2022年數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試專題復(fù)習(xí)(精美全解析)

1、學(xué)問點(diǎn)一函數(shù)的概念1函數(shù)的定義、定義域、值域2兩個(gè)函數(shù)相等的條件(1) 定義域相同(2) 對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一樣學(xué)問點(diǎn)二函數(shù)的表示及分段函數(shù)1. 函數(shù)的表示方法函數(shù)的三種表示法：解析法、圖象法、列表法2. 分段函數(shù)假如函數(shù) y fx，x a，依據(jù)自變量x 在 a 中不同的取值范疇，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，那么稱這樣的函數(shù)為分段函數(shù)分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集學(xué)問點(diǎn)三函數(shù)的單調(diào)性與最大 小值1函數(shù)的單調(diào)性(1) 增函數(shù)、 減函數(shù)： 設(shè)函數(shù) fx的定義域?yàn)?i，假如對(duì)于定義域 i 內(nèi)某個(gè)區(qū)間 d 上的任意兩個(gè)自變量的值 x1，x2 ，當(dāng) x1<x2 時(shí)，

2、都有 fx1<f x2，那么就說函數(shù) fx在區(qū)間 d 上是增函數(shù)；當(dāng)x1<x2 時(shí)，都有 fx1>f x2，那么就說函數(shù) f x在區(qū)間 d 上是減函數(shù)(2) 函數(shù)的單調(diào)性：如函數(shù)fx在區(qū)間 d 上是增 減函數(shù)，就稱函數(shù)fx在這一區(qū)間上具有嚴(yán)格的 單調(diào)性，區(qū)間d 叫做 fx的單調(diào)區(qū)間(3) 單調(diào)性的常見結(jié)論：如函數(shù)f x， gx均為增 減函數(shù)，就 fx gx仍為增 減函數(shù)；如函數(shù) fx為增減函數(shù)，就 fx為減 增函數(shù)；如函數(shù) f x為增 減函數(shù)，且 f x>0，就 1f x為減 增函數(shù)2. 函數(shù)的最大值、最小值最值最大值最小值類別設(shè)函數(shù) y fx的定義域?yàn)?i，假如存在實(shí)

3、數(shù) m 滿意(1) 對(duì)于任意的 xi，都有條件fx m；(2) 存在 x0 i，使得 fx0 m(1) 對(duì)于任意的 xi，都有fx m；(2) 存在 x0 i，使得 fx0 m結(jié)論m 是函數(shù) y fx的最大值m 是函數(shù) y f x的最小值性質(zhì)：定義在閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，必有最大小值 學(xué)問點(diǎn)四函數(shù)的奇偶性1. 函數(shù)奇偶性的概念偶函數(shù)奇函數(shù)對(duì)于函數(shù) fx的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有條件f x fxf x f x結(jié)論函數(shù) fx是偶函數(shù)函數(shù) fx是奇函數(shù)2. 性質(zhì)(1) 偶函數(shù)的圖象關(guān)于y 軸對(duì)稱，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(2) 奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性

4、相反(3) 在定義域的公共部分內(nèi)，兩個(gè)奇函數(shù)之積與商分母不為零 為偶函數(shù)；兩個(gè)奇函數(shù)之和為奇函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的和、積與商 分母不為零 為偶函數(shù)；一奇一偶函數(shù)之積與商分母不為零為奇函數(shù)題型一函數(shù)的定義域、值域例 112021 年 6 月學(xué)考 函數(shù) y log2x 1的定義域是 a 1， b 1， c0， d 0 ， 2函數(shù) fx x 2x1的值域?yàn)?答案1a2，2解析2 由于函數(shù)的定義域是112， ，且函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)， 所以函數(shù)的最小值是f 21 2，故函數(shù)的值域是12， .感悟與點(diǎn)撥1求函數(shù)的定義域，就是求使函數(shù)表達(dá)式有意義的自變量的取值范疇2在求函數(shù)定義域和值域的時(shí)候，要把定義域和值域?qū)?/p>

