量子力學(xué)思考題

1、量子力學(xué)思考題1、以下說法是否正確：（1）量子力學(xué)適用于微觀體系，而經(jīng)典力學(xué)適用于宏觀體系；（2）量子力學(xué)適用于不能忽略的體系，而經(jīng)典力學(xué)適用于可以忽略的體系。解答：（1）量子力學(xué)是比經(jīng)典力學(xué)更為普遍的理論體系，它可以包容整個經(jīng)典力學(xué)體系。（2）對于宏觀體系或可以忽略的體系，并非量子力學(xué)不能適用，而是量子力學(xué)實(shí)際上已經(jīng)過渡到經(jīng)典力學(xué)，二者相吻合了。2、微觀粒子的狀態(tài)用波函數(shù)完全描述，這里“完全”的含義是什么？解答：按著波函數(shù)的統(tǒng)計解釋，波函數(shù)統(tǒng)計性的描述了體系的量子態(tài)。如已知單粒子（不考慮自旋）波函數(shù)，則不僅可以確定粒子的位置概率分布，而且如粒子的動量、能量等其他力學(xué)量的概率分布也均可通過而完

2、全確定。由于量子理論和經(jīng)典理論不同，它一般只能預(yù)言測量的統(tǒng)計結(jié)果，而只要已知體系的波函數(shù)，便可由它獲得該體系的一切可能物理信息。從這個意義上說，有關(guān)體系的全部信息顯然已包含在波函數(shù)中，所以說微觀粒子的狀態(tài)用波函數(shù)完全描述，并把波函數(shù)稱為態(tài)函數(shù)。3、以微觀粒子的雙縫干涉實(shí)驗(yàn)為例，說明態(tài)的疊加原理。解答：設(shè)和是分別打開左邊和右邊狹縫時的波函數(shù)，當(dāng)兩個縫同時打開時，實(shí)驗(yàn)說明到達(dá)屏上粒子的波函數(shù)由和的線性疊加來表示，可見態(tài)的疊加不是概率相加，而是波函數(shù)的疊加，屏上粒子位置的概率分布由確定，中出現(xiàn)有和的干涉項(xiàng)，和的模對相對相位對概率分布具有重要作用。4、量子態(tài)的疊加原理常被表述為：“如果和是體系的可能態(tài)

3、，則它們的線性疊加也是體系的一個可能態(tài)”。（1）是否可能出現(xiàn)；（2）對其中的與是任意與無關(guān)的復(fù)數(shù)，但可能是時間的函數(shù)。這種理解正確嗎？解答：（1）可能，這時與按薛定諤方程的要求隨時間變化。（2）如按這種理解 已知和是體系的可能態(tài)，它們應(yīng)滿足波方程式 如果和的線性疊加也是體系的可能態(tài)，就必須滿足波方程式 ，然而， 可見，只有當(dāng)時，才有。因此，中，與應(yīng)是任意復(fù)常數(shù)，而不是時間的復(fù)函數(shù)。如上式中態(tài)不含時間，則有。5、（1）波函數(shù)與、是否描述同一態(tài)？（2）下列波函數(shù)在什么情況下才是描述同一態(tài)？這里是復(fù)常數(shù)，是實(shí)常數(shù)。解答：（1）與、描述的相對概率分布完全相同，如對空間和兩點(diǎn)的相對概率 ，故與、均描述同

4、一態(tài)。（2）由于任意復(fù)數(shù)，以及 顯然，只有當(dāng)復(fù)數(shù)，即，且時， 均描述同一態(tài)。6、量子力學(xué)規(guī)律的統(tǒng)計性與經(jīng)典統(tǒng)計力學(xué)的統(tǒng)計規(guī)律有何不同？量子力學(xué)統(tǒng)計規(guī)律的客觀基礎(chǔ)是什么？解答：經(jīng)典統(tǒng)計力學(xué)的基礎(chǔ)是牛頓力學(xué)，例如一定量氣體中每個氣體分子在每個瞬時都有確定的位置和動量，每個分子都按牛頓運(yùn)動定律而運(yùn)動，而大量分子組成的體系存在著統(tǒng)計規(guī)律。例如，對個別分子不存在溫度這個概念，處于平衡態(tài)的理想氣體的溫度是分子平均平動動能的量度。 與經(jīng)典力學(xué)不同，量子力學(xué)不是像經(jīng)典統(tǒng)計力學(xué)那樣建立起來的宏觀理論，波函數(shù)的統(tǒng)計解釋是量子力學(xué)的理論結(jié)構(gòu)中的基本假設(shè)。 在傳統(tǒng)的解釋中，量子力學(xué)規(guī)律的統(tǒng)計性被認(rèn)為是由波粒二象性所決

