南京郵電學院信號與系統信號 7

1、 第七章第七章 狀態(tài)變量分析狀態(tài)變量分析前面幾章討論的是輸入輸出之間關系為輸入前面幾章討論的是輸入輸出之間關系為輸入、輸出為一個的情況。、輸出為一個的情況。數學表示：連續(xù)系統數學表示：連續(xù)系統 高階微分方程高階微分方程離散系統離散系統 高階差分方程高階差分方程缺點：缺點： 1. 當輸出改變后，還需重新建立方程，當輸出改變后，還需重新建立方程，然后求解。建立方程前，方程的階數不清楚；然后求解。建立方程前，方程的階數不清楚； 2. 輸入、輸出多個的情況，列方程困難；輸入、輸出多個的情況，列方程困難；這個這個“最少個數最少個數”稱為：稱為：網絡復雜度網絡復雜度。 3. 不適宜編寫程序；不適宜編寫程序

2、； 4. 不能推廣到時變和非線性系統的分析。不能推廣到時變和非線性系統的分析。隨著系統內部結構的復雜程度的增加，六十年隨著系統內部結構的復雜程度的增加，六十年代中期提出了狀態(tài)變量分析法。其實質：代中期提出了狀態(tài)變量分析法。其實質：將網絡方程列寫成關于將網絡方程列寫成關于“狀態(tài)變量狀態(tài)變量”的一組一的一組一階微分階微分(差分差分)方程組。也就是說，描述系統最少方程組。也就是說，描述系統最少需要列寫多少個一階方程來表征它。需要列寫多少個一階方程來表征它。顯然，全電阻網絡不需要用微分方程來描述它，顯然，全電阻網絡不需要用微分方程來描述它，故，網絡復雜度為零。故，網絡復雜度為零。如果如果 系統的全部狀

3、態(tài)變量的變化規(guī)律已經求系統的全部狀態(tài)變量的變化規(guī)律已經求出，那么，系統中的任何變量出，那么，系統中的任何變量(電壓或電流電壓或電流)只只需要用狀態(tài)變量的代數方程來描述。需要用狀態(tài)變量的代數方程來描述。7-1 狀態(tài)與狀態(tài)空間狀態(tài)與狀態(tài)空間一、系統的狀態(tài)一、系統的狀態(tài) 本質是指系統的儲能狀態(tài)。本質是指系統的儲能狀態(tài)。描述這種狀態(tài)的變量稱為狀態(tài)變量。常用描述這種狀態(tài)的變量稱為狀態(tài)變量。常用x tx t12( ),( ),來表示；來表示；tt0一般稱一般稱時刻的狀態(tài)為初始狀態(tài)，常用時刻的狀態(tài)為初始狀態(tài)，常用xtxt1020(),(),來表示；且經常取來表示；且經常取t00。一組狀態(tài)變量可以用一個矢量來

4、表示：。一組狀態(tài)變量可以用一個矢量來表示：狀態(tài)矢量所描述的空間稱為狀態(tài)空間。狀態(tài)矢量所描述的空間稱為狀態(tài)空間。 狀態(tài)矢量所包含的狀態(tài)變量的個數稱為狀態(tài)空間狀態(tài)矢量所包含的狀態(tài)變量的個數稱為狀態(tài)空間的維數，或系統的階數。也就是網絡復雜度。的維數，或系統的階數。也就是網絡復雜度。x(t) xtxtt12( ),( ),用狀態(tài)變量來描述和分析系統的方法稱為狀態(tài)用狀態(tài)變量來描述和分析系統的方法稱為狀態(tài)變量分析法。變量分析法。 狀態(tài)變量分析法步驟：狀態(tài)變量分析法步驟：1. 選定狀態(tài)變量；選定狀態(tài)變量；2. 建立狀態(tài)方程建立狀態(tài)方程(一組一階微分或差分方程一組一階微分或差分方程)；即，建立狀態(tài)變量與輸入之

5、間的關系。即，建立狀態(tài)變量與輸入之間的關系。3. 建立輸出響應與輸入激勵關系的輸出方程建立輸出響應與輸入激勵關系的輸出方程 (一組代數方程一組代數方程)；4. 求解這些方程。求解這些方程。它們直接與儲能狀態(tài)相聯系，且使用方便。它們直接與儲能狀態(tài)相聯系，且使用方便。在線性時不變系統中，在電路已知時，狀態(tài)在線性時不變系統中，在電路已知時，狀態(tài)變量常選電感電流和電容電壓。原因：變量常選電感電流和電容電壓。原因：當然，也可以選取電荷和磁鏈作為狀態(tài)變量；當然，也可以選取電荷和磁鏈作為狀態(tài)變量；還可以選取其它的一些變量。還可以選取其它的一些變量。但下列情況必須注意到：一個系統的狀態(tài)變量但下列情況必須注意到

