立體幾何中的存在性問題

1、高中數(shù)學(xué) 立體兒何存在性問題專題1.（天津理17）如圖，在三棱柱abc- aibc中，h是正方形aaab的中心，m = 2血,cth丄平面aalblb,且c"=躬.（i）求異而直線ac與a1b1所成角的余眩值；（n）求二血角“ 一 ag 的止弦值；（iii）設(shè)n為棱dg的屮點(diǎn)，點(diǎn)m在平而內(nèi)，且mn丄平而adc,求線段bm的 長.木小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識，考查用空間向量解決立體兒何問題的方 法，考查空間想彖能力、運(yùn)算能力和推理論證能力滿分13分.方法一：如圖所示，建立空間直角他標(biāo)系，點(diǎn)b為坐標(biāo)原點(diǎn).依題意得 aq 近,0,0）, b（0,0,0）

2、, c（v2,-v2,厲）a （2a/2,22,0）, （0,2>/2,0）, c. （v2,近品（i）解：易得況=（-q-血，病珂-2血，（），（） cos（猶,麗;*更込=亠殳半曰， ''iaciiaqi 3x2v23v2 所以異面直線ac與a1b1所成角的余弦值為3(ii)解:易知 = (0,2-72,0),a|cj = (-v2,-72,5).設(shè)平而aa1c1的法向量心（s，z）,l/n-acj =0則加 m = 0即-yflx -近 y + v5z = 0,2y2y = 0.= (v5,0,v2)同樣地，設(shè)平面a1b1c1的法向量，2(x,y,z),” 農(nóng)=0,

3、 (_岳_+辰=0,則 b -ai= 0.即 1-2低=0.不妨令 y = 45f可得兀=(0,5, >/2).cosg)= 于是tnn _2_ 2m - n j7 v7 7sin加，兀)= 從而35t3v5所以二面角aa1c1b的正弦值為7 (iii)解：由n為棱b1c1的中點(diǎn),z邁3邁逅、n(、,).得 222 設(shè) m q, b, 0),気翻 3a/2 z逅、則222顧.孫=0,由mn丄平面a1b1c1,得i翫疋(老-。)(-2血) = 0,2(-)-(-v2) + (-/?)-(-v2) + 厲=0.即i 222,v2近近小b = m (,0).解得i 4故 24麗=(迄返,0)麗

4、i衛(wèi).因此2 4,所以線段bm的長為4方法二：(i)解：rh于ac/a1c1，故zc1ab1是異血直線ac-l/a1b1所成的角.因?yàn)閏h丄平面aaibib, 乂 h為正方形aa1b1b的中心,aa、=2 邁,c、h =怎可得 ag = be = 3.cos/c/iq因此皿+佔(zhàn)2-恥：2ac ajv23所以異而直線ac與a1b1所成角的余弦值為3 *(ii)解：連接 ac1,易知 ac1二b1c1,又由于 aa1 二b1a1, a 1c1=a1=c1,所以aac/竺abc/ ,過點(diǎn)人作ar丄于點(diǎn)r)連接b1r,于是丄ag,故厶人耳為二面角a-a1c1-b1的平面角. 在rg阿中心佔(zhàn) sin z

5、raq=2d卜嗆=半.連接ab1,在碼中，ab嚴(yán)“沖，心川；豐二aj弓sin zarb、 從而35"t"3厲所以二血角aa1c1b1的止弦值為7 (111)解：因?yàn)閙n丄平面a1b1c1,所以mn丄a/】.取hb1中點(diǎn)d,連接nd,由丁 n是棱b1c1中點(diǎn)，nd = -qh =所以 nd/c1h h 22 .又丄平血aa1b1b,所以nq丄平而aa1b1b,故wd丄人色.又 mnrnd = n, 所以人目丄平面mnd,連接md并延長交a1131于點(diǎn)e, 則me丄£冋,故me/aa.de b.e b、d 1由 a4, ba b/ 4de = b、e忑得2 ,延長em

6、交ab于點(diǎn)f,rf = r f =" 可得'2 連接ne.在 rtenm 中,md 丄 me,故nd2 = de dm.dm n 5近所以de 4fm可得v|4連接bm,在rtbfm中,bm zfm? + bf?=也.42.(浙江理20)如圖，在三棱錐p_abc中，ab = ac為bc的中點(diǎn)，p0丄平而abc,墾 0落在線段ad上 己知bc二8,p0二4,a0=3, 0d二2(i )證明：ap丄bc；(ii)在線段ap上是否存在點(diǎn)m,使得二面如a-mc-b為直二面和？若存在，求出am的長；若不存在，請說明理由。木題主要考查空是點(diǎn)、線、而位置關(guān)系，二而角等基礎(chǔ)知識，空間向量的應(yīng)

