數(shù)學(xué)分析數(shù)列極限PPT課件

1、“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：播放播放劉徽一、概念的引入第1頁/共48頁R正六邊形的面積1A正十二邊形的面積2A正 形的面積126 nnA,321nAAAAS第2頁/共48頁2 2、截丈問題：、截丈問題：“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”;211 X第一天截下的杖長為第一天截下的杖長為;212122 X為為第二天截下的杖長總和第二天截下的杖長總和;2121212nnXn 天截下的杖長總和為天截下的杖長總和為第第nnX211 1第3頁/共48頁二、數(shù)列的定義定義定義:按自然數(shù)按自然數(shù), 3 , 2 , 1編號依次排列的一列數(shù)編號依次

2、排列的一列數(shù) ,21nxxx (1)稱為稱為無窮數(shù)列無窮數(shù)列,簡稱簡稱數(shù)列數(shù)列.其中的每個數(shù)稱為數(shù)其中的每個數(shù)稱為數(shù)列的列的項項,nx稱為稱為通項通項(一般項一般項).數(shù)列數(shù)列(1)記為記為nx.例如;,2 , 8 , 4 , 2n;,21,81,41,21n2n21n第4頁/共48頁注意：注意： 1.數(shù)列對應(yīng)著數(shù)軸上一個點(diǎn)列.可看作一動點(diǎn)在數(shù)軸上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx2.數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)).(nfxn ;,)1( , 1 , 1, 11 n)1(1 n;,)1(,34,21, 21nnn )1(1nnn ,333,33, 3 第5頁/共48頁.)1(11時的變化趨勢時的變化

3、趨勢當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn播放播放三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限第6頁/共48頁問題: 當(dāng) 無限增大時, 是否無限接近于某一確定的數(shù)值?如果是,如何確定?nxn. 1)1(1,1無限接近于無限接近于無限增大時無限增大時當(dāng)當(dāng)nxnnn 問題: “無限接近”意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語言刻劃它. 1nxnnn11)1(1 通過上面演示實驗的觀察:第7頁/共48頁,1001給定給定,10011 n由由,100時時只要只要 n,10011 nx有有,10001給定給定,1000時時只要只要 n,1000011 nx有有,100001給定給定,10000時時只要只要 n,100011 nx有有, 0 給

4、定給定,)1(時時只要只要 Nn.1成立成立有有 nx第8頁/共48頁定義定義 如果對于任意給定的正數(shù)如果對于任意給定的正數(shù) ( (不論它多么不論它多么小小),),總存在正數(shù)總存在正數(shù)N, ,使得對于使得對于Nn 時的一切時的一切nx, ,不等式不等式 axn都成立都成立, ,那末就稱常數(shù)那末就稱常數(shù)a是數(shù)列是數(shù)列nx的極限的極限, ,或者稱數(shù)列或者稱數(shù)列nx收斂于收斂于a, ,記為記為 ,limaxnn 或或).( naxn如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的.注意：注意：;. 1的無限接近的無限接近與與刻劃了刻劃了不等式不等式axaxnn . 2有關(guān)有關(guān)與任意給定的正數(shù)與任意給定的正數(shù) N第

5、9頁/共48頁x1x2x2 Nx1 Nx3x幾何解釋: 2 a aa.)(,),(,落在其外落在其外個個至多只有至多只有只有有限個只有有限個內(nèi)內(nèi)都落在都落在所有的點(diǎn)所有的點(diǎn)時時當(dāng)當(dāng)NaaxNnn :定義定義N 其中;:每一個或任給的每一個或任給的 .:至少有一個或存在至少有一個或存在 ., 0, 0lim axNnNaxnnn恒有恒有時時使使第10頁/共48頁數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.例例1. 1)1(lim1 nnnn證明證明證證1 nx1)1(1 nnnn1 , 0 任給任給,1 nx要要,1 n只要只要,1 n或或所以,1 N取取,時時則當(dāng)則當(dāng)Nn 1)1(1nnn就有就有. 1

6、)1(lim1 nnnn即即注意：注意：第11頁/共48頁例例2.lim),(CxCCxnnn 證明證明為常數(shù)為常數(shù)設(shè)設(shè)證證Cxn CC ,成立成立 ,0 任給任給所以,0 ,n對于一切自然數(shù)對于一切自然數(shù).limCxnn 說明:常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).小結(jié): 用定義證數(shù)列極限存在時,關(guān)鍵是任意給定 尋找N,但不必要求最小的N., 0 第12頁/共48頁例例3. 1, 0lim qqnn其中其中證明證明證證, 0 任給任給,0 nnqx,lnln qn,lnlnqN 取取,時時則當(dāng)則當(dāng)Nn ,0 nq就有就有. 0lim nnq, 0 q若若; 00limlim nnnq則則, 10 q若若

7、,lnlnqn 第13頁/共48頁例例4.lim, 0lim, 0axaxxnnnnn 求證求證且且設(shè)設(shè)證證, 0 任給任給.limaxnn 故故,limaxnn ,1 axNnNn時恒有時恒有使得當(dāng)使得當(dāng)axaxaxnnn 從而有從而有aaxn a1 第14頁/共48頁四、數(shù)列極限的性質(zhì)1、有界性定義定義: 對數(shù)列對數(shù)列nx, 若存在正數(shù)若存在正數(shù)M, 使得一切自使得一切自然數(shù)然數(shù)n, 恒有恒有Mxn 成立成立, 則稱數(shù)列則稱數(shù)列nx有界有界,否則否則, 稱為無界稱為無界.例如,;1 nnxn數(shù)列數(shù)列.2nnx 數(shù)列數(shù)列數(shù)軸上對應(yīng)于有界數(shù)列的點(diǎn)數(shù)軸上對應(yīng)于有界數(shù)列的點(diǎn)nx都落在閉區(qū)間都落在閉

