捕食者-被捕食者模型穩(wěn)定性分析報告

1、被捕食者捕食者模型穩(wěn)定性分析【摘要】 自然界中不同種群之間還存在著一種非常有趣的既有相互依存、又有 相互制約的生活方式： 種群甲靠豐富的天然資源生存， 種群乙靠捕食甲為生， 形 成食餌 -捕食者系統(tǒng)，如食用魚和鯊魚，美洲兔和山貓，害蟲和益蟲等。本文是 基于食餌捕食者之間的有關(guān)規(guī)律， 建立具有自身阻滯作用的兩種群食餌捕食 者模型，分析平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性， 進(jìn)行相軌線分析， 并用數(shù)值模擬方法驗證理論分 析的正確性。關(guān)鍵詞】 食餌捕食者模型 相軌線 平衡點(diǎn) 穩(wěn)定性一、問題重述在自然界中， 存在這種食餌捕食者關(guān)系模型的物種很多。 下面討論具有自 身阻滯作用的兩種群食餌 - 捕食者模型，首先根據(jù)該兩種群的相

2、互關(guān)系建立模型， 解釋參數(shù)的意義， 然后進(jìn)行穩(wěn)定性分析， 解釋平衡點(diǎn)穩(wěn)定的實際意義， 對模型進(jìn) 行相軌線分析來驗證理論分析的正確性。二、問題分析本文選擇漁場中的食餌 （食用魚 ）和捕食者 （ 鯊魚）為研究對象，建立微分方 程，并利用數(shù)學(xué)軟件MATLA求出微分方程的數(shù)值解，通過對數(shù)值結(jié)果和圖形的 觀察，猜測出它的解析解構(gòu)造。然后，從理論上研究其平衡點(diǎn)及相軌線的形狀， 驗證前面的猜測。三、模型假設(shè)1. 假設(shè)捕食者（鯊魚）離開食餌無法生存；2. 假設(shè)大海中資源豐富，食餌獨(dú)立生存時以指數(shù)規(guī)律增長；四、符號說明x（t）/人食餌（食用魚）在時刻t的數(shù)量；y（t）/ X2（t）捕食者（鯊魚）在時刻t的數(shù)量；

3、ri 食餌（食用魚）的相對增長率；2 捕食者（鯊魚）的相對增長率；N i大海中能容納的食餌（食用魚）的最大容量;N2 大海中能容納的捕食者(鯊魚)的罪的容量；G 單位數(shù)量捕食者(相對于 N2)提供的供養(yǎng)食餌的實物量為單位數(shù)量捕食者(相對于NJ消耗的供養(yǎng)甲實物量的 門倍；2單位數(shù)量食餌(相對于Ni )提供的供養(yǎng)捕食者的實物量為單位數(shù)量捕食 者(相對于N2)消耗的供養(yǎng)食餌實物量的二2倍;d捕食者離開食餌獨(dú)立生存時的死亡率五、模型建立食餌獨(dú)立生存時以指數(shù)規(guī)律增長，且食餌(食用魚)的相對增長率為ri，即x丄rx，而捕食者的存在使食餌的增長率減小，設(shè)減小的程度與捕食者數(shù)量成正比，于是x(t)滿足方程x

4、(t)二 x(ray)二 rxaxy(1)比例系數(shù)a反映捕食者掠取食餌的能力。由于捕食者離開食餌無法生存，且它獨(dú)立生存時死亡率為 d，即y - -dy， 而食餌的存在為捕食者提供了食物，相當(dāng)于使捕食者的死亡率降低，且促使其增 長。設(shè)這種作用與食餌數(shù)量成正比，于是 y(t)滿足y (t) = y(-d bx)二-dy bxy(2)比例系數(shù)b反映食餌對捕食者的供養(yǎng)能力。方程（1）、（2）是在自然環(huán)境中食餌和捕食者之間依存和制約的關(guān)系，這里沒有考慮種群自身的阻滯作用，是 Volterra提出的最簡單的模型。下面，我們加入種群自身的阻滯作用，在上兩式中加入Logistic項，即建立以下數(shù)學(xué)模型：勺x2

5、xi（trixij-N-aiN2< 1 2丿I12丿X2（t）的圖形及相六、模型求解在此，我們采用MATLAB件求解此微分方程組中的x1 （t） > 軌線圖形。設(shè)二 1 =1.5，二 2=4，r1 =1，r2=0.4，弘=3500 , N2 = 500 ,使用 MATLAB軟件求解，程序代碼如下:1）建立M文件 fun cti on y=fun( t,x)2）在命令窗口輸入如下命令: t,x=ode45('fu n1',0,40,2000,35)得到數(shù)值解如下:t(x(1),x(2)1.0e+003 * (單位：千克)02.00000.03500.10332.065

6、40.03690.20662.12760.03890.30992.18630.04120.41322.24120.04380.80792.41130.05601.20262.51110.07321.59732.53580.09611.99192.48700.12482.38062.37410.15772.76932.21270.19223.15792.02280.22463.54661.82470.25143.93531.63600.26974.32391.47270.27934.71261.34310.28135.10121.24270.27755.41671.17800.27175.732