5、定的微觀粒子的本質(zhì)特性，是觀測儀器對微觀粒子的不可控制的作用的結(jié)果。如類似經(jīng)典粒子那樣，進(jìn)一步問：統(tǒng)計性的微觀實(shí)質(zhì)是什么？依據(jù)是什么？則被認(rèn)為是超出了基本假設(shè)限度，因而是沒有意義的，也是沒有必要的。7、量子力學(xué)為什么要用算符表示力學(xué)量？表示力學(xué)量的算符為什么必須是線性厄密的？解答：用算符表示力學(xué)量，是量子體系所固有的波粒二象性所要求的，這正是量子力學(xué)處理方法上的基本特點(diǎn)之一。我們知道，表示量子態(tài)的波函數(shù)是一種概率波，因此，即是在一確定的量子態(tài)中，也并非各力學(xué)量都有完全確定值，而是一般的表現(xiàn)為不同數(shù)值的統(tǒng)計分布，這就注定了經(jīng)典力學(xué)量的表示方法（可由運(yùn)動狀態(tài)完全決定）不再使用，因此需要尋求新的表示

6、方法。 下面從力學(xué)量的平均值的表示式出發(fā)，說明引入算符的必要性。 如果體系處于中，則它的位置平均值為 類似地，它的動量的平均值也可表示為 若要求出上述積分，必須將p表示為x的函數(shù)，然而這是做不到的，因?yàn)榘床淮_定關(guān)系P(x)的表示是無意義的，因此不能直接在坐標(biāo)表象中用上式求動量平均值。我們可先在動量表象中求出動量平均值，然后再轉(zhuǎn)換到坐標(biāo)表象中去。 利用有 作代換，并對積分得（推廣到三維） 可見，要在坐標(biāo)表象中計算動量平均值，那么動量矢量恰與算符相當(dāng)。實(shí)際上，任何一個力學(xué)量在非自身表象中計算平均值時，都與相應(yīng)的算符相當(dāng)，自然會引入算符表示力學(xué)量的概念。 用算符表示力學(xué)量問題還可以從另一個角度來說明

7、。我們知道，在量子力學(xué)中，力學(xué)量之間的關(guān)系從其數(shù)值是否能同時確定來考慮，有相互對易與不對易兩種，而經(jīng)典力學(xué)量之間都是對易的，因此經(jīng)典力學(xué)量的表示方法不能適用于量子力學(xué)，然而數(shù)學(xué)運(yùn)算中算符與算符之間一般并不滿足交換律，也就是存在不對易情況，因此用算符表示力學(xué)量是適當(dāng)?shù)摹?力學(xué)量必須用線性厄密算符表示，這是由量子態(tài)疊加原理所要求的；任何力學(xué)量的實(shí)際測量值必須是實(shí)數(shù)，因此它的本征值也必為實(shí)數(shù)，這就決定了力學(xué)量必須由厄密算符來表示。8、力學(xué)量之間的對易關(guān)系有何物理意義？解答：力學(xué)量之間的對易關(guān)系，是量子力學(xué)中極為重要的關(guān)系。它相當(dāng)于舊量子論中的量子化條件，具有深刻的物理含義。對易關(guān)系表明，經(jīng)典因果性不

8、是普遍成立的，并指出各類力學(xué)量能夠同時確定的條件（相互對易），體現(xiàn)了量子力學(xué)的基本特點(diǎn)。與不確定原理一樣，力學(xué)量之間的對易關(guān)系也是來源于物質(zhì)的波粒二象性。從純理論的角度說，它也可以作為量子力學(xué)的基本出發(fā)點(diǎn)。此外，對于有的力學(xué)量，對易關(guān)系反映了它的基本特征，如，就可作為角動量的定義。9、什么是力學(xué)量的完全集？它有何特征？解答：設(shè)有一組彼此獨(dú)立而又相互對易的力學(xué)量（），它們的共同本征函數(shù)系為，如果給定一組量子數(shù)就可以確定體系的一個可能態(tài)，那么，就稱（）為體系的一個力學(xué)量完全集。它的特點(diǎn)是：（1）力學(xué)量完全集的共同本征函數(shù)系構(gòu)成一個希爾伯特空間；（2）力學(xué)量完全集所包含力學(xué)量的數(shù)目等于量子數(shù)組所包含

