全國版2017版高考數(shù)學一輪復習第七章立體幾何73空間點直線平面之間的位置關(guān)系課件理

1、第三節(jié)空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系【知識梳理】【知識梳理】1.1.平面的基本性質(zhì)平面的基本性質(zhì)(1)(1)公理公理1:1:如果一條直線上的如果一條直線上的_在一個平面內(nèi)在一個平面內(nèi), ,那么那么這條直線在這個平面內(nèi)這條直線在這個平面內(nèi). .(2)(2)公理公理2:2:過過_的三點的三點, ,有且只有一個平有且只有一個平面面. .兩點兩點不在一條直線上不在一條直線上(3)(3)公理公理3:3:如果兩個不重合的平面有一個公共點如果兩個不重合的平面有一個公共點, ,那么那么它們它們_過該點的公共直線過該點的公共直線. .有且只有一條有且只有一條2.2.空間兩條直線的位置關(guān)系空間兩條直線的位置關(guān)系

2、(1)(1)位置關(guān)系分類位置關(guān)系分類: :相交相交平行平行任何一個平面任何一個平面(2)(2)平行公理平行公理( (公理公理4)4)和等角定理和等角定理: :平行公理平行公理: :平行于同一條直線的兩條直線平行于同一條直線的兩條直線_._.等角定理等角定理: :空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行, ,那么這兩個角那么這兩個角_._.互相平行互相平行相等或互補相等或互補(3)(3)異面直線所成的角異面直線所成的角: :定義定義: :已知兩條異面直線已知兩條異面直線a,b,a,b,經(jīng)過空間任一點經(jīng)過空間任一點O O作直作直線線aa,bb,aa,bb,把把aa與與b

3、b所成的所成的_叫叫做異面直線做異面直線a a與與b b所成的角所成的角( (或夾角或夾角););范圍范圍:_.:_.銳角銳角( (或直角或直角) )(0, 23.3.空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系圖形語言圖形語言符號語言符號語言公共點公共點直線直線與平與平面面相相交交_個個平平行行_個個在在平平面面內(nèi)內(nèi)_個個a=Aa=A1 1aa0 0a a無數(shù)無數(shù)圖形語言圖形語言符號語言符號語言公共點公共點平面與平面與平面平面平平行行_個個相相交交_個個0 0=l無數(shù)無數(shù)【特別提醒】【特別提醒】1.1.唯一性定理唯一性定理(1)(1)過直線外一點有且只有一條直線與

4、已知直線平行過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行. .(2)(2)過直線外一點有且只有一個平面與已知直線垂直過直線外一點有且只有一個平面與已知直線垂直. .(3)(3)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行. .(4)(4)過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直. .2.2.異面直線的判定定理異面直線的判定定理經(jīng)過平面內(nèi)一點的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線互經(jīng)過平面內(nèi)一點的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線互為異面直線為異面直線. .3.3.確定平面的三個推論確定平面的三個推論(1)(1)推論推論1:1:

5、經(jīng)過一條直線和這條直線外一點經(jīng)過一條直線和這條直線外一點, ,有且只有有且只有一個平面一個平面. .(2)(2)推論推論2:2:經(jīng)過兩條相交直線經(jīng)過兩條相交直線, ,有且只有一個平面有且只有一個平面. .(3)(3)推論推論3:3:經(jīng)過兩條平行直線經(jīng)過兩條平行直線, ,有且只有一個平面有且只有一個平面. .4.4.異面直線易誤解為異面直線易誤解為“分別在兩個不同平面內(nèi)的兩條分別在兩個不同平面內(nèi)的兩條直線為異面直線直線為異面直線”, ,實質(zhì)上兩異面直線不能確定任何一實質(zhì)上兩異面直線不能確定任何一個平面?zhèn)€平面, ,因此異面直線既不平行因此異面直線既不平行, ,也不相交也不相交. .【小題快練】【小