7、21.12940.26426.04771.09510.25616.36311.07280.24766.74461.05990.23777.12611.05930.22867.50761.06840.22067.88911.08510.21398.29671.10940.20818.70421.13760.20389.11171.16760.20099.51931.19750.199310.01731.23130.199010.51531.25990.200011.01331.28150.202011.51131.29540.204712.04531.30220.207912.57931.301

8、70.211113.11331.29580.213813.64731.28640.215914.22311.27450.217414.79891.26270.218115.37471.25290.218115.95051.24550.217716.55231.24020.216917.15411.23770.216017.75591.23750.215118.35771.23910.214419.04031.24200.213819.72291.24540.213420.40541.24840.213421.08801.25060.213521.85741.25240.213722.62681

9、.25300.214023.39621.25270.214224.16561.25200.214425.06561.25090.214525.96571.24990.214526.86571.24950.214427.76571.24950.214328.76571.24960.214329.76571.24980.214230.76571.25000.214231.76571.25010.214332.76571.25010.214333.76571.25010.214334.76571.25000.214335.76571.25000.214336.82431.25000.214337.8

10、8281.25000.214338.94141.25000.214340.00001.25000.2143>> plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)')圖1.數(shù)值解x,t) , x2(t)的圖形>> plot(x(:,1),x(:,2),grid.圖2.相軌線圖形從數(shù)值解及Xi（t） , X2（t）的圖形可以看出他們的數(shù)量變化情況，隨著時間的推移，都趨于一個穩(wěn)定的值，從數(shù)值解中可以近似的得到穩(wěn)定值為：（1250,214） 下面對其平衡點(diǎn)進(jìn)行穩(wěn)定性分析：由微分方程、f (xz)= r1X1 1-X

11、iN1f (Xi, X2)二 r2X22N1 N2丿得到如下平衡點(diǎn)R（Ni,O）,Ni（g 1） N2G -1）、P2 （， ）1 C21 :1：2P3（0,0）因為僅當(dāng)平衡點(diǎn)位于平面坐標(biāo)系的第一象限時（Xi，X2 _0）才有意義，所以,對P2而言要求匚2>0。按照判斷平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的方法計算:X2申X1gx2n（1孕一學(xué)）N1N2r2；2x2N12（-1r1x1N22x2N2根據(jù)p等于主對角線元素之和的相反數(shù)，而q為其行列式的值，我們得到下表:平衡點(diǎn)pq穩(wěn)定條件PZQ）r1 一 r2 （Ci 2 -1）-r1r2（C72 -0<J2 <1»N1（1p） N2（j1）

12、、"2 （, ）1 +O" 1 O" 21 + O' O" 21（1 5）卄2厲2 -1）側(cè) +S）（j -1）ct2 >11 +crr21+02P3（0,0）-r 1+ r 2盹不穩(wěn)定七、模型分析與檢驗1. 平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的分析及其實際意義：1）對 RN，0）而言，有卩=1-2仟2-1），q =- 甲2（；2 -1），故當(dāng)二 2 <1 時,平衡點(diǎn)P1（N1,0）是穩(wěn)定的。意義：如果R（N1,0）穩(wěn)定，則種群乙滅絕，沒有種群的共存。2）對 P2（2（1 二 1）i干2N2（6 T）i芥2r1（1）2仟2 T）1+嚇2q=r11，故當(dāng)匚2

13、>1時，平衡點(diǎn)P2(凹12,巴32)是穩(wěn)定的。1 + C21 +err21+06意義：如果巳(Nl(1),2仁-1)穩(wěn)定，則兩物種恒穩(wěn)發(fā)展，會互相依1 c21 -：r2存生長下去。3)對卩3(0,0)而言，由于p = -A 2 , q = -叩2，又有題知A >0,2>0,故q <0,即P(N1,0)是不穩(wěn)定的。2. 平衡點(diǎn)的檢驗：對于平衡點(diǎn)(叢°2網(wǎng)2衛(wèi))，把前面給出的初始值帶入，在這使1 ；仁21 ' ：-_2用MATLAB件進(jìn)行簡單的求解，在命令窗口輸入如下代碼：>> >> >> x(1);x(2)ans =1.0e+003 *1.25000.2143把此處求解出的解和前面得出的數(shù)值解進(jìn)行比較可知，平衡點(diǎn)P2(W!座匕)是穩(wěn)定的。1 + C1 C 21 + 口 10 2八、模型的評價與推廣1. 模型的評價自然界中，任何物種即使是捕食者也有自身的阻滯作用，該模型從原始的 沒帶自身阻滯作用模型中加入了阻滯項， 使得此模型更接近于生態(tài)平衡系統(tǒng)。 從 此模型中，我們知道兩物種同時滅絕是不穩(wěn)定的， 也就是不太可能的，但兩種群 有一種滅絕一種生存是完全有可能的，兩種群共存的可能也是可能的。2. 模型的推廣本文只考慮兩物種模型，我們完全可以把此模型推廣到三物種的情形。