[高三數(shù)學]文科立體幾何知識點方法總結高三復習

1、mll立體幾何知識點整理（文科）一直線和平面的三種位置關系：1. 線面平行l(wèi)符號表示：2. 線面相交al符號表示：3. 線在面內l符號表示：二平行關系：1.線線平行：方法一：用線面平行實現(xiàn)。mlmll/方法二：用面面平行實現(xiàn)。mlml/方法三：用線面垂直實現(xiàn)。若ml,，則ml /。方法四：用向量方法：若向量l和向量m共線且 l、 m 不重合，則ml /。2.線面平行：方法一：用線線平行實現(xiàn)。/llmml方法二：用面面平行實現(xiàn)。/ll方法三：用平面法向量實現(xiàn)。若n為平面的一個法向量 ，ln且l, 則/l。3.面面平行：方法一：用線線平行實現(xiàn)。/, ,/且相交且相交mlmlmmll方法二：用線面平

2、行實現(xiàn)。/,/且相交mlml三垂直關系：1. 線面垂直：方法一：用線線垂直實現(xiàn)。labacaabacablacl,方法二：用面面垂直實現(xiàn)。mlnlmllmmlabcllmllmlm,2. 面面垂直：方法一：用線面垂直實現(xiàn)。ll方法二：計算所成二面角為直角。3.線線垂直：方法一：用線面垂直實現(xiàn)。mlml方法二：三垂線定理及其逆定理。poloalpal方法三：用向量方法：若向量l和向量m的數(shù)量積為0，則ml。三夾角問題。(一)異面直線所成的角：(1) 范圍：90,0(2)求法：方法一：定義法。步驟 1：平移，使它們相交，找到夾角。步驟 2：解三角形求出角。(常用到余弦定理) 余弦定理：abcba2

3、cos222(計算結果可能是其補角) 方法二：向量法。轉化為向量的夾角(計算結果可能是其補角)：acabacabcos(二 )線面角(1)定義：直線l 上任取一點p（交點除外） ，作po于 o,連結 ao ， 則 ao 為斜線 pa 在面內的射影，pao(圖中)為直線 l 與面所成的角。aop(2)范圍：90,0當0時，l或/l當90時，l(3)求法：方法一：定義法。步驟 1：作出線面角，并證明。步驟 2：解三角形，求出線面角。(三 )二面角及其平面角(1)定義： 在棱 l 上取一點 p，兩個半平面內分別作l 的垂線（射線）m、 n，則射線m 和 n 的夾角為二面角 l的平面角。lmlmlcb

4、aabcnaoplaopnmlp(2)范圍：180,0(3)求法：方法一：定義法。步驟 1： 作出二面角的平面角(三垂線定理 )， 并證明。步驟 2：解三角形，求出二面角的平面角。方法二：截面法。步驟 1： 如圖，若平面 poa 同時垂直于平面和，則交線 (射線 )ap 和 ao 的夾角就是二面角。步驟 2：解三角形，求出二面角。aop方法三：坐標法(計算結果可能與二面角互補)。n1n2步驟一：計算121212cosnnnnnn步驟二：判斷與12nn的關系，可能相等或者互補。四距離問題。1點面距。方法一：幾何法。oap步驟 1： 過點 p 作 po于 o， 線段 po 即為所求。步驟 2：計算

5、線段po 的長度。 (直接解三角形；等體積法和等面積法；換點法) 2線面距、面面距均可轉化為點面距。3異面直線之間的距離方法一：轉化為線面距離。nm如圖， m 和 n 為兩條異面直線，n且/m， 則異面直線m 和 n 之間的距離可轉化為直線 m 與平面之間的距離。方法二：直接計算公垂線段的長度。方法三：公式法。dcbamdcbamn如圖， ad 是異面直線m 和 n 的公垂線段，/ mm，則異面直線m 和 n 之間的距離為：cos2222abbacd高考題典例考點 1 點到平面的距離例 1 如圖，正三棱柱111abcab c的所有棱長都為2，d為1cc中點（）求證：1ab 平面1a bd； （

