數字信號處理模擬濾波器設計無限脈沖響應數字濾波器PPT課件

1、 圖5.1 各種理想濾波器的幅頻特性 )(jaH低通帶通帶阻高通)(jaH)(jaH)(jaH000c第1頁/共69頁 模擬濾波器的設計方法 模擬濾波器的設計就是要將一組規(guī)定的設計要求，轉換為相應的模擬系統函數Ha(s)，使其逼近某個理想濾波器的特性，這種逼近是根據幅度平方函數來確定的，也就是說，模擬濾波器設計中，通常只考慮幅頻特性。 1.模擬低通濾波器的設計指標及逼近方法 模擬低通濾波器的設計指標有p, p,s和s。其中p和s分別稱為通帶截止頻率和阻帶截止頻率，p是通帶(=0p)中的最大衰減系數，s是阻帶s的最小衰減系數，p和s一般用dB數表示。對于單調下降的幅度特性，可表示成：第2頁/共6

2、9頁 如果=0處幅度已歸一化到1，即|Ha( j0)|=1,p和s表示為 以上技術指標用圖5-2表示。圖中c稱為3dB截止頻率，因 2210lg()10lg()papsasHjHj (5-3) (5-4) ()1/2, 20lg()3acacHjHjdB22)()0(lg10paapjHjH22)()0(lg10saasjHjH(5-1)(5-2)第3頁/共69頁圖5-2 低通濾波器的幅度特性第4頁/共69頁 濾波器的技術指標給定后，需要設計一個傳輸函數Ha(s)，希望其幅度平方函數滿足給定的指標p和s，一般濾波器的單位沖激響應為實數，因此jsaaaaaaasHsHjHjHjHjHjH)()(

3、)()()()()(*2如果能由p、s、p、c求出 ，那么濾波器的設計就轉化為如何由 求得Ha(s)，分析如下：因為脈沖響應 ha(t)是實的，因而Ha(s)的極點(或零點)必成共軛對存在。 Ha(s) Ha(-s)的極點、零點分布如圖5.1.3所示，是成象限對稱的。 S平面圖5.1.3零點、極點分布2)( jHa2)( jHa第5頁/共69頁 由于任何實際可實現的濾波器都是穩(wěn)定的，因此其系統函數Ha(s)的極點一定落于s的左半平面，所以左半平面的極點一定屬于Ha(s),而右半平面的極點必屬于 Ha(-s) 。零點的分布則無此限制，它只和濾波器的相位特性有關，如果要求是最小相位延時特性，則Ha

4、(s)應取左半平面零點；如無特殊要求，則可將對稱零點的任一半(應為共軛對)取為 Ha(s)的零點。由此，得到由 確定Ha(s)的方法： (1)由 得到象限對稱的s平面函數 (2) 尋找Ha(s) Ha(-s)的零點和極點。將左半平面的極點歸于Ha(s)，如無特殊要求，可取 Ha(s) Ha(-s)以虛軸為對稱軸的對稱零點的任一半(應是共軛對)作為Ha(s)的零點。j軸上的零點或極點都是偶次的，其中一半(應為共軛對)屬于Ha(s) (3) 求出Ha(s)的零極點和增益，即可確定系統函數Ha(s)。2)( jHajsaaasHsHjH)()()(2第6頁/共69頁 2.巴特沃斯低通濾波器的設計方法

5、 巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數|Ha( j)|2用下式表示：221()1()aNcHj(5-7) 圖5-4 巴特沃斯幅度特性和N的關系第7頁/共69頁 將幅度平方函數|Ha( j)|2寫成s的函數： 21( )()1()aaNcHs Hssj(5-7) 此式表明幅度平方函數有2N個極點，極點sk用下式表示：1121()222( 1)()kjNNkccsje k=0,1,2N-1 (5-8) NcNcajjjH222)/(11)/(11 這2N個極點分布在s平面半徑為c的圓上(巴特沃斯圓)，角度間隔/N弧度。為形成穩(wěn)定的濾波器，取平面左半平面的N個極點構成 Ha(s)。第8頁/共69頁 所以

6、取左半平面的極點時，應滿足)21221(Nkjckes12, 1 , 0Nk 因23)21221(2Nk2121Nk而k為整數，所以k=0,1,N-1。所以巴特沃斯濾波器的N個極點為 1, 1 , 0;e)21221(jNksNkck則濾波器的系統函數Ha(s)為)()(10kNkNcasssH第9頁/共69頁圖5-5 三階巴特沃斯濾波器極點分布以N3為例，Ha(s)Ha(-s)極點分布如圖，分別為1, 1 , 0;e)21221(jNksNkck12 , 1 , 0;e)21221(jNksNkck320jcescs1322jces313jcescs4315jces，Ha(s)取左半平面極點

