拋物線練習(xí)(3)

1、拋物線練習(xí)：練習(xí) 1： （2010 陜西理 8 文 9）已知拋物線 y2=2px（p0）的準(zhǔn)線與圓 x2+y26 x7=0 相切，則p的值為:(A)12(B) 1(C) 2(D) 4解析：拋物線y22px（p0）的準(zhǔn)線方程為2px，因為拋物線y22px（p0）的準(zhǔn)線與圓（x3）2y216 相切，所以圓心到準(zhǔn)線的距離等于圓的半徑，即3422pp 。練習(xí) 2：（2011 遼寧理 3）已知 F 是拋物線 y2=x 的焦點，A，B 是該拋物線上的兩點，=3AFBF，則線段 AB 的中點到 y 軸的距離為（A）34（B）1（C）54（D）74解析： 設(shè) A， B兩點的橫坐標(biāo)分別為m,n,則由=3AFBF

2、及拋物線的定義可132mn,1,2mn5.24mn即線段 AB 的中點到 y 軸的距離為5.4選 C.練習(xí) 3：已知直線1:4360lxy和直線2:1lx ，拋物線24yx上一動點P到直線1l和直線2l的距離之和的最小值是A.2B.3C.115D.3716w.w.w.k.s.5.u.c.o.m解析：直線2:1lx 為拋物線24yx的準(zhǔn)線，由拋物線的定義知，P 到2l的距離等于 P到拋物線的焦點)0 , 1(F的距離，故本題化為在拋物線24yx上找一個點P使得P到點)0 , 1(F和直線2l的距離之和最小，最小值為)0 , 1(F到直線1:4360lxy的距離，如圖，此時25|604|min d

3、，故選擇 A。練習(xí) 4： （2010 浙江理 13）設(shè)拋物線22(0)ypx p的焦點為F，點(0,2)A.若線段FA的中點B在拋物線上，則B到該拋物線準(zhǔn)線的距離為_。解析： F,02p，(0,2)A利故 B （,14p） ， 又點B在拋物線上， 故 1=2p4p,解得 p=2，B 點坐標(biāo)為（142，）所以點 B 到拋物線準(zhǔn)線的距離為22+24=324，練習(xí) 5： （2013 江西文 9）已知點 A(2，0)，拋物線 C：x24y 的焦點為 F，射線 FA 與拋物線 C 相交于點 M，與其準(zhǔn)線相交于點 N，則|FM|MN|()A2 5B12C1 5D13解析FA：y12x1，與 x24y 聯(lián)立

4、，得 xM 51，F(xiàn)A：y12x1，與 y1 聯(lián)立，得 N(4，1)，由三角形相似知|FM|MN|xM4xM15，故選 C.練習(xí) 6： （2013 廣東理 20（1） ）已知拋物線 C 的頂點為原點，其焦點 F(0，c)(c0)到直線 l：xy20 的距離為3 22，設(shè) P 為直線 l 上的點，過點 P 作拋物線 C 的兩條切線 PA，PB，其中 A，B 為切點(1)求拋物線 C 的方程；解：設(shè)所求拋物線方程為22xpy，則 c=2p,由題意焦點F(0，c)(c0)到直線 l：xy20 的距離為3 22，可得023 222c ，解得 c=1，故 p=2，所以拋物線方程為24xy。練習(xí) 7：方程

5、 522)2() 1(yx=3x+4y+12所表示的曲線是（）A:圓B：橢圓C：拋物線D：雙曲線解：原方程可化為22)2() 1(yx=3x+4y+12/ /5，而22)2() 1(yx可看作是點（x，y）到點（1,2）之間的距離，3x+4y+12/ /5 可看作是當(dāng)（x，y）到直線 3x+4y+12=0 的距離，由拋物線的定義知動點（x，y）的軌跡是拋物線，故選 C練習(xí) 8：若點P到直線1x 的距離比它到點(2 0)，的距離小 1，則點P的軌跡為（）A圓B橢圓C雙曲線D拋物線解析：由題意知點P到直線2x 的距離與它到點(2 0)，的距離相等，故點P的軌跡為拋物線，選 D。練習(xí)9：設(shè)斜率為2的

6、直線l過拋物線2(0)yaxa的焦點F,且和y軸交于點A,若OAF(O為坐標(biāo)原點)的面積為 4,則拋物線方程為().A.24yx B.28yx C.24yxD.28yx解析: 拋物線2(0)yaxa的焦點 F 坐標(biāo)為(,0)4a,則直線l的方程為2()4ayx,它與y軸的交點為 A(0,)2a,所以O(shè)AF 的面積為1| | 42 42aa,解得8a .所以拋物線方程為28yx ,故選 B.練習(xí) 10： （2011 全國理 10）已知拋物線 C：24yx的焦點為F，直線24yx與C交于A，B兩點則cosAFB(A)(A)45(B)(B)35(C)(C)35(D)(D)45解析：聯(lián)立2424yxy

