第09講數(shù)值方法

1、相變傳熱焦冬生熱科學(xué)和能源工程系2內(nèi)容1. 準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)法2. 攝動(dòng)法3. 數(shù)值方法3六 準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)法半徑為R的無(wú)窮長(zhǎng)的圓管內(nèi)充滿溫度為熔點(diǎn)的Tm的液體，當(dāng)t0時(shí)，圓管被突然置于溫度TaTm的環(huán)境中，因?qū)α骼鋮s而凝固，表面換熱系數(shù)h為常數(shù)。顯熱相對(duì)于潛熱要低幾個(gè)數(shù)量級(jí)，在熱能貯存中，溫差不大，可忽略顯熱。如果用指數(shù)積分函數(shù)構(gòu)造精確解，不能滿足r=0上的邊界條件。近似解，假設(shè)：1.物體的熱物性為常數(shù)；2.管壁熱阻忽略；3.SteRTaSORTwTm4 準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)法 數(shù)學(xué)方程 固液界面 首先，引入無(wú)量綱量am11rSrR(1-a)r rrTkh(TT)rR,t0(1-b)rT=TsR,t0(1-c)TTtmmT

2、=T(1-d)Tdskhrs(1-e)rdt-(-)mmasmamT TrhRXBTTRkc TTsULtSBiSte FoRkhR5附 Paterson法（圓柱坐標(biāo)） 一條強(qiáng)度為Q的線熱匯置于均勻溫度的液體中，位置為r=0，溫度Ti高于物質(zhì)的溶解溫度。從時(shí)間T=0開(kāi)始，熱匯不斷吸收熱量，凝固過(guò)程以r=0為原點(diǎn)開(kāi)始，且固液界面向r正方向移動(dòng)。 Paterson認(rèn)為如果熱傳導(dǎo)方程解的形式取指數(shù)積分函數(shù)，則上述問(wèn)題具有精確解。 指數(shù)積分函數(shù)uxtx1uxxeeEi( x)Ei(x)dudtx0(42a)utddeeEi( x)du(42b)dxdxux 6附 Paterson法 固相（圓柱坐標(biāo)）

3、液相 固液界面sss(r, )(r, )11r0rS(t),t0(43)r rrTtTtt llllili(r, )(r, )11rS(t)r,t0(44-a)r rrT(r,t)Tr,t0(44-b)T(r,t)Tr0,t0(44-c)TtTtt slmslsl(r, )(r, )TrS(t),t0(45a)TTdS(t)kkLrS(t),t0(45b)rrdtTtTt7準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)法 無(wú)量綱形式的方程及邊界條件、初始條件和界面耦合方程 因Ste0時(shí)刻，位于x=0處的表面保持亞凝固溫度T0，且T0Ts，于是周?chē)墓腆w開(kāi)始熔化。確定熔化區(qū)域隨時(shí)間的變化和溫度分布。68固體H界面rrixr0Tw69

4、熔化區(qū)內(nèi)任一點(diǎn)的密度 有效壓力 控制方程的守恒型sss(TT )(42) effsppgx(43)2222221 ()0(44)1 ()1()(44)1 ()1(44)1 ()(44)effseffurvaxrrpuuruvg TTubtxrrxpvuvrvvvctxrrrrTuTrvTTdtxrr 70 假定： 相界面上所傳遞的熱量與界面的移動(dòng)之間，允許有一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)的滯后，即熔化區(qū)內(nèi)，在一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)的間隔內(nèi)的流動(dòng)與熱量傳遞是在固定的相界面下計(jì)算的。 假定相界面的傾角很小，可認(rèn)為平行于x軸。 長(zhǎng)為dx的一段微元距離內(nèi)界面上的熱平衡以上方程構(gòu)成完整控制方程初始條件，t=0，液體層厚度為零，為避

