《Lagrange插值》ppt課件

1、 插值的根本概念，插值多項式的存在獨(dú)一性；插值的根本概念，插值多項式的存在獨(dú)一性； LagrangeLagrange插值插值( (含線性插值、拋物插值、含線性插值、拋物插值、n n次次LagrangeLagrange插值公式；插值公式； 插值余項；插值余項； 插值方法：插值方法：1 1解方程組、解方程組、2 2基函數(shù)法?；瘮?shù)法。 設(shè)知某個函數(shù)關(guān)系設(shè)知某個函數(shù)關(guān)系 在某些離散點(diǎn)上的函在某些離散點(diǎn)上的函數(shù)值：數(shù)值： 插值問題：根據(jù)這些知數(shù)據(jù)來構(gòu)造函數(shù)插值問題：根據(jù)這些知數(shù)據(jù)來構(gòu)造函數(shù) 的一種簡單的近似表達(dá)式的一種簡單的近似表達(dá)式, ,以便于計以便于計算點(diǎn)算點(diǎn) 的函數(shù)值的函數(shù)值 ，或計算函，或計算

2、函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)值。數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)值。( )f xx0 x0yy1y1nyny1x1nxnx,0,1,ixx in( )yf x( )yf x 在眾多函數(shù)中在眾多函數(shù)中,多項式最簡單、最易計算，知函數(shù)多項式最簡單、最易計算，知函數(shù) 個互不一樣的點(diǎn)處的函數(shù)值個互不一樣的點(diǎn)處的函數(shù)值 ，為求，為求 的近似式，自然應(yīng)中選的近似式，自然應(yīng)中選 次多項式次多項式n使使 滿足條件滿足條件( )1yf xn在nixfyii, 1 ,0),()(xfy 2012( )nnnP xaa xa xa x( ),0, 1,niiP xyin0,111( ),( ),(33),1(,)(0,1, )( ),(

3、 )nnnf xpxx xxnxyinypxyf x稱為被插函數(shù)稱插值多項式 條件稱插值條件稱插值節(jié)點(diǎn) 這種求函數(shù)近似式的方法稱為插值法幾何上 其實(shí)質(zhì)是用通過個點(diǎn)的多項式曲線當(dāng)作曲線的近似曲線.如圖所示)(xPn插值多項式的幾何意義插值多項式的幾何意義定理：定理：(獨(dú)一性獨(dú)一性) 滿足滿足 的的 n 階插值階插值niyxPii,., 0,)( 多項式是獨(dú)一存在的。多項式是獨(dú)一存在的。設(shè)所要構(gòu)造的插值多項式為：設(shè)所要構(gòu)造的插值多項式為： nnnxaxaxaaxP 2210)(由插值條件由插值條件 niyxPiin, 1, 0)( 得到如下線性代數(shù)方程組：得到如下線性代數(shù)方程組： nnnnnnnn

4、nyaxaxayaxaxayaxaxa101111000100111此方程組的系數(shù)行列式為此方程組的系數(shù)行列式為 nijjixx0)(范得蒙行列式范得蒙行列式 ！當(dāng)當(dāng) jixx 時， ;, 2 , 1ninj, 2 , 1D 0，因此，因此，Pn(x)Pn(x)由由a0, a1, ana0, a1, an獨(dú)一確定。獨(dú)一確定。nnnnnnxxxxxxxxxD212110200111 一、解方程組法：一、解方程組法： 類似插值獨(dú)一性定理證明過程，先設(shè)插值多項式函類似插值獨(dú)一性定理證明過程，先設(shè)插值多項式函數(shù)為數(shù)為 ，將，將 個節(jié)點(diǎn)個節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值代入多項式里，便得到的函數(shù)值代入多項式里，便得到 個等

5、式，得到一個個等式，得到一個關(guān)于多項式里系數(shù)的線性方程組，解此線性方程組，便得關(guān)于多項式里系數(shù)的線性方程組，解此線性方程組，便得到所要求的插值多項式。到所要求的插值多項式。二、基函數(shù)法：一種既能防止解方程組，又能適宜于計算機(jī)二、基函數(shù)法：一種既能防止解方程組，又能適宜于計算機(jī)求解的方法，下面將詳細(xì)引見。求解的方法，下面將詳細(xì)引見。nnnxaxaxaaxP 2210)(1n1n拉格朗日拉格朗日LagrangeLagrange插值公式的根本思想是，插值公式的根本思想是，把把pn(x)pn(x)的構(gòu)造問題轉(zhuǎn)化為的構(gòu)造問題轉(zhuǎn)化為n+1n+1個插值基函數(shù)個插值基函數(shù)li(x)(i=0,1,n)li(x)

