北京市石景山區(qū)2016屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理試題

1、石景山區(qū)20152016學(xué)年第一學(xué)期期末考試試卷高三數(shù)學(xué)（理）本試卷共6頁(yè)，150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘請(qǐng)務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效考試結(jié)束后上交答題卡.第一部分（選擇題 共40分）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng) 1設(shè)集合，則（）A. 1 B. C. D.2若變量滿足約束條件,則的最大值為（）ABCD3右面的程序框圖表示算法的運(yùn)行結(jié)果是（ ）A. B. C. D. 4已知數(shù)列是等差數(shù)列，則前項(xiàng)和中最大的是（ ）A. B.或 C.或 D.5“”是直線與直線平行的（ ） A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條

2、件 D.既不充分也不必要條件6若曲線上只有一個(gè)點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為1，則的值為（ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7如圖，點(diǎn)為正方體的中心，點(diǎn)為面的中心，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則空間四邊形在該正方體的面上的正投影不可能是（ ）8.如圖，在等腰梯形中，分別是底邊的中點(diǎn)，把四邊形沿直線折起，使得面面，若動(dòng)點(diǎn)平面，設(shè)與平面所成的角分別為（均不為0若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為( )A.直線B.橢圓C.圓D.拋物線 第二部分（非選擇題 共110分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分 9.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為_.10.的二項(xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù)為_（用數(shù)字作答）11.在中，角的對(duì)邊分別為.，則_.

3、 12.在極坐標(biāo)系中，設(shè)曲線和相交于點(diǎn)，則_. 13. 2位男生和3位女生共5位同學(xué)站成一排，若3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是_種.（用數(shù)字作答）14.股票交易的開盤價(jià)是這樣確定的：每天開盤前，由投資者填報(bào)某種股票的意向買價(jià)或意向賣價(jià)以及相應(yīng)的意向股數(shù)，然后由計(jì)算機(jī)根據(jù)這些數(shù)據(jù)確定適當(dāng)?shù)膬r(jià)格，使得在該價(jià)位上能夠成交的股數(shù)最多. （注：當(dāng)賣方意向價(jià)不高于開盤價(jià)，同時(shí)買方意向價(jià)不低于開盤價(jià)，能夠成交）根據(jù)以下數(shù)據(jù)，這種股票的開盤價(jià)為_元，能夠成交的股數(shù)為_.賣家意向價(jià)（元）2.12.22.32.4意向股數(shù)200400500100買家意向價(jià)（元）2.12.22.32.4意向股數(shù)6

4、00300300100三、解答題共6小題，共80分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程15（本小題共13分）已知函數(shù).（）求函數(shù)的最小正周期與單調(diào)增區(qū)間；（）求函數(shù)在上的最大值與最小值16（本小題共13分）某教育主管部門到一所中學(xué)檢查學(xué)生的體質(zhì)健康情況從全體學(xué)生中，隨機(jī)抽取12名進(jìn)行體質(zhì)健康測(cè)試，測(cè)試成績(jī)（百分制）以莖葉圖形式表示如下：成績(jī)52657288666778908根據(jù)學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)，成績(jī)不低于76的為優(yōu)良（）寫出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)；（）將頻率視為概率根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，在該校學(xué)生中任選3人進(jìn)行體質(zhì)健康測(cè)試，求至少有1人成績(jī)是“優(yōu)良”的概率；（）從抽取的12人中隨機(jī)選取3人

5、，記表示成績(jī)“優(yōu)良”的學(xué)生人數(shù)，求的分布列及期望17（本小題共14分）在四棱錐中，側(cè)面底面，為中點(diǎn)，底面是直角梯形，.（）求證：平面；（）求證：平面；（）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得二面角為？若存在,求的值；若不存在，請(qǐng)述明理由18.（本小題共13分）已知函數(shù) (,為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)). （）若曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸,求的值；（）求函數(shù)的極值；（）當(dāng)時(shí),若直線與曲線沒有公共點(diǎn),求的最大值19.（本小題共14分）已知橢圓的焦距為，其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形（）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）設(shè)為橢圓的左焦點(diǎn)，為直線上任意一點(diǎn)，過(guò)作的垂線交橢圓于點(diǎn)，.證明：經(jīng)過(guò)線段的中點(diǎn)(其中為坐標(biāo)原點(diǎn))