6、題快練】鏈接教材練一練鏈接教材練一練1.(1.(必修必修2P522P52習題習題2.1B2.1B組組T1(2)T1(2)改編改編) )如圖如圖所示所示, ,在正方體在正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,E,F,E,F分別分別是是AB,ADAB,AD的中點的中點, ,則異面直線則異面直線B B1 1C C與與EFEF所成所成的角的大小為的角的大小為( () )A.30A.30B.45B.45C.60C.60D.90D.90【解析】【解析】選選C.C.連接連接B B1 1D D1 1,D,D1 1C,C,則則B B1 1D D1 1EF,EF,故故DD1

7、1B B1 1C C為所求為所求, ,又又B B1 1D D1 1=B=B1 1C=DC=D1 1C,C,所以所以DD1 1B B1 1C=60C=60. .2.(2.(必修必修2P432P43練習練習T1T1改編改編) )兩兩相交的三條直線最多可兩兩相交的三條直線最多可確定確定_個平面?zhèn)€平面. .【解析】【解析】當三條直線共點且不共面時當三條直線共點且不共面時, ,最多可確定最多可確定3 3個個平面平面. .答案答案: :3 3感悟考題試一試感悟考題試一試3.(20153.(2015廣東高考廣東高考) )若直線若直線l1 1和和l2 2是異面直線是異面直線, ,l1 1在平面在平面內(nèi)內(nèi), ,

8、l2 2在平面在平面內(nèi)內(nèi), ,l是平面是平面與平面與平面的交線的交線, ,則下列則下列命題正確的是命題正確的是( () )A.A.l至少與至少與l1 1, ,l2 2中的一條相交中的一條相交B.B.l與與l1 1, ,l2 2都相交都相交C.C.l至多與至多與l1 1, ,l2 2中的一條相交中的一條相交D.D.l與與l1 1, ,l2 2都不相交都不相交【解析】【解析】選選A.A.直線直線l1 1和和l2 2是異面直線是異面直線, ,l1 1在平面在平面內(nèi)內(nèi), ,l2 2在在平面平面內(nèi)內(nèi), ,= =l, ,則則l至少與至少與l1 1, ,l2 2中的一條相交中的一條相交. .4.(20164

9、.(2016瑞安模擬瑞安模擬) )在正方體在正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,點點P P在在線段線段ADAD1 1上運動上運動, ,則異面直線則異面直線CPCP與與BABA1 1所成的角所成的角的取值的取值范圍是范圍是( () )A.0A.0B.0B.0C.0C.0D.0D.02233【解析】【解析】選選D.D.因為因為A A1 1BDBD1 1C,C,所以所以CPCP與與A A1 1B B所成的角可化為所成的角可化為CPCP與與D D1 1C C所成的角所成的角. .由由ADAD1 1C C是正三角形可知是正三角形可知, ,當當P P與與A A

10、重合時所成的角為重合時所成的角為 , ,因為因為P P不能與不能與D D1 1重合重合, ,因為此時因為此時D D1 1C C與與A A1 1B B平行平行, ,不是異面不是異面直線直線, ,所以所以 3(0, .3考向一考向一平面的基本性質(zhì)平面的基本性質(zhì)【典例【典例1 1】(1)(1)以下命題中以下命題中, ,正確命題的個數(shù)是正確命題的個數(shù)是( () )不共面的四點中不共面的四點中, ,其中任意三點不共線其中任意三點不共線; ;若點若點A,B,C,DA,B,C,D共面共面, ,點點A,B,C,EA,B,C,E共面共面, ,則則A,B,C,D,EA,B,C,D,E共面共面; ;若直線若直線a,

11、ba,b共面共面, ,直線直線a,ca,c共面共面, ,則直線則直線b,cb,c共面共面; ;依次首尾相接的四條線段必共面依次首尾相接的四條線段必共面. .A.0A.0B.1B.1C.2C.2D.3D.3(2)(2)如圖所示如圖所示, ,正方體正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,E,F,E,F分別是分別是AB,AAAB,AA1 1的中點的中點. .求證求證: :E,C,DE,C,D1 1,F,F四點共面四點共面; ;CE,DCE,D1 1F,DAF,DA三線共點三線共點. .【解題導引】【解題導引】(1)(1)根據(jù)公理根據(jù)公理2 2及確定平面的推論判斷

