第三章大變形運動學與連續(xù)介質力學(1)

1、第三章大變形運動學與連續(xù)介質力學小變形：包括彈性或塑性小變形，應變0.1%Cauchy應變與位移是線性關系幾何線性問題 勺=*(怙+ S)大變形(有限變形):應變大，有時達到100200%,甚至更大 Cauchy應變不再適用幾何非線性問題，需要建立新的變形描述理論通常由純變形(stretch),剛體轉動(rigid body rotation)及剛體位移 (translation)組成3.1運動與變形的描述§ 3.1.1構形及其描述(1)構形的概念構形(configuration)：物體中所有質點的瞬時位置集合(所占據的空間區(qū)域) 稱為物體在該瞬時的構形。物體運動與變形=構形隨時間T

2、而變化物休運動和變形的過程也就是構形隨時間連續(xù)變化的過程初始構形：物體 R0 時刻的構形，initial (original, iindeformed) configuration?記為 心現畤形(當前構形)=所研究的瞬時i時刻的構形，cuirent. (deformed) configuration?記為c參考構形=為度量物體運動和變形，需要選取一個特定的構形作為基準，所選擇的構形稱為參考構形，記為0要研究f時刻的變形問題，f以前的任一時刻的構形都可作為參考構形 一般經常選擇初始構形(戶0時刻未變形的構形)為參考構形(2)構形的描述選擇兩個固定坐標系:伉3窗3(用大寫字母，在參考構形C中使用

3、，用于識別物體中的各物質點 俶皿備(用小寫字母)：在現時構形亡中使用，用于描述f時刻質點的空間位置/X/移轉張量(shifter) ； 3訂二&Ej二Ej£位移u：Ui =UKEK 纟=SiKUKU1 =E = ukek JE = 5kIuk通常取兩個完全重合的直角坐標系：£=兔則下標可不區(qū)分大小寫參考構形中的質點p,或質點x (X/) 微小線元PQ記作向量宓經過運動與變形后，在f時刻：構形C變?yōu)闃嬓蜟質點X/ (質點P)運動至Up,位移為“ p的空間坐標為x (兀)線TtPQ變?yōu)閜q，dX變?yōu)閐x質點X (X/)的運動:x = x(X?r)，兀=坷(X；昇) 質點

4、X；在f時刻所處的空間位置是匕 x-X + u , xi - 6.dXj + 氣X = X(曲),X, = X/(昇)/時刻占據空間位置禺的是質點X,X - x-u > X = 5jXj-UX (Xj)是用于識別物質點的，稱為物質坐標或拉格朗日(Lagrange)坐標 以物質坐標為自變量的描述方法稱為物質描述(material description或Lagrange description) x (兀)是用于表示空間位置的，稱為空間坐標或歐拉(Euler)坐標以空間坐標為自變量的描述方法稱為空間描述(spatial description或Euler description)§

5、;312質點的運動及物質導數(1)質點運動的Lagrange描述質點疋QXj)的在£時刻的位移:瓊-X 速度：=0 =加速度:i) "(X,° =壬it(X,i)(2)質點運動的Eulei描述空間描述通常直接給出/時刻空間點x (七)的瞬時速度:v = v(x,t) ， q =Ui(Xj,t)加速度:.di)V =+V3l Sc&D=+© gradf物質導數(Material derivative )、全導數：物質坐標X (X/)固定不變時對時間的導數，稱為物質時間導數di di+t)grad(p物質導數為兩項之和：第一項表示在固定空間點上的時間

6、導數，稱為局部(Local)導 數；第二項表示因質點在空間的運動引起的導數，稱為遷移(Convective)導數§3丄3現時構形中的線元、面元及體元(1)現時構形線元與參考構形線元之間的變換線元描述p點的空間坐標為：x=x(X,r)g點的空間坐標(作Taylor級數展開，略去高階小量) dxx(X + dXj)二 x(X,0 + dXdXpq線元為:dx = x(X + dX,t) - x(X J)二一dXexdxdXGrad x則現時構形中pg線元可表示為:dx： = XjjdXj了 、dxdx/dX dx/dY dx/dZ了 、dXdy> dy/dX dy/dY dy! d

