第5章最小二乘法

1、第5章線性參數(shù)的最小二乘法處理最小二乘法是用于數(shù)據(jù)處理和誤差估計(jì)中的一個(gè)很得力的數(shù)學(xué)工具。對于從事精密科學(xué)實(shí)驗(yàn)的人們說來，應(yīng)用最小二乘法來解決一些實(shí)際問題，仍是目前必不可少的手段。第一節(jié) 最小二乘法原理最小二乘法的發(fā)展已經(jīng)歷了 200多年的歷史, 它最早起源于天文和大地測量的需要，其后 在許多科學(xué)領(lǐng)域里獲得了廣泛應(yīng)用。特別是 近代矩陣?yán)碚撆c電子計(jì)算機(jī)相結(jié)合。使最小 二乘法不斷地發(fā)展而久盛不衰。最小二乘法的產(chǎn)生是為了解決從一組測量 值中尋求最可信賴值的問題。、問題背景在測量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理中，經(jīng)常需要根據(jù)兩個(gè)量的一批觀測數(shù)據(jù)(Xi，yj, i=l, 2,n求出這兩個(gè)變量Y與X之間所滿足的一個(gè)函數(shù)關(guān)

2、系式丫 = f(X)。若變量間的函數(shù)形式根據(jù)理論分析或以往的經(jīng) 驗(yàn)已經(jīng)確定好了，而其中有一些參數(shù)是未知的， 則可通過觀測的數(shù)據(jù)來確定這些參數(shù)；若變量間的具體函數(shù)形式尚未確定，則需要通、問題背景在多數(shù)估計(jì)和曲線擬合的問題中，不論是參 數(shù)估計(jì)還是曲線擬合，都要求確定某些（或一個(gè)） 未知量，使得所確定的未知量能最好地適應(yīng)所 測得的一組觀測值，即對觀測值提供一個(gè)好的 頼合。解決這類問題最常用的方法就是最小二乘法。 在一些情況下，即使函數(shù)值不是隨機(jī)變量， 最小二乘法也可使用。設(shè)X和Y兩個(gè)物理量之間的函數(shù)關(guān)系為Y /XX皿如，心假定此函數(shù)關(guān)系f已知，但其中aP a2, ak等 參數(shù)還未求岀，現(xiàn)對于X和Y有

3、一批觀測數(shù)據(jù)：xP yj , i=l, 2,要利用這批數(shù)據(jù)在一定法貝ij之下作出這些參數(shù)aP a2, ak的估 計(jì)。一般根據(jù)測量的實(shí)際情況，可假設(shè)變量X的測量沒有誤 差(或與Y的誤差相比很小，可略去)，而變量Y的測量有 誤差，故關(guān)于Y的觀測值可以寫成鴿=丫茁+i = 1,2,曲這里yoi表示Xi對于的Y的變量真值，Ai表示相應(yīng)的測量 誤差。假設(shè)諸觀測值相互獨(dú)立且服從正態(tài)分布。在等精度觀測的 情況下，即認(rèn)為各誤差服從相同的正態(tài)分布N(0, cy)o現(xiàn)在的問題是一個(gè)參數(shù)估計(jì)問題：需要給出, a2,a*的估計(jì)值玄,a2 f > ak o解決這類問題最常用的方法就是最小二乘法。在一些情況 下，即

4、使函數(shù)值不是隨機(jī)變量，最小二乘法也可使用。最小二乘法準(zhǔn)則與正規(guī)方程在參數(shù)估計(jì)問題中，最小二乘法的法則是:所選取的參數(shù)估計(jì)值乙也2，么應(yīng)使變量Y的諸觀測 值與其真值的估計(jì)值(又叫擬合值)，即f(xi； apa2, .ak) 之差的平方和為最小。用式子表示時(shí)，記殘差片為片=/ y = yt 工冷爲(wèi)；=1 *2皿最小二乘法就是要求R =藝叩=；乞山門,TZi771在這個(gè)條件下，利用數(shù)學(xué)中求極值的方法可以求出 參數(shù),久。這樣求出的參數(shù)叫參數(shù)的最小 二乘估計(jì)。正規(guī)方程R = 2 =工妙門，必）' i=lJ = 1根據(jù)數(shù)學(xué)分析中求函數(shù)極值的條件:冷=冷些4 一 g9R乳一 /（爲(wèi)必爲(wèi)，么） 人莊1

