數(shù)學建模復習

1、一一、 數(shù)數(shù)學模學模型基礎知識型基礎知識數(shù)學模型數(shù)學模型 (Mathematical Model) 和和數(shù)學建模（數(shù)學建模（Mathematical Modeling)對于一個對于一個現(xiàn)實對象現(xiàn)實對象，為了一個，為了一個特定目的特定目的，根據(jù)其根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律內(nèi)在規(guī)律，作出必要的，作出必要的簡化假設簡化假設，運用適當?shù)倪\用適當?shù)臄?shù)學工具數(shù)學工具，得到的一個，得到的一個數(shù)學表述數(shù)學表述. .建立數(shù)學模型的全過程建立數(shù)學模型的全過程（包括表述、求解、解釋、檢驗等）（包括表述、求解、解釋、檢驗等）數(shù)學模型數(shù)學模型數(shù)學數(shù)學建模建模 數(shù)學建模的基本方法數(shù)學建模的基本方法機理分析機理分析測試分析測試分析根據(jù)

2、對客觀事物特性的認識，根據(jù)對客觀事物特性的認識，找出反映內(nèi)部機理的數(shù)量規(guī)律找出反映內(nèi)部機理的數(shù)量規(guī)律.將對象看作將對象看作“黑箱黑箱”,通過對量測數(shù)據(jù)的通過對量測數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型統(tǒng)計分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型.機理分析沒有統(tǒng)一的方法，主要通過機理分析沒有統(tǒng)一的方法，主要通過實例研究實例研究 (Case Studies)來學習。以下建模主要指機理分析來學習。以下建模主要指機理分析. .二者結(jié)合二者結(jié)合用機理分析建立模型結(jié)構(gòu)用機理分析建立模型結(jié)構(gòu),用測試分析確定模型參數(shù)用測試分析確定模型參數(shù).1.4 數(shù)學建模的方法和步驟數(shù)學建模的方法和步驟 數(shù)學建模的一般步驟數(shù)學建模的

3、一般步驟模型準備模型準備模型假設模型假設模型構(gòu)成模型構(gòu)成模型求解模型求解模型分析模型分析模型檢驗模型檢驗模型應用模型應用數(shù)學模型的分類數(shù)學模型的分類應用領(lǐng)域應用領(lǐng)域人口、交通、經(jīng)濟、生態(tài)、人口、交通、經(jīng)濟、生態(tài)、數(shù)學方法數(shù)學方法初等數(shù)學、微分方程、規(guī)劃、統(tǒng)計、初等數(shù)學、微分方程、規(guī)劃、統(tǒng)計、表現(xiàn)特性表現(xiàn)特性描述、優(yōu)化、預報、決策、描述、優(yōu)化、預報、決策、建模目的建模目的了解程度了解程度白箱白箱灰箱灰箱黑箱黑箱確定和隨機確定和隨機靜態(tài)和動態(tài)靜態(tài)和動態(tài)線性和非線性線性和非線性離散和連續(xù)離散和連續(xù)二二、 數(shù)學軟件基礎知識數(shù)學軟件基礎知識常用函數(shù)列表：常用函數(shù)列表：常用常用MATLABMATLAB命令

4、命令 利用利用size函數(shù)返回矩陣的行數(shù)和列數(shù)函數(shù)返回矩陣的行數(shù)和列數(shù)。 x = 1 2 3; 4 5 6 % 定義矩陣定義矩陣xx = 1 2 3 4 5 6 size(x) % 查看矩陣查看矩陣x的行數(shù)和列數(shù)的行數(shù)和列數(shù)ans = 2 3 m, n = size(x) % 返回矩陣返回矩陣x的行數(shù)的行數(shù)m和列數(shù)和列數(shù)nm = 2n = 3利用行標、列標和冒號運算符提取矩陣元素。利用行標、列標和冒號運算符提取矩陣元素。 x = 1 2 3; 4 5 6; 7 8 9 % 定義一個定義一個3行行3列的矩陣列的矩陣xx = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y1 = x(1, 2) % 提取矩

5、陣提取矩陣x的第的第1行，第行，第2列的元素列的元素 y2 = x(2:3, 1:2) % 提取矩陣提取矩陣x的第的第2至至3行，第行，第1至至2列的元素列的元素 y3 = x(:, 1:2) % 提取矩陣提取矩陣x的第的第1至至2列的元素列的元素 y4 = x(1, :) % 提取矩陣提取矩陣x的第的第1行的元素行的元素特殊矩陣特殊矩陣 零矩陣：零矩陣：zeros 一矩陣：一矩陣：ones 單位陣：單位陣：eye 對角陣：對角陣：diag 隨機陣：隨機陣：rand 魔方陣：魔方陣：magic方陣的行列式。方陣的行列式。 A = 1 2; 3 4; % 定義矩陣定義矩陣A d1 = det(A