7、ZdY >dzdz/dX dz/dY dz/dZdZ變形梯度張量(deformation gradient tensor ):另外還有：其中dX旦dxJ= grad X dxOXdx 二 Fdx = fdx， dXj 二 XI jdxj = dxj = fijdxj f=xij=-Ij “ dxj并有：Ff = I F=f'丿二 detF=|F|HO j = det/=|/|0 J 二 j-1線元還可表示為:Oudx =點(X + u)dX = (/ + )dXdxt (% + J )dXjOXdAOA j位移梯度張量:竺二 Grad 竺-ZdXdx"型飛ad空dxdx

8、hu = Uu = =Sji- = ji-Xij J “ dx： Jl dx:Jl 7,7從而有dx 二(Z + H)dX , dx,二 ©J + HtJ )dXj dX = (Z-h)dx , dXj = (/ 一 hIj)dxj（2）參考構形體元與現時構形體元之間的變換dx=dxQxdxdX1dXQxdxu = dX''dX在現時構形中六面休體元的休積為dxi不可壓縮:(bxc) = q“bjCkdxdx? dxgdxdxdxdxdx'ldxydvdv -做 dXj dXj dXKdvdVdXj dXk dXjdXdX =FdV的 detF=|F|= Jd

9、etF=|F|=l（3）參考構形面元與現時構形面元之間的變換面元dA法向方向余弦為N面元da法向方向余弦為(dx xdx' = n-da - eijkdXjdxk(dX x dX 兀=NLdA = eLMNdXMdXNsxLdxt. % QxkdX/XNt=>FdXMdXN = NLdA則有z5Ynida=F-NLdA=FXLiNLdAdxiNLclA=Fldxnda =| f | xi Ln(danda =| F FT Nd A =| F fr Nd A NdA =| FFrnda =| f F1 ndaX】COS&一 sin 00_ 、X> sin&CO

10、S&0>4.001X-現時構形c§ 3.2變形分析小變形應變的局限性：物體在xy平面上繞O點剛體轉動,轉角0質點X,運動后在現時構形中的坐標：質點X/的位移：=X _ X = X COS0 X X2 sin <9u2 - x1-X1-sin 0 + X2 cos 6-X1小變形Cauchy應變:% -，（+%）=尸22 = cos& 1 若 0 = 90° ,貝I剛體轉動任意一點的應變都是0。只有當&兀0時應變公式才有足夠的精度Cauchy應變不適用于大變形§ 3.2.1變形張量（1）變形張量的概念現時構形中線元長度的平方：ds

11、2 = dxTdx =dX = dX1 FrFdX，Gj FkIFkJ = xkIxkJc = ftf右變形張量（右Cauchy-Green張量，right Cauchy-Green tensor ）:5參考構形中線元長度的平方：dS2 = dXTdX = dx)T dx = dxTF-TFdxdx dx左變形張量(左Cauchy-Green張量,left Cauchy-Green tensor):Bij Wj，K QXk dXK 由于線元的平方恒為正值，所以變形張量C、巧皆為對稱正定張量B = FFt =廣廠丁dxi %（2）變形梯度的極分解變形梯度可唯一地分解成一個正交張量（旋轉）與一個對

12、稱張量（伸長）的乘積:F=RU = VR ,傷二丿二嶺人U = （F7 F）L 2 = Cl/2 右Cauchy-Green伸長張量（Cauchy-Green stretch tensor）,對稱正定V = （jFF7）172 = Bl/1左Cauchy-Green伸長張量，對稱正定）R = FU'1 = y-lF正交張量，代表純轉動，稱為旋轉張量(3) 變形張量的主值C、£皆為對稱正定張量，且B = (FrylFTFFT = (FTyLCFr 二者具有相同的實特征值：由于 U = Cm, V = 51/2,因此："的主值是Q主值的開方，/的主值是丘主值的開方，二者

13、育相同的主值4二凡，易，兔 "與C有相同的主方向叩)，F與丘苞相同的主方向碼并有：咱二R時)二者的主方向相互之間作了旋轉將胡罠戲嚴歸一化后，挫列成矩陣= 吩呼即即,呼斶砂),則有:Av = nJ o0兔 00u 二nJ 0&° Nro o 人變形后的線元:R卩嚴方向dx = FdX = RUdX = RUdX) 主軸方向的線元dXdx的變形過程， 分解為先作純變形卩，再作純轉動K的 兩種變換dx=FdX=VRdX=V(RdX) 先作純轉動K，再作純變形7§ 322格林(Green)應變張量與阿爾曼西(Almansi)應變張量(1) Green應變張量與Al