6、：一個系統的狀態(tài)變量的個數是確定的；但哪幾個變量并不唯一。的個數是確定的；但哪幾個變量并不唯一。當已知電路時：當已知電路時：首先，首先， 和和 與儲能情況相聯系：但與儲能情況相聯系：但當當 存在存在cc或或vs-c回路時回路時 (常稱為常稱為全電容回路全電容回路)時，其中一個電容的電壓受時，其中一個電容的電壓受kvl限制，此電壓并限制，此電壓并不獨立；不獨立；當當 存在存在ll或或is-l割集時割集時 (常稱為常稱為全電感割集全電感割集)時，其中一個電感的電流受時，其中一個電感的電流受kcl限制，此電流并限制，此電流并不獨立。不獨立。itl( )vtc( )設：設： 為獨立的狀態(tài)變量的個數為獨

7、立的狀態(tài)變量的個數(網絡復雜度網絡復雜度)；n為電路電容和電感的總數；為電路電容和電感的總數；blc為獨立的全電容回路的總數；為獨立的全電容回路的總數；nc為獨立的全電感割集的總數。有為獨立的全電感割集的總數。有nlnbnnlccln 7115顯然，獨立源并不影響顯然，獨立源并不影響 n 的個數。的個數。電壓源短路；電流源開路。電壓源短路；電流源開路。所以，在判定所以，在判定 n 的大小時：的大小時：方法：方法：7-2 連續(xù)系統狀態(tài)方程的建立連續(xù)系統狀態(tài)方程的建立1. 直接法：直觀編寫法直接法：直觀編寫法(已知電路已知電路)系統編寫法系統編寫法2. 間接法：由輸入輸出方程編寫法間接法：由輸入輸

8、出方程編寫法(一一)連續(xù)時間系統狀態(tài)方程的建立連續(xù)時間系統狀態(tài)方程的建立 由系統模擬圖編寫法由系統模擬圖編寫法1.直觀編寫法直觀編寫法(編寫依據：編寫依據：kcl、kvl、vcr)vcrlcvsil由由kvl：整理一下：整理一下：vrildidtvsllc由由vcr：icdvdtlcdidtlvrlilvlcls 11dvdtcicl010這就是狀態(tài)方程。這就是狀態(tài)方程。寫成矩陣的形式：寫成矩陣的形式：dvdtdidtviclrlvilvclclcls 01101至于輸出響應，可以與狀態(tài)變量相同，也可以至于輸出響應，可以與狀態(tài)變量相同，也可以不同。設輸出為不同。設輸出為 ，則輸出方程為，則輸出

9、方程為vl注意，這個方程是代數方程。寫成矩陣形式，為注意，這個方程是代數方程。寫成矩陣形式，為vldidtvrivllcls vrvivlcls 11例：例：cv1il1vcil2r1r2l1l2v2解：第一步，選取狀態(tài)變量：解：第一步，選取狀態(tài)變量：iivllc12,分別記為分別記為xxx123,第二步，列寫基本方程：第二步，列寫基本方程：kcl方程方程cdvdtiicll210兩個網孔的兩個網孔的kvl方程：方程：r ildidtvvllc11111r ildidtvvllc22222 第三步，消除中間變量第三步，消除中間變量(本例無本例無“非狀態(tài)變量非狀態(tài)變量”)第四步，整理，寫成矩陣方

10、程的形式。第四步，整理，寫成矩陣方程的形式。didtrlilvlvllc1111111011didtrlilvlvllc2222222011dvdtcicicll110012xxxrllrllccxxxllvv12311122212312120101110100100狀態(tài)方程的標準形式：狀態(tài)方程的標準形式： xaxbv設設 r2 上的電壓為輸出上的電壓為輸出 y 。有。有yr il22輸出方程的矩陣形式為輸出方程的矩陣形式為 yrxxxvv0000212312輸出方程的標準形式為輸出方程的標準形式為ycxdvd： 矩陣矩陣 kma ： 方陣方陣nnn狀態(tài)變量的個數狀態(tài)變量的個數b ： 矩陣矩陣

