平面向量(一)

1、【第一部分 知識(shí)要點(diǎn)】一、向量的相關(guān)概念1、向量的概念：我們把既有大小又有方向的量叫做向量。【注意】數(shù)量與向量的區(qū)別：數(shù)量只有大小，是一個(gè)代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、比較大??；向量有方向、大小，向量具有雙重性，不能比較大小。2、向量的表示方法：幾何表示法：用有向線段表示；用字母、等表示；用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)字母表示：；坐標(biāo)表示法：=x+y=（x，y）。3、向量的模：向量的長(zhǎng)度的大小被稱為向量的模，記作|。4、特殊的向量：長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，記作，的方向是任意性的；長(zhǎng)度為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量?！咀⒁狻苛阆蛄?、單位向量的定義只是限制大小，不能確定方向。5、相反的向量：與長(zhǎng)度相同、方

2、向相反的向量，記作-。6、相等的向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量，向量與相等，記作=。7、平行向量（共線向量）：方向相同或相反的向量，稱為平行向量，記作，平行向量也稱為共線向量。規(guī)定零向量與任意向量平行。8、兩個(gè)非零向量夾角的概念：已知非零向量與，記作=，=，則AOB=（0）叫做與的夾角?！咀⒁狻慨?dāng)=0時(shí)，與同向；當(dāng)=時(shí)，與反向；當(dāng)=時(shí)，與垂直，記作；規(guī)定零向量和任意向量都垂直；注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點(diǎn)的，范圍0。9、實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，記作，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：|=|；當(dāng)0時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)0時(shí)，的方向與的方向相反；當(dāng)=0時(shí)，=，

3、方向是任意的。10、兩個(gè)向量的數(shù)量積：已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角為，則·=|cos叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），規(guī)定·=0。11、向量的投影：|cos叫做向量在向量方向上的投影，投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量；當(dāng)為銳角時(shí)，投影為正值；當(dāng)為鈍角時(shí)，投影為負(fù)值；當(dāng)=0°時(shí)，投影為|；當(dāng)=180°時(shí)，投影為-|。cos=R，稱為向量在方向上的投影。投影的絕對(duì)值稱為射影。二、重要定理、公式1、平面向量基本定理：、是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么，對(duì)于這個(gè)平面內(nèi)任一向量，有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)1、2，使=1+2。平面向量的坐標(biāo)表示：=（x，y），（1，0），（0，1），（

4、0，0）。若A（x1，y1），B（x2，y2），則=（x2-x1，y2-y1），一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。2、兩個(gè)向量平行的充要條件向量共線定理：向量與非零向量共線的充要條件是有且只有一個(gè)非零實(shí)數(shù)，使=，設(shè)=（x1，y1），=（x2，y2），則=x1y2-x2y1=0。3、兩個(gè)向量垂直的充要條件：設(shè)=（x1，y1），=（x2，y2），則·=0x1x2+y1y2=0。4、平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式設(shè)=（x，y），則|2=x2+y2或|=。如果表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（x1，y1），B（x2，y2），那么，|=（平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式）

5、。5、兩向量夾角的余弦（0）cos=。三、向量的運(yùn)算=（x1，y1），=（x2，y2）運(yùn)算類型幾何方法坐標(biāo)方法運(yùn)算性質(zhì)向量的加法1.平行四邊形法則2.三角形法則（首尾相接，首尾相連）+=（x1+x2，y1+y2）+=+，（+）+=+（+），+=向量的減法三角形法則（首首相接，尾尾相連，指向被減）-=（x1-x2，y1-y2）-=+（-），=-，-=向量的乘法實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，記作：；|=|；當(dāng)0時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)0時(shí)，的方向與的方向相反；當(dāng)=0時(shí)，=，方向是任意的。=（x，y）（）=（），（+）=+，（+）=+，=x1y2-x2y1=0向量的數(shù)量積·=|cos（0），

6、=0或=0時(shí)，·=0；·=|cos<，>·=x1x2+y1y2，向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積·等于的長(zhǎng)度與在方向上投影|cos的乘積。·=·，（）·=·（）=（·），（+）·=·+·，|2=2或|=，|·|，·=0x1x2+y1y2=0，cos=【特別注意】結(jié)合律不成立：·（·）（·）·；消去律不成立：·=·，不能得到=；·=0不能得到=0或者=0；乘法公式成立：（+）（-