7、x消去y得2540 xx,解得1,4xx,不妨設(shè)A點在x軸的 上 方 , 于 是A，B兩 點 的 坐 標(biāo) 分 別 為 (4,4),(1,2), 又(1,0)F, 可 求 得3 5,5,2ABAFBF.在ABF中,由余弦定理得2224cos25AFBFABAFBAFBF .故選 D。練習(xí) 11：過定點 p（0,1）且與拋物線 y2=2x 只有一個公共點的直線方程有_個，分別為_解：設(shè)過點 p（0,1）且與 y2=2x 只有一個公共點的直線 l 的斜率為 k，）當(dāng) k 不存在時，l 的方程為 x=0，此時 l 與拋物線相切于（0,0）點，滿足題意，）當(dāng) k 存在時，直線 l 的方程為 y-1=kx

8、 即 y=kx+1，由xykxy212，得 k2x2+(2x-2)x+1=0，當(dāng) k0， = （2k-2）2-4k2， 由題意知此時=0， 故 （2k-2）2-4k2=0 時， 所以 k=21， 此時方程為 y=21x+1當(dāng) k=0，直線 l 的方程為 y=1 是一條與拋物線對稱平行的直線，與拋物線有一個交點，滿足題意，故所求方程有 3 條，方程分別為 x=0，y=1，y=21x+1。注意事項：1）直線與拋物線只有一個公共點不能推出直線與拋物線相切直線與拋物線相切直線與拋物線只有一個公共點2）過平面上定點 p 且與拋物線 y2=2px（p0）有一個公共點的直線（i）當(dāng) p 在拋物線所含焦點的區(qū)

9、域內(nèi)，只有一條（一交）（ii）當(dāng) p 在拋物線所含焦點的區(qū)域外，有 3 條（一交二切）（iii）當(dāng) p 在拋物線上時，有 2 條（一交一切）練習(xí) 12：已知直線20yk xk與拋物線2:8C yx相交于AB、兩點，F(xiàn)為C的焦點，若| 2|FAFB，則k A.13B.23C.23D.2 23解解 ： 設(shè) 拋 物 線2:8C yx的 準(zhǔn) 線 為:2l x 直 線20yk xk恒過定點 P2,0.如圖過AB、分 別作AMl于M,BNl于N, 由| 2|FAFB,則| 2|AMBN,點 B 為 AP的中點.連結(jié)OB,則1|2OBAF,| |OBBF點B的橫坐標(biāo)為1, 故點B的坐標(biāo)為2 202 2(1,

10、2 2)1 ( 2)3k , 故選故選 D練習(xí) 13： （2009 海南寧夏理 B）已知拋物線 C 的頂點在坐標(biāo)原點，焦點為 F(1,0),直線 l 與拋物線 C 相交于A、B 兩點，若 AB 的中點為（2,2）則直線 l 的方程_解：由題意可得 C 的方程為 y2=4x，設(shè) A(X1,Y1),B(X2，Y2)則 y12=4x1，y22=4x2兩式相減得 y12-y22=4（x1-x2）整理得1212yy4x-xy-y12，又AB 中點為（2,2） ，y2+y1=4, 1441212xxyy,故直線的斜率為1，故 l 的方程為 y-2=1（x-2） ，即 y=x。練習(xí) 14：.過拋物線 y2=

11、2px(p0)的焦點 F 作傾斜角為45的直線交拋物線于 A、B 兩點，若線段 AB 的長為 8，則 p=_解：由題意知直線 AB 的傾斜角為 45，而AB=2sin2p=8， 0245sin2p=8p=2。練習(xí) 15： （2012 北京理 12）在直角坐標(biāo)系 xOy 中，直線 l 過拋物線xy42的焦點 F.且與該撇物線相交于 A、B 兩點.其中點 A 在 x 軸上方。若直線 l 的傾斜角為 60.則OAF 的面積為解析：由xy42可求得焦點坐標(biāo) F(1,0)，因為傾斜角為60，yA= |AF |*sin60=23*2 31 cos602,故33212121AOAFyOFS練習(xí) 16： （2