5、共得k個(gè)方程，稱正規(guī)方程，求此聯(lián)立方程的解可得 出諸參數(shù)估計(jì)值心。=1，2, ., k）o不等精度情況下的最小二乘法以上是等精度觀測的情況，若諸觀測值X是不等精度的 觀測，即它們服從不同的方差q2的正態(tài)分布N(0, 1),那么 也不難證明，在這種情況下，最小二乘法可改為：選取的參數(shù)估值應(yīng)使諸觀測值yi與其估計(jì)值元之差的加 權(quán)平方和為最小。用式子表示就是要使其中，Wi為各觀測值yi的權(quán)。Wi = o2/q2, , i=i,2, no這里以為任選的正常數(shù)，它表示單位權(quán) 方差。不等精度情況下的最小二乘法正規(guī)方程同樣地，根據(jù)數(shù)學(xué)分析中求函數(shù)極值的條件:等=舟丈® B /(町；岔朮2,*么)I

6、 等=£ 乂物® 玄,，矗)了 '°( = E共得k個(gè)方程，稱疋規(guī)方程，求此聯(lián)立方程的解可得 出諸參數(shù)估計(jì)值J (j = l，2, ., k)o最小二乘法的幾何意義從幾何圖形上可看出，最小二乘法就是要在穿過各 觀測點(diǎn)(X|, y)之間找出這樣一條估計(jì)曲線，使各觀測 點(diǎn)到該曲線的距離的平方和為最小。三、最小二乘法與最大似然法的關(guān)系如果假定各觀測值是相互獨(dú)立且服從正態(tài)分布, 期望值是|!（Xi； ar a2, ak）,方差是則觀測值的似然函數(shù)為1 y 一沁務(wù)MS1 伽）1 1l 嚴(yán)（碼疋“口”4）丫 13 2糾6J f最大似然法要求上式取極大值，這就相當(dāng)于要求

7、指 數(shù)項(xiàng)中的工 士少一 “陽,小丁 = 刁s諾=最小 這就說明了在觀測值服從正態(tài)分布的條件下，最 小二乘估計(jì)與最大似然估計(jì)是一致的。觀測值不服從正態(tài)分布時(shí)的最小二乘估計(jì)實(shí)質(zhì)上，按最小二乘條件給出最終結(jié)果能充分 地利用誤差的抵償作用，可以有效地減小隨機(jī)誤 差的影響，因而所得結(jié)果具有最可信賴性。假若觀測值不服從正態(tài)分布，則最小二乘估計(jì) 并不是最大似然估計(jì)。但應(yīng)該指出，在有些問題 中觀測值雖然不服從正態(tài)分布，但當(dāng)樣本容量很 大時(shí)，似然函數(shù)也趨近于正態(tài)分布，因此，這時(shí) 使用最小二乘法和最大似然法實(shí)質(zhì)也是一致的。不服從正態(tài)分布時(shí)最小二乘法的統(tǒng)計(jì)學(xué)性質(zhì)若觀測值是服從正態(tài)分布的，這時(shí)最小二乘法和最大似 然法

8、實(shí)際上是一回事。但觀測值不服從正態(tài)分布或其分布 未知時(shí)，這時(shí)用最小二乘法顯得缺乏理論的驗(yàn)證。但應(yīng)該 指出，作為一種公理來使用，最小二乘法仍然是可以接受 的，而且可以證明，所得到的估計(jì)仍然具有一些很好的統(tǒng) 計(jì)性質(zhì)，這些性質(zhì)是：(1) 解是無偏的，即 0(2) 解是觀測值的線性組合，且有最小方差。這稱為高 斯一馬爾可夫定理；(3) 加權(quán)的殘差平方和的期望值是EUO = 5 當(dāng)以=1,即取Wi=l/q2,這時(shí)稱奔 為%2量。期望值為nk。第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法一般情況下，最小二乘法可以用于線性參數(shù) 的處理，也可用于非線性參數(shù)的處理。由于測 量的實(shí)際問題中大量的是屬于線性的，而非線 性參數(shù)借助于級