7、）=2-2=|2|-|2|，（±）2=2±2·+2=|2±2·+|2。線段的定比分點(diǎn)公式：設(shè)點(diǎn)P分有向線段所成的比為，即=，則（線段定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式）。當(dāng)=1時(shí)，得到中點(diǎn)公式：=（+）或。平移公式：設(shè)點(diǎn)P（x，y）按向量=（h，k）平移后得到點(diǎn)P（x，y），則=+或，曲線y=f（x）按向量向量=（h，k）平移后得到的曲線的解析式為：y-k=f（x-h）。三角形“四心”：重心是三條中線交點(diǎn)，外心是三邊垂直平分線交點(diǎn)，內(nèi)心是三條角平分線交點(diǎn)，垂心是三邊上的高的交點(diǎn)?！镜诙糠?高考考點(diǎn)及題型解析】向量知識(shí)選擇和填空出現(xiàn)較多，在大題目中一般是和三角函

8、數(shù)、圓錐曲線、立體幾何結(jié)合在一起考試?！镜谌糠?例題精講】【1】下列物理量：質(zhì)量，速度，位移，力，加速度，路程，密度，功。其中不是向量的有（ ）。A、1個(gè) B、2個(gè) C、3個(gè) D、4個(gè)【2】下列各量中不是向量的是（ ）A、浮力 B、風(fēng)速 C、位移 D、密度【3】下列4個(gè)命題：時(shí)間、速度、加速度都是向量；向量的模是一個(gè)正實(shí)數(shù)；所有的單位向量都相等；共線向量一定在同一直線上。其中真命題的個(gè)數(shù)為（ ）A、0 B、1 C、2 D、3【4】如圖，四邊形ABCD為正方形，BCE為等腰直角三角形，則：（1）圖中與共線的向量有 ；（2）圖中與相等的向量有 ；（3）圖中與模相等的向量有 ；（4）圖中與相等的向

9、量有 。【5】下列命題不正確的是（ ）A、零向量沒(méi)有方向 B、零向量只與零向量相等 C、零向量的模為0 D、零向量與任何向量共線【6】判斷下列命題的真假：（1）單位向量都共線；（2）單位向量都相等；（3）共線的單位向量必相等；（4）與非零向量共線的單位向量是。【7】如圖，O為正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，四邊形OAED、OCFB都是正方形。（1）寫出與相等的向量；（2）寫出與共線的向量；（3）向量與是否相等？【8】判斷下列命題的真假。若為假命題，請(qǐng)簡(jiǎn)述理由。（1）向量與是共線向量，則A、B、C、D四點(diǎn)必在同一直線上；（2）單位向量都相等；（3）任一向量與它的相反向量不相等；（4）四邊形ABCD是

10、平行四邊形，則=；（5）如果一個(gè)向量的方向不確定，則這個(gè)向量的模一定為0；（6）共線的向量，若起點(diǎn)不同，則終點(diǎn)一定不同?！?】給出下列命題：若=，=，則=；若=，則；若，則=。其中正確命題的序號(hào)是 ?！?0】判斷下列命題的真假：（1）作用力與反作用力是一對(duì)大小相等、方向相反的向量；（2）數(shù)軸是向量；（3）溫度是向量；（4）若是單位向量，也是單位向量，則=或=-。【11】如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，O是對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)集M=A、B、C、D、O，向量集合T=|P、QM且P、Q不重合，求集合T元素的個(gè)數(shù)。【12】如圖，O是正六邊形ABCDEF的中心。（1）與的模相等的向量有多少

11、個(gè)？（2）是否存在與長(zhǎng)度相等，方向相反的向量？（3）與共線的向量有哪些？【13】判斷下列各命題的真假：（1）向量的長(zhǎng)度與向量的長(zhǎng)度相等；（2）向量與向量平行，則與的方向相同或相反；（3）兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同；（4）兩個(gè)有共同終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；（5）有向線段就是向量，向量就是有向線段?！?4】如圖（1），某人想要從A點(diǎn)出發(fā)繞陰影部分走一圈，可按圖（2）中提供的向量行走，則這些向量的排列順序?yàn)??！?5】下列命題中，真命題有 。若|=|，則=或=-；若=，則A、B、C、D是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)?！?6】一架飛機(jī)向北飛行300km，然后改變航向向西飛行300km，

12、求：（1）飛機(jī)飛行的路程；（2）兩次位移的和的方向及大小?！?7】如圖，已知向量、，求作向量+。解：【18】如圖，已知向量、，求作向量+。解：【19】求向量+之和。【20】如圖，用、表示下列向量。（1）-；（2）-；（3）-?！?1】已知任意四邊形ABCD，E為AD的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，求證：+=+?！镜谒牟糠?基礎(chǔ)訓(xùn)練題】【1】若向量、滿足|+|=|+|，則與必須滿足的條件為 ?！?】若=，=，則等于（ ）A、- B、- C、+ D、-【3】正六邊形ABCDEF中，+=（ ）A、 B、 C、 D、【4】已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B是圓x2+y2=1分別在第一、四象限的兩個(gè)點(diǎn)，C（5，0）滿足：