11、nmm輸入電源的個數輸入電源的個數c ： 矩陣矩陣knk輸出變量的個數輸出變量的個數必須指出：必須指出：1. 第四步消除中間變量第四步消除中間變量(非狀態(tài)變量非狀態(tài)變量)，一般情，一般情況下不太容易；況下不太容易；2. 當電路存在當電路存在c-c回路，回路，l-l割集時，有可能得割集時，有可能得不到標準的不到標準的(范式的范式的)狀態(tài)方程。它會是狀態(tài)方程。它會是xaxb vb v12但只要假設新的狀態(tài)變量但只要假設新的狀態(tài)變量xxb v2xxb v2，得，得，代入上式，得，代入上式，得xb vaxab vb vb v2212有有xaxabb v()213. r、l、c組成的電路一定存在標準的狀

12、態(tài)方組成的電路一定存在標準的狀態(tài)方程；但當含有受控源時，就不一定了程；但當含有受控源時，就不一定了(當然這是當然這是極少數情況極少數情況)。當不存在當不存在c-c回路回路l-l割集時，下面的方法顯得割集時，下面的方法顯得比較簡單：比較簡單：v2vsi1v3i6r5r4c2l6c3 i1(1) 選取選取v2、v3、i6為狀態(tài)變量，并注意動態(tài)元為狀態(tài)變量，并注意動態(tài)元件的件的v-i參考方向關聯；參考方向關聯；(2) 畫替代圖：畫替代圖：c 用電壓源替代，用電壓源替代，l 用電流源替用電流源替代；代；vsi1v3i6r5r4 i1i2i3v2v6(3)列替代圖的方程。列替代圖的方程。vsi1v3i6

13、r5r4 i1i2i3v2v6cdvdtivvvrs222235cdvdtivvvris3232356ldidtvvr ii6663461()ii12用用代入，代入，ldidtvvr irvvvrs66634 64235整理，得整理，得cdvdtvrvrvrs22253550 cdvdtvrvrivrs33253565 ldidtrrvrrvr irrvs664524534 6451()得得dvdtvc rvc rvc rs2225325250 dvdtvc rvc rcivc rs323533536351 didtrl rvlrrvrlirl rvs64652645346646511()寫成

14、矩陣形式：寫成矩陣形式：()vvic rc rc rc rcrl rlrrrlvvic rc rrl rvs2362525353534656454623625354651101111111若設若設 為輸出，有為輸出，有vr4vvvrrvrrvr irrvvrs4634524534 64531 ()2. 從輸入輸出方程導出狀態(tài)方程從輸入輸出方程導出狀態(tài)方程vrrvrrvr irrvvrrrrrvvirrvrsrs44524534 64544545423645 已知微分方程時的情況。已知微分方程時的情況。 略略3. 從系統函數建立狀態(tài)方程從系統函數建立狀態(tài)方程已知微分方程已知微分方程 模擬圖建立狀

15、態(tài)方程模擬圖建立狀態(tài)方程例：例：h s ( )得得d y tdtd y tdtdy tdty tdv tdtv t332281912410( )( )( )( )( )( )h sssss( ) 4108191232)3(qq qq)(ty10v t ( )819124取狀態(tài)變量取狀態(tài)變量:xq xqxq123,則狀態(tài)方程為：則狀態(tài)方程為：xxxxxxxxv1223312312198 輸出方程為：輸出方程為：yxx10412矩陣形式為：矩陣形式為： xxxxxxv12312301000112198001 yxxxv10 400123有時稱為直接模擬。有時稱為直接模擬。上述方法的優(yōu)點是無需求得特

16、征方程的根。除上述方法的優(yōu)點是無需求得特征方程的根。除此之外，還有許多方法。常見的有下面兩種。此之外，還有許多方法。常見的有下面兩種。1. 并聯子系統實現并聯子系統實現h ssssssssssss( )()()()4108191241013411132432并聯系統模擬圖為并聯系統模擬圖為由由1sa1s aa即即134v t ( )y t ( )112x1x2x3設狀態(tài)變量如圖設狀態(tài)變量如圖得得xxvxxvxxvyxxx112233123342 xxxxxxvyxxxv12312312310003000411111202. 串聯子系統實現串聯子系統實現h ssssssssssss( ) 410

