2021年高中數(shù)學(xué)雙曲線拋物線知識點總結(jié)

1、雙曲線雙曲線平面內(nèi)到兩個定點,距離之差絕對值是常數(shù) 2a(2a方程簡圖)點軌跡。x2y221(a 0,b 0)2ab_ yy2x221(a 0,b 0)2ab_ y_ o_ x_ o_ x范疇頂點焦點漸近線離心率對稱軸準線方程a、b、c 關(guān)系x a或x a, yry a或y a,xr(a,0)(c,0)(0,a)(0,c)y e bxay e axbc(e 1)ac(e 1)a關(guān)于 x 軸、y 軸及原點對稱關(guān)于 x 軸、y 軸及原點對稱a2x ca2y cc2 a2b2考點考點題型一求雙曲線原則方程x2y2n1、給出漸近線方程y x雙曲線方程可設(shè)為22( 0)，與雙曲線mnmx2y2x2y21

2、共漸近線方程可設(shè)為22( 0)。a2b2ab2、注意：定義法、待定系數(shù)法、方程與數(shù)形結(jié)合?！纠?1】求適合下列條件雙曲線原則方程。（1）虛軸長為 12，離心率為5；4（2）焦距為 26，且通過點 m（0，12） ；x2y21有公共漸進線，且通過點a 3,2 3。（3）與雙曲線916x2y2y2x2解： （1）設(shè)雙曲線原則方程為221或221(a 0,b 0)。abab由題意知，2b=12，e b=6，c=10，a=8。c5=。a4x2y2x236 1或1。原則方程為646436（2）雙曲線通過點 m（0，12） ，m（0，12）為雙曲線一種頂點，故焦點在y 軸上，且 a=12。又 2c=26，

3、c=13。b c a 144。222y2x21。原則方程為14425x2y2（3）設(shè)雙曲線方程為22aba 3,2 3在雙曲線上3922 31621得144x2y21因此雙曲線方程為94題型二 雙曲線幾何性質(zhì)辦法思路：解決雙曲線性質(zhì)問題，核心是找好體重等量關(guān)系，特別是e、a、b、c 四者關(guān)系，構(gòu)造出e c222和c a b關(guān)系式。ax2y2【例 2】雙曲線221(a 0,b 0)焦距為 2c，直線 l 過點（a，0）和（0，b） ，且點ab（1，0）到直線 l 距離與點（-1，0）到直線 l 距離之和 s疇。4c。求雙曲線離心率 e 取值范5解：直線 l 方程為xy1，級 bx+ay-ab=0

4、。abb(a1)a b22由點到直線距離公式，且a1，得到點（1，0）到直線 l 距離d1，同理得到點（-1，0）到直線 l 距離d2b(a1)a b22，s d1d2由 s2aba2b22ab。c42ab4c，即5a c2a2 2c2。c，得5c542于是得5 e21 2e2，即4e 25e 25 0。解不等式，得55 e 5。 e2 5。由于 e10，因此 e 取值范疇是24x2y2【例 3】設(shè) f1、f2分別是雙曲線221左、右焦點，若雙曲線上存在點a，使abf1af2 90，且af1=3af2，求雙曲線離心率。解：f1af2 90af1 af222 4c2又af1=3af2，af1 a

5、f2 2 af2 2a即af2 a，af1 af2229 af2 af210 af210a2 4c2，222c101010即e 。a422題型三 直線與雙曲線位置關(guān)系辦法思路：1、研究雙曲線與直線位置關(guān)系， 普通通過把直線方程與雙曲線方程構(gòu)成方程組，ax byc 0即22，對解個數(shù)進行討論，但必要注意直線與雙曲線有一種公共點和相2222b x a y a b切不是等價。2、直線與雙曲線相交所截得弦長：l 1k2 x2 x111 y2 y12k【例 4】如圖，已知兩定點f1 2點 p 軌跡是曲1( 2,0), f2( 2,0)，滿足條件pf2 pf線 e，直線 y=kx-1 與曲線 e 交于 a

6、、b 兩點，如果ab 6 3，且曲線 e 上存在點 c，使yoaob moc，求（1）曲線 e 方程；（2）直線 ab 方程；（3）m 值和abc 面積 s。解：由雙曲線定義可知，曲線 e 是覺得f1( 2,0), f2( 2,0)焦點雙曲線左支，且c acbox2，a=1，易知b c2a21。22故直線 e 方程為x y 1(x 0)，(2)設(shè)a(x1,y1)，b(x2,y2),由題意建立方程組y=kx-122x -y =1消去 y，得(1k )x 2kx2 0。22又已知直線與雙曲線左支交于兩點a、b，有1k2 0,22 (2k) 8(1k ) 0,解得 2 k 1。x1 x22k2 0,

