人教版A必修5++12解三角形應(yīng)用舉例

1、基礎(chǔ)知識(shí)復(fù)習(xí)1、正弦定理2、余弦定理2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcababC2sinsinsin()abcRABCR其中 為外接圓的半徑解應(yīng)用題的一般步驟解應(yīng)用題的一般步驟1.審題理解題意,明確背景,熟悉已知條件,了解所需要的條件(或量),明確試題的所求內(nèi)容.2.建立數(shù)學(xué)模型把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.3.解答數(shù)學(xué)模型解答數(shù)學(xué)問題.4.總結(jié)與問題所求量進(jìn)行聯(lián)系,總結(jié)作答.:多應(yīng)用實(shí)際測(cè)量中有許正弦定理和余弦定理在(1)測(cè)量距離.(2)測(cè)量高度.)3( 測(cè)量角度例例1.設(shè)設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，要測(cè)量?jī)牲c(diǎn)之間的距離。兩點(diǎn)在河的兩岸，要測(cè)量?jī)牲c(diǎn)之間的距離。測(cè)量者

2、在測(cè)量者在A的同測(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)的同測(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出測(cè)出AC的距離是的距離是55cm，BAC51o， ACB75o，求，求A、B兩點(diǎn)間的距離（精確到兩點(diǎn)間的距離（精確到0.1m）分析：已知兩角一邊，可以用正弦定理解三角形分析：已知兩角一邊，可以用正弦定理解三角形sinsinABACCB解：根據(jù)正弦定理，得解：根據(jù)正弦定理，得答：答：A,B兩點(diǎn)間的距離為兩點(diǎn)間的距離為65.7米。米。sinsinsin55sinsinsin55sin7555sin7565.7( )sin(1805175 )sin54ABACACBABCACACBACBABABCABCm例例2.A、B兩

3、點(diǎn)都在河的對(duì)岸（不可到達(dá)），設(shè)計(jì)一種測(cè)兩點(diǎn)都在河的對(duì)岸（不可到達(dá)），設(shè)計(jì)一種測(cè)量?jī)牲c(diǎn)間的距離的方法。量?jī)牲c(diǎn)間的距離的方法。分析：用例分析：用例1的方法，可以計(jì)算出河的這一岸的一的方法，可以計(jì)算出河的這一岸的一點(diǎn)點(diǎn)C到對(duì)岸兩點(diǎn)的距離，再測(cè)出到對(duì)岸兩點(diǎn)的距離，再測(cè)出BCA的大小，的大小，借助于余弦定理可以計(jì)算出借助于余弦定理可以計(jì)算出A、B兩點(diǎn)間的距離。兩點(diǎn)間的距離。解：測(cè)量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)解：測(cè)量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)C、D，測(cè)得，測(cè)得CD=a,并并且在且在C、D兩點(diǎn)分別測(cè)得兩點(diǎn)分別測(cè)得BCA=, ACD=, CDB=, BDA=.在在 ADC和和 BDC中，應(yīng)用正弦定理得中，應(yīng)用正弦定理

4、得計(jì)算出計(jì)算出AC和和BC后，再在后，再在 ABC中，應(yīng)用余弦定理計(jì)中，應(yīng)用余弦定理計(jì)算出算出AB兩點(diǎn)間的距離兩點(diǎn)間的距離sin()sin()sin()sin 180()sinsinsin()sin 180()aaACaaBC222cosABACBCACBC思考思考? ?如何測(cè)量地球與月亮之間如何測(cè)量地球與月亮之間的距離的距離?AB 背景背景資料資料早在早在1671年年,兩位法國(guó)天文學(xué)家為了測(cè)量地兩位法國(guó)天文學(xué)家為了測(cè)量地球與月球之間的距離球與月球之間的距離,利用幾乎位于同一子利用幾乎位于同一子午線的柏林與好望角午線的柏林與好望角,測(cè)量計(jì)算出測(cè)量計(jì)算出,的大小的大小和兩地之間的距離和兩地之間的

5、距離,從而算出了地球與月球從而算出了地球與月球之間的距離約為之間的距離約為385400km.練習(xí)練習(xí)1.一艘船以一艘船以32.2n mile / hr的速度向正的速度向正北航行。在北航行。在A處看燈塔處看燈塔S在船的北偏東在船的北偏東20o的的方向，方向，30min后航行到后航行到B處，在處，在B處看燈塔處看燈塔在船的北偏東在船的北偏東65o的方向，已知距離此燈塔的方向，已知距離此燈塔6.5n mile 以外的海區(qū)為航行安全區(qū)域，這以外的海區(qū)為航行安全區(qū)域，這艘船可以繼續(xù)沿正北方向航行嗎？艘船可以繼續(xù)沿正北方向航行嗎？11545sin2016.1sin207.787()sin45sin45,s