6、20（本小題共13分）給定一個(gè)數(shù)列，在這個(gè)數(shù)列里，任取項(xiàng)，并且不改變它們?cè)跀?shù)列中的先后次序，得到的數(shù)列稱為數(shù)列的一個(gè)階子數(shù)列已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為（為常數(shù)），等差數(shù)列是數(shù)列的一個(gè)3階子數(shù)列（）求的值；（）等差數(shù)列是的一個(gè) 階子數(shù)列，且 (為常數(shù)，求證：；（）等比數(shù)列是的一個(gè) 階子數(shù)列，求證：石景山區(qū)20152016學(xué)年第一學(xué)期期末考試高三數(shù)學(xué)（理科）參考答案一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分題號(hào)12345678答案DDA B BCDC二、填空題共6小題，每小題5分，共30分 題號(hào)91011121314答案72 2.2，600三、解答題共6小題，共80分15（本小題共13分）解：. 2分（）

7、的最小正周期為 4分 令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為. 7分（）因?yàn)?，所以，所?，于是 ，所以. 9分當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值. 11分當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)最大值. 13分16（本小題共13分）解：（）這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為86，中位數(shù)為86； 2分（）抽取的12人中成績(jī)是“優(yōu)良”的頻率為，故從該校學(xué)生中任選1人，成績(jī)是“優(yōu)良”的概率為， 4分設(shè)“在該校學(xué)生中任選3人，至少有1人成績(jī)是優(yōu)良的事件”為A，則； 6分（）由題意可得，的可能取值為0，1，2，3 7分， 11分所以的分布列為0123 13分17（本小題共14分）解：（）取的中點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，且，在梯形中，所以，四邊形為平行四邊形，所以

8、， 2分因?yàn)槠矫?，平面，所以平? 4分（）平面底面，所以平面，所以. 5分如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.則 6分，所以， 8分又由平面，可得，因?yàn)樗云矫? 9分（）平面的法向量為， 10分，設(shè)，所以， 11分設(shè)平面的法向量為，由，得，令所以， 12分所以， 13分注意到，得. 所以在線段上存在一點(diǎn)，使得二面角為，此時(shí) 14分18.（本小題共13分）解:()由,得. 2分又曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸, 得,即,解得. 4分(), 當(dāng)時(shí),為上的增函數(shù),所以函數(shù)無(wú)極值. 6分當(dāng)時(shí),令,得,. ,;,. 所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增, 故在處取得極小值,且極小值為,無(wú)極大值. 綜上,當(dāng)時(shí),函數(shù)

9、無(wú)極小值當(dāng),在處取得極小值,無(wú)極大值. 9分()當(dāng)時(shí), 令, 則直線:與曲線沒有公共點(diǎn), 等價(jià)于方程在上沒有實(shí)數(shù)解. 10分假設(shè),此時(shí), 又函數(shù)的圖象連續(xù)不斷,由零點(diǎn)存在定理,可知在上至少有一解,與“方程在上沒有實(shí)數(shù)解”矛盾,故. 12分又時(shí),知方程在上沒有實(shí)數(shù)解. 所以的最大值為. 13分解法二: ()()同解法一. ()當(dāng)時(shí),. 直線:與曲線沒有公共點(diǎn), 等價(jià)于關(guān)于的方程在上沒有實(shí)數(shù)解,即關(guān)于的方程: (*) 在上沒有實(shí)數(shù)解. 10分當(dāng)時(shí),方程(*)可化為,在上沒有實(shí)數(shù)解. 11分當(dāng)時(shí),方程(*)化為. 令,則有. 令,得, 當(dāng)變化時(shí),的變化情況如下表:當(dāng)時(shí),同時(shí)當(dāng)趨于時(shí),趨于, 從而的取值范圍為. 所以當(dāng)時(shí),方程(*)無(wú)實(shí)數(shù)解, 解得的取值范圍是. 綜上,得的最大值為. 13分19（本小題共14分）（）解：由已知可得， 2分解得， 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是. 4分（）證明：由（）可得，的坐標(biāo)是，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則直線的斜率. 5分當(dāng)時(shí)，直線的斜率.直線的方程是.當(dāng)時(shí)，直線的方程是，也符合的形式設(shè)，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立， 消去，得， 8分其判別式. 所以， . 10分設(shè)為的中點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為. 12分所以直線的斜率，又直線的斜率， 所以點(diǎn)在直線上，即經(jīng)過(guò)線段的中點(diǎn). 14分20（本小題共13分）解：（1）