5、成集合或區(qū)間的形式跟蹤訓(xùn)練 112021 年 4 月學(xué)考 函數(shù) fx x1 x的定義域是 a x|x 0b x|x 0c x|x 0d rln 2 xx 22函數(shù) fx |x| x的定義域?yàn)榇鸢?a2 1,0解析1 由題意知，x 0， x 0，所以 x 0.2 2 x x20 且|x| x 0， x 1,2且 x.0 ， ， x 1,0題型二函數(shù)的圖象及圖象的應(yīng)用例 22021 年 4 月學(xué)考 以下圖象中，不行能成為函數(shù)y fx 的圖象的是 答案a解析當(dāng) x 0 時(shí)，有兩個(gè) y 值對(duì)應(yīng)，故 a 不行能是函數(shù) yfx的圖象感悟與點(diǎn)撥一個(gè)圖象能不能作為函數(shù)的圖象，關(guān)鍵是看它是否符合函數(shù)的定義及函數(shù)

6、的特點(diǎn)跟蹤訓(xùn)練 2已知函數(shù) fx 2x， 1 x 0，x， 0 x 1，就以下函數(shù)的圖象錯(cuò)誤選項(xiàng)答案d題型三分段函數(shù)例 3已知函數(shù)fx log 13x2x, x2x1,4, x就 ff 3 ， f x的單調(diào)遞減區(qū)間是1, 答案5 1， 解析f 3 log 1 3 1，3 ff3 f 1 1 2 4 5.當(dāng) x1 時(shí)， fx x2 2x 4 x 12 5， 對(duì)稱軸為 x 1， fx在 1,1 上單調(diào)遞減當(dāng) x>1 時(shí)， fx單調(diào)遞減，且 12 2×1 4> log 1 1，3 fx 在1， 上單調(diào)遞減感悟與點(diǎn)撥解決分段函數(shù)問題的關(guān)鍵是：在定義域內(nèi)的自變量x 取不同區(qū)間上的值

7、時(shí)，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，要留意分別考慮sin跟蹤訓(xùn)練 3已知函數(shù) fxx， x 0，就 f 11f 11.f x 1 1， x 0，33答案 4解析f11311 f3111 f 3 f 3 411 sin 3 sin 3 4 4.題型四函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用例 4已知 y fx在定義域 1,1上是減函數(shù)，且 f1 a<f2a 1，求 a 的取值范疇解由題意可知 1<1 a<1 ， 1<2 a1<1 ，解得 0<a<1. 又 fx在 1,1上是減函數(shù)， 且 f1 a<f2a 1，. 1 a>2 a 1，即 a<232由 可知， 0<a

8、<3，2即所求 a 的取值范疇是 0， 3 .感悟與點(diǎn)撥利用函數(shù)的單調(diào)性，可將函數(shù)值的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量取值的不等關(guān)系，即轉(zhuǎn)化為詳細(xì)不等式來求解跟蹤訓(xùn)練 4已知函數(shù) fx3a 1 x 4a，x 1，logax，x>1是 r 上的減函數(shù)， 求實(shí)數(shù) a 的取值范疇解由題意知，要使原函數(shù)在定義域上為減函數(shù)，就需要滿意3a 1<0，0<a<1，3a 1 × 1 4a loga1，1111解得 7 a<3，故實(shí)數(shù) a 的取值范疇是 7， 3 .題型五函數(shù)的奇偶性及應(yīng)用例 52021 年 4 月學(xué)考改編 已知函數(shù) fx 1 1.x 1x 31設(shè) gx fx

9、2，判定函數(shù) gx的奇偶性，并說明理由； 2求證：函數(shù) fx在2,3 上是增函數(shù)(1) 解gx是偶函數(shù)，證明如下： fx 1 1，x 1x 3 gx f x 2 1 1， g x1x 11x 1 x 1 x111g x，x 1x 1又 gx的定義域?yàn)?x|x 1 且 x 1 ， y gx是偶函數(shù)2證明設(shè) x1， x22,3 且 x1 <x2，fx1 fx2 1111x1 1x1 3x2 1x232 x1 x2x1 x2 4，x1 1x1 3x2 1x23 x1， x2 2,3 且 x1<x2， x1 x2<0，x 1 x2 4>0， x1 1 x1 3x2 1 x2 3