12、及確定平面的推論判斷. .(2)(2)對于對于, ,只需證明只需證明EFCDEFCD1 1即可即可; ;對于對于, ,先證明先證明CE,DCE,D1 1F F的交點既在平面的交點既在平面ABCDABCD內(nèi)內(nèi), ,又在平又在平面面ADDADD1 1A A1 1內(nèi)內(nèi), ,再利用公理再利用公理3 3證明交點在證明交點在DADA上上. .【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)(1)選選B.B.中若有三點共線中若有三點共線, ,則四點共面則四點共面, ,不合題意不合題意, ,故故正確正確; ;中若點中若點A,B,CA,B,C在同一條直線上在同一條直線上, ,則則A,B,C,D,EA,B,C,D,E不一定共面不一

13、定共面, ,故故錯誤錯誤; ;中中, ,直線直線b,cb,c可能可能是異面直線是異面直線, ,故故錯誤錯誤; ;中中, ,當四條線段構(gòu)成空間四邊當四條線段構(gòu)成空間四邊形時形時, ,四條線段不共面四條線段不共面, ,故故錯誤錯誤. .(2)(2)如圖如圖, ,連接連接CDCD1 1,EF,A,EF,A1 1B,B,因為因為E,FE,F分別是分別是ABAB和和AAAA1 1的的中點中點, ,所以所以EFAEFA1 1B B且且EF= AEF= A1 1B.B.又因為又因為A A1 1D D1 1BC,BC,且且A A1 1D D1 1=BC,=BC,所以四邊形所以四邊形A A1 1BCDBCD1

14、1是平行四邊形是平行四邊形. .12所以所以A A1 1BCDBCD1 1, ,所以所以EFCDEFCD1 1, ,即即EFEF與與CDCD1 1確定一個平面確定一個平面.且且E,F,C,DE,F,C,D1 1,即即E,C,DE,C,D1 1,F,F四點共面四點共面. .由由知知,EFCD,EFCD1 1, ,且且EF= CDEF= CD1 1, ,所以四邊形所以四邊形CDCD1 1FEFE是梯形是梯形. .所以所以CECE與與D D1 1F F必相交必相交, ,設(shè)交點為設(shè)交點為P,P,如圖如圖, ,則則PCEPCE平面平面ABCD,ABCD,且且PDPD1 1F F平面平面A A1 1ADD

15、ADD1 1. .又因為平面又因為平面ABCDABCD平面平面A A1 1ADDADD1 1=AD,=AD,所以所以PAD,PAD,所以所以CE,DCE,D1 1F,DAF,DA交于一點交于一點. .12【規(guī)律方法】【規(guī)律方法】1.1.證明點共面或線共面的常用方法證明點共面或線共面的常用方法(1)(1)直接法直接法: :證明直線平行或相交證明直線平行或相交, ,從而證明線共面從而證明線共面. .(2)(2)納入平面法納入平面法: :先確定一個平面先確定一個平面, ,再證明有關(guān)點、線在再證明有關(guān)點、線在此平面內(nèi)此平面內(nèi). .(3)(3)輔助平面法輔助平面法: :先證明有關(guān)的點、線確定平面先證明有

16、關(guān)的點、線確定平面,再證再證明其余元素確定平面明其余元素確定平面,最后證明平面最后證明平面,重合重合. .2.2.證明空間點共線問題的方法證明空間點共線問題的方法(1)(1)公理法公理法: :第第(2)(2)題證明過程用到此方法題證明過程用到此方法, ,一般轉(zhuǎn)化為一般轉(zhuǎn)化為證明這些點是某兩個平面的公共點證明這些點是某兩個平面的公共點, ,再根據(jù)公理再根據(jù)公理3 3證明證明這些點都在這兩個平面的交線上這些點都在這兩個平面的交線上. .(2)(2)納入直線法納入直線法: :選擇其中兩點確定一條直線選擇其中兩點確定一條直線, ,然后證明然后證明其余點也在該直線上其余點也在該直線上. .【變式訓練】【