6、）求二面角1aadb的大?。籥 b c d 1a1c1b（）求點c到平面1abd的距離解答過程 （）取bc中點o，連結aoabc為正三角形，aobc正三棱柱111abca bc中，平面abc 平面11bccb，ao平面11bcc b連結1bo，在正方形11bb c c中，od，分別 為1b cc c，的中點，1bobd，1abbd在正方形11abb a中，11abab，1ab 平面1a bd（）設1ab與1ab交于點g，在平面1abd中，作1gfad于f， 連 結af，由（）得1ab 平面1abd1afa d，afg為二面角1aadb的平面角在1aad中，由等面積法可求得4 55af，又112

7、2agab，210sin44 55agafgaf所以二面角1aadb的大小為10arcsin4（）1abd中，11152 26a bdbdadabs，1bcds在正三棱柱中，1a到平面11bccb的距離為3設點c到平面1abd的距離為d由11abcdca bdvv，得111333bcda bdssd，1322bcda bdsds點c到平面1abd的距離為22考點 2 異面直線的距離例 2 已知三棱錐abcs，底面是邊長為24的正三角形，棱sc的長為 2，且垂直于底面.de、分別為abbc、的中點，求cd 與 se 間的距離 . 解答過程 ： 如圖所示，取bd 的中點 f，連結 ef，sf，cf

8、 ，ef為bcd的中位線，efcdcd,面sef,cda b c d 1a1c1bo f 到平面sef的距離即為兩異面直線間的距離.又線面之間的距離可轉化為線cd上一點 c 到平面sef的距離，設其為h，由題意知，24bc,d、e、f 分別是 ab、bc 、bd 的中點，2,2,621,62scdfcdefcd33222621312131scdfefvcefs在 rtsce中，3222cescse在 rtscf中，30224422cfscsf又3,6sefsef由于hsvvsefcefssefc31，即332331h，解得332h故 cd 與 se 間的距離為332. 考點 3 直線到平面的距

9、離例 3 如圖，在棱長為2 的正方體1ac中， g 是1aa的中點，求bd 到平面11dgb的距離 . 思路啟迪 ：把線面距離轉化為點面距離，再用點到平面距離的方法求解. 解答過程 ：解析一bd平面11dgb，bd上任意一點到平面11dgb的距離皆為所求，以下求點 o 平面11dgb的距離 , 1111cadb，aadb111，11db平面11acca, 又11db平面11dgb平面1111dgbacca，兩個平面的交線是go1, 作gooh1于 h，則有oh平面11dgb，即 oh 是 o 點到平面11dgb的距離 . 在ogo1中，222212111aooosogo. 又362,23212

10、111ohohgoohsogo. 即 bd 到平面11dgb的距離等于362. b a c d o g h 1a1c1d1b1o解析二bd平面11dgb，bd上任意一點到平面11dgb的距離皆為所求，以下求點b 平面11dgb的距離 . 設點 b 到平面11dgb的距離為h，將它視為三棱錐11dgbb的高，則，由于632221,111111dgbgbbddgbbsvv34222213111gbbdv, ,36264h即 bd 到平面11dgb的距離等于362. 小結 ：當直線與平面平行時，直線上的每一點到平面的距離都相等，都是線面距離.所以求線面距離關鍵是選準恰當?shù)狞c， 轉化為點面距離.本例解

11、析一是根據(jù)選出的點直接作出距離；解析二是等體積法求出點面距離. 考點 4 異面直線所成的角例 4 如圖，在rtaob中，6oab，斜邊4abrtaoc可以通過rtaob以直線ao為軸旋轉得到，且二面角baoc的直二面角d是ab的中點（i）求證：平面cod平面aob；（ii）求異面直線ao與cd所成角的大小解答過程 ： （i）由題意，coao，boao，boc是二面角baoc是直二面角，cobo，又aoboo，co平面aob，又co平面cod平面cod平面aob（ii）作deob，垂足為e，連結ce（如圖），則deao，cde是異面直線ao與cd所成的角在rtcoe中，2cobo，112oebo

