復(fù)變函數(shù)課件16復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性

1、第六節(jié)第六節(jié) 復(fù)變函數(shù)的極限復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性和連續(xù)性一、函數(shù)的極限二、函數(shù)的連續(xù)性三、小結(jié)與思考2一、一、函數(shù)的極限函數(shù)的極限1.函數(shù)極限的定義函數(shù)極限的定義:. )( )(,)0(0 )( , 0 , , 0 )( 0000時(shí)的極限時(shí)的極限趨向于趨向于當(dāng)當(dāng)為為那末稱那末稱有有時(shí)時(shí)使得當(dāng)使得當(dāng)相應(yīng)地必有一正數(shù)相應(yīng)地必有一正數(shù)對(duì)于任意給定的對(duì)于任意給定的存在存在如果有一確定的數(shù)如果有一確定的數(shù)內(nèi)內(nèi)的去心鄰域的去心鄰域定義在定義在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)zzzfaazfzzazzzzfw )( .)(lim 00azfazfzzzz 或或記作記作注意注意: : . 0的方式是任意的的方式是任意的定義中定

2、義中zz 32. 極限計(jì)算的定理極限計(jì)算的定理定理一定理一.),(lim,),(lim )(lim , , ),(),()( 000000000000vyxvuyxuazfiyxzivuayxivyxuzfyyxxyyxxzz 的充要條件是的充要條件是那末那末設(shè)設(shè)證證 ,)(lim 0azfzz 如果如果根據(jù)極限的定義根據(jù)極限的定義 , )()(0 00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) iyxiyx ,)()(00 ivuivu(1) 必要性必要性.4 , )()(0 2020時(shí)時(shí)或當(dāng)或當(dāng) yyxx ,)()(00 vviuu, ,00 vvuu.),(lim,),(lim 000000vyxvuyxuyyxxyyx

3、x 故故,),(lim,),(lim 000000vyxvuyxuyyxxyyxx 若若 , )()(0 2020時(shí)時(shí)那么當(dāng)那么當(dāng) yyxx(2) 充分性充分性.,2 ,2 00 vvuu有有5 )()()(00vviuuazf 00vvuu , 0 0時(shí)時(shí)故當(dāng)故當(dāng) zz,)( azf .)(lim 0azfzz 所以所以證畢證畢說明說明. ),( ),( , ),(),()( 的極限問題的極限問題和和函數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)二元實(shí)變轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)二元實(shí)變的極限問題的極限問題該定理將求復(fù)變函數(shù)該定理將求復(fù)變函數(shù)yxvyxuyxivyxuzf 6定理二定理二).0()()(lim (3);)()(li

4、m (2);)()(lim (1) ,)(lim ,)(lim 00000 bbazgzfabzgzfbazgzfbzgazfzzzzzzzzzz那末那末設(shè)設(shè)與實(shí)變函數(shù)的極限運(yùn)算法則類似與實(shí)變函數(shù)的極限運(yùn)算法則類似.7例例1 1證證 (一一). 0 )re()( 不存在不存在時(shí)的極限時(shí)的極限當(dāng)當(dāng)證明函數(shù)證明函數(shù) zzzzf, iyxz 令令,)( 22yxxzf 則則, 0),(,),(22 yxvyxxyxu , 趨于零時(shí)趨于零時(shí)沿直線沿直線當(dāng)當(dāng)kxyz 2200lim),(limyxxyxukxyxkxyx 220)(limkxxxx 8)1(lim220kxxx ,112k , 值的變化

