聊城大學(xué)固體物理第一章 習(xí)題課1

1、習(xí)題課1、計(jì)算一下晶體結(jié)構(gòu)的致密度、計(jì)算一下晶體結(jié)構(gòu)的致密度(1)體心立方結(jié)構(gòu)體心立方結(jié)構(gòu)解：設(shè)原子的半徑為解：設(shè)原子的半徑為r，點(diǎn)陣常數(shù)為，點(diǎn)陣常數(shù)為a，根據(jù)體心立方結(jié)構(gòu)特點(diǎn)有根據(jù)體心立方結(jié)構(gòu)特點(diǎn)有223)4(arra334一個(gè)晶胞所含原子一個(gè)晶胞所含原子n=2339364rav根據(jù)致密度表達(dá)式根據(jù)致密度表達(dá)式339364342rrvnvk334rv則單個(gè)原子的體積則單個(gè)原子的體積v為為8368. 0(2)面心立方結(jié)構(gòu)面心立方結(jié)構(gòu)解：設(shè)原子的半徑為解：設(shè)原子的半徑為r，點(diǎn)陣常數(shù)為，點(diǎn)陣常數(shù)為a，根據(jù)面心立方結(jié)構(gòu)特點(diǎn)有根據(jù)面心立方結(jié)構(gòu)特點(diǎn)有222)4(arra22一個(gè)晶胞所含原子一個(gè)晶胞所含原

2、子n=433216rav根據(jù)致密度表達(dá)式根據(jù)致密度表達(dá)式33216344rrvnvk334rv則單個(gè)原子的體積則單個(gè)原子的體積v為為6274. 0(3)金剛石結(jié)構(gòu)金剛石結(jié)構(gòu)解：設(shè)原子的半徑為解：設(shè)原子的半徑為r，點(diǎn)陣常數(shù)為，點(diǎn)陣常數(shù)為a，根據(jù)金剛石結(jié)構(gòu)特點(diǎn)有根據(jù)金剛石結(jié)構(gòu)特點(diǎn)有223)8(arra338一個(gè)晶胞所含原子一個(gè)晶胞所含原子n=83393512rav根據(jù)致密度表達(dá)式根據(jù)致密度表達(dá)式3393512348rrvnvk334rv則單個(gè)原子的體積則單個(gè)原子的體積v為為16334. 0(4)密排立方結(jié)構(gòu)密排立方結(jié)構(gòu)解：設(shè)原子的半徑為解：設(shè)原子的半徑為r，點(diǎn)陣常數(shù)為，點(diǎn)陣常數(shù)為a、c根據(jù)密排立方

3、結(jié)構(gòu)特點(diǎn)有根據(jù)密排立方結(jié)構(gòu)特點(diǎn)有一個(gè)晶胞所含原子一個(gè)晶胞所含原子n=6根據(jù)致密度表達(dá)式根據(jù)致密度表達(dá)式33224346rrvnvk334rv則單個(gè)原子的體積則單個(gè)原子的體積v為為6274. 0ra2h22222)2(32)2(rrrh238rhc2r364rrcav3642343660sin2122ac3224rrh3622、在立方晶胞中，畫出、在立方晶胞中，畫出(101)、(021)、)221 ()012(解：解：abcabcabcabc(101)(021)221 ()012(3、證明在立方晶體中，晶面、證明在立方晶體中，晶面 垂直晶面垂直晶面hkl)(hklzxyacbo證明：設(shè)晶格常數(shù)為

4、證明：設(shè)晶格常數(shù)為a，晶向，晶向hkl的方向矢量可以寫成：的方向矢量可以寫成：klajkaihar如圖，設(shè)如圖，設(shè)abc是距原點(diǎn)最近的晶面是距原點(diǎn)最近的晶面(hkl)，根，根據(jù)晶面密勒指數(shù)意義晶面據(jù)晶面密勒指數(shù)意義晶面abc在三個(gè)晶軸上在三個(gè)晶軸上的截距分別的截距分別lakaha,則則abc晶面中的兩矢量晶面中的兩矢量ab 和和bc分別為分別為)(ihajkaoaobab)(jkaklaobocbc則則abr)()(ihajkaklajkaiha022aabcr)()(jkaklaklajkaiha022aa所以所以簡單立方晶格中晶向簡單立方晶格中晶向hkl垂直于晶面垂直于晶面(hkl)4、證

