拋物線的焦點弦問題(重要結(jié)論-絕對經(jīng)典)

1、拋物線的焦點弦性質(zhì) 例1過拋物線產(chǎn)=2px(p>0)的焦點的一條直線和拋物 線相交，兩交點為此1,門)、B(*,y)則 (1)|AB|=xi+m+p； 通徑長為2 p； (3)X!X2=p2/4;門門=9?； (4)若直線AB的偵斜角為8,則AB =2p sin (5)以AB為直徑的圓與準線相切； 焦點F對A、B在準線上射影的張角為90。.G 112西-西=萬過拋物線y'2Px(p>0)的焦點的一條直線和拋物線相交,兩交點 為A(M,yD、Bgy)則(3)、iM=p?/4; yiy?=p?； 證明：法3韋達定理 r當mb _苜由時，易得 A ( > p) , B (&

2、gt; 一 2, 2二 yj：=-p* x：x：=g； 25斜率存在時設(shè)為k, (k 則直線AB方程為y=k ( x- y) 代入拋物線方程y： =21消元得y： = 2次工-二)即y：-®-加=0 k 2k法2:由題知AB不與x軸平行，設(shè)且5方程為工=”-與，(?n e R) f y: - 2px2尸=J： = 2p(冽+ 4)即 y2 - 2 pmy - p2 - Qx = wy + 4-2 > ：>： = - P' (定值)二 X ：x： = 2.由J (定值) p a p q p q法3：利用性質(zhì)焦點F對A、B在準線上射影的張角為90°。解：過.

3、；，3點作準線的垂線，垂足二尸(一孝)。(-爭光)，尸(爭。) ，VPF.0F :.PF-OF = 0即(Pf)(P7)= 0, P' + >j= 0 即比=一p-易得： XjX; = £為R2過拋物線y、2px(p>0)的焦點的一條直線和拋物線相交兩交點為A(X,、D、B(xl),則(4)若直線XB的傾斜角為。則AB|=2p sin? 0證明：|AB|=|AF|+|BF尸 X： +X2 +夕(1) 6 = 90：時，k不存在，易得A (E, p) , B (E, -p) ,_22|AB|=2P= 1 1sin-90-(2) 6 *90：時，斜率r = ian區(qū)直

4、線方程為Yr2P sin.d然后聯(lián)立方程組用韋達定理得|ab| =p-x；-X:思考：焦點弦何時最短？過焦點的所有弦中，通徑最短故以AB為直徑的圓與準線相切.過拋物線y'2px(p>0)的焦點的一條直線和拋物線相交.兩交點為 a(m,vD、B(x2,y2)J5M 證明：如圖，焦點F對A. B在準線上射影的張角為90% B一證明：如圖，Z1=Z 2 = Z3, Z 4=Z 5 = N6,又 /1- N4 - N3 - N6 = 180°,Zl- Z4 = N3 - N6Nl- N4 = 90：,即N月尸5 = 90°過拋物線y?=2px(p:0)的焦點的一條直線

5、和拋物線相交，兩交點為 A(M,yD，B(m,門)貝J ")鼻一品=二證明：(7)以門=/+旨|3尸|=X; + W以尸I BF八+冬與 優(yōu)+41北+今) 工工X /VX /例2若直線過定點、I(s,0)(s>0)與拋物線y?=2p、(p>0)交于A(xi,yi卜B(M,y)求證：X!X：=s:; d=2ps證明：設(shè)45的方程Rx=my+s (m R)代人拋物線得2Pmy -2ps=0,=-2/2S x.x：例3若直線與拋物線y?=2px(p>0)交于AGio D，B(x經(jīng)?),且有 x1x2=s2; yiy?=2ps.求證：直線過定點(s,0)(s>0).證