10、>0 ，綜上得 fx1 f x2<0 ，即 fx1<f x2， 函數(shù) fx在2,3 上是增函數(shù)感悟與點(diǎn)撥1在奇、偶函數(shù)定義中，交換條件和結(jié)論仍成立即如f x為奇函數(shù)，就 f x fx 如 fx為偶函數(shù)，就f x fx (2) 奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y 軸對(duì)稱跟蹤訓(xùn)練 512021 年 4 月學(xué)考 用列表法將函數(shù) fx表示為x123fx 101就a fx 2為奇函數(shù)b fx 2為偶函數(shù)cfx 2為奇函數(shù)d fx 2為偶函數(shù)答案a22021 年 4 月學(xué)考改編 已知函數(shù) fx 3|x a| |ax 1|，其中 ar .當(dāng) a 1 時(shí)，寫出函數(shù) fx的單調(diào)區(qū)間；

11、如函數(shù) f x為偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)a 的值解當(dāng) a 1 時(shí)， fx 3|xa| |ax 1| 4|x1|，函數(shù) fx的減區(qū)間為 ，1，增區(qū)間為1， 如函數(shù) f x為偶函數(shù)，肯定有f1 f 1，即 3|1 a| |a 1| 3|1 a| | a 1|，解得 a0，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意一、挑選題1 2021 年 11 月學(xué)考 函數(shù) y2 x1x 1的定義域是 a 1,2b 1,2c1,2d 1,2答案a解析由2 x0， x 10，得 1 x 2.2. 已知函數(shù) fx21， x 0， x就 f 1 f0等于 3x，x 0，a 3b 4c 5d 6答案b解析f 1 f0 1 21 30 4.3. 如函數(shù) y f

12、x的定義域?yàn)閙 x|2 x 2 ，值域?yàn)?n y|0 y 2 ，就函數(shù) y fx的圖象可能是 答案b解析對(duì)于 a ，不符合定義域?yàn)?x|2 x 2 ，故可排除； 對(duì)于 b，滿意函數(shù)定義，故符合；對(duì)于 c，顯現(xiàn)了定義域當(dāng)中的一個(gè)元素對(duì)應(yīng)值域當(dāng)中的兩個(gè)元素的情形，不符合函數(shù)的定義，從而可以排除；對(duì)于 d，由于值域不是 y|0 y2 ，故可排除，應(yīng)選b.4. 已知函數(shù) gx fxx 是偶函數(shù)，且 f3 4，就 f 3等于 a 4b 2c 0d 4答案b解析 g 3 g3 f3 3 4 3 1， 又 g 3 f 3 31， f 3 2.5. 設(shè) f x是定義在 r 上的奇函數(shù)，當(dāng) x0 時(shí)， fx 2

13、x2x，就 f1的值為 a 3b 1c 1d 3答案a解析 f1 2 12 1 3， f1 f 1 3.6. 已知函數(shù) fx， gx都是 r 上的奇函數(shù)，且 fx fx 3gx 5.如 fa b，就 f a等于a b 10b b 5cb 5d b 5答案a解析 fx， gx都是 r 上的奇函數(shù)， faf a 3ga 5 fa3ga 5.又 f afa 3ga 5b， 即 fa 3ga b 5， fa b 5 5 b 10.7. 如函數(shù) y ax 1 在1,2 上的最大值與最小值的差為2，就實(shí)數(shù) a 的值為 a 2b 2c 2 或 2d 0答案c解析由題意知 a 0，當(dāng) a>0 時(shí)， 2a

14、 1 a1 2， 解得 a 2；當(dāng) a<0 時(shí)，有 a1 2a 1 2，解得 a 2.綜上知， a± 2.8. 已知 fxax， x 1，a4 2 x2， x 1是 r 上的單調(diào)遞增函數(shù)，就實(shí)數(shù)a 的取值范疇為 a 1， b 4,8c4,8d 1,8答案b解析 fx是 r 上的單調(diào)遞增函數(shù)，a 1，a42 0，a a4 2 2，解得 4 a 8.9. 已知函數(shù) fx |x3 1| |x3 1|，就以下坐標(biāo)表示的點(diǎn)肯定在函數(shù)y fx的圖象上的是 a a， fab a，f aca， fad a， f a答案b解析 fx為偶函數(shù)， f a fa， a， f a肯定在 y fx的圖象上