7、用，同吋考查空間想象能力和運(yùn)算求解 能力。滿分15分。方法一：(i)證明：如圖，以0為原點(diǎn)，以射線0p為z軸的止半軸，建立空間直和坐標(biāo)系0xyz則 0(0,0,0), 4(0,-3,0), 3(4,2,0), c(4,2,0), p(0,0,4),ap = (0,3,4),bc = (-8,0,0),由此可得 ap-bc = 0 f 所以ap 丄 bc ,即 ap 丄 bc.(ii)解：設(shè) 麗=幾莎"hl，則而bm =bp+ pm =bp + xpa= (-4,-2,4)+ 2(0,-3,-4)=(_4,_2_3入4_4刃ac = (-4,5,0),bc = (- &0,0)

8、設(shè)平面bmc的法向量® = g，h，zi),平面apc的法向量“2 =(兀2，2，6 )bm = 0,<由bc“=o,j-4x1-(2 + 32)y1 + (4 - 42)兀=0, e i 8x. = 0,?！?°，一9 . q；2 + 32 可取斤=(0丄手字) "d 兒4'4aapn2 =0，ac - ri-)= 0.即3y2 +4z2 =(), 4x? +5” 0,5x2 =7)2， _ 耳3可取心=(5,4, _3).-于 2，2 + 32由宀=0,得4-3.卡0,解得 5,故am二3。綜上所述，存在點(diǎn)m符合題意,am二3。 方法二：(1)證

9、明：由ab=ac, d是bc的屮點(diǎn)，得丄又po丄平血abc,得p°丄c. 因?yàn)閜ocad = o 所以bc 1平而pad,即 i4 -4z故bc丄pa（ti）解：如圖，在平w pab內(nèi)作丄pa于m,連cm,由（1）屮知人卩丄bc,得ap丄平bmc,又apd平面apc,所以平面bmc丄平面apco在 rtadb中得= ad2 + bd2 =41, ab = 741.在 rtapod中,pr?二 po2+od2,在 rzdb中,pb? = pd2 + bd 所以 pb2=po2-od2 + db2=36,得pb=6.在 rtapoa中彳屛屮=人。2 * op2 = 25, pa = 5.

10、cos 上 bpa = 乂pa? + pb? - ab? 2pa - pb從而 pm = pb cos zbpa = 2,所以 am=pa-pm=3 o綜上所述，存在點(diǎn)m符合題意，a仁3。3.（重慶理19）如題（19）圖，在四而體4bcd中，平而4bc丄平而acd f 丄bc, ad = cd f acad = 30°(i )若ad = 2, ab = 2bc ,求四血體abcd的體積;（ii）若二面角c ab °為60。，求異面直線ad與 眈所成角的余弦值.題（19）圖（1）解：如答（19）圖1,設(shè)f為ac的中點(diǎn)，由于ad=cd,所以df丄ac. 故山平而abc丄平而ac

11、d,知df丄平而abc, 即df是四而體abcd的而abc上的髙，且df=adsin30° =1, af=adcos30°在 rtaabc 中，因 ac二2af=2命，ab=2bc,bc =1.s3 q mbcdf1 1 4v15 2v15 4=x xx=3 2555答(19)圖1由勾股定理易知 故四ifli體abcd的體積(ii)解法一：如答(19)圖,設(shè)g, h分別為邊cd, bd的中點(diǎn)，貝lj eg/ad, gh/bc,從而zfgh是異面直線 ad與bc所成的和或其補(bǔ)角.設(shè)e為邊ab的中點(diǎn),則ef/bc,由ab丄bc,知ef丄ab又由(i)有df丄平面abc,故山三垂

12、線定理知de丄ab.所以zdef為二面角cabd的平面角，由題設(shè)知zdef二60°ad = a,則df = ad sin cad =設(shè)2a,rzef中,ef = df cot def =- 在2gh =丄 b c = ef 從而2fh =-bd = -因 rtaadertabde,故 bd=ad=a,從而，在 rtabdf 屮，22,fg =丄 ad = -9又 22從而在afgh中，因fg二fh,山余弦定理得cos fgh =fg? +gh? - fh?2fg - ghgh2fg 6v3 因此，異面直線ad-l/bc所成角的余弦值為6 解法二：如答(19)圖2,過f作fm丄ac,交

13、ab于m,已知ad二cd,平面abc丄平面acd,易知fc, fd, fm兩兩垂直，以f為原點(diǎn)，射線fm, fc, fd分別為x軸，y軸，z軸的正半軸, 建立空間直角坐標(biāo)系fxyz.不妨設(shè)ad=2,由cd二ad, zcad二30° ,易知點(diǎn)a, c, d的坐標(biāo)分別為a(0,-v3,0), c(0, v3,0), d(0,0,1), 則 ap =(0,73,1).顯然向量* =(°，°)是平而abc的法向量.已知二而角cabd為60° ,koim/故可取平面abd的單位法向量"=（加?。?<n,k >= 60°,從而比=. 使得2由溝j從厠，v3m + = 0,m =6由