兩角和與差的公式_4983

1、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式1兩角和與差的余弦、正弦、正切公式cos( ) cos cos sin sin (C( )cos( ) cos_cos_ sin_sin_ (C ( )sin( ) sin_cos_ cos_sin_ (S( )sin( ) sin_cos_ cos_sin_ (S( )tan tan tan( )1 tan tan (T (tan( )tan tan (T1 tan tan ()2二倍角公式sin 2 2sin_cos_；cos 2 cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2；tan 22tan 2 .1 tan 3在準(zhǔn)確熟練地記住公式的基礎(chǔ)上，要靈活

2、運(yùn)用公式解決問(wèn)題：如公式的正用、 逆用和變形用等如 T (±)可變形為tan ±tan tan(±)(1?tan_tan_)，tan tan tan tan tan tan 1 tan tan 1.【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確 (請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“×”)(1)存在實(shí)數(shù) ，使等式 sin( ) sin sin 成立 ()(2)在銳角 ABC 中， sin Asin B 和 cos Acos B 大小不確定 (×)(3)公式 tan()tan tan 可以變形為 tan tan tan()(1 tan tan )，且對(duì)任意1 tan tan

3、角 ， 都成立 (× )(4)存在實(shí)數(shù) ，使 tan 2 2tan .( )(5) )設(shè) sin 2 sin ， ( ， )，則 tan 2 3.(210，則 tan 2等于 ()1 (2013 ·江浙 )已知 R， sin 2cos 24334A. 3B. 4C 4D3答案C10解析sin 2cos 2，225sin4sin cos 4cos 2.化簡(jiǎn)得： 4sin 2 3cos 2，tan 2sin 234.故選 C.cos 2sin cos ) 1，則 tan 2等于 (2若 sin cos 23344A 4B.4C 3D. 3答案B解析由sin cos 1cos 得

4、，tan 11，解得 tan 3， ，等式左邊分子、分母同除sin cos 2tan 12則 tan 2 2tan 31 tan24.3 (2013 課·標(biāo)全國(guó))設(shè) 為第二象限角，若tan 1，則 sin cos _.42答案 10511解析tan 4 2，tan 3，3sin cos ，即且 為第二象限角，sin2 cos2 1，10310解得 sin 10， cos 10 .sin cos 105 .4 (2014 ·標(biāo)全國(guó)課)函數(shù) f( x) sin(x 2) 2sin cos(x )的最大值為 _答案1解析f(x) sin(x 2) 2sin cos(x ) sin

5、( x ) 2sin cos(x ) sin(x )cos cos(x )sin 2sin cos(x ) sin(x )cos cos(x )sin sin( x ) sin x，f(x)的最大值為1.題型一三角函數(shù)公式的基本應(yīng)用例 1(1) 設(shè) tan ， tan 是方程 x2 3x2 0 的兩根，則 tan( )的值為 ()A 3B 1C1D 31，(2)若 0<<，2<<0， cos( )243 3)cos( )，則 cos()等于 (423233A. 3B 3536C. 9D 9答案(1)A(2)C解析(1) 由根與系數(shù)的關(guān)系可知tan tan 3， tan

6、tan 2.tan()tan tan 3 3.1 tan tan 1 2故選 A.(2)cos( 2) cos(4 ) (4 2) cos( )cos( )sin( 44 2) sin(44 2)0<<2， 3則4<4 < 4 ，22sin(4 )3 .又 2<<0， 則 4<4 2<2， 6則 sin(4 2) 3 . 1322653故 cos( 2) 3× 3 3 × 3 9 .故選 C.思維升華三角函數(shù)公式對(duì)使公式有意義的任意角都成立使用中要注意觀察角之間的和、差、倍、互補(bǔ)、互余等關(guān)系(1)若 1，則 sin 等于 ()