6、) % 求數(shù)值矩陣求數(shù)值矩陣A的行列式的行列式d1 = -2逆矩陣。逆矩陣。 A = 1 2; 3 4; % 定義矩陣定義矩陣A Ai = inv(A) % 求求A的逆矩陣的逆矩陣Ai = -2.0000 1.0000 1.5000 -0.50002021-11-23方陣的特征值與特征向量。方陣的特征值與特征向量。 A = 5 0 4; 3 1 6; 0 2 3; % 定義矩陣定義矩陣A d = eig(A) % 求數(shù)值矩陣求數(shù)值矩陣A的特征值向量的特征值向量dd = -1.0000 3.0000 7.0000 V, D = eig(A) % 求特征值矩陣求特征值矩陣D與特征向量矩陣與特征向量

7、矩陣VV = -0.2857 0.8944 0.6667 -0.8571 0.0000 0.6667 0.4286 -0.4472 0.3333D = -1.0000 0 0 0 3.0000 0 0 0 7.00002021-11-23矩陣的跡和矩陣的秩。矩陣的跡和矩陣的秩。 A = 1 2 3; 4 5 6; 7 8 9; % 定義矩陣定義矩陣A t = trace(A) % 求矩陣的跡求矩陣的跡t = 15 r = rank(A) % 求矩陣的秩求矩陣的秩r = 2符號演算的符號演算的MATLAB命令命令 Matlab常用求極限命令常用求極限命令3401lim2xxx3lim2xx3li

8、maxa2lim()xxxx31052lim7xxxxx 求下列極限求下列極限syms xlimit(x3+1)/(x4+2)syms xlimit(x+2,3)syms x alimit(x+a,a,3)syms xlimit(sqrt(x2+x)-x,inf)syms x limit(5*x3+2*x)/(x10+x+7),x,-inf)微積分微積分求求 的的1階和階和10階導數(shù)階導數(shù)tan xsyms xf1 = diff(tan(x)；f2 = diff(tan(x),10)求下列積分求下列積分3 secyxdy32xdxsyms y xint(3*y*sec(x),y)syms xi

9、nt(x,2,3)0 xe dxsyms xint(exp(-x),0,inf)2 5xy z dxdydzsyms x y zint(int(int(x*y2*z5,x),y),z)24212x ydxdy syms x y int(int(x3*y,x,2,4),y,1,2)MATLAB繪圖命令繪圖命令 loglog函數(shù)：雙對數(shù)坐標繪圖函數(shù)：雙對數(shù)坐標繪圖 x = logspace(-1,2); loglog(x,exp(x),-s) grid on% 為為X軸，軸，Y軸加標簽軸加標簽 xlabel(X); ylabel(Y); polar函數(shù)：極坐標繪圖函數(shù)：極坐標繪圖 t = 0 :

10、0.01 : 2*pi; polar(t, sin(2*t).*cos(2*t),-r) plotyy函數(shù)：雙縱坐標繪圖函數(shù)：雙縱坐標繪圖 x = 0:0.01:20; % 定義橫坐標向量定義橫坐標向量 y1 = 200*exp(-0.05*x).*sin(x); % 縱坐標向量縱坐標向量 y2 = 0.8*exp(-0.5*x).*sin(10*x); % 縱坐標向量縱坐標向量 ax = plotyy(x,y1,x,y2,plot); xlabel(X); set(get(ax(1),Ylabel),string,Left Y); % 左左Y軸標簽軸標簽 set(get(ax(2),Ylab

11、el),string,Right Y); % 右右Y軸標簽軸標簽雙縱坐標繪圖雙縱坐標繪圖 t = linspace(0, 10*pi, 300); %產(chǎn)生一個行向量產(chǎn)生一個行向量 plot3(20*sin(t), 20*cos(t), t, r, linewidth, 2); %繪制螺旋線繪制螺旋線 hold on %圖形保持圖形保持 quiver3(0,0,0,1,0,0,25,k,filled,LineWidth,2); %添加箭頭作為添加箭頭作為x軸軸 quiver3(0,0,0,0,1,0,25,k,filled,LineWidth,2); %添加箭頭作為添加箭頭作為y軸軸 quive