7、，即所以Ha(s) 極點為s0,s1,s2)()()(32j32j3esesssHccca第10頁/共69頁 由于各濾波器的幅頻特性不同，為使設計統一，將所有的頻率歸一化。這里采用對3dB截止頻率c歸一化，歸一化后的Ha(s)表示為 式中，s/c=j/c。 令=/c，稱為歸一化頻率；令p=j，p稱為歸一化復變量，這樣歸一化巴特沃斯的傳輸函數為101( )()aNkkccHsss(5-11) 101( )()aNkkHppp(5-12) (3)頻率歸一化問題第11頁/共69頁 式中，pk為歸一化極點，因p=s/c,pk=sk/c用下式表示： 將極點表示式代入(5-12)式，得到的歸一化系統函數H

8、a(p)的表達式，所以求Ha(p) 需先求濾波器階數N,求得N后按式(5-13)或查表5-1即得Ha(p) 。下面介紹階數N的確定方法 121()22,0,1,1kjNkpekN(5-13)1, 1 , 0;e)21221(jNksNkck第12頁/共69頁NcNcajjjH222)/(11)/(112)(lg10papjH2)(lg10sasjH10/210)(1pNcp(5-6)(5-3)(5-4)將=p和s分別代入(5-6),得到p和s處的幅度平方函數，再將這兩個頻率點處的幅度平方函數分別代入(5-3)和(5-4) ，得10/210)(1sNcs第13頁/共69頁 由(5-15)和(5-

9、16)式得到：/10/10101()101psapNas令1010101/,101psaspspspak ,則N由下式表示： lglgspspkN (5-17) 第14頁/共69頁 用上式求出的N可能有小數部分，應取大于等于N的最小整數。關于3dB截止頻率c，如果技術指標中沒有給出，可以按照(5-15)式或(5-16)式求出，由(5-15)式得到： 10.1210.12(101)(101)psaNcpaNcs 由(5-16)式得到： (5-18)(5-19) 第15頁/共69頁 總結以上，低通巴特沃斯濾波器的設計步驟如下： (1)根據技術指標p,p,s和s，用(5-17)式求出濾波器的階數N。

10、 (2)按照(5-13)式，求出歸一化極點pk，將pk代入(5-12)式，得到歸一化傳輸函數Ha(p)。 (3)將Ha(p)去歸一化。將p=s/c代入Ha(p)，得到實際的濾波器傳輸函數Ha(s)。 第16頁/共69頁表5-1 巴特沃斯歸一化低通濾波器參數 第17頁/共69頁第18頁/共69頁第19頁/共69頁 例5-1 已知通帶截止頻率fp=5kHz，通帶最大衰減p=2dB，阻帶截止頻率fs=12kHz，阻帶最小衰減s=30dB，按照以上技術指標設計巴特沃斯低通濾波器。 解 (1) 確定階數N。 0.10.11010.024210122.42lg0.02424.25,5lg2.4psaspa

11、ssppkffNN 第20頁/共69頁 (2) 按照(5-13)式，其極點為按照(5-12)式， 歸一化傳輸函數為401( )()akkHppp53j0ep54j1epj2ep56j3ep57j4ep，)21221(je/Nkckksp1, 1 , 0Nk， 10)(1NkkapppH第21頁/共69頁 上式分母可以展開成為五階多項式，或者將共軛極點放在一起，形成因式分解形式。這里不如直接查表5-1簡單，由N=5，直接查表得到： 極點：-0.3090j0.9511,-0.8090j0.5878; -1.00005432432101( )aHppb pb pb pb pb 式中 b0=1.000

12、0,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361第22頁/共69頁 (3) 為將Ha(p)去歸一化，先求3dB截止頻率c。 按照(5-18)式，得到：10.1210.12(101)25.2755/(101)210.525/psaNcpaNsckrad skrad s 將c代入(5-19)式，得到：將p=s/c代入Ha(p)中得到：554233245432( )10cacccccHssbsbsbsbsb第23頁/共69頁6.1 數字濾波器基礎 1. 數字濾波器的分類 (1)數字濾波器從實現的網絡結構或者從單位脈沖響應分類，可以分成無限脈沖響應(IIR)濾波器和有