7、( ， )， tan( )72434A. 5B. 534C 5D5(2)計(jì)算：1 cos 20° tan 5 )° _.2sin 20 sin 10 (° 1°tan 5°答案(1)A (2) 32tan 11，解析(1) tan()41 tan 73sin tan ，4cos cos 43sin .22 1，又sin cossin2259.又(，)，sin 325.222cos 5°sin 5°2cos 10° sin 10 ·°cos° 5 °(2)原式 4sin 10

8、cos° 10°sin 5cos 10° sin 20°2sin 10°°sin 10cos 10 °2sin 20°2sin 10 °cos 10 °2sin 30° 10°2sin 10°cos 10 °2sin 30 cos° 10 °2cos 30 sin° 10 °2sin 10°3 2 .題型二三角函數(shù)公式的靈活應(yīng)用例 2(1)sin(65 °x)cos(x20°) cos(

9、65 ° x) ·cos(110 °x) 的值為 ()2A. 2B. 213C.2D. 24212cos x2cos x 2(2)化簡(jiǎn)：2 _.2tan x sin x44cos 15 °sin 15°(3)求值： _.cos 15 °sin 15°答案(1)B(2)1cos 2x(3) 32解析(1) 原式 sin(65° x) ·cos(x 20°) cos(65 ° x)cos 90° (x 20°) sin(65 ° x)cos(x220°

10、;) cos(65°x)sin(x 20°) sin(65 ° x) (x 20°) sin 45 ° 2.故選 B.14224cos x4cos x 1(2)原式 x2× sin 42·cos4xcos 4 x22cos22x2cos x 14sin 4 x cos 4 x2sin 2 2xcos22x1 cos 2x.2cos 2x21 tan 15°tan 45 °tan 15°(3)原式1 tan 15°1 tan 45 tan° 15° tan(45 &#

11、176;15°) 3.思維升華運(yùn)用兩角和與差的三角函數(shù)公式時(shí)，不但要熟練、準(zhǔn)確，而且要熟悉公式的逆用及變形，如tan tan tan()·(1 tan tan )和二倍角的余弦公式的多種變形等公式的逆用和變形應(yīng)用更能開(kāi)拓思路，培養(yǎng)從正向思維向逆向思維轉(zhuǎn)化的能力1 sin cos ·cos sin(1)已知 (0， )，化簡(jiǎn)：22 _.22cos (2)在 ABC 中，已知三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，則A tanCACtan2 3tantan 的值為222_答案(1)cos (2)32 解析(1) 原式2cos 2 2sin2cos2·cos2 sin2

12、2.4cos2因?yàn)?(0， )，所以 cos2>0，2 2cos2 2sin2cos2 ·cos2 sin2所以原式2cos222 (cos2 sin2) ·(cos2 sin2) cos 2sin2 cos .2 A CA C(2)因?yàn)槿齻€(gè)內(nèi)角A，B，C 成等差數(shù)列， 且 A B C，所以 A C 3 ， 23，tan2 3，ACAC所以 tan2 tan23tan2tan2 tanACAC3tanAC2 21 tan2 tan22tan2ACAC 3 1 tan 2tan 2 3tan 2tan 2 3.題型三三角函數(shù)公式運(yùn)用中角的變換例 3(1) 已知 ， 均為

13、銳角，且3， tan( )1sin .則 sin( ) _， cos 53_.(2)(2013 課·標(biāo)全國(guó) )已知 sin 22，則 cos2 等于 ()341112A. 6B. 3C.2D. 3答案(1) 1091050 10 (2)A解析(1) ， (0， )，從而2< < .221又tan( ) 3<0，2<<0.10310sin()10， cos()10 .34為銳角， sin 5，cos 5.cos cos ( ) cos cos( ) sin sin()4310310910 5×10 5×(10) 50 .1 cos2(2