9、數(shù)展開的方法可以在某一區(qū)域 近似地化成線性的形式。因此，線性參數(shù)的最小二乘法處理是最小二乘法理論所研究的基本內(nèi)容O(5-7)(5-8)線性參數(shù)的測量方程一般形式線性參數(shù)的測量方程一般形式為Y anXi + a 122 + 丫2 = 3iXi + a22X2 + + sNAY 理=+ 42X2 + + gX相應(yīng)的估計(jì)量為-Vi = ani 十 ai22 十+ afX£yi = °21 兀 1 +。22工2 + _ +。2 聲 /% =釦1盂I + “說工2 +誤差方程其誤差方程為(5-9)1 - /1 - (111 + 122 + “ + dti/xj ' 5= I工

10、一 (2.11 + 222 + + 衍聲冷% =存一 (anlxt + anlx2 + + 肚宀),二、線性參數(shù)的誤差方程式的矩陣形式設(shè)有列向量r叭snri-L =X =工2V =»"工r -Pg j«1121和nXt階矩陣(nt)52«zz anl 011、如1Q1*爍丿則線性參數(shù)的誤差方程式(59)可表示為al2a22V = L - At(5-10)an2等精度測量最小二乘原理的矩陣形式殘余誤差平方和最小這一條件的矩陣形式為5V2（5血）-最小VTV =最小(5-11)(L - A±)t(L - At)=最小 (5-12)不等精度測量最小二

11、乘原理的矩陣形式j(luò)ra最小二乘原理的矩陣形式為VTPV =最小(5-13)(L - 4t)rP(L E Air)=最小(5-14)式中的P為n x n階權(quán)矩陣。2°»« Qff?線性參數(shù)的不等精度測量還可以轉(zhuǎn)化為等精度的形 式，從而可以利用等精度測量時(shí)測量數(shù)據(jù)的最小二 乘法處理的全部結(jié)果。三、線性參數(shù)最小二乘法的正規(guī)方程為了獲得更可取的結(jié)果，測量次數(shù)n總要多于未 知參數(shù)的數(shù)目t,即所得誤差方程式的數(shù)目總是要 多于未知數(shù)的數(shù)目。因而直接用一般解代數(shù)方程 的方法是無法求解這些未知參數(shù)的。最小二乘法則可以將誤差方程轉(zhuǎn)化為有確定解 的代數(shù)方程組（其方程式數(shù)目正好等于未知數(shù)

12、的個(gè) 數(shù)），從而可求解出這些未知參數(shù)。這個(gè)有確定解 的代數(shù)方程組稱為最小二乘法估計(jì)的正規(guī)方程（或1線性參數(shù)的最小二乘法處理的基本程序線性參數(shù)的最小二乘法處理程序可歸結(jié)為：(1) 根據(jù)具體問題列出誤差方程式；(2) 按最小二乘法原理，利用求極值的方法將誤差方程 轉(zhuǎn)化為正規(guī)方程；(3) 求解正規(guī)方程，得到待求的估計(jì)量；(4) 給出精度估計(jì)。對于非線性參數(shù)，可先將其線性化，然后按上述線性參 數(shù)的最小二乘法處理程序去處理。建立正規(guī)方程是待求參數(shù)最小二乘法處 理的基本環(huán)節(jié)。2.等精度測量的線性參數(shù)最小二乘法處理的正規(guī)方程線性參數(shù)的誤差方程式為r這是一個(gè)t元線性方= A _ (anL 十 &12工

13、2 + + V2 - 5 - (&2】工】+ 012工2 + 八 +最小二乘法處理的正規(guī)方程為+4訂4花工,=+ 此可解得欲求的估(5-19)程組.當(dāng)其系數(shù)行 列式不為零時(shí)，有 唯一確定的解，由=匚一（軸口1 + 52兌2十丿 ailail 無+ H 4訂 Qi2 工2 +Sat2fl + Sa>22 2 + +乙=厶t« 1i=li-1 = I工 訂無 1 + aitai2 x2 + + aitaitxt =立厶.i = 1t 1f = 1i = 1線性參數(shù)正規(guī)方程的矩陣形式正規(guī)方程(519)組，還可表示成如下形式vi + a 21 2 + 少譏 = 0,知“1 +