9、的量子數(shù)數(shù)目，即體系的自由度數(shù)；（3）力學(xué)量完全集中所有力學(xué)量是可以同時測量的。10、何謂定態(tài)? 它有何特征？解答：定態(tài)就是概率密度和概率流密度不隨時間而變化的狀態(tài)。若勢場恒定，則體系可以處于定態(tài)。定態(tài)具有以下特征:（1）定態(tài)波函數(shù)時空坐標(biāo)可以分離，其中是哈密頓量的本征函數(shù)，而為相應(yīng)的本征值；（2）不顯含時間的任何力學(xué)量，對于定態(tài)的平均值不隨時間而變化，各種可能值出現(xiàn)的概率分布也不隨時間而變化。注意，通常用表示定態(tài)只是一種簡寫，定態(tài)是含時態(tài)，任何描寫粒子狀態(tài)的波函數(shù)都是含時的。11、（1）任意定態(tài)的疊加一定是定態(tài)。理由如下：定態(tài)的線性疊加 態(tài)中平均值與無關(guān)，所以疊加態(tài)是定態(tài)。（2）體系的哈密頓

10、量不顯含時間時，波動方程的解都是定態(tài)解。以上說法正確嗎？解答：（1）能量不同的定態(tài)的疊加態(tài)中，不具有確定的能量值，盡管與無關(guān)，但位置概率密度依賴于時間，這表明任意定態(tài)的疊加不再具有定態(tài)的特征，是非定態(tài)。 （2）由于波動方程是線性的，體系中不同定態(tài)疊加而成的非定態(tài)仍是波動方程的解。因此，只能說定態(tài)解（不顯含時間）是體系含時波動方程的解，但不能說該體系的含時波動方程的解都是定態(tài)解。由此可以看出，由于定態(tài)是能量的本征態(tài)，本征值方程中明顯出現(xiàn)，體系中不同能量的本征態(tài)的線性疊加不可能再是原本征方程的解，而這種疊加態(tài)正是實(shí)際存在的最一般的可能態(tài)。12、什么是束縛態(tài)？它有何特征？束縛態(tài)是否必為定態(tài)？定態(tài)是否

11、必為束縛態(tài)？舉例說明。解答：當(dāng)粒子被勢場約束在特定的區(qū)域內(nèi)運(yùn)動，即在無限遠(yuǎn)處波函數(shù)等于零的態(tài)叫束縛態(tài)。 束縛態(tài)的能級是分立的。例如，一維諧振子就屬于束縛定態(tài)，具有量子化的能級。但束縛態(tài)不一定是定態(tài)，例如限制在一維盒子中的粒子，最一般的可能態(tài)是一系列分立的定態(tài)疊加而成的波包，這種疊加態(tài)是沒有確定能量的非定態(tài)。雖然一般情況下定態(tài)多屬束縛態(tài)，但定態(tài)也可能有非束縛態(tài)，例如在散射中，粒子并不局限于有限區(qū)域，但粒子處于能量本征態(tài)，這時粒子處于非束縛態(tài)，或者說粒子處于散射定態(tài)（簡稱為散射態(tài)）。13、不確定關(guān)系如何體現(xiàn)微觀粒子的普遍本質(zhì)波粒二象性？解答：對于微觀粒子使用“波粒二象性”的術(shù)語，這本身既反映了經(jīng)典

12、物理概念的局限性，又反映了我們語言的局限性。我們可以認(rèn)為，物質(zhì)兼具粒子性和波動性，但確切地說，它們既不是經(jīng)典波，也不是經(jīng)典粒子，經(jīng)典物理中粒子和波的概念只有經(jīng)過修正才能被量子理論借用，不確定性關(guān)系就反映了這種修正，它給出了這兩個概念能夠被有效借用的限度，如給出了用粒子圖像描述物質(zhì)的局限性。14、如何用矩陣表示量子態(tài)與力學(xué)量，并說明理由。解答: 矩陣表示一般用于本征值為分立譜的表象（相應(yīng)希爾伯特空間的維數(shù)是可數(shù)的）。具體說，如果力學(xué)量的本征函數(shù)為，相應(yīng)本征值為。任意態(tài)矢可展開為 態(tài)矢在表象的表示為展開系數(shù)組成的一列矩陣 其意義是：在態(tài)中，力學(xué)量取值的幾率為，與坐標(biāo)表象波函數(shù)的意義相類似。力學(xué)量用