5、免出現(xiàn)分母為零，實(shí)際計(jì)算中從一個(gè)很小的均勻厚度開(kāi)始。形成這一厚度的時(shí)間用Stefan精確解得到. 2iSLi222n+1niiiTk2r thr(45)rrrr(46)71為了保持液體區(qū)域位于0與1之間，作坐標(biāo)變換：通過(guò)變換，把物理平面上的帶運(yùn)動(dòng)邊界的圓柱坐標(biāo)系中的計(jì)算區(qū)域，變成計(jì)算平面上不動(dòng)邊界的矩形域。為了把計(jì)算時(shí)間控制在合理的范圍內(nèi)，而又不嚴(yán)重影響計(jì)算結(jié)果，假定x方向的導(dǎo)數(shù)均忽略不計(jì)。00i0rrxrrri0i0i0dr1xrrr dx1rrr72 定義無(wú)量綱量200020302/Pr(/)PreffpwsswsSLpwswsSLpuvUVPrrrcTTTTtFo SteTTrhcTTg

6、 TTrRaSteh 73方程組轉(zhuǎn)換為222222RVU10(47a)R(Ri 1)RUV1UU1PSteRaU(47b)PrR(Ri 1)RV1VUV1PVSteV(47c)PrR(Ri 1)RRVU1Ste(47d)R(Ri 1)2RiRi 1 2Ri(47e) i00222rrRiRRi 11rr1R Ri 1R 74 經(jīng)過(guò)變換，在-坐標(biāo)系內(nèi)液體區(qū)的計(jì)算范圍已經(jīng)簡(jiǎn)化成一個(gè)單位寬度的矩形，但控制方程極為復(fù)雜。由于計(jì)算從某一初始厚度開(kāi)始，避免出現(xiàn)Ri=1的情形。 固液界面上的兩相的密度差別不考慮，則邊界條件為：=0U=V=01=1U=V=0=0U=V=00=HU=V=00 xxxx 75 采

7、用控制容積積分法來(lái)建立離散方程。 在每一個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)，Ri為定值因而在離散方程中是常數(shù)。 在每一個(gè)時(shí)層上，這一方程組的求解可采用SIMPLE系列的算法，而在時(shí)間坐標(biāo)上采用隱式格式，又選定的初始時(shí)刻向前推進(jìn)。 在每一個(gè)時(shí)層的終了獲得的收斂值后，可計(jì)算由于這段時(shí)間間隔內(nèi)界面上的換熱而造成的熔化界區(qū)的擴(kuò)大。122()1nnniiiniRRRR 76 計(jì)算中取 在r方向上均分，在X方向上逐密布置，頂部最密。000.0010.01412 141012 20HrHr77SIMPLE算法計(jì)算步驟1. 假定一個(gè)速度分布，記為U，以此計(jì)算動(dòng)量離散方程中的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)。2. 假定一個(gè)壓力場(chǎng)。3. 以此求解兩個(gè)動(dòng)量

8、方程.4. 求解壓力修正值方程。5. 據(jù)此改進(jìn)速度值。6. 利用改進(jìn)后的速度場(chǎng)求解那些源項(xiàng)物性等與速度場(chǎng)耦合的變量。7. 利用改進(jìn)后的速度場(chǎng)重新計(jì)算動(dòng)量離散方程的系數(shù)，并用改進(jìn)后的壓力場(chǎng)作為下一層次迭代計(jì)算的初值。8. 重復(fù)以上計(jì)算，直到獲得收斂的解。78朗道變換法 通過(guò)引進(jìn)新變量使固液界面不動(dòng)，該變量用單元離界面的距離與原相的瞬時(shí)厚度的比表示單元的位置。該思想由 Landau首次提出。 Saito把該方法應(yīng)用于一維的凝固問(wèn)題（ Stefan problem ）。 考慮平板狀（0=x=b）液體的凝固，液體與絕熱壁面接觸，壁面初始溫度高于熔解溫度。 在t=0時(shí)刻，液體表面溫度突然降低到低于熔點(diǎn)的