6、(i=0,1,n)的構(gòu)造。的構(gòu)造。 x0 x1(x0 ，y0)(x1，y1)P1(x)f(x)可見可見 是過是過 和和 兩點(diǎn)的直線。兩點(diǎn)的直線。x0 x1x2p2(x) f(x)f(x)因過三點(diǎn)的二次曲線為拋物線，故稱為拋物插值。因過三點(diǎn)的二次曲線為拋物線，故稱為拋物插值。 nnnxaxaaxP 10)(要求：無重合節(jié)點(diǎn)，即要求：無重合節(jié)點(diǎn)，即jixx ji 設(shè)延續(xù)函數(shù)設(shè)延續(xù)函數(shù) 在在a, ba, b上對給定上對給定n + 1n + 1個不同結(jié)點(diǎn)：個不同結(jié)點(diǎn)：分別取函數(shù)值分別取函數(shù)值其中其中試構(gòu)造一個次數(shù)不超越試構(gòu)造一個次數(shù)不超越n n的插值多項式的插值多項式使之滿足條件使之滿足條件 i =

7、0, 1, 2, niinyxP )( )yf x 知函數(shù)知函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 上的值為上的值為 ，要求，要求多項式多項式 ，使，使 ， 。其幾何意。其幾何意義，就是經(jīng)過兩點(diǎn)義，就是經(jīng)過兩點(diǎn) 的一條直線，的一條直線，如下圖。如下圖。01,x x0011(,), (,)A xyB x y( )yf x01,yy100()p xy1( )yp x111()p xy一次插值多項式一次插值多項式 由直線兩點(diǎn)式可知，經(jīng)過由直線兩點(diǎn)式可知，經(jīng)過A A，B B的直線方程為的直線方程為 它也可變形為它也可變形為 顯然有：顯然有：1000110( )yyyyxxp xxx010110100)(,)(xxxxxlxx

8、xxxl記記可以看出可以看出的線性組合得到，其系數(shù)分別為的線性組合得到，其系數(shù)分別為 ，0y1y01( ), ( )lx l x0 x1x稱稱 為節(jié)點(diǎn)為節(jié)點(diǎn) , 的線性插值基函數(shù)的線性插值基函數(shù)1001( )xxlxxx0110( )xxl xxx011010110( )xxxxL xyyxxxx線性插值基函數(shù)線性插值基函數(shù)滿足下述條件滿足下述條件01( ), ( )lx l x1001ix0 x1x0( )lx1( )l x并且他們都是一次函數(shù)。并且他們都是一次函數(shù)。留意他們的特點(diǎn)對下面的推行很重要留意他們的特點(diǎn)對下面的推行很重要 我們稱我們稱 為點(diǎn)為點(diǎn) 的一次插值基函數(shù)，的一次插值基函數(shù)，

9、 為點(diǎn)為點(diǎn) 的一次插值基函數(shù)。它們在對應(yīng)的插值點(diǎn)上的一次插值基函數(shù)。它們在對應(yīng)的插值點(diǎn)上取值為取值為1 1，而在另外的插值點(diǎn)上取值為，而在另外的插值點(diǎn)上取值為0 0。插值函。插值函數(shù)數(shù) 是這兩個插值基函數(shù)的線性組合，其組合是這兩個插值基函數(shù)的線性組合，其組合系數(shù)就是對應(yīng)點(diǎn)上的函數(shù)值。這種方式的插值稱系數(shù)就是對應(yīng)點(diǎn)上的函數(shù)值。這種方式的插值稱作為拉格朗日作為拉格朗日LagrangeLagrange插值。插值。0( )lx1( )l x0 x1( )p x1x 線性插值只利用兩對值及求得的線性插值只利用兩對值及求得的 近似值，誤差較大。近似值，誤差較大。 p2(x)是是x的二次函數(shù)，稱為二次插值多

10、項式。的二次函數(shù)，稱為二次插值多項式。經(jīng)過三點(diǎn)的插值問題稱為二次插值或拋物插值。經(jīng)過三點(diǎn)的插值問題稱為二次插值或拋物插值。012,x x x以過節(jié)點(diǎn)以過節(jié)點(diǎn) 的二次函數(shù)的二次函數(shù)為插值函數(shù)。為插值函數(shù)。2( )L x用基函數(shù)的方法獲得用基函數(shù)的方法獲得2( )L x其中其中1200102()()( )()()xxxxl xxxxx0211012()()( )()()xxxxl xxxxx0122021()()( )()()xxxxl xxxxx( ,)(0,1,2)iix yi 設(shè)被插函數(shù)在插值節(jié)點(diǎn)設(shè)被插函數(shù)在插值節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值為處的函數(shù)值為012,yy y20 01 12 2( )( )(

