無窮級數高等數學同濟七PPT課件

1、一、交錯級數及其判別法定義: 正、負項相間的級數稱為交錯級數. nnnnnnuu 111)1()1(或或萊不尼茲定理萊不尼茲定理 如果交錯級數滿足條件如果交錯級數滿足條件: : ( () ), 3 , 2 , 1(1 nuunn;(;() )0lim nnu, , 則級數收斂則級數收斂, ,且其和且其和1us , ,其余項其余項nr的絕對值的絕對值 1 nnur. . )0( nu其中其中第1頁/共14頁解2)1(2)1()1( xxxxx)2(0 x,1單調遞減單調遞減故函數故函數 xx,1 nnuu1limlim nnunnn又又. 0 原級數收斂.第2頁/共14頁二、絕對收斂與條件收斂定

2、義: 正項和負項任意出現的級數稱為任意項級數.定理定理 若若任意項級數任意項級數 1nnu的各項絕對值組成的級的各項絕對值組成的級數數 1nnu收斂收斂, ,則則 1nnu也收斂也收斂. . 第3頁/共14頁上定理的作用：任意項級數正項級數定義定義: :若若 1nnu收斂收斂, , 則稱則稱 1nnu為絕對收斂為絕對收斂; ;若若 1nnu發(fā)發(fā)散散, ,而而 1nnu收收斂斂, , 則則稱稱 1nnu為為條條件件收收斂斂. .第4頁/共14頁定理：如果任意項級數 滿足條件則當 時級數絕對收斂，當 時級數發(fā)散。1nnu 1limnnnuu 1 1 第5頁/共14頁解,1sin22nnn ,112

3、收斂收斂而而 nn,sin12 nnn收斂收斂故由定理知原級數絕對收斂.第6頁/共14頁三、小結正 項 級 數任意項級數審斂法1.2.4.充要條件5.比較法6.比值法7.根值法4.絕對收斂5.交錯級數(萊布尼茨定理)3.按基本性質;,則級數收斂則級數收斂若若SSn;, 0,則級數發(fā)散則級數發(fā)散當當 nun第7頁/共14頁思考題 設設正正項項級級數數 1nnu收收斂斂, , 能能否否推推得得 12nnu收收斂斂? ?反反之之是是否否成成立立? ?第8頁/共14頁思考題解答由由正正項項級級數數 1nnu收收斂斂，可可以以推推得得 12nnu收收斂斂,nnnuu2lim nnu lim0 由比較審斂

4、法知 收斂. 12nnu反之不成立.例如： 121nn收斂, 11nn發(fā)散.第9頁/共14頁一、一、 填空題填空題: :1 1、 p級數當級數當_時收斂時收斂, ,當當_時發(fā)散；時發(fā)散；2 2、若正項級數、若正項級數 1nnu的后項與前項之比值的根的后項與前項之比值的根 等于等于, , 則當則當_時級數收斂；時級數收斂；_時級數發(fā)散；時級數發(fā)散； _時級數可能收斂也可能發(fā)散時級數可能收斂也可能發(fā)散 . .二、二、 用比較審斂法或極限審斂法判別下列級數的收斂用比較審斂法或極限審斂法判別下列級數的收斂性性: : 1 1、 22211313121211nn； 2 2、)0(111 aann . .練

5、 習 題第10頁/共14頁三、三、 用比值審斂法判別下列級數的收斂性用比值審斂法判別下列級數的收斂性: : 1 1、 nnn 232332232133322；2 2、 1!2nnnnn. .四、四、 用根值審斂法判別下列級數的收斂性用根值審斂法判別下列級數的收斂性: :1 1、 1)1ln(1nnn； 2 2、121)13( nnnn. .五、五、 判別下列級數的收斂性判別下列級數的收斂性: :1 1、 nn1232；2 2、 13sin2nnn ； 3 3、)0()1()2ln(1 anannn. .第11頁/共14頁六、六、 判別下列級數是否收斂判別下列級數是否收斂? ?如果是收斂的如果是

6、收斂的, ,是絕對收是絕對收斂還是條件收斂斂還是條件收斂? ?1 1、 1113)1(nnnn；2 2、 5ln14ln13ln12ln1；3 3、 2ln)1(nnnn. .七、若七、若nnun2lim存在存在, ,證明證明: :級數級數 1nnu收斂收斂 . .八、證明八、證明: :0!lim3 nnnanb. .第12頁/共14頁練習題答案一、一、1 1、1, 1 pp； 2 2、1),lim( 1, 11 nnnuu或或. .二、二、1 1、發(fā)散；、發(fā)散； 2 2、發(fā)散、發(fā)散. .三、三、1 1、發(fā)散；、發(fā)散； 2 2、收斂、收斂. .四、四、1 1、收斂；、收斂； 2 2、收斂、收斂. .五、五、1 1、發(fā)散；、發(fā)散； 2 2、收斂；、收斂； 3 3、 ., 1;, 1