13、厄密矩陣表示 可見列矩陣與方陣維數(shù)與希爾伯特空間維數(shù)相同。 用矩陣表示力學(xué)量，理由如下： （1）可以反映力學(xué)量作用一個量子態(tài)而得到另一個量子態(tài)的事實(shí)。設(shè)，則 簡記為； （2）矩陣乘法一般不滿足交換律，這恰好能滿足兩個力學(xué)量一般不對易的要求； （3）厄密矩陣的性質(zhì)能體現(xiàn)力學(xué)量算符的厄密性。15、算符（力學(xué)量）在其自身表象中如何表示？其本征矢是什么?解答：力學(xué)量本征值是分立譜時，它在其自身表象中的表示是對角化的，對角元素就是它的本征值 本征矢為單一元素列矩陣 16、設(shè)，分別在坐標(biāo)和動量表象中寫出的矩陣元。解答：（1）坐標(biāo)表象基矢為 （2）動量表象基矢為 17、試將坐標(biāo)表象與動量表象加以比較，再由坐

14、標(biāo)表象的定態(tài)薛定諤方程直接寫出其在動量表象的表達(dá)式。解答：坐標(biāo)表象與動量表象是一對共軛表象，表示形式十分類似 表象 表象 ： ： 本征態(tài)： 本征態(tài)： 一般波函數(shù)在表象的表示與在表象的表示之間的關(guān)系為 可見，只要令有關(guān)表達(dá)式中，便可由一個表象轉(zhuǎn)到另一個表象；兩個表象波函數(shù)在傅立葉變換中互為鏡像。 定態(tài)S-eq在動量表象的表示 18、已知一維諧振子在坐標(biāo)表象的能量本征函數(shù)，不用計算，直接寫出其在動量表象的能量本征函數(shù)。解答：一維諧振子的哈密頓量為 其中 可見，對于和是對稱的，差別在于和不同，因而，和的形式應(yīng)當(dāng)完全一樣。 已知 故有 19、寫出能量表象的薛定諤方程表達(dá)式。解答：薛定諤方程在表象的表示

15、為 對于能量表象 所以能量表象的薛定諤方程表達(dá)式為 20、狄拉克符號中，引入了右矢，為什么又引入左矢，右矢和左矢能夠相加嗎？解答：在量子力學(xué)中，態(tài)空間是具有內(nèi)積的矢量空間，類似于希爾伯特空間波函數(shù)和的內(nèi)積，和的內(nèi)積記為，是對應(yīng)于的左矢，屬于伴隨空間的一個矢量。由于左矢和右矢是分屬于不同空間的矢量，它們不能相加。21、（1） （2） （3）如是的本征矢，則 （4）算符的物理意義是什么？公式成立的條件是什么？ 算符的物理意義在于，它作用于任何態(tài)矢上得到該態(tài)矢在基矢方向的投影矢量，；且，故稱為投影算符，是投影數(shù)值。公式成立的條件是基矢集組成正交、歸一、完備系，任意態(tài)矢均可按唯一展開，由于為任意態(tài)矢，

16、故得到，此式可作為完全集的定義式，稱為封閉性關(guān)系。22、簡述定態(tài)微擾論的基本思想。解答：量子力學(xué)體系的哈密頓算符不是時間的顯函數(shù)時，通過求解定態(tài)薛定諤方程，討論定態(tài)波函數(shù)。除少數(shù)特例外，定態(tài)薛定諤方程一般很難嚴(yán)格求解。求解定態(tài)薛定諤方程 時，若可以把不顯函時間的分為大、小兩部分 ，其中 ，即的本征值和本征函數(shù)是可以精確求解的，或已有確定的結(jié)果。滿足上述條件的基礎(chǔ)上，常引入一個很小參數(shù)（），將微擾寫成 ，以逐步近似的精神求解薛定諤方程。將能級和波函數(shù)以的冪級數(shù)展開 與稱為零級近似能量和零級近似波函數(shù)，是未受微擾時的本征能量和本征函數(shù)，也是我們求解微擾問題的必備基本條件，后面各項(xiàng)按的冪次稱為一級修

17、正、二級修正、。23、非簡并定態(tài)微擾論的適用條件是什么？解答：非簡并定態(tài)微擾論的適用條件為，一是要求微擾本身應(yīng)很小，二是要求能級間隔較大。24、證明：非簡并定態(tài)微擾中，基態(tài)能量的二級修正永為負(fù)值。解答：能量的二級修正，若為基態(tài)能量，當(dāng)然其數(shù)值為最小，因而在求和中的任一項(xiàng)，故永為負(fù)值。25、簡并態(tài)微擾與非簡并態(tài)微擾的主要區(qū)別是什么？什么條件下，簡并能級情況可用非簡并態(tài)微擾處理？解答：簡并態(tài)微擾與非簡并態(tài)微擾的主要區(qū)別是零級近似能量給定后，對應(yīng)的零級近似波函數(shù)一般說來是不能完全確定的。對于度簡并能級如選擇的個獨(dú)立的已使對角化，即，此時，對應(yīng)的零級近似波函數(shù)為，雖然能級是簡并的，仍可用非簡并定態(tài)微擾