12、r3(0,0,0,0,0,1,40,k,filled,LineWidth,2); %添加箭頭作為添加箭頭作為z軸軸 grid on %添加網(wǎng)格添加網(wǎng)格 xlabel(X); ylabel(Y); zlabel(Z); %添加坐標軸標簽添加坐標軸標簽 axis(-25 25 -25 25 0 40); %設置坐標軸范圍設置坐標軸范圍 view(-210,30); %設置視角設置視角用用plot3函數(shù)繪制三維螺旋線。函數(shù)繪制三維螺旋線。 x,y=meshgrid(0:0.25:4*pi); z=sin(x+sin(y)-x/10; mesh(x,y,z); axis(0 4*pi 0 4*pi -

13、2.5 1);繪制三維曲面圖繪制三維曲面圖z=sin(x+sin(y)-x/10。05100510-2.5-2-1.5-1-0.500.51 ezsurf(u*sin(v),u*cos(v), 4*v,-2*pi,2*pi,-2*pi,2*pi)調(diào)調(diào)用用ezsurf函數(shù)繪制螺面函數(shù)繪制螺面sincos4xuvyuvzv數(shù)學軟件編程語言數(shù)學軟件編程語言 x1=linspace(0,2*pi,100); x2=linspace(0,3*pi,100); x3=linspace(0,4*pi,100); y1=sin(x1); y2=1+sin(x2); y3=2+sin(x3); x=x1;x2;

14、x3; y=y1;y2;y3; plot(x,y,x1,y1-1,r-*)02468101214-2-1.5-1-0.500.511.522.53x1,y1-1x,y三列三列2021-11-23% 程序程序1：y = 0;for i = 1:inf y = y + i2; if y 2000 break; %跳出循環(huán)跳出循環(huán) endendn = i - 1 y = y - i2n = 17y = 1785% 程序程序2y = 0;i = 0;while y =2000 i = i + 1; y = y + i2;endn = i-1 y = y-i2 某工廠有兩條生產(chǎn)線，分別用來生產(chǎn)某工廠有兩

15、條生產(chǎn)線，分別用來生產(chǎn)M M和和P P兩種型號的產(chǎn)品，利潤分別為兩種型號的產(chǎn)品，利潤分別為200200元元/ /個和個和300300元元/ /個，生產(chǎn)線的最大生產(chǎn)能力分別為每日個，生產(chǎn)線的最大生產(chǎn)能力分別為每日100100和和120120，每生產(chǎn)一個每生產(chǎn)一個M M產(chǎn)品需要產(chǎn)品需要1 1個勞動日（個勞動日（1 1個工人工作個工人工作8 8小時稱為一個勞動小時稱為一個勞動日），而每個日），而每個P P產(chǎn)品需要產(chǎn)品需要2 2個勞動日，該廠工人每天共計能提供個勞動日，該廠工人每天共計能提供160160勞勞動日，假如原材料等其他條件不受限制，問應如何安排生產(chǎn)計劃，才動日，假如原材料等其他條件不受限制，

16、問應如何安排生產(chǎn)計劃，才能使獲得的利潤最大？能使獲得的利潤最大？建立模型建立模型121212max200300100120. .21600,1,2izxxxxstxxxi模型求解模型求解 在在Model窗口輸入以下模型窗口輸入以下模型 MAX = 200*X1+300*X2; X1=100; X2=200; X1+2*X2 p2/n2 ，定義定義 公平的席位分配公平的席位分配, 2 , 1,)1(2innpQiiii 定義定義該席給該席給Q值值較大的一方較大的一方推廣到推廣到m方方分配席位分配席位該席給該席給Q值最大的一方值最大的一方Q 值方法值方法minnpQiiii,2 , 1,)1(2計

17、算，yxp1.yxp2.c1 y0 xf(x,y)=c1無差別曲線族的性質(zhì)：無差別曲線族的性質(zhì)： 單調(diào)減單調(diào)減(x增加增加, y減小減小) 下凸下凸(凸向原點凸向原點) 互不相交互不相交在在p1點占有點占有x少、少、y多，多，寧愿以較多的寧愿以較多的 y換取換取較少的較少的 x;在在p2點占有點占有y少、少、x多，多，就要以較多的就要以較多的 x換取換取較少的較少的 y。甲的無差別曲線族記作甲的無差別曲線族記作f(x,y)=c1c1滿意度滿意度（f 等滿意度曲線）等滿意度曲線） 實物交換模型實物交換模型ABp交換方案交換方案 交換后甲的占有量交換后甲的占有量 (x,y)0 x x0, 0 y