14、a 222 + + 弘2® = 0+ a21 十十 a亦® 二 0 J表示成矩陣形式為roi住 11$21幻 2a220線性參數(shù)正規(guī)方程的矩陣形式ArV = 0(5-21)又因V = L - AX有AtL -= 0(5-22)即= atl若令 C = ArA則正規(guī)方程又可寫成上 T(5-22)CX = atl若矩陣C是滿秩的，則有± = C'AtL (5-23)亡的數(shù)學(xué)期望E左=EiCA） = CAtE（L） = CAtY = CATAX = X 可見x是X的無偏估計(jì)。Y =丫2X =X、X2式中Y、X為列向量（n XI階矩陣和tXl階矩陣）其中矩陣元素Y

15、, Y”，Y“為直接量的真值，而 Xr X2,X"為待求量的真值。例51 t123456f/c1020253040452000.362000.722000.802001.072001.482001.60解：(1)列出誤差方程5 = S 旳（1 + 叫）（匚=1,2,，6）式中在溫度q下銅棒長度的測得值； a銅的線膨脹系數(shù)。令y° = a, ayo=b為兩個(gè)待估計(jì)參量，則誤差方程可寫為5 = li - （a + 丄占） （?二 1,2,，6）(2) 列出正規(guī)方程A A 0i = 1i - 16 $ 6 另w +琲二工也3 = 1Z = 1B =- 1為計(jì)算方便，將數(shù)據(jù)列表如下

16、：IttA：/mm也/ （匸mm）1101002000.3620003.62204002000.7240014.43256252000.8050020.04309002001.0760032.154016002001.4880059.26452025200 L 6090072.0s170565012006.03340201.3將表中計(jì)算出的相應(yīng)系數(shù)值代人上面的正規(guī)方程得6d + 170&r = 12006.03mm1702 + 565061： = 340201,3mm（3）求出待求估計(jì)量求解正規(guī)方程解得待求估計(jì)量a - 1999.97mmb 二 0.03654mm/1C即jo = 19

17、99,97mm* = ± =精翳=0-0000183/C按矩陣形式解算由正規(guī)方程，有6£ = 1£6170170 56501,13- 0.034-0,0340,001212006,03340201.3133U/ I- 0.034- 0,034”0,0012 )12006.03 卩999.97340201.3/*0,03654所以yG a = 1999.97mmA _ 0.03654/T旳 一 1999.97=0.0000183/C(4) 給出實(shí)驗(yàn)結(jié)果銅棒長度人隨溫度t的線性變化規(guī)律為=1999.97(1 + 0 + 00001833不等精度測量的線性參數(shù)最小二乘法

18、處理的正規(guī)方程不等精度測量時(shí)線性參數(shù)的誤差方程仍如上述式(59)一樣，彳旦在進(jìn)行最小二乘法處理時(shí)，要取加權(quán)殘 余誤差平方和為最小，即上u p) =最小i = 1用矩陣表示的正規(guī)方程與等精度測量情況類似，可表示為«11©21Q昨1>1 0 0、0、尙2 &22務(wù)2T0 p2 0巳2=04aLt 5J.00AJ0 j即atpv =(5-27)上述正規(guī)方程又可寫成AtPAX = AtPL （5 28）該方程的解，即參數(shù)的最小二乘法處理為X =(5 29)C* = a*ta* = atpa則有± = C*'lArPL(5-30)例52某測量過程有誤差

19、方程式及相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差如下:巧=6<44 -（X十可）生-0.06= 8.60 - （jTi + 2牝） 巧10.81 （帀十3孔）巾=006巧=0.08卍4 = 13.22 -（工1 + 4工2）5 = 0-08巳 § 15.27 （尤1 + 5上2）試求X，X2的最小二乘法處理正規(guī)方程的解。解:（1）首先確定各式的權(quán)=16 ； 16 ： 9 ： 9 ： 9（2）用表格計(jì)算給出正規(guī)方程常數(shù)項(xiàng)和系數(shù)t如1勾2PcP衛(wèi)譏心2pp&iPAah111161616166.44103.04103.04212161664328.60137.60275.2031399812710.81