13、限脈沖響應(FIR)濾波器。它們的系統函數分別為： 0110( )1( )( )MrrrNkkkNnnb zH za zH zh n z第24頁/共69頁圖6-1 理想低通、高通、帶通、帶阻濾波器幅度特性 )(ejH)(ejH)(ejH)(ejH0低通0高通0帶通0帶阻22222222(2)從功能上分為低通、高通、帶通、帶阻濾波器。第25頁/共69頁 2數字濾波器的技術要求 我們通常用的數字濾波器一般屬于選頻濾波器。假設數字濾波器的傳輸函數H(e j)用下式表示： ()()()jjjH eH ee圖6-2 低通濾波器的技術要求第26頁/共69頁 通帶內和阻帶內允許的衰減一般用dB數表示，通帶內

14、允許的最大衰減用p表示，阻帶內允許的最小衰減用s表示，p和s分別定義為：(6-1) (6-2) 20lg()20lg()psjpjsH edBH edB c=3db時，對應的頻率記為wc,稱為3db截止頻率。第27頁/共69頁 3. 數字濾波器設計方法概述 IIR濾波器和FIR濾波器的設計方法是很不相同的。IIR濾波器設計方法有兩類，經常用的一類設計方法是借助于模擬濾波器的設計方法進行的。其設計步驟是：先設計模擬濾波器得到傳輸函數Ha(s)，然后將Ha(s)按某種方法轉換成數字濾波器的系統函數H(z)。 FIR濾波器通常直接在頻域或時域內進行，借助窗函數法設計。 第28頁/共69頁6.2 II

15、R數字低通濾波器的設計 IIR濾波器常借助模擬濾波器來設計，方法是首先將數字濾波器技術指標轉換為對應的模擬濾波器技術指標，然后設計滿足技術指標的模擬濾波器Ha(s)，最后將設計出的模擬濾波器Ha(s)轉換為滿足技術指標的數字濾波器H(z)。為了保證轉換后的H(z)穩(wěn)定且滿足技術要求，對轉換關系提出兩點要求： (1) 因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉換成數字濾波器，仍是因果穩(wěn)定的。模擬濾波器因果穩(wěn)定要求其系統函數Ha(s)的極點全部位于s平面的左半平面；數字濾波器因果穩(wěn)定則要求H(z)的極點全部在單位圓內。因此，轉換關系應是s平面的左半平面映射到z平面的單位圓內。 (2)數字濾波器的頻率響應模仿模擬濾波器

16、的頻響，s平面的虛軸映射z平面的單位圓。第29頁/共69頁6.2.1脈沖響應不變法 脈沖響應不變法的核心是通過將模擬濾波器的單位脈沖響應ha(t)等間隔采樣得到離散序列ha(nT)，使h(n)=ha(nT)(其中，T為采樣間隔)，即得到數字濾波器的單位脈沖響應。因此脈沖響應不變法是一種時域上的轉換方法，轉換步驟如下：拉氏逆變換等間隔采樣Z變換Ha(s)Ha(t)Ha(nT)=h(n)H(z)第30頁/共69頁 設模擬濾波器的傳輸函數為Ha(s),相應的單位沖激響應是ha(t)，即 ( )( )aaHsLT h t 設模擬濾波器Ha(s)只有單階極點，且分母多項式的階次高于分子多項式的階次，將H

17、a(s)用部分分式表示： 1( )NiaiiAHsss(6-3) 式中si為Ha(s)的單階極點。將Ha(s)進行逆拉氏變換得到ha(t)：NitsiatueAthi1)()(第31頁/共69頁 式中u(t)是單位階躍函數。對ha(t)進行等間隔采樣，采樣間隔為T，得到： 1( )()()iNs nTaiih nh nTAeu nT(6-4)對上式進行Z變換，得到數字濾波器的系統函數H(z)： 11( )1iNis TiAH zez (6-5)設ha(t)的采樣信號用ha(t)表示，( )( ) ()aanhth ttnTNitsiatueAthi1)()(第32頁/共69頁 對 進行拉氏變換

18、，得到: ( )aht( )( )()()staastansnTHsht edth tnT edtnT e 式中ha(nT)是ha(t)在采樣點t=nT時的幅度值，它與序列h(n)的幅度值相等，即h(n)=ha(nT)，因此得到: ( )( )( )( )sTsTsnTnaz ez ennHsh n eh n zH z(6.3.5) 第33頁/共69頁 上式表示采樣信號的拉氏變換與相應的序列的Z變換之間的映射關系可用下式表示： 我們知道模擬信號ha(t)的傅里葉變換Ha( j)和其采樣信號 的傅里葉變換 之間的關系滿足下式(采樣定理）：sTze(6-8) ( )aht()aHj第34頁/共69

