Wilcoxon符號秩檢驗(yàn),點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)——ppt

1、 與符號檢驗(yàn)相比，Wilcoxon 符號秩檢驗(yàn)不僅利用了觀測值與零假設(shè)的中心位置之差的符號，而且還利用了這些差的絕對值的大小。 因此從數(shù)據(jù) 中利用了更多的信息，不僅有觀測值在中心位置的哪一邊，而且還把各觀測值距離中心遠(yuǎn)近的信息考慮進(jìn)去，使檢驗(yàn)結(jié)果更加有效和精確。n1,XX 2.2 Wilcoxon 符號秩檢驗(yàn)，點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)符號秩檢驗(yàn)，點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì) 2.2.1 Wilcoxon 符號秩檢驗(yàn) Wilcoxon signed-rank test 檢驗(yàn)假定：樣本點(diǎn) 來自連續(xù)對稱總體分布 （符號檢驗(yàn)不需要這個假定） 此時總體中位數(shù)等于均值n1,XX 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：觀測值和零假設(shè)的中心位置之差的絕對

2、值的 秩分別按照不同的符號相加作為其檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 檢驗(yàn)思想： Wilcoxon 符號秩檢驗(yàn)是檢驗(yàn)關(guān)于中位數(shù)對稱的 總體的中位數(shù)是否等于某個特定值 檢驗(yàn)假設(shè)：單邊檢驗(yàn)： 左側(cè)檢驗(yàn) 右側(cè)檢驗(yàn)雙側(cè)檢驗(yàn)：0010:HMMHMM0010:HMMHMM0010:HMMHMM2.3104.12, 5.81, 7.63, 9.74, 10.39, 11.92, 12.32, 12.89, 13.54, 14.458例下面是個歐洲城鎮(zhèn)每人每年平均消費(fèi)的酒類相當(dāng)于純酒精數(shù)(單位：升). 數(shù)據(jù)已經(jīng)按照升冪排列：人們普遍認(rèn)為歐洲各國人均年消費(fèi)酒量的中位數(shù)相當(dāng)于純酒精 升.我們希望用上述數(shù)據(jù)來檢驗(yàn)這種看法一、Wilcox

3、on 符號秩檢驗(yàn) 的步驟00:=8HM M分析：設(shè)111.160:8HM 由數(shù)據(jù)計(jì)算而得的中位數(shù)為的，因此我們的備擇假設(shè)為01:=8:8HMHM即：假設(shè)檢驗(yàn)Wilcoxon 符號秩檢驗(yàn) 步驟：(1). 00 1,2,inXMiM對計(jì)算，它們代表這些樣本點(diǎn)到的距離.02.31,2,103.88, 2.19, 0.37, 1.74, 2.39, 3.92, 4.32, 4.89, 5. 54, 6.45.iXMi 對于例數(shù)據(jù)到，計(jì)算，得100, 20niiiiinxDxMHDnDxiD為了對假設(shè)作出判定，需要從總體中隨機(jī)抽取一個樣本得到個觀察值，記作，它們分別與的差值記為1， ， ，如果為真，那么

4、觀察值圍繞分布，即關(guān)于對稱分布.這時，對于來說，正的差值和負(fù)的差值應(yīng)近似地相等.為了借助等級大小作判定，先忽略符號，而事實(shí)取絕對值，對按大小順上，序分等級(2). nn把上面的個絕對值排序，并找出它們的個秩；如果有相同的樣本點(diǎn)，每個點(diǎn)取平均秩.2.35, 3, 1, 2, 4, 6, 7, 8, 9, 10.對于例數(shù)據(jù)，這些秩為按本身符號的正、負(fù)分別加總它們的等級即秩次，得到正等級的總和與負(fù)等級的總和。雖然等級本身都是正的，但這里是按的符號計(jì)算的事實(shí)上，等級和。000000+ 1 / 2=.iiiiWXMXMWXMXMWnWn令等于的秩的和.而的秩的和，兩者之的和等于的(3). 2.35,3,