17、變式訓練】如圖所示如圖所示, ,四邊形四邊形ABEFABEF和和ABCDABCD都是梯形都是梯形,BC,BC AD,BEAD,BE FA,G,FA,G,H H分別為分別為FA,FDFA,FD的中點的中點. .(1)(1)證明證明: :四邊形四邊形BCHGBCHG是平行四邊形是平行四邊形. .(2)C,D,F,E(2)C,D,F,E四點是否共面四點是否共面? ?為什么為什么? ?1212【解析】【解析】(1)(1)由已知由已知FG=GA,FH=HD,FG=GA,FH=HD,得得GH AD.GH AD.又又BC AD,BC AD,所以所以GH BC,GH BC,所以四邊形所以四邊形BCHGBCHG

18、是平行四邊是平行四邊形形. .1212(2)(2)方法一方法一: :由由BE AF,GBE AF,G為為FAFA中點知中點知BE GF,BE GF,所以四邊形所以四邊形BEFGBEFG為平行四邊形為平行四邊形, ,所以所以EFBG.EFBG.由由(1)(1)知知BGCH,BGCH,所以所以EFCH,EFCH,所以所以EFEF與與CHCH共面共面. .又又DFH,DFH,所以所以C,D,F,EC,D,F,E四點共面四點共面. .12方法二方法二: :如圖所示如圖所示, ,延長延長FE,DCFE,DC分別與分別與ABAB交于點交于點M,M.M,M.因為因為BE AF,BE AF,所以所以B B為為

19、MAMA的中點的中點. .因為因為BC AD,BC AD,所以所以B B為為MAMA的中點的中點, ,所以所以M M與與MM重合重合, ,即即FEFE與與DCDC交于點交于點M(M),M(M),所以所以C,D,F,EC,D,F,E四點共面四點共面. .1212【加固訓練】【加固訓練】如圖如圖, ,在四邊形在四邊形ABCDABCD中中, ,已知已知ABCD,ABCD,直線直線AB,BC,AD,DCAB,BC,AD,DC分別與平面分別與平面相交于點相交于點E,G,H,F,E,G,H,F,求證求證:E,F,G,H:E,F,G,H四點必四點必定共線定共線. .【解析】【解析】因為因為ABCD,ABCD

20、,所以所以AB,CDAB,CD確定一個平面確定一個平面.又因為又因為AB=E,ABAB=E,AB,所以所以E,E,E,E,即即E E為平面為平面與與的一個公共點的一個公共點. .同理可證同理可證F,G,HF,G,H均為平面均為平面與與的公共點的公共點, ,因為兩個平面有公共點因為兩個平面有公共點, ,它們有且只有一條通過公共點它們有且只有一條通過公共點的公共直線的公共直線, ,所以所以E,F,G,HE,F,G,H四點必定共線四點必定共線. .考向二考向二空間直線的位置關(guān)系空間直線的位置關(guān)系【考情快遞】【考情快遞】命題方向命題方向命題視角命題視角異面直線的判異面直線的判定定以平面或簡單幾何體為載

21、體以平面或簡單幾何體為載體, ,判斷空間判斷空間直線是否是異面直線直線是否是異面直線平行和垂直的平行和垂直的判定判定主要以簡單幾何體為載體主要以簡單幾何體為載體, ,考查三角形考查三角形( (梯形梯形) )的中位線的中位線, ,平行四邊形等在平行平行四邊形等在平行判斷中的應用判斷中的應用, ,考查線面垂直的性質(zhì)在考查線面垂直的性質(zhì)在判定線線垂直中的應用判定線線垂直中的應用【考題例析】【考題例析】命題方向命題方向1:1:異面直線的判定異面直線的判定【典例【典例2 2】(2016(2016鄭州模擬鄭州模擬) )在圖中在圖中,G,H,M,N,G,H,M,N分別是正分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點三

