固體物理第三章1-2

1、第三章第三章 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì) 格點(diǎn)：格點(diǎn)：在研究晶體的幾何結(jié)構(gòu)和晶體結(jié)合時(shí)，組成晶體在研究晶體的幾何結(jié)構(gòu)和晶體結(jié)合時(shí)，組成晶體的原子被認(rèn)為是固定在指點(diǎn)位置（平衡位置）靜止不動(dòng)的的原子被認(rèn)為是固定在指點(diǎn)位置（平衡位置）靜止不動(dòng)的理想化模型。理想化模型。 實(shí)際情況如何？實(shí)際情況如何？晶格振動(dòng)。在晶格振動(dòng)。在T 0 K下，組成晶體的原下，組成晶體的原子并不是靜止不動(dòng)的，而是圍繞平衡位置作微小振動(dòng)，由子并不是靜止不動(dòng)的，而是圍繞平衡位置作微小振動(dòng)，由于平衡位置就是晶格格點(diǎn)，所以稱為晶格振動(dòng)。于平衡位置就是晶格格點(diǎn)，所以稱為晶格振動(dòng)。晶格振動(dòng)的研究晶格振動(dòng)的研究 晶體的

2、熱學(xué)性質(zhì)晶體的熱學(xué)性質(zhì) 固體熱容量固體熱容量 熱運(yùn)動(dòng)是晶體宏觀性質(zhì)的表現(xiàn)熱運(yùn)動(dòng)是晶體宏觀性質(zhì)的表現(xiàn) 杜隆珀替經(jīng)驗(yàn)規(guī)律杜隆珀替經(jīng)驗(yàn)規(guī)律 一摩爾固體有一摩爾固體有N個(gè)原子，有個(gè)原子，有3N個(gè)振動(dòng)自由度，按能量均個(gè)振動(dòng)自由度，按能量均分定律，每個(gè)自由度平均熱能為分定律，每個(gè)自由度平均熱能為kT，摩爾熱容量，摩爾熱容量 3Nk3R 實(shí)驗(yàn)表明在較低溫度下，熱容量隨著溫度的降低而下降實(shí)驗(yàn)表明在較低溫度下，熱容量隨著溫度的降低而下降晶格振動(dòng)晶格振動(dòng) 研究固體宏觀性質(zhì)和微觀過(guò)程的重要基礎(chǔ)研究固體宏觀性質(zhì)和微觀過(guò)程的重要基礎(chǔ)晶格振動(dòng)晶格振動(dòng) 晶體的熱學(xué)性質(zhì)、電學(xué)性質(zhì)、光學(xué)性質(zhì)、超晶體的熱學(xué)性質(zhì)、電學(xué)性質(zhì)、光學(xué)性

3、質(zhì)、超 導(dǎo)電性、磁性、結(jié)構(gòu)相變有密切關(guān)系導(dǎo)電性、磁性、結(jié)構(gòu)相變有密切關(guān)系 3.1 一維晶格的振動(dòng)一維晶格的振動(dòng) 3.2 三維晶格的振動(dòng)三維晶格的振動(dòng) 3.3 簡(jiǎn)正振動(dòng)簡(jiǎn)正振動(dòng) 聲子聲子 3.4 晶格振動(dòng)譜的實(shí)驗(yàn)測(cè)定方法晶格振動(dòng)譜的實(shí)驗(yàn)測(cè)定方法 3.5 晶格振動(dòng)的熱容理論晶格振動(dòng)的熱容理論 3.6 晶格振動(dòng)的非簡(jiǎn)諧效應(yīng)晶格振動(dòng)的非簡(jiǎn)諧效應(yīng)本本 章章 主主 要要 內(nèi)內(nèi) 容容 3.1 一維晶格的振動(dòng)一維晶格的振動(dòng)格波的研究格波的研究 先計(jì)算原子之間的相互作用力先計(jì)算原子之間的相互作用力 根據(jù)牛頓定律寫(xiě)出原子運(yùn)動(dòng)方程，最后求解方程根據(jù)牛頓定律寫(xiě)出原子運(yùn)動(dòng)方程，最后求解方程 一、一維簡(jiǎn)單格子一、一維簡(jiǎn)單