13、·=3，·=4，則+t+（tR）的模的最小值為 ?！?】在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，則|-+|= 。【6】在ABC中，已知=3，則等于（ ）A、（+2） B、（+2） C、（+3） D、（+2）【7】已知：向量、同向，且|=3，|=7，則|2-|= ?！?】若=3，=-5，且|=|，則四邊形ABCD是（ ）A、平行四邊形 B、菱形 C、等腰梯形 D、不等腰梯形【9】已知向量=（-3，-4），則與同向的單位向量是（ ）A、（-，-） B、（，） C、（-3，-4） D、（3，4）【10】若三點(diǎn)P（1，1），A（2，-4），B（x，-9）共線，求x?！?1】已知A、B、C三點(diǎn)

14、在同一條直線上，且A（3，-6），B（-5，2），若點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為6，求點(diǎn)C分所成的比及點(diǎn)C的縱坐標(biāo)?！?2】已知O（0，0）和A（6，3）兩點(diǎn)，若點(diǎn)P在直線OA上，且=，又P是的中點(diǎn)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為 。【13】已知直線l與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A、B，AOB的重心為（-1，3），則AB中點(diǎn)坐標(biāo)為 。【14】已知三個(gè)點(diǎn)A（-2，1），B（1，4），D（4，-3），點(diǎn)C在上，且2=，連結(jié)DC并延長(zhǎng)至E，使=，則E點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）A、（0，1） B、（-8，-） C、（0，1）或（2，） D、（-，）【15】已知三點(diǎn)A（1，2），B（3，1），C（-1，0）（1）若ABCD為平行四邊形，求D點(diǎn)坐標(biāo)；

15、（2）若P在直線AB上，且|=3，求P的坐標(biāo)?！?6】設(shè)A、B、C、D、O是平面上的任意五點(diǎn)，試化簡(jiǎn)：+，+，-+-?！?7】已知兩個(gè)非零、，設(shè)=+，=+2，=+3，你能判斷A、B、C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系嗎？為什么？【18】已知向量與的夾角為120°，且|=4，|=2。（1）求|3+4|；（2）若向量+k與5+垂直，求實(shí)數(shù)k的值?！镜谖宀糠?拔高訓(xùn)練題】【1】如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)M在AB的延長(zhǎng)線上，且BM=AB；點(diǎn)N在BC上，且BN=BC。求證：M、N、D三點(diǎn)共線?！?】在ABC中，O為中線AM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若AM=2。求：·（+）的最小值?！?】如圖是中國(guó)象棋的半

16、個(gè)棋盤，“馬走日”是象棋中馬的走法。此圖中馬可以從A跳到A1，也可跳到A2，用向量、表示馬走了“一步”。試在圖中畫出B、C處走了“一步”的所有情況?！?】已知非零向量和不共線，如果=+，=2+8，=3（-），求證：A、B、D三點(diǎn)共線。【5】下列命題中，正確的是（ ）A、|=|= B、| C、= D、|=0=0【6】如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線交于O點(diǎn)，在以A、B、C、D、O這五點(diǎn)中任意兩點(diǎn)為始點(diǎn)和終點(diǎn)的所有向量中，與和都不共線的向量共有（ ）A、4個(gè) B、6個(gè) C、8個(gè) D、12個(gè)【7】如圖，在等邊ABC中，P、Q、R分別是AB、BC、AC的中點(diǎn)，則與向量相等的向量是（ ）A、和 B、與

17、C、與 D、與【8】若是的單位向量，則與的方向 ?！?】已知|AB|=1，|AC|=2，若ABC=90°，則|= 。【10】正n邊形有n條邊，它們對(duì)應(yīng)的向量依次為、，則這n個(gè)向量（ ）A、都相等 B、都共線 C、都不共線 D、模都相等【11】如圖，梯形ABCD為等腰梯形，則兩腰上的向量與的關(guān)系是 【12】如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，在其中標(biāo)出了6個(gè)向量，則在這6個(gè)向量中：（1）有且僅有兩個(gè)向量的模相等，則這兩個(gè)向量是 ，它們的模都等于 ；（2）存在著共線向量，則這些共線向量是 ，它們的模的和等于 ?！?3】若為任一非零向量，為單位向量，下列各式：|；|0；|=±1；=。其中正確的是（ ）A、 B、 C、 D、【14】下列說(shuō)法正確的是（ ）A、方向相同或相反的向量是平行向量 B、零向量的長(zhǎng)度是0C、長(zhǎng)度相等的向量叫做相等向量 D、共線向量是在一條直線上的向量【15】如圖，ABCD是任意四邊形，邊AD、BC的中點(diǎn)分別為E、F，延長(zhǎng)AF到G