6、in657.06()6.5ASBSBASABSBn mileSABhhSBn milehn mile 解：在中，由正弦定理得設(shè)點(diǎn) 到直線的距離為則此船可以繼續(xù)沿正北方向航行答：此船可以繼續(xù)沿正北方向航行練習(xí)練習(xí)2自動(dòng)卸貨汽車的車廂采用液壓機(jī)構(gòu)。設(shè)計(jì)時(shí)需要計(jì)算自動(dòng)卸貨汽車的車廂采用液壓機(jī)構(gòu)。設(shè)計(jì)時(shí)需要計(jì)算油泵頂桿油泵頂桿BC的長(zhǎng)度已知車廂的最大仰角是的長(zhǎng)度已知車廂的最大仰角是60，油泵頂點(diǎn)，油泵頂點(diǎn)B與車廂支點(diǎn)與車廂支點(diǎn)A之間的距離為之間的距離為1.95m，AB與水平線之間的夾角為與水平線之間的夾角為62020，AC長(zhǎng)為長(zhǎng)為1.40m，計(jì)算，計(jì)算BC的長(zhǎng)（精確到的長(zhǎng)（精確到0.01m0.01m）

7、 （1 1）什么是最大仰角？）什么是最大仰角？ 最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度 （2 2）例題中涉及一個(gè)怎樣的三角）例題中涉及一個(gè)怎樣的三角形？形？ 在在ABC中已知什么，要求什么？中已知什么，要求什么？CAB練習(xí)練習(xí)2自動(dòng)卸貨汽車的車廂采用液壓機(jī)構(gòu)。設(shè)計(jì)時(shí)需要計(jì)算自動(dòng)卸貨汽車的車廂采用液壓機(jī)構(gòu)。設(shè)計(jì)時(shí)需要計(jì)算油泵頂桿油泵頂桿BC的長(zhǎng)度已知車廂的最大仰角是的長(zhǎng)度已知車廂的最大仰角是60，油泵頂點(diǎn)，油泵頂點(diǎn)B與車廂支點(diǎn)與車廂支點(diǎn)A之間的距離為之間的距離為1.95m，AB與水平線之間的夾角為與水平線之間的夾角為62020，AC長(zhǎng)為長(zhǎng)為1.40m，計(jì)算，計(jì)算BC的長(zhǎng)

8、（精確到的長(zhǎng)（精確到0.01m0.01m） 最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度 已知已知ABC中中AB1.95m，AC1.40m， 夾角夾角CAB6620，求，求BC解：由余弦定理，得解：由余弦定理，得答：頂桿答：頂桿BCBC約長(zhǎng)約長(zhǎng)1.89m。 CAB22222 2cos 1.951.402 1.95 1.40 cos66 20 3.571 1.89(m)BCABACAB ACABC .,. 3的方法物高度設(shè)計(jì)一種測(cè)量建筑為建筑物的最高點(diǎn)不可到達(dá)的一個(gè)建筑物是底部例ABABAB圖中給出了怎樣的一個(gè)圖中給出了怎樣的一個(gè)幾何圖形？已知什么，幾何圖形？已知什么，求什么

9、？求什么？想一想想一想BEAGHDC例例3 AB是底部是底部B不可到達(dá)的一個(gè)建筑物，不可到達(dá)的一個(gè)建筑物，A為建筑為建筑物的最高點(diǎn)，設(shè)計(jì)一種測(cè)量建筑物高度物的最高點(diǎn)，設(shè)計(jì)一種測(cè)量建筑物高度AB的方法的方法分析：由于建筑物的底部分析：由于建筑物的底部B是不可到達(dá)的，所以不能直是不可到達(dá)的，所以不能直接測(cè)量出建筑物的高。由解接測(cè)量出建筑物的高。由解直角三角形的知識(shí)，只要能直角三角形的知識(shí)，只要能測(cè)出一點(diǎn)測(cè)出一點(diǎn)C到建筑物的頂部到建筑物的頂部A的距離的距離CA,并測(cè)出由點(diǎn)并測(cè)出由點(diǎn)C觀察觀察A的仰角，就可以計(jì)算的仰角，就可以計(jì)算出建筑物的高。所以應(yīng)該設(shè)出建筑物的高。所以應(yīng)該設(shè)法借助解三角形的知識(shí)測(cè)出