7、1k2 0.x1x221k又ab 1k x1 x21k (x1 x2) 4x1x22222k2(1k2)(2k2) 1k ()4 222221k1k(1k )2(1k2)(2k2) 6 3，整頓后得28k455k225 0，依題意得222(1k )k 2552或k 。74但 2 k 1，k 5。25x y 1 0。2故直線 ab 方程為（3）設(shè)c(xc, yc)，由已知oaob moc，得(x1, y1)(x2, y2) (mxc,myc)，(xc, yc) (x1 x2y1 y2,)(m 0)。mm2k222k2 28，又x1 x22 4 5，y1 y2 k(x1 x2)2 2k 1k 1k

8、 1點c(4 5 8,)。mm將點 c 坐標代入曲線 e 方程，80641，m2m2得m 4，但當(dāng)m 4時，所得點在雙曲線右支上，不合題意。m 4，c 點坐標為( 5,2)，c 到 ab 距離為5( 5) 212(522) 1211abc 面積s 6 33。23一、拋物線1，3高考動向： 拋物線是高考每年必考之點， 選取題、 填空題、 解答題皆有， 規(guī)定對拋物線定義、性質(zhì)、直線與其關(guān)系做到了如指掌，在高考中才干做到應(yīng)用自如。（一） 知識歸納方程y2 2px(p 0)y2 2px(p 0)x2 2py(p 0)x2 2py(p 0)圖形oyyylyofxfxfoxfllolx頂點對 稱軸焦點離

9、心率準線（0，0）x 軸y 軸pf(,0)2f(p,0)2pf(0,)2pf(0,)2e=1l : x p2l : x p2l : y p2l : y p2（二）典例解說題型一拋物線定義及其原則方程辦法思路：求拋物線原則方程要先擬定形式， 因開口方向不同必要時要進行分類討論， 原則2方程有時可設(shè)為y mx或x my(m 0)。2【例 5】依照下列條件求拋物線原則方程。（1）拋物線焦點是雙曲線16x 9y 144左頂點；（2）通過點a（2，3） ；（3）焦點在直線 x-2y-4=0 上；（4）拋物線焦點在 x 軸上，直線 y=-3 與拋物線交于點 a，af=5.22x2y21，左頂點是（-3，0

10、）解： （1）雙曲線方程可化為916由題意設(shè)拋物線方程為y 2px(p 0)且p=6.方程為y 12x（2）解法一：通過點a（2，3）拋物線也許有兩種原則形式：22p 3，2y22px或x22py點a（2，3）坐標代入，即 94p，得 2p292點a（2，3）坐標代入x2py，即 46p，得 2p所求拋物線原則方程是y24394x或x2y2322解法二：由于 a（2，-3）在第四象限且對稱軸為坐標軸，可設(shè)方程為y mx或x ny，94，n=-，239422所求拋物線原則方程是yx或xy23代入 a 點坐標求得 m=（3）令 x=0 得 y=2，令 y=0 得 x=4，直線 x-2y-4=0 與

11、坐標軸交點為（0，-2） ， （4，0） 。焦點為（0，-2） ， （4，0） 。拋物線方程為x 8y或y 16x。（4）設(shè)所求焦點在 x 軸上拋物線方程為y 2px(p 0)，a（m，-3） ，由拋物線定義得5 af m2222p，2又(3) 2pm，p 1或p 9，故所求拋物線方程為y 2x或y 18x。題型二 拋物線幾何性質(zhì)辦法思路：1、凡設(shè)計拋物線上點到焦點距離時，普通運用定義轉(zhuǎn)化為到準線 l 距離解決，例如若 p（x0，y0）為拋物線y 2px(p 0)上一點，則pf x0222p。22、若過焦點弦 ab，a(x1, y1)，b(x2, y2)，則弦長ab x1 x2 p，x1 x2