4、格子 嚴(yán)格求解晶格振動(dòng)是一個(gè)非常復(fù)雜的問(wèn)題嚴(yán)格求解晶格振動(dòng)是一個(gè)非常復(fù)雜的問(wèn)題 ：由于晶體原子：由于晶體原子間存在著相互作用力，任何一個(gè)原子的振動(dòng)都必然影響到其間存在著相互作用力，任何一個(gè)原子的振動(dòng)都必然影響到其它原子，也必然受到其它原子的影響。它原子，也必然受到其它原子的影響。 一維單原子鏈（近似方法）一維單原子鏈（近似方法）： 一維晶格（質(zhì)量為一維晶格（質(zhì)量為m的全同原子組成的全同原子組成 ），晶格常數(shù)為），晶格常數(shù)為a。 原子之間的作用力原子之間的作用力 第第n個(gè)原子離開(kāi)平個(gè)原子離開(kāi)平衡位置的位移衡位置的位移n第第n個(gè)原子和第個(gè)原子和第n1個(gè)個(gè)原子間的相對(duì)位移原子間的相對(duì)位移nn1第第n

5、個(gè)原子和第個(gè)原子和第n1個(gè)原子間的距離個(gè)原子間的距離nna1 兩原子間的相互作用勢(shì)為兩原子間的相互作用勢(shì)為U(r)，它們之間的作用力：，它們之間的作用力：drdUf 序號(hào)序號(hào)n和和n+1的兩個(gè)原子在的兩個(gè)原子在t時(shí)刻的距離為：時(shí)刻的距離為： r = un+1 + a un 小振動(dòng)，小振動(dòng)，U(r)與與U(a) 差別不大，在平衡位置泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)：差別不大，在平衡位置泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)： .ardrUd61ardrUd21ardrdUaU)r (U3a332a22a 相互作用力：相互作用力：.ardrUd21ardrUddrdU)r( f2a33a22a= 0= 0忽略忽略簡(jiǎn)諧近簡(jiǎn)諧近似似 (d2U/d

6、r2)a = 第第n和和n+1的兩個(gè)原子的相互作用力：的兩個(gè)原子的相互作用力：n1nuu)r( fr = un+1 + a un 與彈簧受力與彈簧受力fkx比較比較：常數(shù)：常數(shù) 為彈性恢復(fù)力系數(shù)為彈性恢復(fù)力系數(shù) 。 最近鄰近似最近鄰近似：（1）第）第n個(gè)原子受到第個(gè)原子受到第n1個(gè)原子的作用力個(gè)原子的作用力 (unun-1) （0 向左的拉伸力向左的拉伸力; 0 向右的拉伸力向右的拉伸力; a)情況下，格波可看成是彈性波。情況下，格波可看成是彈性波。因?yàn)椴ㄩL(zhǎng)很大時(shí)，相比起來(lái)晶格常數(shù)因?yàn)椴ㄩL(zhǎng)很大時(shí)，相比起來(lái)晶格常數(shù)a a很小，所以可以很小，所以可以把晶格看成連續(xù)介質(zhì)。把晶格看成連續(xù)介質(zhì)。)tqn

7、a( inAeumm4un+1 un un1（2）當(dāng)當(dāng)q = /a時(shí)時(shí)，格波的最大頻率，格波的最大頻率截止頻率。高于此頻率的波，不截止頻率。高于此頻率的波，不可能以聲波的形式在晶體內(nèi)傳播可能以聲波的形式在晶體內(nèi)傳播相鄰原子作相對(duì)運(yùn)動(dòng)相鄰原子作相對(duì)運(yùn)動(dòng)2sin2qam)tqna( inAeu當(dāng)當(dāng)q = /a時(shí)時(shí)，位移位移（3）允許的波矢數(shù)目等于原胞的數(shù)目。振動(dòng)譜是分離譜。允許的波矢數(shù)目等于原胞的數(shù)目。振動(dòng)譜是分離譜。 )tqna( inta)Nn(qiNnAeuAeu周期性邊界條件：周期性邊界條件：1eiqNa是整數(shù)lNalq2aqa22NlN允許的波矢數(shù)目等于允許的波矢數(shù)目等于N N（原胞數(shù)）