20、97.29291.87414991443613.21118.98475.92515992254515.27137.43687.15259530156594.341833.18（3）給出正規(guī)方程59叭 + 1562 = 594 34156® 十 530叼二1833.18（4）求解正規(guī)方程組解得最小二乘法處理結(jié)果為4.186=2.227四、最小二乘原理與算術(shù)平均值原理的關(guān)系為了確定一個(gè)量X的估計(jì)量X，對它進(jìn) 行n次直接測量，得到n個(gè)數(shù)據(jù)I. ，1屮相應(yīng)的權(quán)分別為P. p“，卩屮則測量的誤差方程為 Zl JT(5-35)其最小二乘法處理的正規(guī)方程為nn(S = X pMti-li-1(5-

21、36)由誤差方程知a=h因而有”n(2 4 )工=S Pili 1=1可得最小二乘法處理的結(jié)果S MnSapl + Pzg + 二 + pflP + P2 + + 仇-(5-37)這正是不等精度測量時(shí)加權(quán)算術(shù)平均值原理所給出的結(jié)果。對于等精度測量有Pl = P2 = - = Pn = P貝 由最小二乘法所確定的估計(jì)量為_ Pig +扭仇.十十P丸=P（仃+ +幾）=LdH = 一朽+仍+広=矗72此式與等精度測量時(shí)算術(shù)平均值原理給出的結(jié)果相同。由此可見，最小二乘法原理與算術(shù)平均值原理 是一致的，算術(shù)平均值原理可以看做是最小二乘 法原理的特例。第三節(jié)精度估計(jì)對測量數(shù)據(jù)最小二乘法處理的最終結(jié)果，

22、不僅要給岀待求量的最可信賴的估計(jì)量，而 且還要確定其可信賴程度，即應(yīng)給出所得估 計(jì)量的精度。、測量數(shù)據(jù)的精度估計(jì)為了確定最小二乘估計(jì)量X1，X2,Xt的精度，首先需要給出直接測量所得測量數(shù)據(jù)的 精度。測量數(shù)據(jù)的精度也以標(biāo)準(zhǔn)差。來表示。因 為無法求得。的真值，因而只能依據(jù)有限'次的測 量結(jié)果給出。的估計(jì)值，所謂給出精度估計(jì)， 實(shí)際上是求出估計(jì)值。(一)等精度測量數(shù)據(jù)的精度估計(jì)設(shè)對包含t個(gè)未知量的n個(gè)線性參數(shù)方程組(57)進(jìn)行n次獨(dú)立的等精度測量，獲得了II個(gè)測量數(shù)據(jù)1, b，1十其相應(yīng)的測量誤 差分別為§1，82,8n,它們是互不相關(guān)的隨機(jī)誤差。因?yàn)橐话闱闆r下真誤差®

23、, §2, 0是未知的，只能由殘余誤差V, V2，vn 給出。的估計(jì)量。(5-39)(5-40)前面已證明 彗心 是自由度為(n-t)的於變量。根據(jù)/變量的性質(zhì)，有4 21 = 1° n - t可以證明它是*的無偏估計(jì)量因?yàn)榱?xí)慣上，式5-40的這個(gè)估計(jì)量也寫成即n（5-43）例53試求例5. 1中銅棒長度的測量精度。已知?dú)堄嗾`差方程為5 =厶1999.97 x (1 + 0.0000183右/TC)mm (i = 1,2,，6)將s h,值代人上式，可得殘余誤差為2000.36-1999.975 二2000.72-1999.97巧=2000.80-1999.97血二2001

24、.07-1999.972001.48-1999.97T 2001.60-1999.97(1 + 0.0000183x10)(1 + 0.0000183X20)(1+0.0000183X25)(1 + 0.0000183X30)(1+0.0000183X40)(10.0000183x45)另沅=0.0106mm21 = 1mm= 0.03mm mm = 0 02mm mm= 0.08jnm mm=0mmmm = 0.05mm mm 0.02mm缶 /0.0106 n a.一 mm = 00 51mmo Z（二）不等精度測量數(shù)據(jù)的精度估計(jì)不等精度測量數(shù)據(jù)的精度估計(jì)與等精度測量數(shù)據(jù)的精度估計(jì)相似，只