22、棱柱的頂點或所在棱的中點, ,則表示直線則表示直線GH,MNGH,MN是異是異面直線的圖形有面直線的圖形有_(_(填上所有正確答案的序填上所有正確答案的序號號).).【解題導引】【解題導引】根據(jù)異面直線的判定定理判斷根據(jù)異面直線的判定定理判斷. .【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】圖圖中中, ,直線直線GHMN;GHMN;圖圖中中,G,H,N,G,H,N三點三點共面共面, ,但但M M 平面平面GHN,GHN,因此直線因此直線GHGH與與MNMN異面異面; ;圖圖中中, ,連連接接MG,GMHN,MG,GMHN,因此因此GHGH與與MNMN共面共面; ;圖圖中中,G,M,N,G,M,N共面共面, ,但但

23、H H 平面平面GMN,GMN,因此因此GHGH與與MNMN異面異面, ,所以在圖所以在圖中中GHGH與與MNMN異面異面. .答案答案: :命題方向命題方向2:2:平行和垂直的判定平行和垂直的判定【典例【典例3 3】(2016(2016黃石模擬黃石模擬) )如圖如圖, ,在正方體在正方體ABCD-ABCD-A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,M,N,M,N分別是分別是BCBC1 1,CD,CD1 1的中點的中點, ,則下列說法錯誤則下列說法錯誤的是的是( () )A.MNA.MN與與CCCC1 1垂直垂直B.MNB.MN與與ACAC垂直垂直C.MNC.MN與與BDBD平行平

24、行D.MND.MN與與A A1 1B B1 1平行平行【解題導引】【解題導引】先證先證MNMN與與BDBD平行平行, ,然后根據(jù)然后根據(jù)BDBD與各直線的與各直線的位置關(guān)系位置關(guān)系, ,判斷判斷MNMN與各直線的位置關(guān)系與各直線的位置關(guān)系. .【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】選選D.D.如圖如圖, ,連接連接C C1 1D,D,在在C C1 1DBDB中中,MNBD,MNBD,故故C C正確正確; ;因為因為CCCC1 1平面平面ABCD,ABCD,所以所以CCCC1 1BD,BD,所以所以MNMN與與CCCC1 1垂直垂直, ,故故A A正確正確; ;因為因為ACBD,MNBD,ACBD,MNBD,

25、所以所以MNMN與與ACAC垂直垂直, ,故故B B正確正確; ;因為因為A A1 1B B1 1與與BDBD異面異面,MNBD,MNBD,所以所以MNMN與與A A1 1B B1 1不可能平行不可能平行, ,故故D D錯誤錯誤. .【技法感悟】【技法感悟】1.1.異面直線的判定方法異面直線的判定方法(1)(1)反證法反證法: :先假設(shè)兩條直線不是異面直線先假設(shè)兩條直線不是異面直線, ,即兩條直線即兩條直線平行或相交平行或相交, ,由假設(shè)出發(fā)由假設(shè)出發(fā), ,經(jīng)過嚴格的推理經(jīng)過嚴格的推理, ,導出矛盾導出矛盾, ,從而否定假設(shè)從而否定假設(shè), ,肯定兩條直線異面肯定兩條直線異面. .此法在異面直線

26、的此法在異面直線的判定中經(jīng)常用到判定中經(jīng)常用到. .(2)(2)定理定理: :平面外一點平面外一點A A與平面內(nèi)一點與平面內(nèi)一點B B的連線和平面內(nèi)的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點不經(jīng)過點B B的直線是異面直線的直線是異面直線. .2.2.線線平行或垂直的判定方法線線平行或垂直的判定方法(1)(1)對于平行直線對于平行直線, ,可利用三角形可利用三角形( (梯形梯形) )中位線的性質(zhì)、中位線的性質(zhì)、公理公理4 4及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理來判斷及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理來判斷. .(2)(2)對于線線垂直對于線線垂直, ,往往利用線面垂直的定義往往利用線面垂直的定義, ,由線面垂由線面垂直得到線