12、可由韋達定理整體求出， 如遇到其她原則方程， 則焦半徑或焦點弦長公式可由數(shù)形結(jié)合辦法類似得到?！纠?6】設(shè) p 是拋物線y 4x上一種動點。（1）求點 p 到點 a（-1，1）距離與點 p 到直線x 1距離之和最小值；2（2）若 b（3，2） ，求pb pf最小值。解： （1）拋物線焦點為 f（1，0） ，準線方程為x 1。p 點到準線x 1距離等于 p 點到 f（1，0）距離，問題轉(zhuǎn)化為：在曲線上求一點p，使點 p 到 a（-1，1）距離與 p 到 f（1，0）距離之和最小。顯然 p 是 af 連線與拋物線交點，最小值為af 5（2）同理pf與 p 點到準線距離相等，如圖：過 b 做 bq準

13、線于 q 點，交拋物線與 p1點。pq， pf11pb pf pb pq bq 4。11pb pf最小值是 4。題型三 運用函數(shù)思想求拋物線中最值問題辦法思路：函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想是解決解析幾何問題兩種重要思想辦法?！纠?7】已知拋物線 yx2，動弦 ab 長為 2，求 ab 中點縱坐標最小值。分析一：規(guī)定ab 中點縱坐標最小值，可求出y1y2最小值，從形式上看變量較多，結(jié)合圖形可以觀測到 y1、y2是梯形 abcd 兩底，這樣使得中點縱坐標 y 成為中位線，可以運用幾何圖形性質(zhì)和拋物線定義求解。解法一：設(shè) a(x1,y1),b(x2,y2),ab 中點為 m(x,y)由拋物線方程yx2知焦

14、點f(0,o oa ap pf fxy1),準線方程41y ， 設(shè)點a、 b、 m到準線距離分別為|ad1|、 |bc1|、41|mn|，則|ad1|bc1|2|mn|，且mn =2(y+)，依照拋物線定義，有|ad1|af|、|bc1|4|bf|,2(y+2(y+1)|af|bf|ab|2，41) 2433y ,即點 m 縱坐標最小值為。44分析二：規(guī)定 ab 中點 m 縱坐標 y 最小值，可列出 y 關(guān)于某一變量函數(shù)，然后求此函數(shù)最小值。解法二：設(shè)拋物線 yx 上點 a(a,a ),b(b,b )，ab 中點為 m(x，y)，則222a ba2b2x , y 22|ab|2，(ab) (a

15、 b )4，則(ab) 4ab(a b ) 4a b 4則 2xab,2ya b ,得 ab2x y,4x 4(2x y)4y 4(2x y)4整頓得y x 2222222222222222214x 12 y 1111113(4x21) 2 21444444x 14即點 m 縱坐標最小值為 3/4。練習(xí)：1、以y=22x為漸近線雙曲線方程是（）32222222、3y2x=6、9y8x=1 c、3y2x=1 d、9y4x=36【答案 d】解析：a 漸近線為y=22 2x，b 漸近線為y=x33c 漸近線為y=222x，只有 d 漸近線符合題意。32、若雙曲線x y 1左支上一點 p（a，b）到直

16、線 y=x 距離為2，則 a+b 值為（）a、11b、c、2d、222【答案 a】解析：p 在雙曲線上，a b 1即（a+b） （a-b）=1又 p（a，b）到直線 y=x 距離為222ab22且a b即ab 2a+b=123、如果拋物線頂點在原點、對稱軸為x 軸，焦點在直線3x4y12 0上，那么拋物線方程是（）a、y 16xb、y 12xc、y 16xd、y 12x【答案 c】解析：令 x=0 得 y=3，令 y=0 得 x=4，直線3x4y12 0與坐標軸交點為（0，-3） ， （4，0） 。焦點為（0，-3） ， （4，0） 。拋物線方程為x 12y或y 16x。4、若拋物線 y=22

17、222212x 上一點 p 到焦點 f 距離為 5，則 p 點坐標是479797979，） d.（，）881616a.（4，4）b.（4，4）c.（【答案 b】解析：拋物線焦點是（0，1） ，準線是y 1，p 到焦點距離可以轉(zhuǎn)化為到準線距離。設(shè) p（x，y） ，則 y=4，x 4y 16 45、若點 a 坐標為 （3， 2） ，f為拋物線y2 2x焦點， 點p是拋物線上一動點， 則pa 得最小值時點p坐標是a （0，0）（c ）b （1，1）c （2，2）d(,1)12pf獲【答案 c】解析：拋物線焦點為f（1，0） ，準線方程為x 1。p 點到準線x 1距離等于 p 點到 f（1，0）距離，