5、 1,2,4,6,7,8,9,10.=2+4+6+7+8+9+10=46=5+3+1=9WW對于例數(shù)據(jù)，加上符號的秩為因此，；(4). 0010:=.HMMHMMWW對的右側(cè)檢驗(yàn)問題，取2.3=9.WW對于例問題，取0010:mi n (,).HMMHMMWWWWW(1).對雙邊檢驗(yàn)，在零假設(shè)下，應(yīng)該差不多.因而，當(dāng)其中之一很小時，應(yīng)懷疑零假設(shè).在此，取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量和注：0010:.HMMHMMWW(2).對右側(cè)檢驗(yàn)，取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量0010+:.HMMHMMWW(3).對左側(cè)檢驗(yàn)取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，WilcoxonnWZWpp根據(jù)得到的查符號秩檢驗(yàn)的分布表 以得到在零假設(shè)下的值。如果很大就要用正態(tài)近似：

6、得到一個與有關(guān)的正態(tài)隨機(jī)變量的值，再用軟件或查正態(tài)分布表值，利用統(tǒng)計(jì)軟得到件或值.(5). 2.3=0.032p對于例數(shù)據(jù)，得到值(6). ppp如果值較小(比如小于或等于給定的顯著性水平)，則可以拒絕零假設(shè).如果值較大，則沒有充分證據(jù)來拒絕零假設(shè)，但不意味著接受零假設(shè).實(shí)際上顯著性水平可取任何大于或等于值的數(shù)。2.30.050.032,.p對于例問題，如果給定，由于值小于我們可以拒絕零假設(shè) 關(guān)于 Wilcoxon 符號秩檢驗(yàn) 統(tǒng)計(jì)量的常見定義：|jjRx用表示在絕對值樣本中的秩，則有正秩次總和1(0)njjjWR I X負(fù)秩次總和+1(0)njjjWR I X 其實(shí)，上面例子的檢驗(yàn)在 R 軟

7、件中用一個語句就可以得出結(jié)果： wilcox.test(y-8,alt=“greater”) 其中 y表示數(shù)據(jù)向量二、Wilcoxon 符號秩檢驗(yàn) 在零假設(shè)下的精確分布+:W簡單情況下，概率計(jì)的方法算3123.8n 當(dāng)時， 絕對值的秩只有 ， ，但是卻有 種可能的符號排列在零假設(shè)下，每一個這種符號排列都是等概率的+21,8384WWPP因而二、Wilcoxon 符號秩檢驗(yàn) 在零假設(shè)下的精確分布+W 概率現(xiàn)在，給的一出計(jì)算般方法. 11|0.(0)jjjjjjDjnnjjjjjRxS xI xWS DDXXWR I XjW表示示性函數(shù)，其中用表示在絕對值樣本中的秩反秩由定義則，用定義011112

8、22jtWttjEeeee由于， 111112njjjtjWnntjWtWtjnnjjnWMtEeEeEee可得 樣本量為時，的母函數(shù) 2012=ttnMtaa ea e母函數(shù)有展開式+jaP Wj則dwilxonfun=function(N) a=c(1,1) n=1 pp=NULL aa=NULL for (i in 2:N) t=c(rep(0,i),a) a=c(a, rep(0, ,i)+t p=a/(2i) pN=19dwilxonfun (N)+dwilxonfWjunRWP分下面的函數(shù)用布來計(jì)算的一個密度函數(shù)，即參考程序三、Wilcoxon 符號秩檢驗(yàn) 和 符號檢驗(yàn) 在解決同樣

9、的位置參數(shù)檢驗(yàn)問題時的不同1、兩個不同方向的 Wilcoxon 符號秩檢驗(yàn) 9=4690.032230.05 WWWWp，；檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 值對拒絕零假設(shè)01:=8:8HMHM0iiXXM秩符號4 .1 23 .8 855 .8 12 .1 937 .6 30 .3 719 .7 41 .7 421 0 .3 92 .3 941 1 .9 23 .9 261 2 .3 24 .3 271 2 .8 94 .8 981 3 .5 45 .5 491 4 .4 56 .4 51 01、兩個不同方向的 Wilcoxon 符號秩檢驗(yàn) 44=11110.052730.05 WWWWp，；檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 值對不能