19、頁將s=j代入上式，得所以(6-9) (6-10) (6-11) ksaazksHTsHzHsT)j(1)()(eksaaksHTsH)j(1)(ksaakHTH)j(j1)(j第35頁/共69頁 上式表明將模擬信號ha(t)的拉氏變換在s平面上沿虛軸按照周期s=2/T延拓后，再按照(6-8)式映射關系，映射到z平面上，就得到H(z)。(6-8)式可稱為標準映射關系。下面進一步分析這種映射關系。設jsjzre 按照(6-8)式，得到:jTj Treee因此得到:TreT (6-12) 第36頁/共69頁 那么 =0,r=1 0,r0,r1 另外，注意到z=esT是一個周期函數，可寫成2(),j

20、M TsTTj TTTeeeeeM為任意整數第37頁/共69頁圖6-5 z=esT,s平面與z平面之間的映射關系第38頁/共69頁圖6-6 脈沖響應不變法的頻率混疊現象第39頁/共69頁 假設 沒有頻率混疊現象，即滿足 按照(6-11)式，并將關系式s=j代入，=T，代入得到： 令()aHj()0,/aHjT 1()(),jaH eHjTT11( )()( )1()(/),iaNis Tijah nTh nTTAH zezH eHjT第40頁/共69頁 一般Ha(s)的極點si是一個復數，且以共軛成對的形式出現，在(6-3)式中將一對復數共軛極點放在一起，形成一個二階基本節(jié)。如果模擬濾波器的二

21、階基本節(jié)的形式為1112211()sjs 極點為 可以推導出相應的數字濾波器二階基本節(jié)(只有實數乘法)的形式為 1111121211cos12cosTTTz eTz eTz e第41頁/共69頁 如果模擬濾波器二階基本節(jié)的形式為 1111112211112121,()sin12cosTTTjsz eTz eTz e 極點為 第42頁/共69頁 例6-2 已知模擬濾波器的傳輸函數Ha(s)為 用脈沖響應不變法將Ha(s)轉換成數字濾波器的系統函數H(z)。 解 首先將Ha(s)寫成部分分式：20.5012( )0.64490.7079aHsss0.32240.3224( )0.32240.777

22、20.32240.7772ajjHssjsj極點為12(0.32240.772),(0.32240.7772)sjsj 那么H(z)的極點為第43頁/共69頁1212,s Ts Tzeze經過整理，得到 設T=1s時用H1(z)表示，T=0.1s時用H2(z)表示，則111212120.3276( )1 1.03280.2470.0485( )1 1.93070.9375zH zzzzHzzz第44頁/共69頁圖6.3.3 例6.3.1的幅度特性第45頁/共69頁6.2.2 用雙線性變換法設計IIR數字低通濾波器原理是由數字濾波器的差分方程模擬模擬濾波器的微分方程。 Ha(s)微分方程差分方程

23、H(z)以一階微分方程為例進行推導。設 asbsXsYsHa)()()(微分方程為 )()()(tbxtaydttdy對連續(xù)函數x(t)和y(t)進行等間隔采樣(間隔為T) ，得到離散值x(n)、x(n-1)、y(n)、y(n-1)，利用數值分析中的標準方法，可進行以下近似)1()(21nxnx)1()(21nyny)1()(1nynyT x(t) y(t) dy(t)/dt 將這些近似代入微分方程) 1(2)(2) 1()12()()12(nxbnxbnyTanyTa進行Z變換，得第46頁/共69頁azzTbzXzYzH11112)()()(asbsXsYsHa)()()(對比可得H(z)與

24、Ha(s)的關系11112)()(zzTsasHzH以上結論雖然是以一階微分方式為例得出的，但由于任意高階的Ha(s)都可以分解為一階系統的并聯，因此以上的推導具有普遍規(guī)律。s平面與z平面的轉換關系為11112zzTssTsTz22第47頁/共69頁轉換關系分析 (1)s平面到z平面的映射關系 設s=+j，z=rejw,由sTsTz22j2j2TTz2222)2()2(TTr當0時，r=1, s平面虛軸映射到Z平面的單位圓上；當0時，r0時，r1, s平面右半平面映射到Z平面的單位圓外。這說明雙線性變換法滿足s到z的兩個轉換條件。即若Ha(s)因果穩(wěn)定，轉換后得到H(z)也因果穩(wěn)定，數字濾波器