12、012 安徽理 9） 過拋物線24yx的焦點F的直線交拋物線于,A B兩點， 點O是原點，若3AF ，則AOB的面積為（）( )A22( )B2( )C3 22()D 2 2解析：方法一：不妨設(shè)點 A 在 x 軸的上方，因為3AF ，所以知點A到準(zhǔn)線:1l x 的距離為3，可得點 A 的橫坐標(biāo)為 2，代入24yx中，得點 A 的縱坐標(biāo)為 22，由點 A（2,22） ，F(xiàn)（1,0）可得直線 AB 的方程為 y=22(x-1),聯(lián)立 AB 的方程和拋物線方程可得點 B 的縱坐標(biāo)為-2，所以AOB的面積為113 22 221 3 2222SOF 。選 C。方法 2：設(shè)直線 AB 的傾斜角為，則由題意

13、可知|AF|BF故有：AF=cos1p=21 cos=3，解得cos=13，2 2sin3,AOB的面積為243 22sin24 23ABOpS。練習(xí) 17： （2010 重慶 14)已知以 F 為焦點的拋物線24yx上的兩點 A、B 滿足3AFFB ,則弦 AB的中點到準(zhǔn)線的距離為_.解：設(shè)直線 AB 的傾角為，AF=3FB A,B,F 在一條直線且AF= 3FB，COSP1=3COSP1， 解得= 60oAB=2sin2p=O60sin42=316, 所以所求值為38。第四節(jié).圓錐曲線的綜合問題題型：的綜合問題題型：練 習(xí) 18 ： （ 2011 天 津 文 6 ）已 知 雙 曲 線222

14、21(0,0)xyabab的 左 頂 點 與 拋 物 線22(0)ypx p的焦點的距離為 4，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的準(zhǔn)線的交點坐標(biāo)為（-2，-1） ，則雙曲線的焦距為（）A2 3B2 5C4 3D4 5解析解析：雙曲線22215xya的漸近線為byxa ，由雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點坐標(biāo)為（2，1）得22p ，即4p ，又42 ap，2a ，將（2，1）代入byxa得1b ，224 15cab ，即22 5c .選 B。練習(xí) 19： （2013 福建文 20）如圖 15，拋物線 E：y24x 的焦點為 F，準(zhǔn)線 l 與 x 軸的交點為 A.點 C 在拋物線 E 上，

15、以 C 為圓心，|CO|為半徑作圓，設(shè)圓 C 與準(zhǔn)線 l 交于不同的兩點 M，N.(1)若點 C 的縱坐標(biāo)為 2，求|MN|；(2)若|AF|2|AM|AN|，求圓 C 的半徑圖 15解：(1)拋物線 y24x 的準(zhǔn)線 l 的方程為 x1.由點 C 的縱坐標(biāo)為 2，得點 C 的坐標(biāo)為(1，2)，所以點 C 到準(zhǔn)線 l 的距離 d2，又|CO| 5，所以|MN|2|CO|2d22542.(2)設(shè) Cy204，y0，則圓 C 的方程為xy2042(yy0)2y4016y20，即 x2y202xy22y0y0.由 x1，得 y22y0y1y2020.設(shè) M(1，y1)，N(1，y2)，則4y2041

16、y202 2y2040，y1y2y2021.由|AF|2|AM|AN|，得|y1y2|4，所以y20214，解得 y0 6，此時0.所以圓心 C 的坐標(biāo)為32， 6或32， 6，從而|CO|2334，|CO|332，即圓 C 的半徑為332.2）圓錐曲線中直線恒過定點問題練習(xí) 20： （2011 山東文 22）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓22:13xCy.如圖所示，斜率為(0)k k且不過原點的直線l交橢圓C于A，B兩點，線段AB的中點為E，射線OE交橢圓C于點G，交直線3x 于點( 3,)Dm.（）略； （）若2OGODOE，（i）求證：直線l過定點；解析:（）由題意:設(shè)直線:(0)l

17、 ykxn n,由2213ykxnxy得:222(1 3)6330kxknxn,設(shè) A11( ,)x y、B22(,)xy,AB 的中點E00(,)xy,則由韋達(dá)定理得:12xx=261 3knk,即0231 3knxk,00231 3knykxnknk21 3nk, 所 以 中 點 E 的 坐 標(biāo) 為E23(,1 3knk2)1 3nk,直線 OE 的斜率為00yx=13k，故 OE 所在的直線的方程為 y=13kx,在y=13kx 中，令 x=-3 得 m=1k，即 D（-3，1k）由221313yxkxy 得交點 G 坐標(biāo)為 G（2331kk，2131k ）,由距離公式及 n0 得2OG（2331kk）2+（2131k ）2=229131kk；222191( 3)()KODKK，OE 222222391()()313131knnnkKKk； 由2OGODOE，得 n=k,所以直線l的方程為: l ykxk,即有:(1)l yk x,所以直線l過定點(-1,0).練習(xí) 21:求 m 的取值范圍，使橢圓22143xy上存在兩點關(guān)于直線 y=2x+m 對稱。設(shè) A