27、線垂直直得到線線垂直. .【題組通關(guān)】【題組通關(guān)】1.(20161.(2016福州模擬福州模擬) )如圖如圖, ,在正方體在正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,點點E,FE,F分別在分別在A A1 1D,ACD,AC上上, ,且且A A1 1E=2ED,CF=2FA,E=2ED,CF=2FA,則則EFEF與與BDBD1 1的的位置關(guān)系是位置關(guān)系是( () )A.A.相交但不垂直相交但不垂直 B.B.相交且垂直相交且垂直C.C.異面異面D.D.平行平行【解析】【解析】選選D.D.連接連接D D1 1E E并延長并延長, ,與與ADAD交于點交于點M,

28、M,因為因為A A1 1E=2ED,E=2ED,可得可得M M為為ADAD的中點的中點, ,連接連接BFBF并延長并延長, ,交交ADAD于點于點N,N,因為因為CF=2FA,CF=2FA,可得可得N N為為ADAD的中點的中點, ,所以所以M,NM,N重合重合, ,且且 所以所以 所以所以EFBDEFBD1 1. .1ME1 MF1,ED2 BF21MEMF,EDBF2.(20162.(2016承德模擬承德模擬) )設(shè)設(shè)A,B,C,DA,B,C,D是空間四個不同的點是空間四個不同的點, ,在下列命題中在下列命題中, ,不正確的是不正確的是_(_(填序號填序號).).若若ACAC與與BDBD共

29、面共面, ,則則ADAD與與BCBC共面共面; ;若若ACAC與與BDBD是異面直線是異面直線, ,則則ADAD與與BCBC是異面直線是異面直線; ;若若AB=AC,DB=DC,AB=AC,DB=DC,則則AD=BC;AD=BC;若若AB=AC,DB=DC,AB=AC,DB=DC,則則ADBC.ADBC.【解析】【解析】對于對于, ,由于點由于點A,B,C,DA,B,C,D共面共面, ,顯然結(jié)論正確顯然結(jié)論正確. .對于對于, ,假設(shè)假設(shè)ADAD與與BCBC共面共面, ,由由正確得正確得ACAC與與BDBD共面共面, ,這與這與題設(shè)矛盾題設(shè)矛盾, ,故假設(shè)不成立故假設(shè)不成立, ,從而結(jié)論正確從

30、而結(jié)論正確. .對于對于, ,如圖如圖, ,當當AB=AC,DB=DC,AB=AC,DB=DC,使二面角使二面角A-BC-DA-BC-D的大小變化時的大小變化時,AD,AD與與BCBC不一定相等不一定相等, ,故故不正確不正確. .對于對于, ,如圖如圖, ,取取BCBC的中點的中點E,E,連接連接AE,DE,AE,DE,則由題設(shè)得則由題設(shè)得BCAE,BCDE.BCAE,BCDE.根據(jù)線面垂直的判定定理得根據(jù)線面垂直的判定定理得BCBC平面平面ADE,ADE,從而從而ADBC.ADBC.答案答案: :3.(20163.(2016上饒模擬上饒模擬) )已知正方體已知正方體ABCD-AABCD-A

31、1 1B B1 1C C1 1D D1 1, ,點點P,Q,RP,Q,R分別是線段分別是線段B B1 1B,ABB,AB和和A A1 1C C上的動點上的動點, ,觀察直線觀察直線CPCP與與D D1 1Q,CPQ,CP與與D D1 1R,R,給出下列結(jié)論給出下列結(jié)論: :對于任意給定的點對于任意給定的點P,P,存在點存在點Q,Q,使得使得D D1 1QCP;QCP;對于任意給定的點對于任意給定的點Q,Q,存在點存在點P,P,使得使得CPDCPD1 1Q;Q;對于任意給定的點對于任意給定的點R,R,存在點存在點P,P,使得使得CPDCPD1 1R;R;對于任意給定的點對于任意給定的點P,P,存

