1);y1i=polyval(p1,xi);p=csape(x,xi,y1,y1i);figure(1);fnplt(p);p3=polyfit(x,y3,1);y3i=polyval(p3,xi);

26、p=csape(x,xi,y3,y3i);figure(2);fnplt(p);第四、 四條擬合程序clear;clc;y2=21.5 15.9 11.8 8.7 6.5 4.8 3.5 2.6 2.0'y4=46.2 32.6 26.7 23.0 20.0 18.9 17.5 16.3'x2=ones(9,1),1:9'x4=ones(8,1),2:9'b2,bint2,r2,rint2,stats2=regress(log(y2),x2);b4,bint4,r4,rint4,stats4=regress(log(y4),x4);y2=exp(b2(1)+b2

27、(2)*1:14);p=csape(1:14,y2);figure(1);fnplt(p);y4=exp(b4(1)+b4(2)*2:14);p=csape(2:14,y4);figure(2);fnplt(p);附錄三：lingo求解開挖排洪溝和修建新泄洪河道模型MODEL:Title Location Problem;sets: din1/1.5/:d,l,q,p,b,g; din2/1.8/:v,r; link(din1,din2):k;endsetsdata: d=60,60,60,0,0; b=150,160,170,180,190; q=44.8,39.5,34.5,129.7,1

28、25.2; v=5,7,5,4,6,5,5,3; r=25,36,32,15,31,28,22,12;enddataendinitmin=sum(link(i,j):k(i,j)*v(j)+0.66*1000.51*20;for(din1(i)|1#le#i #and# i#le#3: sum(din2(j):k(i,j)*v(j)+0.66*1000.51*l(i)<=d(i);); p(1)=sum(din2(i):k(1,i)*r(i)+q(1);p(2)=sum(din2(i):k(2,i)*r(i)+k(1,i)*r(i)*0.9)+q(2);p(3)=sum(din2(i):

29、k(3,i)*r(i)+k(2,i)*r(i)*0.9+k(1,i)*r(i)*0.92)+q(3);p(4)=sum(din2(i):k(3,i)*r(i)*0.9+k(2,i)*r(i)*0.92+k(1,i)*r(i)*0.93)+q(4);p(5)=sum(din2(i):k(3,i)*r(i)*0.92+k(2,i)*r(i)*0.93+k(1,i)*r(i)*0.94)+q(5);sum(din1(i):k(i,1)<=1;sum(din1(i):k(i,5)<=1;sum(din1(i):k(i,2)<=1;sum(din1(i):k(i,6)<=1;su

30、m(din1(i):k(i,3)<=1;sum(din1(i):k(i,7)<=1;sum(din1(i):k(i,4)<=1;sum(din1(i):k(i,8)<=1;for(din1(i):p(i)>=b(i);for(din1(i):g(i)=0.66*1000.51*l(i);for(link:bin(k);sum(din1(i)|1#le#i #and# i#le#3:l(i)=20;END問題二的程序model:sets:y/1.10/;r(y,y)/1,3 1,4 1,5 1,7 1,8 1,10 2,1 2,3 2,4 2,5 2,7 2,8 2,9 2,10 3,4 3,5 3,7 3,8 3,10 4,5 4,85,8 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,7 6,8 6,9 6,10 7,4 7,5 7,8 7,10 9,3 9,4 9,5 9,7 9,8 9,10 10,5