數(shù)理方程作業(yè)答案

1、1一根水平放置長(zhǎng)度為L(zhǎng)的弦(兩端被固定) ，其單位長(zhǎng)度的重力為r g，其r 中是弦的線密度，g 是重力加速度。若弦的初始形狀如圖所示：（1）推導(dǎo)出弦的微振動(dòng)方程；（2）寫出定解問題。解：（1）設(shè)弦的微震動(dòng)方程為：依題意=-g，所以弦的微震動(dòng)方程為：（2）根據(jù)所給圖形，利 依題意，剛開始時(shí)，v=0.，所以又弦的兩端固定，所以，所以定解問題為： 用相似三角形，得：當(dāng)，；當(dāng)時(shí)， ，2.設(shè)有一個(gè)橫截面積為S，電阻率為r的勻質(zhì)導(dǎo)線，內(nèi)有電流密度為j 的均勻分布的直流電通過。試證明導(dǎo)線內(nèi)的熱傳導(dǎo)方程為： 其中c， ，k 分別為導(dǎo)線的比熱，體密度，及熱傳導(dǎo)系數(shù) 解：設(shè)導(dǎo)線內(nèi)的熱傳導(dǎo)方程為：依題意，=將其代入

2、得 3長(zhǎng)度為L(zhǎng)的均勻桿，側(cè)面絕熱，其線密度為、熱傳導(dǎo)系數(shù)為k、比熱為c 。（1）推導(dǎo)出桿的熱傳導(dǎo)方程；（2）設(shè)桿一端的溫度為零，另一端有恒定熱流q 進(jìn)入（即單位時(shí)間內(nèi)通過單位面積流入的熱量為q），已知桿的初始溫度分布為，試寫出相應(yīng)的定解問題。解:(1)根據(jù)熱傳導(dǎo)方程可得，導(dǎo)出桿的熱傳導(dǎo)方程為其中（2）依題意，=因?yàn)闂U一端的溫度為零，所以=0另一端有恒定熱流q所以 k綜上得，定解問題為:=0k1設(shè)Xn（x）=(n=1,2,3.)其中L是常數(shù)。求證： 證明： 根據(jù)三角函數(shù)的正交性定理，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，所以=2/L=1即2.設(shè)有一根長(zhǎng)度L=10的弦，兩端固定，初始位移為，初始速度為零。求弦作微小振動(dòng)

3、時(shí)，任意點(diǎn)離開其平衡位置的位移解： 依題意寫出定解問題 0<<10 ,>0 >0 設(shè)，再根據(jù)可得 設(shè)= 則 再由可得 解方程組： 分析可知 >0,設(shè)將其代入得將代入，得 所以將代入，解得所以 所以 因?yàn)樗?，解得所?= 0 為偶數(shù) 為基數(shù)所以3.求解定解問題： （0<<） (>0) (0<<)解：根據(jù)邊界條件，取本征函數(shù) （相對(duì)應(yīng)的本征值為則利用初始條件得所以所以4.解一維熱傳導(dǎo)方程，其初始條件及邊界條件為， ，解：寫出定解問題：= 0<<,>0 , 0 0 ,設(shè)，代入 ，得=由此 當(dāng)=0時(shí)，結(jié)合邊界條件得所以當(dāng)&

4、gt;0,根據(jù)邊界條件選取本征函數(shù)： （相對(duì)應(yīng)的本征值為則則根據(jù)初始條件得=所以=綜上得5.把高頻輸電線充電到具有電壓E，然后一端短路封閉另一端仍保持?jǐn)嚅_，求以后的電壓分布。解：設(shè)輸電線長(zhǎng)為，依題意得定解問題： <<,>0 , t>0 設(shè)分離變量得：根據(jù)邊界條件選取本征函數(shù)：（=1,2,3.）相對(duì)應(yīng)的本征值為則則 （=1,2,3.）則+則+再根據(jù)初始條件，可得所以5. 有界桿的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，其左端保持恒定溫度(攝氏零度),右端自由散熱(設(shè)外界介質(zhì)溫度為攝氏零度)。u已知桿內(nèi)初始溫度分布, 求解桿內(nèi)任意時(shí)刻溫度分布的定解問題：= 0<x<,>0 0<x< , ( >0 設(shè)分離變量得 解，由邊界條件得 ，由此可得 設(shè)，則 可化為 由上式的特征值為，,相應(yīng)的特征函數(shù)為再由得 由此得再由初始條件得所以（）6.求下列定解問題 + （0<<，>0） (>0) (0)解：設(shè)則 ，代入原方程得 （0<<，>0