11、)( )L xy lxy l xy lx 我們看到，兩個插值點(diǎn)可求出一次插值多項式我們看到，兩個插值點(diǎn)可求出一次插值多項式，而三個插值點(diǎn)可求出二次插值多項式。，而三個插值點(diǎn)可求出二次插值多項式。當(dāng) 插 值 點(diǎn) 添 加 到當(dāng) 插 值 點(diǎn) 添 加 到 n + 1 個 時 ， 我 們 可 以 利 用個 時 ， 我 們 可 以 利 用Lagrange插值方法寫出插值方法寫出n次插值多項式，如次插值多項式，如下所示：下所示：知知n+1個節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值個節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值iy0y1yixnx0 x1xny求一個求一個n次插值函數(shù)次插值函數(shù)( )nL x滿足滿足( )(1,2, )niL xyin構(gòu)造各個插值節(jié)

12、點(diǎn)上的基函數(shù)構(gòu)造各個插值節(jié)點(diǎn)上的基函數(shù) 滿足如下條件滿足如下條件( )(0,1, )il xin1000010000010 xix1x2xnx0( )lx1( )l xn( )lx求求n n次多項式次多項式 ， k = 0, 1, n k = 0, 1, n ikikxlik, 0, 1)(iinkkkinyxlyxP )()(1那么那么 i = 0, 1, 2, n即即 滿足插值條件滿足插值條件 根據(jù)根據(jù) 的表達(dá)式，的表達(dá)式， 以外一切的結(jié)點(diǎn)都是以外一切的結(jié)點(diǎn)都是 的根，的根，( )klx( )klx( )klxkx( )npx0111( )()()()()()kkknlxxxxxxxxxx

13、x nkjjjxx0)( 又由又由 ，得：，得： )()()(11110nkkkkkkkxxxxxxxxxx 因此令因此令()1kklxknknkjjjkjknkknyxxxxyxlxP 000)()()()()()()()()(11101110nkkkkkkknkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxl nkjjjkjxxxx0從而得從而得n n 階拉格朗日階拉格朗日LagrangeLagrange插值公式：插值公式：)1( nf在在a , b內(nèi)存在內(nèi)存在, 調(diào)查截斷誤差調(diào)查截斷誤差( )( )( )nnR xf xL x設(shè)節(jié)點(diǎn)設(shè)節(jié)點(diǎn), baCfn bxxxan 10，且，且 f 滿

14、足條件滿足條件 ,0)( 0)()(10 xx ),(10 xx 存在存在 使得使得 。且且推行：假推行：假設(shè)設(shè)0)()()(210 xxx ),(),(211100 xxxx 使得使得0)()(10 ),(10 使得使得0)( )(x 10, xx),(10 xx羅爾定理羅爾定理 : 假設(shè)假設(shè) 在在 延續(xù)，在延續(xù)，在 充分光滑，充分光滑，注：注： 通常不能確定通常不能確定 x , 而是估計而是估計 , x(a,b) 將將 作為誤差估計上限。作為誤差估計上限。1)1()( nnMxf niinxxnM01|)!1( 當(dāng)當(dāng) f(x) 為任一個次數(shù)為任一個次數(shù) n 的多項式的多項式時，時， , 可

15、知可知 ，即插，即插值多項式對于次數(shù)值多項式對于次數(shù) n 的多項式是準(zhǔn)的多項式是準(zhǔn)確的。確的。0)()1( xfn0)( xRn例：例： 知特殊角知特殊角 處的正弦函數(shù)值處的正弦函數(shù)值123,222分別為分別為求正弦函數(shù)的一次、二次插值多項式，并用求正弦函數(shù)的一次、二次插值多項式，并用插值函數(shù)近似計算插值函數(shù)近似計算 ，并估計誤差，并估計誤差解：一次插值函數(shù)為解：一次插值函數(shù)為,6 4 3 11264( )226446xxL x5sin18誤差為誤差為1( )sin( )()()()()2!64264fR xxxxx在所求點(diǎn)的函數(shù)值為在所求點(diǎn)的函數(shù)值為155sin()0.776141818L誤差為誤差為15( ) 55()()()182!186184fR(,)6 3 知知150.00762()0.0131918R 二次插值多項式為二次插值多項式為2()()()()()()123436364( )222()()()()()()6463464