8、區(qū)間,MM 上上.有界無界第15頁/共48頁定理定理1 1 收斂的數(shù)列必定有界收斂的數(shù)列必定有界. .證證,limaxnn 設(shè)設(shè)由定義, 1 取取, 1, axNnNn時恒有時恒有使得當(dāng)使得當(dāng)則則. 11 axan即有即有,1,1,max1 aaxxMN記記,Mxnn 皆有皆有則對一切自然數(shù)則對一切自然數(shù) .有界有界故故nx注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件.推論推論 無界數(shù)列必定發(fā)散. .第16頁/共48頁2、唯一性定理定理2 2 每個收斂的數(shù)列只有一個極限每個收斂的數(shù)列只有一個極限. .證證,lim,limbxaxnnnn 又又設(shè)設(shè)由定義,使得使得., 021NN ;1 axNnn時恒有時恒

9、有當(dāng)當(dāng);2 bxNnn時恒有時恒有當(dāng)當(dāng) ,max21NNN 取取時有時有則當(dāng)則當(dāng)Nn )()(axbxbann axbxnn .2 .時才能成立時才能成立上式僅當(dāng)上式僅當(dāng)ba 故收斂數(shù)列極限唯一.第17頁/共48頁例例5.)1(1是發(fā)散的是發(fā)散的證明數(shù)列證明數(shù)列 nnx證證,limaxnn 設(shè)設(shè)由定義,21 對于對于,21,成立成立有有時時使得當(dāng)使得當(dāng)則則 axNnNn),21,21(, aaxNnn時時即當(dāng)即當(dāng)區(qū)間長度為1.,1, 1兩個數(shù)兩個數(shù)無休止地反復(fù)取無休止地反復(fù)取而而 nx不可能同時位于長度為1的區(qū)間內(nèi)., ,但卻發(fā)散但卻發(fā)散是有界的是有界的事實上事實上nx第18頁/共48頁3、子

10、數(shù)列的收斂性 的子數(shù)列（或子列）的子數(shù)列（或子列）的一個數(shù)列稱為原數(shù)列的一個數(shù)列稱為原數(shù)列到到中的先后次序，這樣得中的先后次序，這樣得這些項在原數(shù)列這些項在原數(shù)列保持保持中任意抽取無限多項并中任意抽取無限多項并定義：在數(shù)列定義：在數(shù)列nnnxxx,21nixxxx,21knnnxxx .knxxxkxxkknnnnkkk 項，顯然，項，顯然，中卻是第中卻是第在原數(shù)列在原數(shù)列而而項，項，是第是第中，一般項中，一般項在子數(shù)列在子數(shù)列注意：注意：例如，第19頁/共48頁定理定理3 3 收斂數(shù)列的任一子數(shù)列也收斂且極限收斂數(shù)列的任一子數(shù)列也收斂且極限相同相同證證 的任一子數(shù)列的任一子數(shù)列是數(shù)列是數(shù)列設(shè)

11、數(shù)列設(shè)數(shù)列nnxxk,limaxnn ., 0, 0 axNnNn恒有恒有時時使使,NK 取取,時時則當(dāng)則當(dāng)Kk .NnnnKkk . axkn.limaxknk 證畢第20頁/共48頁五、小結(jié)數(shù)列數(shù)列: :研究其變化規(guī)律;數(shù)列極限數(shù)列極限: :極限思想、精確定義、幾何意義;收斂數(shù)列的性質(zhì)收斂數(shù)列的性質(zhì): :有界性、唯一性、子數(shù)列的收斂性.第21頁/共48頁思考題思考題指出下列證明指出下列證明1lim nnn中的錯誤中的錯誤 證明要使,1 nn只要使)1ln(ln1 nn從而由2ln)1ln(ln)1ln(1 nn得, 0 取1)1ln(2ln N當(dāng) 時，必有 成立Nn 10nn1lim nn

12、n第22頁/共48頁思考題解答思考題解答 1nn)1ln(ln1 nn（等價）證明中所采用的2ln)1ln(ln)1ln(1 nn實際上就是不等式)1ln(ln2ln nnn即證明中沒有采用“適當(dāng)放大” 的值nnln第23頁/共48頁從而 時，2ln)1ln( Nn僅有 成立，)1ln(2ln n但不是 的充分條件)1ln(ln nn反而縮小為n2ln第24頁/共48頁一、一、 利用數(shù)列極限的定義證明利用數(shù)列極限的定義證明: : 1 1、231213lim nnn； 2 2、19.999. 0lim n二、二、 設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列nx有界，又有界，又0lim nny， 證明：證明：0lim nnny

13、x. .練練 習(xí)習(xí) 題題第25頁/共48頁1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”劉徽一、概念的引入一、概念的引入第26頁/共48頁1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”劉徽一、概念的引入一、概念的引入第27頁/共48頁“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽一、概念的引入一、概念的引入第28頁/共48頁“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽一、概念的引入一、概

14、念的引入第29頁/共48頁“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽一、概念的引入一、概念的引入第30頁/共48頁“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽一、概念的引入一、概念的引入第31頁/共48頁“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽一、概念的引入一、概念的引入第32頁/共48頁“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽一、概念的引入一、概念的引入第33頁

15、/共48頁“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽一、概念的引入一、概念的引入第34頁/共48頁.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限第35頁/共48頁.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限第36頁/共48頁.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限第37頁/共48頁.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限第38頁/共48頁.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限第39頁/共48頁.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限第40頁/共48頁.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限第41頁/共48頁.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限第42頁/共48頁.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、