6、明舊:外相減得一谷八 2 = 2 px.X x2二.直線MB方程為y -力=(X -X) ,>1 + 打令y = 0得-y - yyz = 2px- 2Pxi 因為J：i=2px：, y；y； = -2ps代入上式得 X = 5二直線月5必過點(5,0 )證明：Q)AO交準線于C則直線CB平行于拋線的對稱軸.A例4過拋物線y?=2Px(p>0)的焦點F的一條直線和拋物線相交于證明：設(shè)直線的方程：x =加 1 -三代入=2 px,得J一 一 2pmy = 0.設(shè)4 X，梵)，5( x:, >2)則歹必=-0二Ty二工 X=T聯(lián)立得以-衿)X.222x.pyx py： -p: y

7、y2 1一" V 1 2xi 2"”2p. BC | X軸 例4過拋物線y'2Px(p0)的焦點F的一條直線和拋物線相交于A(xi,yi). B(x2,y2),證明：過B作BC1準線1,垂足為C,則AC過原點雙線.證明：設(shè)直線的方程：>/x = "+與:弋入 / = 2Px:得y: -2pmy-pz =0._ o /f設(shè)Xx：, “，Xx;, y:)則N咫=-匚S ZNl*/ BX軸二 C(-3,即 C(-, 弋;?22 w、.。|。.4且共點。,，直線/。過點。拋物線中的直角三角形問題例5 A. 6是拋物線/ = 2八Q>0)上的兩點，且。4

8、1。凡(1)求人5兩點的橫坐標之積和縱坐標之積；(2)求證：直線4B過定點；(3)求弦.必中點P的軌跡方程；(4)求.403面積的最小值；(5)求。在48上的射影J琳跡方程.例5 A. 5是拋物線j' = 2"Q；，0）上的兩點，且。.4108,”x2(1)求4、刀兩點的橫坐標之積和縱坐標之積；Q)設(shè)Wgm),中點pg,*), ka4 k0BV OA ± OBk0Kk0B=-l,二工1三七此=0; jf = 2pxv jy = 2pxz -立.&! + o；2p Ip:對, J'D?=-4p? :. xxx2=4p2.例5 A, 5是拋物線產(chǎn)=2內(nèi)3

9、0）上的兩點，且。41。兄 (2)求證：直線”過定點；解答(2) .:1/=2內(nèi)1，y=2px. /. (n-vjXvj+)*：) =.2P_ 2p* *一 .- - K.4B '一三八+比Vi + V2：直線45 : y -y = 2P (x-xx)2Px + I，】_ 2Pxi . v ： 2" Fi2 PA +”J'l+J'2 一 .l'l+J'2 - J、l+$2 n+n-4pJi +J22 、/ 22Px： y = 2,為，yy2 = Tp /. y =+2J'1+4二 $ =T-(x-2p)T6 過定點 T(2“0).例5

10、3 8是拋物線/ = 2riQ>0）上的兩點，且。41。兄（3）求弦工與中點P的軌跡方程；設(shè)。.4：j = kv,代入，=如得-0, 同理，T以代&得以2夕艮-29）.N二 %=（&）、2 P P即 行=內(nèi)）-2夕"二中點"軌跡方程J'=px-2"例5 A.刀是拋物線/ = 2內(nèi)伽>0）上的兩點，且。/I。凡（4）求口。6面積的最小值；（4） ,«* S、405 = Sxo + 50M=：|。71（1外| + | 先 I）=P（IJ'1I + | 先 I） AB22入伍ET = 4p當且僅當網(wǎng)=心|=22時，等號成立.例5 A. 6是拋物線產(chǎn)=2八">0)上的兩點，且。(5)求。在”上的射影M軌跡方程.(5)法一：設(shè)Mg，.門)，則=,_ X3/*出=77. .45 ：y-y3=-(x-x3)J、入即x = - (v- v3) + 叼代入>''=2px得. “.2)二 十 一?！縒 y - "" 2 p& =" 由(D知 9 .Vlv2=4P：,'£ ' 丫32* 一 + 2px3 =4p2整理得：療出 -2Px3=0,弓二點