8、（原胞數(shù)）結(jié)論：晶格振動(dòng)結(jié)論：晶格振動(dòng)的波矢數(shù)目等于原胞的數(shù)目，振動(dòng)譜是分離譜。的波矢數(shù)目等于原胞的數(shù)目，振動(dòng)譜是分離譜。 二、一維復(fù)式格子二、一維復(fù)式格子 一維復(fù)式格子的格波解：一維復(fù)式格子的格波解： )uu()uu(dtudM1n2n22n21n212n22)uu()uu(dtudmn21n211n22n2221n22 簡(jiǎn)諧近似和最近鄰近似：兩種不等價(jià)的原子（第簡(jiǎn)諧近似和最近鄰近似：兩種不等價(jià)的原子（第2n和和2n+1個(gè)）的動(dòng)力學(xué)方程分別為個(gè)）的動(dòng)力學(xué)方程分別為與單原子一維晶格類似與單原子一維晶格類似：上述方程具有下述格波形式解：上述方程具有下述格波形式解)tqna( ita2n2qin2

9、AeAeu)tqna( itqba)2n2(qi1n2Bee BuU2n / u2n+1表示同一原胞中兩種不等價(jià)原子的位移表示同一原胞中兩種不等價(jià)原子的位移 假設(shè)：假設(shè)： （1 1）同種原子周圍情況相同，振幅相同；不同原子，）同種原子周圍情況相同，振幅相同；不同原子，振幅不同。振幅不同。 （2 2）相隔晶格常數(shù)）相隔晶格常數(shù)a的同種原子，相位差為的同種原子，相位差為qa。 得到：得到：)BeA()AB(AMiqa212)()(122ABBAeBmiqa 整理，得：整理，得： 0)()(21221BeAMiqa0)()(22121BmAeiqa A、B不會(huì)為不會(huì)為0，故：故： 0)()()()(

10、2212121221meeMiqaiqa2122212122122sin)(16)()(2qaMmmMmMMm 解出解出 2的兩個(gè)正值解的兩個(gè)正值解： 212221212212O212221212212A2qasin)(Mm16)mM()mM(Mm22qasin)(Mm16)mM()mM(Mm2由兩種不同原子構(gòu)成的一維復(fù)式格子存在兩種獨(dú)由兩種不同原子構(gòu)成的一維復(fù)式格子存在兩種獨(dú)立的格波：立的格波： A（聲學(xué)波）和（聲學(xué)波）和 O（光學(xué)波）（光學(xué)波） 關(guān)于格波頻率的討論：關(guān)于格波頻率的討論： （1）格波的頻率格波的頻率 在波矢空間內(nèi)是以倒格矢在波矢空間內(nèi)是以倒格矢 2 /a為周期的周期函數(shù)，即為

11、周期的周期函數(shù)，即 (q + 2 /a)= (q)。 （2）格波的頻率格波的頻率具有反演對(duì)稱性。具有反演對(duì)稱性。即即 (q)= ( q)。 波矢波矢q可以限定在范圍可以限定在范圍：aqa（第一布里淵區(qū)）（第一布里淵區(qū)） 晶格振動(dòng)的波矢數(shù)目晶格振動(dòng)的波矢數(shù)目：是整數(shù)ll2qNaaqa22NlN允許的波矢數(shù)目等于允許的波矢數(shù)目等于N N（原胞數(shù)）（原胞數(shù)）N N是總原胞數(shù)是總原胞數(shù))tqna( inta)Nn(qiNnAeuAeu 晶格振動(dòng)的晶格振動(dòng)的模式數(shù)目等于原模式數(shù)目等于原子的自由度數(shù)之和子的自由度數(shù)之和。振動(dòng)模式振動(dòng)模式：波矢相同，頻率：波矢相同，頻率不同；頻率相同，波矢不同不同；頻率相同