12、，225cecooe又132deao在rtcde中，515tan33cecdede異面直線ao與cd所成角的大小為15arctan3小結 ： 求異面直線所成的角常常先作出所成角的平面圖形，作法有：平移法：在異面直線中的一條直線上選擇“特殊點” ，作另一條直線的平行線，如解析一，或利用中位線，如解析二；補形法：把空間ocadbeocadbxyz圖形補成熟悉的幾何體，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關系，如解析三 .一般來說， 平移法是最常用的，應作為求異面直線所成的角的首選方法.同時要特別注意異面直線所成的角的范圍：2,0. 考點 5 直線和平面所成的角例 5. 四棱錐 sabcd 中，底面a

13、bcd為平行四邊形， 側面sbc底面abcd 已知45abc，2ab，2 2bc，3sasb（）證明sabc； （）求直線sd與平面sab所成角的大小解答過程：（） 作sobc，垂足為o，連結ao，由側面sbc底面ab，得so底面abcd因為sasb，所以aobo，又45abc， 故a o b為 等 腰 直 角 三 角 形 ，aobo，由三垂線定理，得sabc（）由（）知sabc，依題設adbc，故saad， 由2 2adbc，3sa，2ao，得1so，11sdsab的面積22111222sabsaab連結db，得dab的面積21sin13522sab ad設d到平面sab的距離為h，由于ds

14、absabdvv，得121133h sso s，解得2h設sd與平面sab所成角為，則222sin1111hsd所以，直線sd與平面sbc所成的我為22arcsin11小結 ：求直線與平面所成的角時，應注意的問題是（1）先判斷直線和平面的位置關系；（2）當直線和平面斜交時，常用以下步驟：構造作出斜線與射影所成的角，證明論證作出的角為所求的角，計算常用解三角形的方法求角，結論點明直線和平面所成的角的值. 考點 6 二面角例 6如圖， 已知直二面角pq，apq，b，c，cacb，45bap，直線ca和平面所成的角為30 （i）證明bcpq（ii）求二面角bacp的大小a b c q p dbcas

15、odbcas過程指引 ： （i）在平面內過點c作copq于點o，連結ob因為，pq，所以co，又因為cacb，所以oaob而45bao，所以45abo，90aob，從而bopq，又copq，所以pq 平面obc因為bc平面obc，故pqbc（ii）由（ i）知，bopq，又，pq，bo，所以bo 過點o作ohac于點h，連結bh，由三垂線定理知，bhac故bho是二面角bacp的平面角由（ i）知，co，所以cao是ca和平面所成的角，則30cao，不妨設2ac，則3ao，3sin 302ohao在rtoab中 ，45abobao， 所 以3b oa o， 于 是 在rtboh中 ，3t a

16、n232bobhooh故二面角bacp的大小為arctan2小結 ：本題是一個無棱二面角的求解問題.解法一是確定二面角的棱，進而找出二面角的平面角.無棱二面角棱的確定有以下三種途徑：由二面角兩個面內的兩條相交直線確定棱，由二面角兩個平面內的兩條平行直線找出棱，補形構造幾何體發(fā)現(xiàn)棱；解法二則是利用平面向量計算的方法，這也是解決無棱二面角的一種常用方法，即當二面角的平面角不易作出時，可由平面向量計算的方法求出二面角的大小. 考點 7 利用空間向量求空間距離和角例 7 如圖，已知1111abcdabc d是棱長為3的正方體，點e在1aa上，點f在1cc上，且11aefc（1）求證：1ebfd， ， ，四點共面；（2）若點g在bc上，23bg，點m在1bb上，gmbf，垂 足 為a b c q p o h cbaghmdef1b1a1d1ch，求證：em 平面11bcc b；（3）用表示截面1ebfd和側面11bcc b所成的銳二面角的大小，求tan過程指引 ： （1）如圖，在1dd上取點n，使1dn，連結en，cn，則1aedn，12cfnd因為aedn，1ndcf，所以四邊形adne，1cfd n都為平行四邊形從而enad，1fdcn又因為adbc，所以enbc，故四邊形bcne是平行四邊形，由此推知cnbe，從而1fdbe因