25、頻率響應H(ejw)模仿模擬濾波器頻響Ha(j )。 第48頁/共69頁(2)消除頻率混疊的原因 增加一個過渡平面s1，將sz的轉換分成兩步，即ss1z.設Tsez111112zzTs由得TsTseeTs11112第一步轉換，將 js11js代入上式，可得 TTTeeTTT11jj21cos21sin2j112j11TT121tan2第49頁/共69頁T是采樣間隔，當 從 經過0變化到 時，則從-經過0變化到 +實現了s平面上整個虛軸完全壓縮到 s1平面上虛軸的之間的轉換。 1T/T/T/第二步轉換 ，將 ， 代入TT121tan2zs 1111jswrzjeTsez1TrT11e所以s1到z

26、平面，實現了s1左半平面(10)映射z平面的單位圓(r0)映射z平面的單位圓(r1)內, s1平面虛軸(10)映射z平面的單位圓(r1)。,21tan2T第50頁/共69頁圖6-9 雙線性變換法的映射關系第51頁/共69頁 設 kkkkasBsBsBBsAsAsAAsH22102210)(TCsHzHzzCsa2,)()(1111kkkkzbzbzbzazazaazH2211221101)(第52頁/共69頁 表6-2 系數關系表 第53頁/共69頁第54頁/共69頁 例6-3試分別用脈沖響應不變法和雙線性不變法將圖示的RC低通濾波器轉換成數字濾波器。 解 首先按照圖寫出回路方程1( ),aH

27、ssRC 利用脈沖響應不變法轉換，數字濾波器的系統函數H1(z)為 11( )1TH zezx(t)u(t)()()()()()()(tCutqdttdqtitutRitx整理并拉氏變換得該濾波器的傳輸函數Ha(s)為第55頁/共69頁 利用雙線性變換法轉換，數字濾波器的系統函數H2(z)為 H1(z)和H2(z)的網絡結構分別如下圖所示。H1(z)和H2(z)的網絡結構 (a)H1(z); (b)H2(z) 121111221)1 ()()(11zzsHzHzzTsa22,221TTTT第56頁/共69頁數字濾波器H1(z)和H2(z)的幅頻特性 第57頁/共69頁 下面我們總結利用模擬濾波

28、器設計IIR數字低通濾波器的步驟。 (1)確定數字低通濾波器的技術指標：通帶截止頻率p、通帶衰減p、阻帶截止頻率s、阻帶衰減s。 (2)將數字低通濾波器的技術指標轉換成模擬低通濾波器的技術指標。 如果采用雙線性變換法，邊界頻率的轉換關系為若采用脈沖響應不變法，轉換關系為(3)按照模擬低通濾波器的技術指標設計模擬低通濾波器。21tan2TT/第58頁/共69頁 (4)將模擬濾波器Ha(s)，從s平面轉換到z平面，得到數字低通濾波器系統函數H(z)。 脈沖響應不變法轉換關系為 雙線性變換法轉換關系為 (5)畫出頻率響應 ，校核是否滿足設計指標。 例6-4 設計低通數字濾波器，要求在通帶內頻率低于0

29、.2rad時，容許幅度誤差在1dB以內；在頻率0.3到之間的阻帶衰減大于15dB。指定模擬濾波器采用巴特沃斯低通濾波器。試分別用脈沖響應不變法和雙線性變換法設計濾波器。1e1zAssATsiiii11112)()(zzTasHzHjej)()(ezzHH第59頁/共69頁 解 (1) 用脈沖響應不變法設計數字低通濾波器。 數字低通的技術指標為 p=0.2rad,p=1dB; s=0.3rad,s=15dB 設T1s,則模擬低通的技術指標為 T=1s,p=0.2rad/s,p=1dB; s=0.3rad/s,s=15dBT/(頻率轉換關系為 ,衰減不變） 第60頁/共69頁 設計巴特沃斯低通濾波器。先計算階數N及3dB截止頻率c。 0.10.1lglg0.31.50.21010.092101lg0.0925.884lg1.5psspspssppspkNkN 第61頁/共69頁 取N=6。為求3dB截止頻率c,將p和p代入(5-18)式，得到c=0.7032rad/s，顯然此值滿足通帶技術要求，同時給阻帶衰減留一定余量，這對防止頻率混疊有一定好處。 根據階數N=6，查表5-1，得到歸一化傳輸函數為234561( )13.86377.46419.14