12、，波矢不同屬不同的振動(dòng)模式。屬不同的振動(dòng)模式。格波模式總數(shù)為格波模式總數(shù)為2N：對(duì)一維：對(duì)一維雙原子復(fù)式格子，一個(gè)波矢雙原子復(fù)式格子，一個(gè)波矢對(duì)應(yīng)兩個(gè)不同頻率。對(duì)應(yīng)兩個(gè)不同頻率。2N2N為原子總數(shù)，為原子總數(shù)，原子自由度數(shù)原子自由度數(shù)（玻恩（玻恩卡門邊界卡門邊界條件）條件） 晶格振動(dòng)的晶格振動(dòng)的波矢數(shù)目等于晶波矢數(shù)目等于晶體的原胞數(shù)目體的原胞數(shù)目。 光學(xué)波和聲學(xué)波光學(xué)波和聲學(xué)波 一維雙原子晶格的頻譜圖：一維雙原子晶格的頻譜圖：當(dāng)當(dāng)q 0時(shí)，格波的速度時(shí)，格波的速度 )(mM(aq/v2121AA與波矢無(wú)關(guān)的與波矢無(wú)關(guān)的一個(gè)常數(shù)一個(gè)常數(shù)長(zhǎng)聲學(xué)波是彈性波，最小頻率為長(zhǎng)聲學(xué)波是彈性波，最小頻率為0。

13、 A一支的格波為聲學(xué)波。一支的格波為聲學(xué)波。 聲學(xué)波的最高頻率：聲學(xué)波的最高頻率：212122121221maxA)(Mm16)mM()mM(Mm20 A Amax， Amax Omin 光學(xué)波的最低頻率：光學(xué)波的最低頻率：212122121221minO)(Mm16)mM()mM(Mm2 長(zhǎng)聲學(xué)波是彈性波：長(zhǎng)聲學(xué)波是彈性波：2122212122122sin)(16)()(2qaMmmMmMMmA 光學(xué)波的頻率處于光波頻率范圍（遠(yuǎn)紅外段）：光學(xué)波的頻率處于光波頻率范圍（遠(yuǎn)紅外段）： 離子晶體能吸收紅外光產(chǎn)生光學(xué)格波共振。離子晶體能吸收紅外光產(chǎn)生光學(xué)格波共振。 長(zhǎng)波極限下，原子的位移：長(zhǎng)波極限下

14、，原子的位移：長(zhǎng)聲學(xué)波長(zhǎng)聲學(xué)波長(zhǎng)光學(xué)波長(zhǎng)光學(xué)波0)()(21221BeAMiqa0)()(22121BmAeiqa221iqa21AmeABiqa21221eMABO)0q(uu1n2n2)0q(1AB)0q(Mm)mM)(212O0BmAMormMAB 長(zhǎng)波極限下，一維雙原子的位移圖示長(zhǎng)波極限下，一維雙原子的位移圖示長(zhǎng)聲學(xué)波長(zhǎng)聲學(xué)波長(zhǎng)光學(xué)波長(zhǎng)光學(xué)波長(zhǎng)光學(xué)波原胞中不同原子作相對(duì)運(yùn)動(dòng)。長(zhǎng)光學(xué)波原胞中不同原子作相對(duì)運(yùn)動(dòng)。質(zhì)量大的振幅小，質(zhì)量小的振幅大，質(zhì)量大的振幅小，質(zhì)量小的振幅大，質(zhì)心不動(dòng)。質(zhì)心不動(dòng)。長(zhǎng)聲學(xué)波原胞中不同原子以相同的振長(zhǎng)聲學(xué)波原胞中不同原子以相同的振幅和位相作整體運(yùn)動(dòng)（剛體運(yùn)動(dòng)），