25、是公式中的殘余誤差平方和變?yōu)榧訖?quán)的殘余誤差平方和，測量數(shù)據(jù)的單位權(quán)方差的無偏估計(jì)為$2 =ni = l(5-44)通常習(xí)慣寫成(5-45)測量數(shù)據(jù)的單位權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差為(5-46)二、最小二乘估計(jì)量的精度估計(jì)最小二乘法所確定的估計(jì)量X, X2,Xt的精度取決于測量數(shù)據(jù)的精度和線性方程組所給出 的函數(shù)關(guān)系。對給定的線性方程組，若已知測量 數(shù)據(jù)1, 12，In的精度，就可求得最小二乘估 計(jì)量的精度。下面首先討論等精度測量時(shí)最小二乘估計(jì)量的精度估計(jì)。設(shè)有正規(guī)方程ni = l71nnailai2x2 +a訂訂勺 =2 a訂厶t = 1X = 1iI z? 1nID ai2aill +1 = 1理托nS aH

26、ai2X2 + + S ai2aUXt = S ai2i i=1i=lt=1n”«naitai2x2 + +32匕0花丄= S au h > i=Ii=l£=1現(xiàn)要給出由此方程所確定的估計(jì)量X, x2, xt 的精度。為此，利用不定乘數(shù)法求出X，x2, xt 的表達(dá)式，然后再找出估計(jì)量X, x2, Xt的精度 與測量數(shù)據(jù)12, ，1"精度的關(guān)系，即可得到估計(jì) 量精度估計(jì)的表達(dá)式。則各估計(jì)量X, x2,Xt的方差為分別為下列各方程組的解：ItK開£知4門必| + aiXai2dn + + 工 5S血-1 ；z= 1t>)>nn"

27、£ aM訂d】i + ai2ai2dn + + 丫力乙皿“ =0 ：i = 1i = I£如0訂血+工如12 + 丫4”如幾=0 i - 1i - 1> 1aaaild2i + 工知222 + + Xaair2x = °/= 1t - 1i = 1n爲(wèi)?L工如“21 + Sat2a<222 + + Z/agdf = 1 i It ® 12】£色心21 + Ya“2”22 + 丫乩如婦=021i«i«* 1aaaadtl + 工 5%必2 + +血=0;=1tc1i-1n«£血2如血+為%么2

28、+“ = 0“8 11血 + atlai2dg2 + += 121t = 11 = '2 _ 1 2、61 2_ J2O d a22a2i 2不等精度測量的情況與此類似。(5-52)相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差為(5-53)式中，&為測量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差。= dna 丿矩陣形式的結(jié)果表達(dá)利用矩陣的形式可以更方便地獲得上述結(jié)果。設(shè)有協(xié)方差矩陣（n X n階矩陣）%D仃2嘰: 21DI 22Dl2nD人2 JDZ式中=£(£ EL)(LEL)t%A的方差，= E QE厶）（厶-戢）=於 （? = 1, 2,，打）;Dg仕與/，的協(xié)方差（或稱相關(guān)矩）；D"j=EElJ -

29、El）=機(jī)尹島 Q = 1,2,，況切等精度獨(dú)立測量若G1"為等精度獨(dú)立測量的結(jié)果，即且相關(guān)系數(shù)pjj = 0,即Dly = 0 協(xié)方差矩陣小于是估計(jì)量的協(xié)方差為D± 二 E(± - Et)r=(4少)7止花仏EL)(L E)T(ATA)-ATr -(ArA)-1ATDLA(ATA)-1 UTAyATa2IA(ATAyx=(ATA)la2(A"】=式中各元素即為上述的不定乘數(shù)，可由矩陣(ATA)求 逆而得，或由式(551)求得。各估計(jì)量X, x2, ,唇的方差為不等精度測量同樣，也可得不等精度測量的協(xié)方差矩陣ni =(ArJU)jcr2式中o單位權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差