10、法借助解三角形的知識(shí)測(cè)出CA的長(zhǎng)的長(zhǎng)。BEAGHDC幾個(gè)概念： 仰角：目標(biāo)視線在水平線上方的叫仰角; 俯角：目標(biāo)視線在水平線下方的叫俯角； 方位角：正北方向線順時(shí)針方向到目標(biāo)方向線的夾角。N方位角60度水平線目標(biāo)方向線視線視線仰角仰角俯角俯角方向角是指從指定方向線到目標(biāo)方向線的水平角方向角是指從指定方向線到目標(biāo)方向線的水平角,如北偏東如北偏東30度度,南偏西南偏西45度度.)sin(sinaAChahAChAEAB)sin(sinsinsin解：選擇一條水平基線解：選擇一條水平基線HG,使使H,G,B三點(diǎn)在同一條直線上。由三點(diǎn)在同一條直線上。由在在H,G兩點(diǎn)用測(cè)角儀器測(cè)得兩點(diǎn)用測(cè)角儀器測(cè)得A的

11、的仰角分別是仰角分別是，CD=a,測(cè)角儀測(cè)角儀器的高是器的高是h.那么，在那么，在 ACD中，中，根據(jù)正弦定理可得根據(jù)正弦定理可得例例3. AB是底部是底部B不可到達(dá)的一個(gè)建筑物，不可到達(dá)的一個(gè)建筑物，A為建筑為建筑物的最高點(diǎn)，設(shè)計(jì)一種測(cè)量建筑物高度物的最高點(diǎn)，設(shè)計(jì)一種測(cè)量建筑物高度AB的方法的方法BEAGHDC).1(,3 .27.150, 4054,. 400mDCmBCACAB精確到求出山高部分的高為塔已知鐵角處的俯處測(cè)得在塔底的俯角面上一點(diǎn)處測(cè)得地鐵塔上在山頂如圖例分析：根據(jù)已知條件，應(yīng)該設(shè)分析：根據(jù)已知條件，應(yīng)該設(shè)法計(jì)算出法計(jì)算出AB或或AC的長(zhǎng)的長(zhǎng))(177)1504054sin(

12、4054sin150cos3 .27)sin(sincossin,mBCBADABBDABDRt得解CD=BD-BC177-27.3=150(m)答：山的高度約為答：山的高度約為150米。米。)sin(cos)sin()90sin(BCBCAB所以，)90sin()sin(ABBC解：在解：在ABC中，中，BCA= 90 +, ABC= 90 -, BAC=-, BAD=.根據(jù)正弦定理，根據(jù)正弦定理，例例5 一輛汽車在一條水平的公路上向正東行駛，到一輛汽車在一條水平的公路上向正東行駛，到A處時(shí)測(cè)得處時(shí)測(cè)得公路南側(cè)遠(yuǎn)處一山頂公路南側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在東偏南在東偏南15的方向上，行駛的方向上，行駛5k

13、m后到后到達(dá)達(dá)B處，測(cè)得此山頂在東偏南處，測(cè)得此山頂在東偏南25的方向上，仰角的方向上，仰角8，求此山，求此山的高度的高度CD.分析：要測(cè)出高分析：要測(cè)出高CD,只要只要測(cè)出高所在的直角三角形測(cè)出高所在的直角三角形的另一條直角邊或斜邊的的另一條直角邊或斜邊的長(zhǎng)。根據(jù)已知條件，可以長(zhǎng)。根據(jù)已知條件，可以計(jì)算出計(jì)算出BC的長(zhǎng)。的長(zhǎng)。例例5 一輛汽車在一條水平的公路上向正東行駛，到一輛汽車在一條水平的公路上向正東行駛，到A處時(shí)測(cè)得處時(shí)測(cè)得公路南側(cè)遠(yuǎn)處一山頂公路南側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在東偏南在東偏南15的方向上，行駛的方向上，行駛5km后到后到達(dá)達(dá)B處，測(cè)得此山頂在東偏南處，測(cè)得此山頂在東偏南25的方向上，

14、仰角的方向上，仰角8，求此山，求此山的高度的高度CD.解：在解：在ABC中，中，A=15, C= 25 15=10.根據(jù)正弦定理，根據(jù)正弦定理，CABABCsinsin).(4524. 710sin15sin5sinsinkmCAABBCCD=BCtanDBCBCtan81047(m)答：山的高度約為答：山的高度約為1047米。米。).01. 0,1 . 0(,.0 .5432,5 .6775,. 6000nmileCACnmileBBnmileA確到距離精角度精確到需要航行多少距離航行此船應(yīng)該沿怎樣的方向出發(fā)到達(dá)航行直接從如果下次后到達(dá)海島的方向航行東沿北偏出發(fā)然后從后到達(dá)海島航行的方向沿北