14、)因?yàn)?cos24421 cos 221 sin 222，1 sin 2 12231所以 cos 4 226，選 A.思維升華1.解決三角函數(shù)的求值問(wèn)題的關(guān)鍵是把“ 所求角 ”用 “ 已知角 ” 表示 (1)當(dāng) “ 已知角 ” 有兩個(gè)時(shí)，“ 所求角 ” 一般表示為兩個(gè)“ 已知角 ”的和或差的形式；(2)當(dāng) “ 已知角 ”有一個(gè)時(shí)， 此時(shí)應(yīng)著眼于 “所求角 ”與“ 已知角 ”的和或差的關(guān)系，然后應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角 ”變成 “ 已知角 ”2常見(jiàn)的配角技巧： 2 ( ) ( )， ( ) ， 2 2 ， 22， 2 ( 2) (2 )等(1)設(shè) 、 都是銳角，且cos 5， sin( )3，則

15、cos 等于 ()552525A. 25B. 525或255或 5C. 255D. 5253，則 sin(7(2)已知 cos( ) sin 46) 的值是 _65答案(1)A (2) 45解析(1) 依題意得 sin 1cos2 25，5cos( ) ± 1 sin24 ± .5又 ， 均為銳角，所以0<< <， cos >cos()454因?yàn)?>5 >5，4所以 cos( ) 5.于是 cos cos( ) cos( )cos sin( )sin 4× 53× 252 55 5 55 25 .4(2)cos(6)

16、sin 53，3342 cos 2sin 53，1343(2cos 2sin ) 53，43sin(6 )53，4，sin( )6574sin( 6 ) sin( 6) 5.高考中的三角函數(shù)求值、化簡(jiǎn)問(wèn)題2cos2 sin 1典例： (1) 若 tan 2 22， <2<2，則2 _.2sin 41 sin (2)(2014 課·標(biāo)全國(guó))設(shè) (0， 2)， (0， 2)，且 tan cos ，則 ()A 3 2B 22C3 2D 2 23(3)(2012 大·綱全國(guó) )已知 為第二象限角，sin cos 3，則 cos 2等于 ()5555A 3B 9C. 9D

17、. 3sin 47 °sin 17 cos° 30 °)(4)(2012 重·慶 )cos 17等于 (°3113A 2B 2C.2D. 2思維點(diǎn)撥(1)注意和差公式的逆用及變形(2)“ 切化弦 ”，利用和差公式、誘導(dǎo)公式找， 的關(guān)系(3)可以利用 sin 2 cos21尋求 sin ±cos 與 sin cos 的聯(lián)系(4)利用和角公式將已知式子中的角向特殊角轉(zhuǎn)化cos sin 1 tan 解析 (1) 原式，sin cos 1 tan 又 tan 2 2tan 22，即 2tan2tan 2 0，1 tan2解得 tan 1 或

18、tan 2.21 <2<2，2<<.tan 21 12故原式1 32 2.12(2)由 tan 1 sin sin 1 sin cos 得cos ，cos 即 sin cos cos cos sin ，sin()cos sin( 2 )(0，2)，(0， 2)， (2， 2)， 2 (0，2)，由sin( ) sin(2)，得 2 ，2 2.(3)方法一sin cos 3，(sin cos )2 1，33222sin cos 3，即 sin 23.又為第二象限角且 sin cos 33 >0，32k2<<2 k 4(kZ )，34k<2<4

19、k 2(kZ )，2為第三象限角，25cos 21 sin 2 3 .方法二由 sin cos 31 2sin cos 13 兩邊平方得3，2sin cos 23.為第二象限角， sin >0 ，cos <0，2sin cos sin cos 33 15sin cos 3，sin 6，由15得3 15sin cos cos 3，6.cos 2 2cos2 1 35.sin 30° 17° sin 17 cos° 30 °(4)原式cos 17 °sin 30 cos° 17 °cos 30 sin° 1

20、7 °sin 17 cos° 30 °cos 17 °sin 30 cos° 17°1cos 17 ° sin 30°2.答案(1)3 22 (2)B (3)A (4)C溫馨提醒(1)三角函數(shù)的求值化簡(jiǎn)要結(jié)合式子特征，靈活運(yùn)用或變形使用公式(2)三角求值要注意角的變換，掌握常見(jiàn)的配角技巧方法與技巧1 巧用公式變形：和差角公式變形：tan x±tany tan(x±y) ·(1?tanx·tan y) ；倍角公式變形：降冪公式cos21 cos 21 cos 22，sin22，