10、拒絕零假設(shè)結(jié)論：兩個不同方向的 Wilcoxon 符號秩檢驗(yàn) 的結(jié)果并不對稱 01:=12.5:12.5HMHM0iiXXM秩符號4 .1 28 .3 81 05 .8 16 .6 997 .6 34 .8 789 .7 42 .7 671 0 .3 92 .1 161 1 .9 20 .5 831 2 .3 20 .1 811 2 .8 90 .3 921 3 .5 41 .0 441 4 .4 51 .9 552、兩個不同方向的 符號檢驗(yàn) 01:= 8:8HMHM3=730.17190.05 SSKSp，；檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 值對不能拒絕零假設(shè)01:= 12.5:12.5HMHM+7=330.17

11、190.05 SKSSp，；檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 值對不能拒絕零假設(shè)結(jié)論：兩個不同方向的 符號檢驗(yàn) 的結(jié)果完全對稱 這是由于 ,0.5=,0.5Sb nSb n，1. Wilcoxon 符號秩檢驗(yàn) 不但利用了符號，還利用了數(shù)值本身大小所包含的信息。這些區(qū)別也使得結(jié)果有所區(qū)別 2. 當(dāng)然，Wilcoxon 符號秩檢驗(yàn) 需要關(guān)于總體分布的對稱性和連續(xù)性的假定 在這樣的假定下， Wilcoxon 符號秩檢驗(yàn) 比符號檢驗(yàn)更加有效 如果對稱性不成立，還是符號檢驗(yàn)可靠四、Wilcoxon 符號秩檢驗(yàn) 大樣本時的修正n在大樣本時， 太大而無法查表，可利用正態(tài)近似11111224nnjiiRjn nE W111(1)(

12、)024nniiiin nE WER I XMi221111 214 4 241nnjiin nRnVar Wj2111(1)(21)()0424 nniiiin nnVar WVarR I XMiWilcoxon由符號秩檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的期望和方差可以用于構(gòu)造大樣本漸近正態(tài)統(tǒng)計(jì)量（：在零假設(shè)下）1 /4(0,1)(1)(21)/24Wn nZNn nnZp計(jì)算出值后，可由正態(tài)分布表查出值. min,0.;22;WWWZpP ZzzpP Zzz 因?yàn)?，所以總小于對于單邊檢驗(yàn)， 值對于雙邊檢驗(yàn)， 值利用正態(tài)近似 對例2.3 進(jìn)行 Wilcoxon 符號秩檢驗(yàn) 01:=8:8HMHM1.8856995z

13、 0.0297z0.05對，拒絕零假設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量p 值01:=8:8HMHM1.8856995z 20.0593z0.05對，不拒絕零假設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量p 值單邊檢驗(yàn)雙邊檢驗(yàn)解： 從數(shù)據(jù)直方圖上，沒有明顯的跡象表明數(shù)據(jù)的分布不是對稱的. 建立假設(shè)檢驗(yàn)例題 為了解垃圾郵件對大型公司決策層工作發(fā)影響程度，某網(wǎng)站收集了19家大型公司的CEO郵箱里每天收到的垃圾郵件數(shù)，得到如下數(shù)據(jù): (單位：封) 310 350 370 377 389 400 415 425 440 295 325 296 250 340 298 365 375 360 385問從平均意義上來看，收到垃圾郵件的數(shù)量的中心

14、位置是否等于320封？使用Wilcoxon符號秩檢驗(yàn)法計(jì)算如下：01:320,:320HH1030505769809510512025-+-2710121416171819652470202245554065+-+-+1515 34911813iRi|X320|iRi|X320|結(jié)論：不拒絕原假設(shè)。0.005W158158 19 20/ 40.5Z2.515,Z2.575819 20 39/ 24由于用R的內(nèi)置函數(shù)計(jì)算格式: wilcox.test(x, y, alternative=two.sided, mu=0, paired=F, exact=T, correct=F) alternat

15、ive two.sided“ or greater or less mu X分布的中心位置paired 是否是配對 exact 使用W+的精確分布correct 使用正態(tài)近似 x y wilcox.test(x, y)Exact Wilcoxon rank-sum testdata: x and y rank-sum statistic W = 135, n = 10, m = 10, p-value = 0.0232 alternative hypothesis: mu is not equal to 0 wilcox.test(x,y,alternative=greater)Exact W