32、在點存在點R,R,使得使得D D1 1RCP.RCP.其中正確的結(jié)論是其中正確的結(jié)論是_._.【解析】【解析】只有只有D D1 1QQ平面平面BCCBCC1 1B B1 1, ,即即D D1 1QQ平面平面ADDADD1 1A A1 1時時, ,才能滿足對于任意給定的點才能滿足對于任意給定的點P,P,存在點存在點Q,Q,使得使得D D1 1QCP,QCP,因為過因為過D D1 1點與平面點與平面DDDD1 1A A1 1A A垂直的直線只有一條垂直的直線只有一條D D1 1C C1 1, ,而而D D1 1C C1 1AB,AB,所以所以錯誤錯誤; ;當點當點P P與與B B1 1重合時重合時

33、, ,CPAB,CPAB,且且CPADCPAD1 1, ,所以所以CPCP平面平面ABDABD1 1, ,因為對于任意給定的點因為對于任意給定的點Q,Q,都有都有D D1 1Q Q平面平面ABDABD1 1, ,所以對于任意給定的點所以對于任意給定的點Q,Q,存在點存在點P,P,使得使得CPDCPD1 1Q,Q,所以所以正確正確; ;只有只有CPCP垂直垂直D D1 1R R在平面在平面BCCBCC1 1B B1 1中的射影時中的射影時,D,D1 1RCP,RCP,所以所以正確正確; ;只有只有CPCP平面平面A A1 1CDCD1 1時時, ,才正確才正確, ,因為過因為過C C點的平面點的

34、平面A A1 1CDCD1 1的垂線與的垂線與BBBB1 1無交點無交點, ,所以所以錯誤錯誤. .答案答案: :考向三考向三異面直線所成的角異面直線所成的角【典例【典例4 4】(1)(1)如圖如圖, ,在底面為正方形在底面為正方形, ,側(cè)棱側(cè)棱垂直于底面的四棱柱垂直于底面的四棱柱ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,AA,AA1 1=2AB=2,=2AB=2,則異面直線則異面直線A A1 1B B與與ADAD1 1所成角的余弦所成角的余弦值為值為( () )1234A. B. C. D.5555(2)(2014(2)(2014全國卷全國卷)直三棱柱直三棱柱A

35、BC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中中,BCA,BCA=90=90,M,N,M,N分別是分別是A A1 1B B1 1,A,A1 1C C1 1的中點的中點,BC=CA=CC,BC=CA=CC1 1, ,則則BMBM與與ANAN所成的角的余弦值為所成的角的余弦值為( () ) ( (本題源于本題源于A A版必修版必修2P482P48練習練習T2)T2)12302A. B. C. D.105102【解題導引】【解題導引】(1)(1)連接連接BCBC1 1, ,先利用先利用ADAD1 1BCBC1 1找出所求的找出所求的角角, ,再利用余弦定理求解再利用余弦定理求解. .(2)(2)

36、通過平行關(guān)系找出異面直線的夾角通過平行關(guān)系找出異面直線的夾角, ,再根據(jù)余弦定再根據(jù)余弦定理求解理求解. .【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)(1)選選D.D.連接連接BCBC1 1, ,易證易證BCBC1 1ADAD1 1, ,則則AA1 1BCBC1 1即為異面直線即為異面直線A A1 1B B與與ADAD1 1所成的角所成的角. .連接連接A A1 1C C1 1, ,由由AB=1,AAAB=1,AA1 1=2,=2,則則A A1 1C C1 1= ,A= ,A1 1B=BCB=BC1 1= ,= ,故故cosAcosA1 1BCBC1 1= = 255 5 24.5255 (2)(2)選選

37、C.C.如圖如圖, ,取取BCBC的中點的中點D,D,連接連接MN,ND,AD,MN,ND,AD,由于由于MN BMN B1 1C C1 1 BD, BD,所以四邊形所以四邊形BMNDBMND是平行四邊形是平行四邊形, ,因此因此ND BM,ND BM,則則NDND與與NANA所成角即為異面直線所成角即為異面直線BMBM與與ANAN所成所成的角的角( (或其補角或其補角),),設(shè)設(shè)BC=2,BC=2,則則BM=ND= ,AN= ,AD= ,BM=ND= ,AN= ,AD= ,因此因此cosAND= cosAND= 12655222NDNAAD30.2ND NA10【母題變式】【母題變式】1.1

