概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)：2-4 連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布

1、第二章第二章 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布 4 4 連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布4100)(cddXcP 為比例常數(shù)。為比例常數(shù)。特別地，取特別地，取 c=4,d=10,c=4,d=10,則則 1104 XP，若若10, 4, dc，則有，則有 6)410(104 XP 10, 1104),4(614, 0)(xxxxxXPxF 而前面求出的分布函數(shù)而前面求出的分布函數(shù))(xF，恰好就是非負(fù)函數(shù)，恰好就是非負(fù)函數(shù))(xf在在,(x上的廣義積分，即上的廣義積分，即 xdttfxF)()( 2 2、比例系數(shù)反映了概率分布在區(qū)間、比例系數(shù)反映了概率分布在區(qū)間44，1010上任意上

2、任意一個(gè)子區(qū)間一個(gè)子區(qū)間c,dc,d上的密集程度，記做上的密集程度，記做)(xf, ,即即 其它其它, 0104,61)(xxf )()(0 xaFaFaXxaPaXP 性性質(zhì)質(zhì) 1 1、0)( xf 性質(zhì)性質(zhì) 2 2、1)( dxxf 評注評注 由性質(zhì)由性質(zhì) 2 2 知介于曲線知介于曲線)(xf與與OxOx軸之間的面積軸之間的面積等于等于 1 1（如下左圖） 。（如下左圖） 。X X落入?yún)^(qū)間落入?yún)^(qū)間,(21xx上的概率上的概率21xXxP 等于區(qū)間等于區(qū)間,(21xx上曲線上曲線)(xfy 之之下的曲邊梯形的面積（如下右圖） 。下的曲邊梯形的面積（如下右圖） 。 xxxXxPxxFxxFxf

3、xx lim )()(lim)(00 (2.4.2) xxfxxXxP )( 其其它它, 020),2(43)(2xxxxf xxdttfdttfdttfxXPxF00)()()()()3(41)2(433202xxdtttx 當(dāng)當(dāng)20 x時(shí)，時(shí)， 當(dāng)當(dāng)2 x時(shí)，有時(shí)，有 xdttfxXPxF)()()( xdttfdttfdttf2200)()()( 2021)2(43dttt 顯然顯然)(xF在在0 x，2 x點(diǎn)處連續(xù)，且點(diǎn)處連續(xù)，且)()(xfxF 。 2, 120),3(410, 0)(32xxxxxxF即即abldxabdxxflcXcPlcclcc 1)( 其它其它, 05,51)

4、(00txtxf 0020052512ttdxtXtP高斯高斯 而而0 I，故有，故有 2 I，于是，于是 122121222)( dxex 作極坐標(biāo)變換作極坐標(biāo)變換 sincosrtrs，得到，得到 2022022 drdredIr )(xf 的圖形的圖形如如下下圖所示，它具有如下的性質(zhì)圖所示，它具有如下的性質(zhì)： （2 2） 當(dāng)當(dāng) x時(shí)，時(shí)，)(xf取到最大值取到最大值 21)( f，x x離離 越遠(yuǎn)，越遠(yuǎn)，)(xf的值越小。的值越小。這表明對于同樣長度的區(qū)間，當(dāng)區(qū)這表明對于同樣長度的區(qū)間，當(dāng)區(qū)間離間離 越遠(yuǎn)，落在這個(gè)區(qū)間上的概率越小。越遠(yuǎn)，落在這個(gè)區(qū)間上的概率越小。 （3 3） 在在 x處

5、，曲線處，曲線)(xf有拐點(diǎn)。有拐點(diǎn)。 2221)(xex xtdtex2221)( )(x 的圖象如圖：的圖象如圖： xtdtexXPxXPxZP 222)(21 于是，于是，若若),(2 NX， 則分布函數(shù)， 則分布函數(shù)F F( (x x) )可寫成可寫成)()( xxXPxXPxF 對對于于任任意意區(qū)區(qū)間間,(21xx，有有 )()( 122121 xxxXxPxXxP 例例 4 4 若若隨隨機(jī)機(jī)變變量量)9 , 3( NX ，求求 （1 1） ;63,0,52 XPXPXP 解解 （1）3353333252 XPXP 3779. 0)31(1 )32()31()32(3231 ZP39

6、63 XPXPXP 0456.0)2(12)2()2(1223333333933 ZPZPXPXP 8413. 0) 1 () 1(11330330ZPXPXP(2) (2) 由由aXPaXP , ,得得 即即 327. 25 . 080 ,01. 099. 01)5 . 080( dd )5.080(15.0805.015.0805.08099.0dddXPddXPXP 對對于于標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正態(tài)態(tài)隨隨機(jī)機(jī)變變量量，我我們們引引入入 分分位位點(diǎn)點(diǎn)的的定定義義。 例如，由查表例如，由查表 2 2 可知可知 10. 3,645. 1001. 005. 0 zz 指數(shù)分布在實(shí)踐中有許多應(yīng)用，有許多種“

7、壽命”指數(shù)分布在實(shí)踐中有許多應(yīng)用，有許多種“壽命”分布，如無線電元件的壽命，動(dòng)物的壽命，保險(xiǎn)絲、寶分布，如無線電元件的壽命，動(dòng)物的壽命，保險(xiǎn)絲、寶石軸承、玻璃制品等的使用壽命，電話的通話時(shí)間，隨石軸承、玻璃制品等的使用壽命，電話的通話時(shí)間，隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)的服務(wù)時(shí)間等都近似地服從指數(shù)分布。機(jī)服務(wù)系統(tǒng)的服務(wù)時(shí)間等都近似地服從指數(shù)分布。 0,00,101)(10 xxexfx 11010101010110) 1 ( eedxeXPxx (2) 212010201010101012010 eeedxeXPxx。 答案：0.2 答案：A=0.5 0,2110,21)(xexexFxx 答案：0.9876 A 任何實(shí)數(shù) 都有P1=P2 B 任何實(shí)數(shù) 都有P1P2 答案：(1)45ln, 1 , 2ln, (2) 其其它它, 01,1)(exxxfx 答案：答案： （1 1） A A21 ， 1 B （2 2）)1(1)(2xxfx （3 3）)42(arctan1 答案：答案： （1）C=2 （2） 1,11, 1, 0)(2xxxxF （3）43,41, 0 答答案案： （1）21 A（2） 0,2110,21)(xexexFxx （3）)1