15、，應(yīng)選 b.10已知函數(shù) fx 滿意 f 4x f x當(dāng) x1，x2 ， 2時(shí)，f x2 f x1 x2 x1>0；當(dāng) x1，x22， 時(shí)， f x2 f x1x2 x1<0. 如 x1<x2，且 x1 x2>4，就 fx1， f x2的大小關(guān)系是 a fx1<fx2b fx1> fx2cfx1 fx2d不確定答案b解析 f4 x f x， 函數(shù)圖象關(guān)于x 2 對(duì)稱 當(dāng) x1，x2 ， 2時(shí)，f x2 f x1 x2 x1>0， 此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增當(dāng) x1， x2 2， 時(shí)，f x2 f x1 x2 x1<0， 此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減 x1<x2，

16、且 x1 x2>4， 如 2<x1<x2，就 f x1>fx2；如 x1<2< x2，由 x1 x2 >4，得 x2>4 x1. x1<2， x1> 2，就 4 x1>2， 就 fx2<f4 x1 f4 x f x， f4 x fx， 即 f4 x1 f x1， fx2 <f4 x1 fx1綜上所述， fx 1>fx2二、填空題11. 已知函數(shù) f x112x， x 0，1如 fa a，就實(shí)數(shù) a.x， x<0，2答案 1 或3解析當(dāng) a 0 時(shí)， f a 1 1a a，得 a22 3；1當(dāng) a<0

17、 時(shí)， fa a a，解得 a 1 或 1舍去 2 a 1 或3.12. 已知函數(shù)y|x2 1|的圖象與函數(shù) y kx 2 的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn)，就實(shí)數(shù)k 的取值范疇x 1為 答案0,1 1,4解析依據(jù)肯定值的意義，|x2 1|yx 1x 1，x 1或x 1， x1， 1x 1.在平面直角坐標(biāo)系中作出該函數(shù)的圖象，如圖中實(shí)線所示依據(jù)圖象可知，當(dāng)0 k1 或 1 k 4 時(shí)，函數(shù) y kx 2 與 y|x2 1|的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn)x 113. 如關(guān)于 x 的不等式 x2 4xa 0 在1,3 上恒成立，就實(shí)數(shù)a 的取值范疇為 答案， 4解析如關(guān)于 x 的不等式 x2 4x a 0 在1,3 上恒成

18、立， 就 ax24x 在1,3 上恒成立，令 fxx24x x 22 4， x 1,3 ， 對(duì)稱軸為 x 2，開口向上， fx 在1,2 上單調(diào)遞減，在 2,3 上單調(diào)遞增，2， fx min f2 4， a 4. 14已知函數(shù) fx x a|x a|gx ax 1，其中 a>0，如 fx與 gx 的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，就 a 的取值范疇是 答案0,1解析由題意得 f xx， x>a， a，x a，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)分別畫出當(dāng)0<a<1， a 1， a>1 時(shí)，函數(shù) fx， gx的圖象，由圖易得當(dāng) fx ，gx的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，0<a<1，有g(shù) a

19、 >a，解得 0<a<1，即 a 的取值范疇是 0< a<1.三、解答題11115已知函數(shù) fx ax x x 1，a r.(1) 判定函數(shù) f x的奇偶性，并說明理由；(2) 當(dāng) a<2 時(shí)，證明：函數(shù) fx 在0,1 上單調(diào)遞減111解由于 f x ax x 1 x 11 ax x11x1 fx，又由于 fx的定義域?yàn)?x r |x 1 且 x 1 ， 所以函數(shù) f x為奇函數(shù)2證明任取 x1， x2 0,1 ，設(shè) x1<x2，就 fx1 fx2 a x1 x2x2 x1 x1 1x2 1x2 x1x1 1x2 12 x1x2 1 x1 x2 a22.x1 1x2 1由于 0<x1<x2<1，1 222所以 2x x 1>2,0< x1 1x2 1<1 ，2 x1x2 1所以 22>2> a，x1 1x2 12 x1x 2 1所以 a22<0.x1 1x2 1又由于 x1 x2<0，所以 fx1>f x2， 所以函數(shù) f x在0,1上單調(diào)遞減16已知 fx是定義在 1,1上的奇函數(shù)，