5、明：體心立方倒格為面心、證明：體心立方倒格為面心abca2a1a3o證明：證明： 建立如圖坐標(biāo)系，建立如圖坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)陣常數(shù)為設(shè)點(diǎn)陣常數(shù)為a，,cba基矢為基矢為 原胞基矢為原胞基矢為 321,aaa根據(jù)矢量運(yùn)算把原胞基矢表示為晶根據(jù)矢量運(yùn)算把原胞基矢表示為晶胞基矢：胞基矢：kjiaa21kjiaa22kjiaa23)(321aaa)(132aaa)(213aaa)(321aaakjiaa21kjiaa22kjiaa2311111111123a23a)(132aaa11111111123a23a)(213aaa11111111123a23a 213132321222aabaabaab 1322

6、aab3212aabkjiaa21kjiaa22kjiaa2311111122223kjiaa200111kjia)(2jia11111122223kjiaa111020kjia)(2kia2132aab11111122223kjiaa111002kjia)(2kjaabca2a1a3ojiaa21kiaa22kjaa23通過對(duì)比，可以看到二者形式通過對(duì)比，可以看到二者形式相似，只相差一常數(shù)，即證。相似，只相差一常數(shù)，即證。體心立方的倒格是邊長為體心立方的倒格是邊長為4 4 / /a的的面心立方面心立方。5、證明：面心立方倒格為體心、證明：面心立方倒格為體心abca2a1a3o證明：證明： 建

7、立如圖坐標(biāo)系，建立如圖坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)陣常數(shù)為設(shè)點(diǎn)陣常數(shù)為a，,cba基矢為基矢為 原胞基矢為原胞基矢為 321,aaa根據(jù)矢量運(yùn)算把原胞基矢表示為晶根據(jù)矢量運(yùn)算把原胞基矢表示為晶胞基矢：胞基矢：jiaa21kiaa22kjaa23)(321aaa)(132aaa)(213aaa)(321aaa11010101123a43a)(132aaa01111010123a43a)(213aaa10101111023a43ajiaa21kiaa22kjaa23 213132321222aabaabaab jiaa21kiaa22kjaa231322aab3212aab11010124223kjiaa)(2i

8、jka)(2kjia01111024223kjiaa)(2ikja)(2kjia2132aab10101124223kjiaa)(2kjia通過對(duì)比，可以看到二者形式通過對(duì)比，可以看到二者形式相似，只相差一常數(shù)，即證。相似，只相差一常數(shù)，即證。面心立方的倒格是邊長為面心立方的倒格是邊長為4 4 / /a的的體心立方體心立方。kjiaa21kjiaa22kjiaa23abca2a1a3o6、已知六方晶胞的基矢：、已知六方晶胞的基矢：kccjaaibjaaia;223;223求倒格基矢。求倒格基矢。解：晶胞體積為解：晶胞體積為)(cbacaaaa0002230223ca223acb22cbb21c

9、aakjica0002232322)232(342jaiacca)33(2)3(332jiajiabab230223002322aackjica)232(342jaiacca)33(2)3(332jiajia022302232322aaaakjica)4343(34222aakcakc27、證明晶體不存在、證明晶體不存在5次旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸次旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸證明：證明：如圖如圖a、o、b 是某一晶列上是某一晶列上相鄰的三個(gè)格點(diǎn)，周期為相鄰的三個(gè)格點(diǎn)，周期為a。obaa1b1如果繞過如果繞過o 點(diǎn)垂直于晶列的轉(zhuǎn)軸順時(shí)針轉(zhuǎn)點(diǎn)垂直于晶列的轉(zhuǎn)軸順時(shí)針轉(zhuǎn)角，角，a轉(zhuǎn)到轉(zhuǎn)到a1，晶體晶體自身重合，則自身重合，則a1點(diǎn)