15、幅和位相作整體運(yùn)動(dòng)（剛體運(yùn)動(dòng)），原胞的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)。原胞的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)。 一、運(yùn)動(dòng)方程和格波解一、運(yùn)動(dòng)方程和格波解 設(shè)晶體原胞的基矢為設(shè)晶體原胞的基矢為aj (j 1、2、3)，沿，沿3個(gè)基矢方向個(gè)基矢方向各有各有N1、 N2、N3個(gè)原胞（個(gè)原胞（共有原胞共有原胞N = N1N2N3個(gè)個(gè)）。）。 晶體由晶體由n種原子構(gòu)成種原子構(gòu)成。質(zhì)量：。質(zhì)量：m1、 m2、 mn；在每個(gè)；在每個(gè)原胞中平衡位置的相對(duì)坐標(biāo)：原胞中平衡位置的相對(duì)坐標(biāo)： r1、 r2、 rn； 頂點(diǎn)（格點(diǎn)）的位置矢量頂點(diǎn)（格點(diǎn)）的位置矢量： Rl = l1a1 + l2a2 + l3a3 原胞中原胞中n個(gè)原子在個(gè)原子在t時(shí)刻偏離其平衡位置

16、的位移時(shí)刻偏離其平衡位置的位移：nl,2l,1lu,uu 第第p個(gè)原子在個(gè)原子在 （ = x，y，z）方向的運(yùn)動(dòng)方程為：）方向的運(yùn)動(dòng)方程為： plump右端是右端是 方向位移的代數(shù)式方向位移的代數(shù)式（簡(jiǎn)諧近似）（簡(jiǎn)諧近似） 簡(jiǎn)諧近似下方程的形式解簡(jiǎn)諧近似下方程的形式解：tiptiplpleeplRqqrRAAuq一定，一定， q r是定值。是定值。 分量形式：分量形式：tipleApluRq代入運(yùn)動(dòng)方程，得代入運(yùn)動(dòng)方程，得3n個(gè)個(gè)線性齊次方程組線性齊次方程組 3n個(gè)線性齊次方程組個(gè)線性齊次方程組： mp 2Ap = (p = 1, 2, , n; =x, y, z) 由振幅由振幅A p 有非零

17、解的條件有非零解的條件， 可解出可解出3n個(gè)個(gè) 的實(shí)根的實(shí)根。其中，有其中，有3個(gè)在個(gè)在q 0時(shí)時(shí) vAi(q)是是q方向傳播的彈性波方向傳播的彈性波的速度，是常數(shù)的速度，是常數(shù) 此時(shí)此時(shí) A1 = A2 = = An 原胞作剛性運(yùn)動(dòng)，這三支是原胞作剛性運(yùn)動(dòng)，這三支是聲學(xué)波，其余（聲學(xué)波，其余（3n-3）支是）支是光學(xué)波（頻率更高）光學(xué)波（頻率更高） Ai = vAi(q)q (i = 1, 2, 3)二、色散關(guān)系二、色散關(guān)系 周期性邊界條件周期性邊界條件：pNl ,l ,lpl ,l ,lplpl ,Nl ,lpl ,l ,lplpl ,l ,Nlpl ,l ,lpl332132132213

18、213211321uuuuuuuuutNititNititNiti33ll22lll1lleeeeeeaqRqRqaqRqRqaqRqRq333321222111h2Nh ,h ,h(h2Nh2Naqaqaq為整數(shù)）波矢q具有倒格矢量綱 則：為倒格矢基矢、321333222111NhNhNhbbbbbbq 其中：為波矢基矢、332211NNNbbb三維格波波矢不是連續(xù)的三維格波波矢不是連續(xù)的波矢的點(diǎn)陣具有周期性，一個(gè)重復(fù)單元對(duì)應(yīng)一個(gè)波矢點(diǎn)。波矢的點(diǎn)陣具有周期性，一個(gè)重復(fù)單元對(duì)應(yīng)一個(gè)波矢點(diǎn)。最小重復(fù)單元體積最小重復(fù)單元體積：c33332211V2N2N*NNNbbb 波矢密度波矢密度：3cc32VV21為整數(shù)、321332211mmmmmmmbbbK原子的位移不不變。原子的位移不不變。 波矢波矢q