18、問題轉(zhuǎn)化為：在曲線上求一點 p，使點 p 到 a（3，2）距離與 p 到 f（1，0）距離之和最小。顯然 p 是 a 到準線垂線與拋物線交點，p 坐標為（2，2）6、已知 a、b 是拋物線y 2px(p 0)上兩點，o 為坐標原點，若oa=ob，且aob 垂心恰是此拋物線焦點，則直線ab 方程是（ ）a、x=p b、x=3p c、x=235pd、x=p22y2y2【答案 d】解析：設(shè) a（，y） ，b（，-y） ，2p2pf（p，0）是aob 垂心，yy2p2p22y 12y2p2整頓得y 5py25px 2p2x2y21只有一種公共點直線有條。7、過點 p（4，1） ，且與雙曲線916【答案

19、】兩條解析：由于 p（4，1）位于雙曲線右支里面，故只有兩條直線與雙曲線有一種公共點，分別與雙曲線兩條漸近線平行。這兩條直線是：y144(x4)和y1 (x4)33x2 y21有共同漸近線，且過點a(2,-2)，則c 兩條準線之間距離8、雙曲線c 與雙曲線2為?！敬鸢浮? 63x2 y2 k(k 0)，解析：設(shè)雙曲線c 方程為2將點 a 代入，得 k=-2。y2x21故雙曲線 c 方程為：24a 2，b=2，c 62a22 6因此兩條準線之間距離是。c39、已知拋物線y 2px(p 0)，一條長為4p 弦，其兩個端點在拋物線上滑動，則此弦中點到 y 軸最小距離是【答案】23p2解析：設(shè)動弦兩個

20、端點為a、b，中點為c，作 aa，bb，cc垂直于準線垂線，垂足分別為 a、b、c，連接 af、bf，由拋物線定義可知，af=aa，bf=bbcc是梯形 abba中位線111( aa) bb)=( af ) bf ) ab=2p222p3當(dāng) ab 通過點 f 時取等號，因此 c 點到 y 軸距離最小值為2p-p。22cc=10、拋物線y 12x一條弦中點為 m(2,3)，則此弦所在直線方程是?！敬鸢浮?x-y+1=0解析：設(shè)此弦所在直線l方程為y 3 k(x2)，l與拋物線交點坐標分別是a(x1,y1),b(x2,y2),2則x1 x2 4將l方程代入拋物線方程整頓得k2x2(4k26k 12

21、)x(2k 3)2 0(4k26k 12) 4由韋達定理得x1 x2 2k解得k 2此直線方程為y 3 2(x2)即 2x-y+1=011、已知雙曲線中心在原點，焦點在y軸上，焦距為 16，離心率為解：由題意知，2c 16 c 8又4，求雙曲線方程。3e c4a 6a3b2 c2a2 28y2x213628x2y2212、已知雙曲線221(a 0,b 0)離心率e 3，過點a(0,b)和 b（a，0）直ab3線與原點距離為3。2（1）求雙曲線方程；（2）直線y kxm(k 0,m 0)與該雙曲線交于不同兩點c、d，且 c、d 兩點都在以 a為圓心同一圓上，求 m 取值范疇。2b24e 1a23

22、解： （1）由題設(shè)，得3ab222 a b解得a 3，b 122x2 y21。雙曲線方程為3（2）把直線方程y kxm代入雙曲線方程，并整頓得(13k )x 6kmx 3m 3 0由于直線與雙曲線交于不同兩點，12m 1236k 0設(shè)c(x1, y1)，d(x2, y2)則x1 x2222226km2m，y y k(x x )2m 121213k213k2設(shè) cd 中點為p(x0, y0)，x1 x2y y2，y01，223kmm則x0，y 013k213k2m12113k依題意，apcd，kap 3kmk213k其中x0整頓得3k 4m1將式代入式得m 4m 0m4 或 m0又3k 4m1 0，即m m 取值范疇為 m4 或222141 m 0。4213、已知點a（2，8） ，b（x1，y1） ，c（x2，y2）在拋物線y 2px上，abc 重心與此拋物線焦點 f 重疊（如圖）（1）寫出該拋物線方程和焦點f 坐標；（2）求線段 bc 中點 m 坐標；（3）求 bc 所在直線方程.（12 分）解： （1）由點 a（2，8）在拋物線y 2px上，2有8 2p2，解得 p=16. 因此拋物線方程為