21、2配方變形： 1±sin sin2±cos2 ，221 cos 2cos 2， 1cos 2sin2.2重視三角函數(shù)的“ 三變 ”：“ 三變 ” 是指 “ 變角、變名、變式”；變角：對(duì)角的分拆要盡可能化成同名、同角、特殊角；變名：盡可能減少函數(shù)名稱；變式：對(duì)式子變形一般要盡可能有理化、整式化、降低次數(shù)等在解決求值、化簡(jiǎn)、證明問(wèn)題時(shí)，一般是觀察角度、函數(shù)名、所求 (或所證明 )問(wèn)題的整體形式中的差異，再選擇適當(dāng)?shù)娜枪胶愕茸冃问д`與防范1運(yùn)用公式時(shí)要注意審查公式成立的條件，要注意和、差、倍角的相對(duì)性，要注意升次、降次的靈活運(yùn)用，要注意“1” 的各種變通22在 (0， )范圍

22、內(nèi)， sin( ) 2 所對(duì)應(yīng)的角 不是唯一的3在三角求值時(shí)，往往要估計(jì)角的范圍后再求值.A 組專(zhuān)項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間： 30 分鐘 )211已知 tan( )5， tan 44，那么tan 4 等于 ()131331A. 18B.22C.22D.6答案C解析因?yàn)?4 4 ，所以 4 () 4，所以tan tan 44tan tan 3422.1 tan tan4 7，則 sin 等于 ()2若 ， ， sin 234283473A. 5B. 5C. 4D. 4答案D解析由 sin 2 37和 sin22得8 cos12 371(3 72(sin cos ) 4) ，8 3 7又 4，2 ，sin

23、 cos 4.3 73同理， sin cos 4，sin 4.1cos 2 8sin2)3已知 tan 4，則sin 2的值為 (65A 43B. 4C4D.233答案B解析1 cos 2 8sin2 2cos2 8sin2sin 2 2sin cos ，22 8tan265tan 4，cos 0，分子、分母都除以cos 得 2tan 4 .4 (2013 ·慶重)4cos 50 °tan 40等°于 ()A.2B.2 32C. 3 D2 21答案C4cos 50 ° tan 404sin 40 cos° 40 °sin 40

24、6;解析°cos 40 °2sin 80 °sin 40 °2sin 50° 30° sin 40°cos 40°cos 40°3sin 50 °cos 50 °sin 40° 3sin 50°cos 40 °cos 403.°)5已知 cos(x )3，則 cos x cos(x)的值是 (6332323A 3B± 3C 1D±1答案C解析1cos x3333(31sin x) 3cos x cos(x ) cos x2si

25、n x cos x2sin x2cos x3222cos(x 6) 1.sin250° _.6 1 sin 10°答案1221 cos 100°解析sin 50°1 sin 10°2 1 sin 10°1 cos 90° 10°1sin 10°12 1 sin 102 1 sin 10°°2.7已知 、 均為銳角，且cos( ) sin()，則 tan _.答案1解析根據(jù)已知條件：cos cos sin sin sin cos cos sin ，cos (cos sin ) sin (

26、cos sin )0，即 (cos sin )(cos sin ) 0.又 、 為銳角，則sin cos >0，cos sin 0，tan 1.3tan 12 °3 _.8. 4cos212° 2 sin 12 °答案 4 33sin 12°cos 123解析原式°22 2cos 12°1 sin 12 °132 3 2sin 12 °2 cos 12 ° cos 12 °2cos 24 sin° 12°2 3sin 48°2 3sin 48°2cos 24 sin° 12 cos° 12°°sin 24 cos° 24 2 3sin 48 °14 3.2sin 48°9已知1 sin