15、偏東出發(fā)一艘海輪從如圖例例例6 一艘海輪從一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東出發(fā)，沿北偏東75的方向航行的方向航行67.5n mile后到達(dá)海島后到達(dá)海島B,然后從然后從B出發(fā)，沿北偏東出發(fā)，沿北偏東32的方向航行的方向航行54.0n mile后到達(dá)海島后到達(dá)海島C.如果下次航行直接從如果下次航行直接從A出發(fā)到達(dá)出發(fā)到達(dá)C,此船應(yīng)該此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行，需要航行多少距離（角度精確到沿怎樣的方向航行，需要航行多少距離（角度精確到0.1,距距離精確到離精確到0.01n mile）?解：在解：在 ABC中，中，ABC1807532137，根據(jù)余弦定理，根據(jù)余弦定理，15.113137cos0 .545

16、.6720 .545 .67cos22222ABCBCABBCABAC 1如圖，自動(dòng)卸貨汽車采用液壓機(jī)構(gòu)，設(shè)計(jì)時(shí)需要計(jì)算如圖，自動(dòng)卸貨汽車采用液壓機(jī)構(gòu)，設(shè)計(jì)時(shí)需要計(jì)算油泵頂桿油泵頂桿BC的長(zhǎng)度（如圖）已知車廂的最大仰角為的長(zhǎng)度（如圖）已知車廂的最大仰角為60，油，油泵頂點(diǎn)泵頂點(diǎn)B與車廂支點(diǎn)與車廂支點(diǎn)A之間的距離為之間的距離為1.95m，AB與水平線之間的與水平線之間的夾角為夾角為 ，AC長(zhǎng)為長(zhǎng)為1.40m，計(jì)算，計(jì)算BC的長(zhǎng)（保留三個(gè)有效數(shù)的長(zhǎng)（保留三個(gè)有效數(shù)字）字） 0260 （1 1）什么是最大仰角？）什么是最大仰角？ 最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度 （2

17、 2）例題中涉及一個(gè)怎樣的三角）例題中涉及一個(gè)怎樣的三角形？形？ 在在ABC中已知什么，要求什么？中已知什么，要求什么？練習(xí)練習(xí)練習(xí)練習(xí)1 1如下圖是曲柄連桿機(jī)構(gòu)的示意圖，當(dāng)曲柄如下圖是曲柄連桿機(jī)構(gòu)的示意圖，當(dāng)曲柄CB繞繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，通過連桿時(shí)，通過連桿AB的傳遞，活塞作直線往復(fù)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)曲柄在的傳遞，活塞作直線往復(fù)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)曲柄在CB位置時(shí)，曲柄和連桿成一條直線，連桿的端點(diǎn)位置時(shí)，曲柄和連桿成一條直線，連桿的端點(diǎn)A在在A處，設(shè)連處，設(shè)連桿桿AB長(zhǎng)為長(zhǎng)為340mm，由柄，由柄CB長(zhǎng)為長(zhǎng)為85mm，曲柄自，曲柄自CB按順時(shí)針方按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)向旋轉(zhuǎn)80，求活塞移動(dòng)的距離（即連桿的端點(diǎn)，求活塞移

18、動(dòng)的距離（即連桿的端點(diǎn)A移動(dòng)的距移動(dòng)的距離離 ）（精確到）（精確到1mm） AA0已知已知ABC中，中， BC85mm，AB340mm，C80，求求AC 解：（如圖）在解：（如圖）在ABC中，中， 由正弦定理可得：由正弦定理可得：2462. 034080sin85sinsin ABCBCA因?yàn)橐驗(yàn)锽CAB，所以，所以A為銳角為銳角 ， A1415 B180（AC）8545 又由正弦定理：又由正弦定理：)(3 .3449848. 05485sin340sinsinmm CBABAC解解 題題 過過 程程)(817 .803 .344)85340()(00mm ACBCABACCAAA答：活塞移動(dòng)的距離為答：活塞移動(dòng)的距離為81mm 解解 題題 過過 程程 解：如圖，在解：如圖，在ABC中由余弦定理得：中由余弦定理得：784)21(201221220cos222222 BACACABABACBCA 2.我艦在敵島我艦在敵島A南偏西南偏西50相距相距12海里的海里的B處，發(fā)現(xiàn)敵艦正處，發(fā)現(xiàn)敵艦正由島沿北偏西由島沿北偏西10的方向以的方向以10海里海里/小時(shí)的速度航行問我艦需小時(shí)的速度航行問我艦需以多大速度、沿什么方向航行才能用以多大速度、沿什么