16、ilcoxon rank-sum testdata: x and y rank-sum statistic W = 135, n = 10, m = 10, p-value = 0.0116 alternative hypothesis: mu is greater than 0 ssn wilcox.test(x-320) Wilcoxon signed rank testdata: ss - 320 V = 158, p-value = 0.009453alternative hypothesis: true location is not equal to 0 Wilcoxon符號秩檢驗(yàn)

17、采用了比符號檢驗(yàn)更多的信息，一般地，可以得到比較好的結(jié)果。 但如果假定了總體分布的對稱性，然而對稱性不成立，則使用符號檢驗(yàn)的結(jié)果更可靠。S14,S5,n19,p0.06360.01 如果采用binom符號檢驗(yàn)法01H :P0.5,H :P0.5結(jié)論：接受 H0即計(jì)算 Yi=IXi320, S+=SUM(Yi)五、總結(jié) Wilcoxon 符號秩檢驗(yàn)p對顯著性水平 ，如果值，拒絕零假設(shè)，否則不能拒絕0010:=:HMMHMM檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量p 值0010:HMMHMM0010:HMMHMMmin,WWWWWWW2 P WwP WwP Ww1 /4+0.5(1)(21)/24Wn nZn nn大樣本時，用

18、漸近正態(tài)統(tǒng)計(jì)量說明：1 . 這里看上去是按照備擇假設(shè)的方向選擇 或 作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量但是實(shí)際上往往按照實(shí)際觀察的 和 的大小來確定備擇假設(shè)WWWW2. 這是因?yàn)橹挥袛?shù)據(jù)（通過一些統(tǒng)計(jì)量）顯現(xiàn)出某些和原模型不相容的特征時，人們才會懷疑零假設(shè)，并考慮進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)的003.MMMMWWWW對于不同的備選假設(shè)或，我們分別選或作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，是因?yàn)樗鼈兪羌爸休^小的一個因而在計(jì)算或查表時要方便些4. 如果利用大樣本正態(tài)近似，則選哪一個都沒有關(guān)系 數(shù)據(jù)中有相同的數(shù)字，稱為結(jié) 結(jié)中數(shù)字的秩為它們按升冪排列后位置的平均值 這樣的秩稱為中間秩 如果結(jié)多了，零分布的大樣本公式就不準(zhǔn)了。此時，需要對檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行修正六

19、、打結(jié)的情況 事實(shí)上，連續(xù)分布變量的觀測值在理論上不應(yīng)該產(chǎn)生結(jié)，但是由于四舍五入效應(yīng)，連續(xù)變量的觀測值實(shí)際上都是離散的，因此會產(chǎn)生打結(jié)的現(xiàn)象 而在存在打結(jié)時，無法進(jìn)行精確的 Wilcoxon 符號秩檢驗(yàn)的計(jì)算例題：假定有 12 個數(shù)其中秩和結(jié)統(tǒng)計(jì)量 為第 i 個結(jié)中觀察值的個數(shù) i1233=2=3=4g該數(shù)據(jù)一共有個結(jié)：，31(1)/401(1)(21)/24 /48giiiWn nZNn nn，當(dāng)存在結(jié)的情況時，上面的正態(tài)近似公式應(yīng)修正為：110,2nnijjiXXIij 2.2.2 基于 Wilcoxon符號秩檢驗(yàn) 的點(diǎn)估計(jì)和置信區(qū)間/21ijnXXijn nWalsh要估計(jì)有個數(shù)的樣本的對稱中心，當(dāng)然可以用該樣本的中位數(shù)。但是為了利用更多的信息，首先求每兩個數(shù)的平均（） ，一共有個來擴(kuò)大樣本數(shù)目.這樣的平均稱為平均。0WWalshWWalsh可以證明等于 大于 的平均的個數(shù)(是平均值中符號為正的個數(shù))，即：#0,2ijXXWij1. Walsh 平均 111 ,.() ( ) 2nnnijjiWilcXXF xXXWIijoxon如果考慮位移 ，即，人們同樣可以用來作符號，秩檢驗(yàn).無偏檢驗(yàn)2ijWalshHodge