5、而變化值的變化而變化隨隨 k , ),(lim 00不存在不存在所以所以yxuyyxx, 0),(lim00 yxvyyxx根據(jù)定理一可知根據(jù)定理一可知, . )(lim0不存在不存在zfz9二、函數(shù)的連續(xù)性二、函數(shù)的連續(xù)性1. 連續(xù)的定義連續(xù)的定義: . )( , )( . )( ),()(lim 000內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在我們說我們說內(nèi)處處連續(xù)內(nèi)處處連續(xù)在區(qū)域在區(qū)域如果如果處連續(xù)處連續(xù)在在那末我們就說那末我們就說如果如果dzfdzfzzfzfzfzz . , )()(lim )( 000czzfzfzczfzz 處連續(xù)的意義是處連續(xù)的意義是上上在曲線在曲線函數(shù)函數(shù)10定理三定理三.) ,( )

6、,( ),( : ),(),()( 00000處連續(xù)處連續(xù)在在和和連續(xù)的充要條件是連續(xù)的充要條件是在在函數(shù)函數(shù)yxyxvyxuiyxzyxivyxuzf 例如例如,),()ln()(2222yxiyxzf , )ln(),(22處連續(xù)處連續(xù)在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處yxyxu , ),(22在復(fù)平面內(nèi)處處連續(xù)在復(fù)平面內(nèi)處處連續(xù)yxyxv . ),( 處連續(xù)處連續(xù)在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處故故yxf11定理四定理四. ) ( )( )( (1)000處仍連續(xù)處仍連續(xù)在在不為零不為零分母在分母在積、商積、商的和、差、的和、差、和和連續(xù)的兩個(gè)函數(shù)連續(xù)的兩個(gè)函數(shù)在在zzzg

7、zfz. )( , )( )( , )( (2)0000連續(xù)連續(xù)處處在在那末復(fù)合函數(shù)那末復(fù)合函數(shù)連續(xù)連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)連續(xù)連續(xù)在在如果函數(shù)如果函數(shù)zzgfwzghhfwzzgh 12特殊的特殊的:,)(2210nnzazazaazpw (1) 有理整函數(shù)有理整函數(shù)(多項(xiàng)式多項(xiàng)式) ; 都是連續(xù)的都是連續(xù)的對(duì)復(fù)平面內(nèi)的所有點(diǎn)對(duì)復(fù)平面內(nèi)的所有點(diǎn) z(2) 有理分式函數(shù)有理分式函數(shù),)()(zqzpw , )( )( 都是多項(xiàng)式都是多項(xiàng)式和和其中其中zqzp在復(fù)平面內(nèi)使分母不為零的點(diǎn)也是連續(xù)的在復(fù)平面內(nèi)使分母不為零的點(diǎn)也是連續(xù)的.13例例3 3. )( , )( :00也連續(xù)也連續(xù)在在那末那末連續(xù)連續(xù)

8、在在如果如果證明證明zzfzzf證證 ),(),()( yxivyxuzf 設(shè)設(shè) ),(),()( yxivyxuzf 則則 , )( 0連續(xù)連續(xù)在在由由zzf,) ,( ),( ),( 00處都連續(xù)處都連續(xù)在在和和知知yxyxvyxu ,) ,( ),( ),( 00處連續(xù)處連續(xù)也在也在和和于是于是yxyxvyxu . )( 0連續(xù)連續(xù)在在故故zzf14三、小結(jié)與思考三、小結(jié)與思考 通過本課的學(xué)習(xí)通過本課的學(xué)習(xí), 熟悉復(fù)變函數(shù)的極限、連熟悉復(fù)變函數(shù)的極限、連續(xù)性的運(yùn)算法則與性質(zhì)續(xù)性的運(yùn)算法則與性質(zhì). 注意注意:復(fù)變函數(shù)極限的定義與一元實(shí)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)極限的定義與一元實(shí)變函數(shù)極限的定義雖然在形式上相同極限的定義雖然在形式上相同, 但在實(shí)質(zhì)上有很但在實(shí)質(zhì)上有很大的差異大的差異, 它較之后者的要求苛刻得多它較之后者的要求苛刻得多.15思考題思考題?)( , )( 00有無關(guān)系有無關(guān)系徑徑選取的路選取的路所采取的方式所