38、.若本例題若本例題(1)(1)條件條件“AAAA1 1=2AB=2”=2AB=2”改為改為“AB=1,AB=1,若異面直線若異面直線A A1 1B B與與ADAD1 1所成角的余弦值為所成角的余弦值為 ” ”, ,試求試求 的值的值. .9101AAAB【解析】【解析】設(shè)設(shè) =t,=t,則則AAAA1 1=tAB.=tAB.因為因為AB=1,AB=1,所以所以AAAA1 1=t,=t,連接連接BCBC1 1, ,易證易證BCBC1 1ADAD1 1, ,則則AA1 1BCBC1 1為異面直線為異面直線A A1 1B B與與ADAD1 1所成角所成角, ,又因為又因為A A1 1C C1 1=

39、,A= ,A1 1B= =BCB= =BC1 1, ,所以所以cosAcosA1 1BCBC1 1= = 所以所以t=3,t=3,即即 =3.=3.1AAAB22t12222t1 t1 29,102t1t1 1AAAB2.2.在本例題在本例題(1)(1)的條件下的條件下, ,若點若點P P在平面在平面A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1內(nèi)且不內(nèi)且不在對角線在對角線B B1 1D D1 1上上, ,過點過點P P在平面在平面A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1內(nèi)作一直線內(nèi)作一直線m,m,使使m m與直線與直線BDBD成成角角, ,且且 . .這樣的直線可作幾條這樣的直線可

40、作幾條? ?(0, 2【解析】【解析】在平面在平面A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1內(nèi)作內(nèi)作m,m,使使m m與與B B1 1D D1 1相交成相交成角角. .因為因為BDBBDB1 1D D1 1, ,所以直線所以直線m m與與BDBD也成也成角角, ,當當= = 時時,m,m只有一條只有一條, ,當當 時時, ,這樣的直線有兩條這樣的直線有兩條. .22【規(guī)律方法】【規(guī)律方法】1.1.平移法求異面直線所成角的常見類型平移法求異面直線所成角的常見類型(1)(1)利用圖中已有的平行線平移利用圖中已有的平行線平移. .(2)(2)利用特殊點利用特殊點( (線段的端點或中點、空間某特

41、殊點線段的端點或中點、空間某特殊點) )作作平行線平移平行線平移. .(3)(3)補形平移補形平移. .2.2.求異面直線所成角的三個步驟求異面直線所成角的三個步驟(1)(1)作作: :通過作平行線通過作平行線, ,得到相交直線得到相交直線. .(2)(2)證證: :證明相交直線夾角為異面直線所成的角證明相交直線夾角為異面直線所成的角( (或其補或其補角角).).(3)(3)求求: :解三角形解三角形, ,求出作出的角求出作出的角, ,如果求出的角是銳角如果求出的角是銳角或直角或直角, ,則它就是要求的角則它就是要求的角, ,如果求出的角是鈍角如果求出的角是鈍角, ,則它則它的補角才是要求的角

42、的補角才是要求的角. .【變式訓練】【變式訓練】直三棱柱直三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中中, , 若若BAC=90BAC=90, ,AB=AC=AAAB=AC=AA1 1, ,則異面直線則異面直線BABA1 1與與ACAC1 1所成的角等于所成的角等于 ( () )A.30A.30B.45B.45C.60C.60D.90D.90【解析】【解析】選選C.C.分別取分別取AB,AAAB,AA1 1,A,A1 1C C1 1的中點的中點D,E,F,D,E,F,連接連接DE,EF,DF,DE,EF,DF,則則BABA1 1DE,ACDE,AC1 1EF.EF.所以異面直線所以異面直線BABA1 1與與ACAC1 1所成的角為所成的角為DEF(DEF(或其補角或其補角),),設(shè)設(shè)AB=AC=AAAB=AC=AA1 1=2,=2,則則DE=EF= ,DF= ,DE=EF= ,DF= ,由余弦定理得由余弦定理得,DEF=120,DEF=120. .即異