9、溫度，并一直保持下去。79Saito 得到如下無(wú)量綱控制方程固液界面耦合條件 220220,0(48a),0,0(48b)1,0(48c),01,0(48d)01,0(48e)ssslllilXSXXXSXXXXXX 1(49),(50)slslfdSkXSXXdXX2sillisstxsTXSbbbTkCTkLk80固定的固液界面，依賴于以下兩個(gè)變量1XSXSS81控制方程: Solid phase : Liquid phase: 邊界條件 : 通過(guò)隱式差分可解出上述方程.2220101(51 a),0(51 b)ssssdSsS dX222101(52a)1101(52b)lllldSS

10、dS1,0,(53a)11,0,(53b)slslfkdSS dSS ddt82 Beaubouff,Chapman,Duda,Saitoh和 Sparrow應(yīng)用于二維的凝固問(wèn)題。 為了進(jìn)一步細(xì)化該方法Hsu 等對(duì)體積控制法作了坐標(biāo)變換。 該方法的進(jìn)一步應(yīng)用有：Cheung 等有熱源的一維相變問(wèn)題, Ho 和 Viskanta,Gadgil, Gobin矩形空腔諧振器內(nèi)的熔解問(wèn)題以及 Ho 和 Viskanta水平管內(nèi)的熔解問(wèn)題. 83優(yōu)點(diǎn)1) 該方法應(yīng)用于具有復(fù)雜的固液界面和表面邊界條件的相變問(wèn)題使其變得更容易。2) 能很容易的在液相內(nèi)引進(jìn)自然對(duì)流。3) 然而，通常這種方法應(yīng)用于二維問(wèn)題會(huì)引

11、出十分復(fù)雜的方程和求解迭代方法。為了獲得原始空間變量的解需要額外的計(jì)算。 4) 在其他變量不變的情況下， Gupta and Kumar對(duì)一個(gè)變量作了變換。有限單元法將連續(xù)的求解域離散為一組單元的組合體，用在每個(gè)單元內(nèi)假設(shè)的近似函數(shù)來(lái)分片的表示求解域上待求的未知場(chǎng)函數(shù)，近似函數(shù)通常由未知場(chǎng)函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)在單元各節(jié)點(diǎn)的數(shù)值插值函數(shù)來(lái)表達(dá)。從而使一個(gè)連續(xù)的無(wú)限自由度問(wèn)題變成離散的有限自由度問(wèn)題。步驟1：剖分:將待解區(qū)域進(jìn)行分割，離散成有限個(gè)元素的集合。元素（單元）的形狀原則上是任意的。二維問(wèn)題一般采用三角形單元或矩形單元，三維空間可采用四面體或多面體等。每個(gè)單元的頂點(diǎn)稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)（或結(jié)點(diǎn)）。步驟2：?jiǎn)卧治?進(jìn)行分片插值，即將分割單元中任意點(diǎn)的未知函數(shù)用該分割單元中形狀函數(shù)及離散網(wǎng)格點(diǎn)上的函數(shù)值展開(kāi)，即建立一個(gè)線性插值函數(shù)。步驟3：求解近似變分方程用有限個(gè)單元將連續(xù)體離散化，通過(guò)對(duì)有限個(gè)單元作分片插值求解各種力學(xué)、物理問(wèn)題的一種數(shù)值方法。87有限單元法 對(duì)于純金屬的凝固過(guò)程, 相變溫度為一確定值, 忽略對(duì)流項(xiàng)和輻射項(xiàng), 熱傳導(dǎo)方程可寫(xiě)成固相SSSTkTCtLLLTkTCt fSLLffdRtTTkkLnndt 為了適用于多維問(wèn)題計(jì)算以及處理帶有相變區(qū)間的情況, 引入焓H 、熵S 兩個(gè)物理量0THcdT0TSkdT 在整個(gè)區(qū)域用統(tǒng)一的能量