10、必為一格點(diǎn)。點(diǎn)必為一格點(diǎn)。再繞過再繞過o 點(diǎn)的轉(zhuǎn)軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)點(diǎn)的轉(zhuǎn)軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)角，晶體自身重合，但此時(shí)角，晶體自身重合，但此時(shí)b處格處格點(diǎn)轉(zhuǎn)到點(diǎn)轉(zhuǎn)到b1點(diǎn)，則點(diǎn)，則b1處必為一格點(diǎn)。處必為一格點(diǎn)。可以知道可以知道ab/a1b1，平行晶列具有相同的周期，則有平行晶列具有相同的周期，則有為正整數(shù)或零）n(naba11|cos|2ana 2|cos|n又又cos211aba根據(jù)余弦函數(shù)取值根據(jù)余弦函數(shù)取值12|cos|n所以所以, 2n, 1cos2, 1n,21cos35,34,32,3, 0n, 0cos23,2因?yàn)轫槙r(shí)因?yàn)轫槙r(shí)( (或逆時(shí)或逆時(shí)) )針轉(zhuǎn)動(dòng)針轉(zhuǎn)動(dòng) 分別等價(jià)于分別等價(jià)于逆時(shí)逆時(shí)( (

11、或順時(shí)或順時(shí)) )針針轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng) ，所以晶格轉(zhuǎn)動(dòng)的獨(dú)立轉(zhuǎn)角為所以晶格轉(zhuǎn)動(dòng)的獨(dú)立轉(zhuǎn)角為：35,23,343,2,323,2,32,2根據(jù)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸的定義，上述轉(zhuǎn)角可以寫成根據(jù)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸的定義，上述轉(zhuǎn)角可以寫成)6 , 4 , 3 , 2 , 1(2nn即晶體不存在即晶體不存在5度旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸。度旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸。7、填空、填空(1)、立方晶系中，有、立方晶系中，有(122)和和(100)晶面，晶面，( )格點(diǎn)密度最大。格點(diǎn)密度最大。(2)、晶體中，解理面是面指數(shù)、晶體中，解理面是面指數(shù)( )(高、低高、低)的晶面。的晶面。100 低低(3)、體心立方晶格點(diǎn)陣常數(shù)為、體心立方晶格點(diǎn)陣常數(shù)為a，則其倒格是邊長

12、為，則其倒格是邊長為( )的的 ( )；面心立方晶格點(diǎn)陣常數(shù)為；面心立方晶格點(diǎn)陣常數(shù)為a，則其倒格是邊長為，則其倒格是邊長為( )的的 ( )。面心立方晶格面心立方晶格體心立方晶格體心立方晶格a4a4(4)、晶面指數(shù)、晶面指數(shù)(123) 的晶面的晶面abc是離原點(diǎn)是離原點(diǎn)o的最近的晶面，的最近的晶面，oa、ob、oc分別與基矢分別與基矢 重合，則重合，則a點(diǎn)點(diǎn)( )格點(diǎn)，格點(diǎn)， b點(diǎn)點(diǎn)( )格點(diǎn)，格點(diǎn)， c點(diǎn)點(diǎn)( )格點(diǎn)。格點(diǎn)。(有或沒有有或沒有)321,aaa沒有沒有有有沒有沒有(5)、晶面、晶面 ( )(是或否是或否)屬于同一晶帶；若是，屬于同一晶帶；若是，其晶帶軸指數(shù)為其晶帶軸指數(shù)為( )。)012(),111 (),102(是是21011101222000402102100120121012:0220:2101:wvu1:2:12:4:2 112(6)、晶體、晶體3度旋轉(zhuǎn)度旋轉(zhuǎn)-反演對(duì)稱操作等價(jià)于反演對(duì)稱操作等價(jià)于( )度旋轉(zhuǎn)操作和度旋轉(zhuǎn)操作和( )操作操作的組合；晶體的組合；晶體6度旋轉(zhuǎn)度旋轉(zhuǎn)-反演對(duì)稱操作等價(jià)于反演對(duì)稱操作等價(jià)于( )度旋轉(zhuǎn)操作和度旋轉(zhuǎn)操作和( )操作的組合。操作的組合。3i3m(7)、晶體一共有、晶體一共有8種宏觀對(duì)稱操作，分別為種宏觀對(duì)稱操作，分別為 ( 1