14、mansi應變張量的定義線元長度平方的改變量為：ds2 一 dS? = dXTCdX - dXTdX = dXC-I)dX = dXT(2E)dXGreen應變張量：E 二丄(C-7)二丄(FrF-I),0lj) = 7(也內，丿兀)當OX1X2X3與冰必力重合時:du：+ -ax,.2 2勺冷站譽瓷)弓礦gm1 dudu. duk dukdxt d: dxj線元長度平方的改變量還可表示為:ds1 -dS1 - dxTdx - dxTBdx = dxT(I - B)dx - dxT(2e)dxAlmansi應變張量：e = |(Z-B-1) = |(Z-F-7F-L)E和纟都是對稱張量對于剛體

15、轉動情況，可以檢驗其所有Gfeen應變分量與Almansi應變分量都等于零質點上運動后在現時構形中的坐標:?！緾OS&一 sin 00_> 二sin <9COS&0<X"、吃001可計算出變形梯度:cos 6一 sin 0O'F =sinffCOS00_ 001由于= 因此，C = B1=I,從而E = -(C-D = O, = |(/-£-1) = 02 2剛體運動時的各變形量：剛體運動時，線元的長度均不變，W-ds2-dS2dXT(FtF-I)dX = dXT(C-Z)dX = dXT(2E)dX 二 0ds1 -dS2=dxl

16、-F'TF'dx 二二 dx (2e)dx = 0因此有：FtF = I detF = l ,C 二礦' =I E = C-/) = O , e = -(I-B-) = O9zzGreen應變分量和與Alinansi應變分量不受剛體運動影響，可以度量大變形狀態(tài)另外：_U = V = 1, <7與P的主值都是1 (主方向的線元無伸長變形)F = UR= RV =從必必的變形過程，只包舍剛體移動及純轉動R(2)應變張量之間的關系 Green應變張量與Almansi應變張量的關系EIJ = FkIFUekl = XkjXijSe = F-'EF-1 = fTEf

17、 ,eij fKi fLjKLX KjX l/kl與小變形應變的關系小變形時：«1«1dXj0 0dxi dXi微分運算不需要區(qū)分質點在現時構形中的坐標和在參考構形中的坐標，略去高階分量，Green應變和與Alinansi應變退化為小應變張量(Cauchy應變)：r_ 1 z dui 加八 _ 1 /dUj£計 Q E.j eu (1) = 一 (1)“2 8Xj dX/ 2 6x)dx/(3)應變張量的主值變形張量的主值為肥，由£ =丄(C-Z), £=丄(丘為可以看出:2 2 Green應變張量E的主值為丄(肚一 1),其主方向與頁c相同為

18、熬嚴2 Alm ansi應變張量£的主值為£(1-昭)，其主右向與F、丘相同為砒®§ 3.2.3廣義應變張量利用右伸長張量可定義廣義Lagrange應變張量渥叫 羽叭=丄（uw-r）m當m = 2時，就是Gr遜應變張墨=- F）= -（C-P）2 2當型TO時的極限稱為自然應變（對數應變、Hencky應變人曲=h m 鉀=h m-（£7M-/） = ln£7M >0M> 0 并g利用左伸長張重憶可定義廣義Euler應變張量/叫m當胺=-2時，就是Almansi應變張墨 才打=丄（廠2 _孝=丄（孑_礦1）2 2當然TO時的

19、極限就是對數應變：豪)=litnd =lim-(FM - J) = InF =-llnB1M> 0m>0 22【例】圓桿單向拉伸均勻塑性大變形（忽略彈性變形）問題的變形與應變質點（x, y, z）變形后的坐標 條件）為：（結合體積不變2變形梯度為:QI00張量C及U :c = ftf=0(/of000l小一lQ/I00 張量B及b = fft =0("G2000IJl旋轉張量: R = FU-1 = V'XF = 1u = c1/2 =PM000 /。00 一0仏/)1:仏嚴00 _V 二 b1/2 =0/o000仏/)"000-2-1 0 0000-2

20、-1 0 0Green應變張量:G2f00-1 00衛(wèi)一1Alinansi應變張量:V2對數應變:於°）二 In?二111 質點（X，匕Z）的位移:小變形應變:uY = x- Xy=yY1。uz = Z-Z = Z1一I。0A/o01-(【例】簡單剪切變形間題.求f7f-c7c-b7b-質點（X, y, Z）變形后的坐標為：X X +、 X)= X)?變形梯度:",dx150F =010ex001Cauchy-Green 張量 C 及 :Green應變張量:F1dXdxC = F1 F = 561+&1E二丄（c_z）二丄（52 2051 + J200_011 0