18、y0矩矩形內(nèi)任一點形內(nèi)任一點交換路交換路徑徑AB雙方的無差別曲線族雙方的無差別曲線族等價交等價交換原則換原則X,Y用貨幣衡量其價值，設交換用貨幣衡量其價值，設交換前前x0,y0價值相同，則等價交換原價值相同，則等價交換原則下交換路徑為則下交換路徑為CD(x0,0), (0,y0) 兩點的連線兩點的連線CDAB與與CD的的交點交點p設設X單價單價a, Y單價單價b, 則等價交換下則等價交換下ax+by=s (s=ax0=by0)yyo0 xo.x軍軍備備競競賽賽模模型型y=f(x)甲方有甲方有x枚導彈，乙方所需的最少導彈數(shù)枚導彈，乙方所需的最少導彈數(shù)x=g(y)乙方有乙方有y枚導彈，甲方所需的最

19、少導彈數(shù)枚導彈，甲方所需的最少導彈數(shù)當當 x=0時時 y=y0，y0乙方的乙方的威懾值威懾值xyy0 xyy00 xyxfyy00)(y0甲方實行第一次打擊后已經(jīng)沒有導彈，乙方為毀滅甲甲方實行第一次打擊后已經(jīng)沒有導彈，乙方為毀滅甲方工業(yè)、交通中心等目標所需導彈數(shù)方工業(yè)、交通中心等目標所需導彈數(shù)x1x0y1P(xm,ym)x=g(y)xy0y0y=f(x)y=f(x)乙安全區(qū)乙安全區(qū)甲甲安安全全區(qū)區(qū)雙方雙方安全區(qū)安全區(qū)P平衡點平衡點(雙方最少導彈數(shù)雙方最少導彈數(shù))乙安全線乙安全線 商商人安人安全過全過河模型河模型問題問題( (智力游戲智力游戲) ) 3名商人名商人 3名隨從名隨從隨從們密約隨從們

20、密約, , 在河的任在河的任一岸一岸, , 一旦隨從的人數(shù)一旦隨從的人數(shù)比商人多比商人多, , 就殺人越貨就殺人越貨. .乘船渡河的方案由商人決定乘船渡河的方案由商人決定. .商人們怎樣才能安全過河商人們怎樣才能安全過河?問題分析問題分析多步?jīng)Q策過程多步?jīng)Q策過程決策決策 每一步每一步( (此岸到彼岸或彼岸到此岸此岸到彼岸或彼岸到此岸) )船上的人員船上的人員. .要求要求在安全的前提下在安全的前提下( (兩岸的隨從數(shù)不比商人多兩岸的隨從數(shù)不比商人多),),經(jīng)有限步使全體人員過河經(jīng)有限步使全體人員過河. .河河小船小船(至多至多2人人)模型構(gòu)成模型構(gòu)成求求dk D(k=1,2, n), 使使sk

21、 S, 并按并按轉(zhuǎn)移律轉(zhuǎn)移律 sk+1=sk+(-1)kdk 由由 s1=(3,3)到達到達 sn+1=(0,0).模型求解模型求解S=(x , y) x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2 窮舉法窮舉法 編程上機編程上機xy3322110狀態(tài)狀態(tài)s=(x,y) 16個格點個格點 10個個 點點允許決策允許決策 移動移動1或或2格格; k奇奇,左下移左下移; k偶偶,右上移右上移.s1sn+1d1, ,d11給出安全渡河方案給出安全渡河方案d1d11允許狀態(tài)允許狀態(tài) 圖解法圖解法 存貯模型存貯模型模模 型型 建建 立立0tq貯存量表示為時間的函數(shù)貯存量表示為時間

22、的函數(shù) q(t)TQrt=0生產(chǎn)生產(chǎn)Q件，件，q(0)=Q, q(t)以以需求速率需求速率r遞減，遞減，q(T)=0.一周期一周期總費用總費用221QTccC每天總費用平均每天總費用平均值（目標函數(shù)）值（目標函數(shù)）2)(21rTcTcTCTC離散問題連續(xù)化離散問題連續(xù)化Tdttqc02)(一周期貯存費為一周期貯存費為A2221rTcc rTQ =QT/222QTc模型求解模型求解MinrTcTcTC2)(21求求 T 使使0dTdC212crcrTQ212rccT 模型解釋模型解釋QTc,1QTc,2QTr,定性分析定性分析敏感性分析敏感性分析參數(shù)參數(shù)c1,c2, r的微小變化對的微小變化對T,Q的影響的影響T對對c1的的(相相對對)敏感度敏感度 111/),(ccTTcTSTccT11dd21c1增加增加1%, T增加增加0.5%S(T,c2)=-1/2, S(T,r)=-1/2c2或或r增加增加1%, T減少減少0.5%層次分析法的基本步驟層次分析法的基本步驟1）建