30、。矩陣式中各元素即為不定乘數(shù)，可由(ATPA)求逆 得到，也可由式(554)求得。例54試求例51中銅棒長度和線膨脹系數(shù)估計(jì)量的精度已知正規(guī)方程為6a 4 1706 = 12006.03mm170a + 5650&X： = 340201.3mm測量數(shù)據(jù)li的標(biāo)準(zhǔn)差為a = 0,051tnm解:(1)列出求解不定乘數(shù)方程組，并求解根據(jù)所給正規(guī)方程的系數(shù)，可列岀求解不定乘數(shù)方程組6必1 + 17072 =117Qdu + 5650疋吃=0J6J21 + 170右2 = 0|170J21 十 5650rf22 = 1J分別解得九=113 込 2 = 0-0012(2)計(jì)算估計(jì)量a、b的標(biāo)準(zhǔn)差

31、可得估計(jì)量a、b的標(biāo)準(zhǔn)差為=0=0-051 V1 - 13mm = 0.054mm=0-051 /0?0012nim/C 二 0,0018mm/C(3) 求出y。、a的標(biāo)準(zhǔn)差故有byo = 4 = 0.054mm_ 匹 _ 04018=亦=1999.97/C = 9 X 10_7/1C第四節(jié) 組合測量的最小二乘法處理所謂組合測量，是指直接或間接測量 一組被測量的不同組合值，從它們相互 組合所依賴的若干函數(shù)關(guān)系中，確定出 各被測量的最佳估計(jì)值。在精密測試工作中，組合測量占有十分重要的地位。 例如，作為標(biāo)準(zhǔn)量的多面棱體、度盤、祛碼、電容器 以及其它標(biāo)準(zhǔn)器的檢定等，為了減小隨機(jī)誤差的影響, 提高測量

32、精度，可采用組合測量的方法。通常組合測量數(shù)據(jù)是用最小二乘法進(jìn)行處理，它是 最小二乘法在精密測試中的一種重要的應(yīng)用。組合測量應(yīng)用為簡單起見，現(xiàn)以檢定三段劃線間距為例，說明組合測 量的數(shù)據(jù)處理方法。如圖51所示，要求檢定刻線A、B、C、D間的距離xl、 x2、 x3ocD(1)測量方案及測量數(shù)據(jù)測量數(shù)據(jù)仃=1.015mm I2 = 0.985mm /3 = 1.020mmI4 = 2.016mm g 二 1 981mm /6 = 3.032mm組合測量的方案（2）誤差方程根據(jù)測量方案列出誤差方程5 = 1 G血=<2 _工25 =耳一（丸1 +兀2）礎(chǔ)=D 一 （2 + 尤3）鞏=花一（Q

33、+尤2 +尤3力誤差方程的矩陣形式（3）寫出誤差方程的相關(guān)矩陣、£、1.01510O'卩2<20.985010"3h1.020001;L =,A =02.016111.981011、3032,J1LV =(4)求解估計(jì)量xl、x3的最佳估計(jì)值由式(5-24)得式中C 1 = (ata)-a o o= 010to 0 110110(T1 _132101000122111110401101J1kA238-402一 1048-41w _ 4-12-10-4.0-12,01fl101.015、0.9851.0202.0161-9813.032,011ri.0154.1

34、12、0.9851.0201XJI3.9322,01641.981.3,032.4,052,011-0280.9834.013,最后解得1< 028mm'=0- 983mm1,013mm,（5）計(jì)算各次的測量誤差值將最佳估計(jì)值石 1 = 1.028mm x2 = 0 - 983mm列=1.013mm,巧=心一（工2 +疋3）h 一（巧+乞2 +北3）,得代入誤差方程Vj = 0.013mm v2 = 0.002mm v3 = 0.007mm v4 = 0.005mm v5 = 0.015mm v6 = 0.008mm(6)計(jì)算各次測得數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差nHvi =0.000536mm3Z=1豊謹(jǐn)蕭鷲量,測得數(shù)劇亠環(huán)V小的0.000536mm - 0.013mmi=it ti=(6)求岀估計(jì)量X、x2> X3的標(biāo)準(zhǔn)差因右L右2'2_ 10c-1 =&21日231_ T-12-1、川3132日33丿、0-12,故有幾=14x2 =0.5d22 =14x 2 =0.5就33 =14x2 =0.541 = o J- 0,013 V0-5mm = 0.009mm 0工2 -。y22 = 0.013 J05mm 0.009mm 仏=a