21、0Alinansi應變張量：嚴=扣-礦上冬。1 00 0 1Xqe *Deformed square0_ 16o-0Bl = FTFl =51+尸01001o oi ro1 0)步0 1 06810 1-8o'"060_-81+尸0)=I8-810001000§ 3.2.4變形率與應變速率張量1.速度梯度及其分解質點p相對于質點p的相對速度為：dv = dxdu. - o.(x. + AXpZ)-u(XpZ)=-dx.,速度梯度張量(Euler速度梯度張量)：id". ,J dXj ado dxdq = IqdXj , dv = Idx也可定義速度對物質坐

22、標的梯度:du. ax? - %dv_dXGrad v速度梯度張量是非對稱張量，可做如下分解:黠繪+T等吩屮)申"du. 1 dv. Ou) 1 du. Ou ： 11 f寸芯+藥)+血一訐 n 4+G+1 s _ G變形率張量(rate of deformation tensor ):dv-sym 'dx=syniZ = (Z + Zr)旋轉（旋率）張量（spin tensor）:iv = asyin = asym2 = (Z-/r),一 dx2心7 + wdxdij + Wijdv = (d+ w)dx dq = (d“ + wij)dxj旋轉張量佃可用速度辺的旋度（渦旋

23、矢量）curl v = rot v = ,憶=eijkwjkicurl v = rot v =血冷譽+等）承+ »W.二丄（匹_叫）=丄（厶._仁）% 2込 dx/ 2-"軸矢量表不:（2）參考構形中的變形率張量與旋轉張量 速度梯度張量Z、變形率張量及旋轉張量w都是在現時構形中定義的，它們都和現時 構形中的速度及其導數有關，通過變形梯度可將它們與參考構形聯系起來F = RU => FRU + RU由F =可得i = （Ru+nuyr-1 = 曲"+衛(wèi)療礦】圧】=g+rUu"疋如=喩+爲込。刀'血冬邂相對旋率張量：彳=血=加,3 g址= Ri

24、f = 0丈是反對稱張量rf = l（Z + Zr） = ij?（f7礦】+礦方）疋如=£盡丈（葛曠 +曠九）乞22Z初=*-廠）=X2+扌2?（療礦1 -礦方）疋 2 + 土弧少'趣-曠人）%Q不僅和旋率有關，而且和純變形有關僅當£7 = 0時，種和Q才相同2.變形梯度及其行列式的物質導數變形梯度尸及其行列式deLF (|F|)的物質導數就是它們隨時間的變化率物質變形梯度F的物質導數:=l(Gradx)=Grad =di di8k又有:1 = grad v = FF_1空間變形梯度f=F1的物質導數:利用關系F宀f,可得軌 Y = 一尸如=-F-grad v =

25、-F-1/£ S "鬻簽"3變形梯度行列式IFI的物質導數： 勺尸|二| F |叫=| F | lkk亠畑巧二生電電)"曲西埜電+西壘電+生坐電)didi dX, dX j dXdX, dXj dXx dX, dX3 dXK dX, dXj dXK西dx2 dx3 呢3i?2 3乓 曲3込昵湛湛% *近嘰湛辺*湛忍盹辺Qq dXj dx2 dx3 _ dvY dxv dx2 dx3 Qq dx2 dx2 dx3 Qq dx3 dx2 dx3= Ukr (11)說 dX1 dXj dXK IJK dx, dX/ dXy dXK dx2 dX1 dXy dX

26、K dx3 dX1 dXy dXKdxvdvY dx dx2 8X3 dxe,JK dX dXj dXK3.應變速率張量(1) Green應變速率張量E=- (F* = - (FrF + FtF) = -11F)tF + FtIF=-Ft (f +T)F = FTdF 2dt222Green應變速率張量左是自變量為X (.Xj)的對稱張:量線元長度平方的變化率: (ds1 dS2) = (ds2) = dx1 dx) (dx7dx) = dv1 dx + dx1 dv dtdtdtdt=dxT()T +dx = 2dxrddx = 2dX 丁dF )dXdx dx (ds2)= 2d .dx.dx.二 2d. dX.dX.dt ) y z 7 J OXXj 1 J線元d$的伸長率：冬®/山=也dtJ ds ds剛體運動時線元的長度不變，4山則E =0變總率區(qū)和GrEen應變速率應2剛體運動無關，只和物體的純變形率有關(2) Almansi應