17、8191241523144111231432串聯系統模擬圖為串聯系統模擬圖為134124v t ( )y t ( )x1x2x3選取狀態(tài)變量選取狀態(tài)變量如圖如圖,狀態(tài)方程狀態(tài)方程為為xxxxxxxxxvyx1123223331412434 xxxxxxvyxxxv12312312341240340010011000矩陣形式為矩陣形式為(二二)離散時間系統狀態(tài)方程的建立離散時間系統狀態(tài)方程的建立 (7-4) 相當于狀態(tài)變量相當于狀態(tài)變量 改為改為 ，y t ( )v t ( )x k( )x t ( )輸入變量輸入變量改為改為v k( )輸出變量輸出變量改為改為y k( )x t( )改為改為x

18、 k()1模擬圖中的積分器改為延遲器模擬圖中的積分器改為延遲器方程形式：方程形式：x kax kbv k()( )( )1y kcx kdv k( )( )( )例：例：y ky ky kv k()( )( )( )256模擬圖：模擬圖：v k( )56y k( )ddx k1( )xk2( )x kxkxkx kxkv k122121165()( )()( )( )( ) y kx k( )( )1寫成矩陣形式：寫成矩陣形式：x kxkx kxkv k121211016501()()( )( )( ) y kxkxkv k( )( )( )( )10012或或h zzzzz( ) 15612

19、13223dd11v k( )y k( )x k1( )xk2( )并聯模擬圖：并聯模擬圖：顯然，有顯然，有xkxkv kxkxkv k11221213()( )( )()( )( ) y kx kx k( )( )( )12狀態(tài)方程寫成矩陣形式：狀態(tài)方程寫成矩陣形式：xkxkxkxkv k121211200311()()( )( )( ) y kx kx kv k( )( )( )( )11012串聯型狀態(tài)方程串聯型狀態(tài)方程 略略7-3 連續(xù)時間系統狀態(tài)方程的解連續(xù)時間系統狀態(tài)方程的解先討論用拉氏變換求解，然后討論時域求解。先討論用拉氏變換求解，然后討論時域求解。一、拉氏變換法一、拉氏變換法

20、拉氏變換的微分性質能使微分方程的求解問題拉氏變換的微分性質能使微分方程的求解問題轉換成代數方程的求解問題。對照一階標量微分轉換成代數方程的求解問題。對照一階標量微分方程方程 xaxbv即即 xaxbv xaxbv狀態(tài)方程狀態(tài)方程sx sxax sbv s( )()( )( )0方程兩邊進行拉氏變換方程兩邊進行拉氏變換sx sxax sbv s( )()( )( )0得：得：()( )()( )sa x sxbv s0x ssaxsabv s( )()( )101()( )()( )sia x sxbv s0式中式中 i 為單位矩陣。為單位矩陣。定義：定義：分解矩陣分解矩陣( )()ssia1它

21、的拉氏反變換為它的拉氏反變換為狀態(tài)轉移矩陣狀態(tài)轉移矩陣( )( )()tssia1狀態(tài)方程的拉氏變換解為狀態(tài)方程的拉氏變換解為x ss xs bv s( )( ) ()( )( )0(零輸入零輸入)(零狀態(tài)零狀態(tài))狀態(tài)方程的時域解為狀態(tài)方程的時域解為x tx sls xls bv s( )( )( ) ()( )( )110(零輸入零輸入)(零狀態(tài)零狀態(tài))例：例：abvtxx 1223361131002112,( ) ,()()2. ()siasss100112233611223361( )()()()ssiassss11491233612解：解：1. 先求分解矩陣先求分解矩陣bv ssss(

22、 ) 1311131xbv sssssss()( )02131161313.x ss xs bv ssxbv sssssssss( )( ) ()( )( )( ) ()( )()()001491233612613114916132313661312114913231159231495949222()()()()()()()()()()()()sssssssssssssssssssssss sssss1362120413645963546859sssss反變換，得反變換，得x tx tx teeeettttt( )( )( )()1249491362120136456356850如果，狀態(tài)變量不是輸出，還需代入輸出方程：如果，狀態(tài)變量不是輸出，還需代入輸出方程：ycxdv當然，也可以直接用公式來表示：當然，也可以直接用公式來表示：y scx sdv scs xbv sdv scs xcs bd v s( )( )( )( ) ()( )( )( ) ()( ) ( )00零輸入零輸入零狀態(tài)零狀態(tài)最后反變換求得時域表達。最后反變換求得時域表達。如果定義系統函數矩陣如果定義系統函數矩陣ysh s v szs( )( ) ( )h scs bd( )( )上式中