18、論處理一級近似問題。26、若總哈密頓量在表象中為非對角矩陣，物理上意味著什么？若在表象中為對角矩陣，又意味著什么？解答：在表象不是對角矩陣，表示二者不對易，顯然和亦不對易，無共同本征態(tài)，這時需要另求的本征態(tài)。若在表象中為對角矩陣，說明二者對易，這時和亦對易，即的本征態(tài)是它們的共同本征態(tài)，使求解大為簡化。27、量子躍遷問題與定態(tài)微擾在研究目標(biāo)和處理方法上有何不同?解答：定態(tài)微擾和量子躍遷是量子力學(xué)中兩個不同類型的問題，在研究目標(biāo)和處理方法上都不一樣。定態(tài)微擾處理定態(tài)問題，考慮加入微擾后如何求出體系總哈密頓量的本征值和本征函數(shù)的修正項(xiàng)，其出發(fā)點(diǎn)是定態(tài)薛定諤方程。量子躍遷是考慮體系在微擾作用下，波函

19、數(shù)隨時間的變化問題，是依據(jù)含時薛定諤方程具體計算量子態(tài)之間的躍遷幾率問題。一般說來，這兩類問題都需要運(yùn)用近似方法求解。28、自旋可在坐標(biāo)空間中表示嗎？它與軌道角動量性質(zhì)上有何差異？解答：（1）自旋是內(nèi)稟角動量，它不能在坐標(biāo)空間中表示出來。（2）軌道角動量是微觀粒子的外部空間角動量，它可在坐標(biāo)表象中表示出來，量子數(shù)為整數(shù)，本征態(tài)為球諧函數(shù)；自旋是內(nèi)稟角動量，量子數(shù)為整數(shù)或半奇整數(shù)，自旋函數(shù)需用多分量波函數(shù)表示。此外，二者的旋磁比不同。29、電子的本征態(tài)常被寫為，；它們的含義是什么？解答：的本征態(tài)是自旋波函數(shù)的特例。由于在的本征態(tài)中，本征值僅有與量子數(shù)對應(yīng)，分別記為，；是電子的兩個線性獨(dú)立的自旋態(tài)

20、，組成一組正交完備基矢，以此為基矢的表象為表象。任一自旋態(tài)在表象中可展開為。30、對于自旋為1/2的粒子，是否存在態(tài)，在其中？解答：首先令在態(tài)中， 設(shè)，得； 再由 由于無法同時滿足，所以，對于自旋為1/2的粒子，使態(tài)是不存在的。31、微觀粒子的全同性原理表述為：“全同粒子體系中，體系的物理狀態(tài)不因交換任意兩個粒子而改變”。問：（1）“物理狀態(tài)”是指宏觀態(tài)還是微觀態(tài)？（2）“交換任意兩個粒子”的準(zhǔn)確含義是什么？（3）它與全同粒子的不可區(qū)分性有什么聯(lián)系？解答：（1）物理狀態(tài)不變是指體系的微觀態(tài)和宏觀態(tài)都不因全同粒子間的交換而改變，全同性原理中強(qiáng)調(diào)的是微觀態(tài)（量子態(tài)）的不變；（2）交換任意兩個粒子是

21、指在描述全同粒子體系狀態(tài)的波函數(shù)中交換兩個粒子的包括自旋在內(nèi)的全部坐標(biāo)；（3）實(shí)質(zhì)相同。所以，全同性原理往往也被稱為不可區(qū)分（分辨）原理。一、二維空間哈密頓算符在能量表象中的矩陣表示為 其中為實(shí)數(shù)。（1）用微擾公式求能量至二級修正； （2）求能量精確解。解：（1）首先看的矩陣元 即在自身表象為對角矩陣，本問題可寫為 于是可得微擾矩陣元 所以 同理可得 （2）設(shè)的本征矢為，則本征方程為 即有 、有非零解的條件是 由此可得關(guān)于本征值的二次方程 故本征值為 將根號整理展開得 所以（10分）二、假設(shè)一個定域電子（忽略電子軌道運(yùn)動）在均勻磁場中運(yùn)動，磁場 沿軸正向，電子磁矩在均勻磁場中的勢能：，這里，（）為電子的磁矩。（1）求定域電子在磁場中的哈密頓量，并列出電子滿足的薛定諤方程：；（2）假設(shè)時，電子自旋指向軸正向，即，求時，自旋的平均值；（3